A TEORIA eletromagnética de Maxwell e Lorentz se postula a inexistência de massas magnéticas, sendo todo o magnetismo atribuído a correntes elétricas.Até hoje não ficou esclarecida a questão de saber se essa hipótese é necessária ou se é possível abandonála sem alterar profundamente a estrutura da teoria eletromagnética.Nos últimos anos o problema das massas magnéticas foi abordado sob outro ponto de vista.Admitindo a existência dessas massas, estudou-se, pela mecânica quântica, o movimento de um elétron num campo por elas criado.Como se sabe, na equação de Schrödinger do elétron, intervém os potenciais do campo eletromagnético e esses potenciais só existem quando o campo magnético é solenoidal, isto é, quando não há massas magnéticas.Daí a crença de que o movimento do elétron num tal campo não fosse sucetível de descrição quântica.Por uma engenhosa análise dos fatores de fase das funções de onda, Dirac mostrou que o problema podia ser tratado quanticamente se as massas magnéticas fossem múltiplos inteiros de
A TEORIA eletromagnética de Maxwell e Lorentz se postula a inexistência de massas magnéticas, sendo todo o magnetismo atribuído a correntes elétricas.Até hoje não ficou esclarecida a questão de saber se essa hipótese é necessária ou se é possível abandonála sem alterar profundamente a estrutura da teoria eletromagnética.Nos últimos anos o problema das massas magnéticas foi abordado sob outro ponto de vista.Admitindo a existência dessas massas, estudou-se, pela mecânica quântica, o movimento de um elétron num campo por elas criado.Como se sabe, na equação de Schrödinger do elétron, intervém os potenciais do campo eletromagnético e esses potenciais só existem quando o campo magnético é solenoidal, isto é, quando não há massas magnéticas.Daí a crença de que o movimento do elétron num tal campo não fosse sucetível de descrição quântica.Por uma engenhosa análise dos fatores de fase das funções de onda, Dirac mostrou que o problema podia ser tratado quanticamente se as massas magnéticas fossem múltiplos inteiros de
Um seculo apos a sua descoberta, o eletron continua a ser um estranho dentro do eletromagnetismo classico. Varios foram os modelos propostos para descreve-lo. Pode-se dizer que a teoria mais bem sucedida foi formulada por Dirac em 1938, muito embora apresentando problemas tais como as pre-aceleracoes e solucoes auto-acelerantes. Uma alternativa a esta teoria foi proposta na decada de 50 pelo fisico italiano P. Caldirola, tendo por hipotese basica a existencia de um intervalo fundamental de tempo, o cronon. Com base nesta hipotese Caldirola propos uma descricao baseada em equacoes a diferencas finitas equivalentes a de Dirac mas livre dos problemas por ela apresentados. A extensao da hipotese do cronon a mecânica quântica nao-relativistica, resultando em formulacoes discretizadas da equacao de Schrodinger, produziu resultados relevantes como a derivacao da massa do muon e do tau a partir da massa do eletron.
Neste trabalho, analisamos as equacoes discretas com base no formalismo de Feynman e estudamos algumas de suas solucoes. Partindo dos operadores de evolucao associados as equacoes discretas, estendemos o procedimento a representacao de Heisenberg e encontramos uma representacao que, como no caso continuo, e equivalente a de Schrodinger .
Fazemos uma analise de compatibilidade entre as varias representacoes: Schrodinger, Heisenberg e operadores de densidade. Sao estudados alguns exemplos tipicos como, por exemplo, o oscilador harmonico simples. O formalismo de operadores de densidade e utilizado para analisar o problema da medida na mecânica quântica.
Finalmente, fazemos uma abordagem da equivalencia entre o formalismo discreto e a introducao de operadores nao-hermitianos na equacao de Schrodinger continua
Abstract
O eletromagnetismo de Maxwell reescreveu as quatro leis experimentais da eletrodinâmica clássica combinando campos, fontes, cargas e eletricidade. Se propusermos uma análise lagrangiana da teoria de Maxwell com derivadas de ordem mais alta, tornando-a também livre de calibres, obtemos a chamada eletrodinâmica de Podolsky. Como eletrodinâmica de ordem superior, a eletrodinâmica de Podolsky é estudada como uma generalização da teoria de Maxwell, tornando-se um caso específico de Podolsky quando o parâmetro livre é zero. A partir destas teorias, estudaremos o efeito magnético de Aharonov-Bohm, onde as cargas elétricas são afetadas pelo campo magnético pelo seu potencial vetor num solenoide. Na teoria clássica, o campo magnético não deveria existir na região onde as cargas passam, apenas o potencial poderia causar tal alteração. O resultado são diferenças nos elétrons, particularmente nas suas fases na mecânica quântica entre funções de onda, numa quantidade específica chamada fase Aharonov-Bohm. Nesta tese, o efeito Aharonov-Bohm é estudado para o caso Maxwell e o caso Podolsky, comparando a diferença que um potencial vetor pode fazer nestes resultados e o efeito de fase mesmo em áreas sem um campo magnético.
A física de matéria condensada de um elétron é uma simplificação que tem tido um sucesso notável na descrição de certas propriedades dos cristais. As noções básicas de materiais isolantes, condutores e semi-condutores podem ser explicadas pelo espectro de energia de um único elétron que se move sob a influência de um arranjo periódico de átomos e o princípio de exclusão de Pauli. Muitas propriedades mecânicas, elétricas, magnéticas, ópticas e químicas dos sólidos são consequências diretas da repulsão de Pauli entre elétrons livres ou semi-livres. O estudo dos operadores de Schrödinger exige boas bases de física e matemática, logo o objetivo é o aprofundamento em diversos temas nas duas áreas para a compreensão teórica do modelo de evolução temporal do elétron. A teoria matemática dos operadores de Schrödinger com potenciais periódicos está bemdesenvolvida e baseia-se em uma análise minuciosa das propriedades de simetria dos operadores periódicos. O Teorema de Bloch garante que tais operadores têm um espectro com estrutura de banda, isto é, σ (H)=Un=0 ∞ [an , bn ] com an<bn<an+1 . Este espectro também é conhecido como sendo espectro absolutamente contínuo.
A eletrodinâmica clássica estocástica pode ser entendida como sendo a teoria clássica de Maxwell, onde se inclui um novo elemento da realidade física: As flutuações eletromagnéticas de ponto zero. Sob esse enfoque, estudamos a interação de um \\"ensemble\\", de osciladores harmônicos carregados com a radiação térmica e de ponto zero (atérmica). Incluímos os efeitos de dissipação através da força de reação da radiação. Além disso estudamos também a excitação do oscilador por uma força determinística com dependência temporal arbitrária. Nossa análise estatística do sistema físico é baseada na solução exata da equação de Fokker-Planck adequada ao problema. Obtém-se a evolução temporal, no espaço de fase, para uma dada distribuição inicial que caracteriza um \\"ensemble\\" de osciladores forçados que apresentam estados excitados na forma de estados coerentes e estados coerentes comprimidos e pulsantes. A comparação direta com a formulação quântica do mesmo problema nos faz reconhecer que é possível obter da física clássica alguns resultados antes só obtidos pela teoria quântica. Identificamos na radiação de ponto zero o ingrediente que torna possível entender a estabilidade do estado fundamental e o princípio de incerteza.
Em homenagem aos 97 anos da publicação do artigo de Paul Adrien Maurice Dirac, este artigo apresenta a construção da chamada equação de Dirac a partir de requisitos fundamentais, averiguando como foi formulado uma teoria que descreve partículas com “spin” semi-inteiro, ou seja, “férmions”. Através da formulação da mecânica Hamiltoniana e da equação de Schroedinger da Mecânica Quântica, apresenta-se de forma didática um raciocínio que leva a famosa equação. Será mostrado um caminho para solucioná-la e principalmente será feita uma discussão sobre a interpretação das soluções desde a primeira apresentada pelo próprio Dirac até as dos dias atuais. Será apresentado então o limite não relativístico onde as soluções reproduzem a descrição clássica do “spin”. As soluções descrevem partículas existentes na natureza, como os elétrons, e outras que nunca haviam sido observadas até então, as chamadas antipartículas. Pela primeira vez na história a ciência apresenta uma previsão matemática de partículas existentes na natureza. Essa façanha mostrou definitivamente à humanidade que a linguagem da natureza é a matemática.
A teoria quântica de campos pode ser vista como um conjunto de métodos e idéias que além de sua importância no estudo das partículas elementares, tem sido amplamente usada em outras áreas. Em especial, ela constitui uma ferramenta indispensável no estudo moderno de transições de fases e fenômenos críticos. A origem dessa constante relação entre a teoria de campos e a matéria condensada deve-se ao fato que, apesar de suas diferenças superficiais, ambas tratam de problemas envolvendo um grande número de graus de liberdade. Assim, não é surpreendente que as mesmas técnicas possam ser úteis nos dois campos. Este trabalho trata de problemas nessas duas áreas e está essencialmente divido em duas partes. A primeira parte é dedicada ao estudo de teorias de campos com uma anisotropia entre o espaço e o tempo, o que implica uma quebra da simetria de Lorentz. Uma das motivações para considerar esse tipo de teoria vem justamente do estudo de transições de fase em sistemas da matéria condensada. Análises do grupo de renormalização com ênfase na possibilidade de restauração da simetria de Lorentz e também uma discussão sobre identidades de Ward são realizadas. Na segunda parte, a atenção é voltada para a mecânica estatística mas com uma abordagem típica da teoria de campos, em especial, voltada para o estudo de transições de fase clássicas e quânticas a partir da versão quantizada do modelo esférico e de sua extensão supersimétrica.