Sur le développment de la grande fonction de partition pour des systèmes de particules identiques

M. Gaudin

Nikolaj A. Veniaminov, KLOPP, Frédéric

On étudie la limite thermodynamique pour un système de particules quantiques en interaction dans un milieu aléatoire dans le formalisme de l'ensemble microcanonique. L'existence de la limite est démontrée pour l'énergie interne ainsi que pour l'entropie sous des conditions assez générales sur le modèle à une particule. Ensuite, la limite thermodynamique est étudiée pour le modèle des pièces à une dimension dans le cas de fermions et pour une densité de particules faible. On donne une caractérisation de l'état fondamental dans les termes des espaces fonctionnels; on démontre sa non dégénérescence presque sûre et on décrit sa fonction d'autocorrélation. Ces résultats permettent d'obtenir une estimée de l'énergie fondamentale par particule comme une fonction de la densité de particules dans la limite thermodynamique. Enfin, on fait une remarque sur l'énergie libre dans l'ensemble grand canonique et on considère certains marginales (comme la densité à une particule) de l'état fondamental.

M. Gaudin

Gilbert Munschy, Philippe Pluvinage, Joseph Proriol

Pour la résolution d'un problème quantique relatif à un système de trois particules identiques, on doit pouvoir disposer de fonctions de base à caractère de symétrie bien défini pour l'échange des particules. De telles fonctions de base polynômiales, appartenant aux trois types de symétrie possibles, peuvent être obtenues en utilisant la représentation irréductible du groupe des permutations de trois objets dans le plan complexe. On leur impose la condition supplémentaire d'orthogonalité dans le triangle de définition des variables en les assujettissant à satisfaire à deux équations aux valeurs propres auto-adjointes et entièrement symétriques pour l'échange des particules. L'une est l'équation du second ordre d'Appell et Kampé de Fériet. Les premiers polynômes sont donnés sous forme trigonométrique, jusqu'au degré cinq inclus.

Ahmed Azhari

Dans cette these on etudie la caracterisation de la fonction d'onde de Jastrow de n particules en presence de differents types de correlations fortes entre particules. Ces correlations ont pour origine les forces a n-corps au sein de l'ensemble des n particules (n n). L'ansatz de Jastrow consiste a representer la fonction d'onde comme produit de fonctions d'ondes (1, 2, , n) = exp (1, 2, , n) representant un amas quelconque de n particules (n = 2, 3, , n). Pratiquement il decrit un etat lie fluide ou solide des n particules. Pour que ces correlations correspondent a des potentiels interparticulaires a n-corps, la fonction inconnue doit satisfaire a une equation fonctionnelle connue sous le nom de condition de Sutherland. En fait la condition de Sutherland est une condition de solubilite du probleme car une fois qu’est connue l'ansatz de Jastrow est completement defini ainsi que le potentiel interparticulaire qui lui est propre. Pour representer l'etat fondamental des n particules on choisira de facon que les seuls zeros des variables relatives soient ceux qui sont imposes par un principe d'exclusion eventuel et que l'interpretation statistique de la fonction d'onde soit respectee. Pour se familiariser avec le mecanisme de fonctionnement de l'ansatz de Jastrow, on repasse en revue le probleme des n-corps unidimensionnels qui est soluble avec l'ansatz de Jastrow pour lequel la condition de Sutherland est identique a une equation fonctionnelle des fonctions elliptiques de Weierstrass. Ensuite on traite le cas pertinent pour les phenomenes physiques recents en deux dimensions, en examinant successivement n = 2, et 3. Avant de generaliser on montre que pour n = 2, on peut construire des solutions assez facilement si seulement la solution est invariante par translation. Par contre en presence d'invariance supplementaire par rotation, la seule solution physiquement acceptable est celle qui correspond a l'interaction harmonique, exactement soluble par d'autres moyens aussi. Pour 3 n n il est ne����cessaire de developper une theorie de fonctions a plusieurs variables qui generaliseraient les fonctions elliptiques et possederaient des relations fonctionnelles du type de Sutherland. Cette etude montre qu'il existe un champ de recherche nouveau dans le traitement de la physique quantique de n particules planaires en presence de fortes correlations, que l'ansatz de Bethe classique, connu en une dimension, ne peut tenir compte. Seulement en face de ces perspectives attrayantes elle necessite la construction de fonctions nouvelles a plusieurs variables ayant globalement les memes proprietes fonctionnelles que les fonctions elliptiques connues.

Claude Bloch