Ce travail de physique theorique porte sur les relations entre la phase de berry et l'angle de hannay qui sont deux notions geometriques decrivant des transports naturels en physique respectivement quantique et classique. Le but principal de ce travail a ete d'elaborer un nouveau formalisme, celui des etats quantiques action angle (generalisation des etats coherents de l'oscillateur harmonique), dans lequel le transport classique apparait comme un cas particulier du transport quantique. Cela a permis non seulement d'etablir plusieurs derivations quantiques inedites de l'angle de hannay, mais aussi d'apporter des eclairages originaux sur la relation entre la phase de berry et l'angle de hannay a travers l'introduction des notions de principe variationnel moyenne ou de minimisation de metriques sur les etats quantiques ou les trajectoires classiques. Le rapport entre la phase de berry et l'angle de hannay a egalement ete examine dans le cas des systemes grassmaniens
Ce travail de physique theorique porte sur les relations entre la phase de berry et l'angle de hannay qui sont deux notions geometriques decrivant des transports naturels en physique respectivement quantique et classique. Le but principal de ce travail a ete d'elaborer un nouveau formalisme, celui des etats quantiques action angle (generalisation des etats coherents de l'oscillateur harmonique), dans lequel le transport classique apparait comme un cas particulier du transport quantique. Cela a permis non seulement d'etablir plusieurs derivations quantiques inedites de l'angle de hannay, mais aussi d'apporter des eclairages originaux sur la relation entre la phase de berry et l'angle de hannay a travers l'introduction des notions de principe variationnel moyenne ou de minimisation de metriques sur les etats quantiques ou les trajectoires classiques. Le rapport entre la phase de berry et l'angle de hannay a egalement ete examine dans le cas des systemes grassmaniens
Cette thèse est consacrée à des problèmes liés à l'étude de la limite semi-classique en mécanique quantique. Le premier chapitre présente une formulation géométrique qui est équivalente au principe variationnel. Elle consiste à concevoir la dynamique classique comme une projection orthogonale de la dynamique quantique sur la famille des états cohérents. L'angle de la projection nous renseigne sur la validité de l'approximation obtenue. Ces résultats sont illustrés par un exemple numérique. Le deuxième chapitre s'attache à la mécanique quantique sur le tore en tant qu'espace de phase, et en particulier à l'étude des dégénérécences dans le spectre de modèles du type Harper, ou Harper pulsé qui manifestent du chaos classique. Ce type de modèles trouve ses applications essentiellement en physique du solide, notamment pour l'effet Hall quantique. Cette étude se fait d'une part à l'aide de l'indice de Chern qui caractérise de fa¸con topologique la local- isation des fonctions d'ondes lorsque des conditions de périodicité sont changées, et d'autre part par la distribution de Husimi permet de représenter un état quantique dans l'espace de phase. Nous discutons le rˆole joué par les états associés à une séparatrice, par l'effet tunnel et par la nature chaotique de la dynamique.
Dans ce travail on se concentre sur une méthode alternative de quantification a travers des états cohérents. La méthode canonique associe un pair de variables conjuguées classiques et identifie leur crochet de Poisson au commutateur quantique de ses observables quantiques correspondantes. Les observables sont définies comme des opérateurs auto-adjoints agissant sur un espace de Hilbert particulier. Leurs valeurs physiques se trouvent dans leur résolution spectrale, et pourtant sont liés à une mesure à valeur projection (PV). Néanmoins, il existe un empêchement lorsqu’on impose des bornes sur les ces spectres. Cette restriction sur la définition des opérateurs est décrite par un théorème de W. Pauli et ouvre la voie vers la définition de méthodes alternatives de quantification. La quantification par états cohérents propose une définition d’observable quantique qui prend des valeurs à travers la valeur moyenne sur une famille « cohérente » non-orthogonale et surcomplète de vecteurs dans l’espace de Hilbert. Les états cohérents définis à cet effet partagent avec ceux de oscillateur harmonique la propriété d’être des résolutions de l’identité et d’être parametrisés par un indice discret et une variable complexe. Ceci les rend particulièrement utiles pour « traduire » des variables classiques en opérateurs quantiques bien définis. On a étudié trois cas particuliers ou la définition d’opérateurs auto-adjoints est compromise. En premier on propose une définition de l’opérateur de phase, correspondant à l’angle conjugué à l’action classique. En deuxième place on étudie la quantification du mouvement dans un puits infini de potentiel, notamment, l’opérateur d’impulsion problématique est défini proprement. Finalement ont propose un opérateur temps, conjugué au Hamiltonien, pour une particule libre en utilisant des états cohérents de type SU(1,1) sur des demi plans de Poincaré
Quantification de variables conjuguées par états cohérents Dans ce travail on se concentre sur une méthode alternative de quantification a travers des états cohérents. La méthode canonique associe un pair de variables conjuguées classiques et identifie leur crochet de Poisson au commutateur quantique de ses observables quantiques correspondantes. Les observables sont définies comme des opérateurs auto-adjoints agissant sur un espace de Hilbert particulier. Leurs valeurs physiques se trouvent dans leur résolution spectrale, et pourtant sont liés à une mesure à valeur projection (PV). Néanmoins, il existe un empêchement lorsqu’on impose des bornes sur les ces spectres. Cette restriction sur la définition des opérateurs est décrite par un théorème de W. Pauli et ouvre la voie vers la définition de méthodes alternatives de quantification. La quantification par états cohérents propose une définition d’observable quantique qui prend des valeurs à travers la valeur moyenne sur une famille « cohérente » non-orthogonale et surcomplète de vecteurs dans l’espace de Hilbert. Les états cohérents définis à cet effet partagent avec ceux de oscillateur harmonique la propriété d’être des résolutions de l’identité et d’être parametrisés par un indice discret et une variable complexe. Ceci les rend particulièrement utiles pour « traduire » des variables classiques en opérateurs quantiques bien définis. On a étudié trois cas particuliers ou la définition d’opérateurs auto-adjoints est compromise. En premier on propose une définition de l’opérateur de phase, correspondant à l’angle conjugué à l’action classique. En deuxième place on étudie la quantification du mouvement dans un puits infini de potentiel, notamment, l’opérateur d’impulsion problématique est défini proprement. Finalement ont propose un opérateur temps, conjugué au Hamiltonien, pour une particule libre en utilisant des états cohérents de type SU(1,1) sur des demi plans de Poincaré
Dans ce travail on se concentre sur une methode alternative de quantification a travers des etats coherents. La methode canonique associe un pair de variables conjuguees classiques et identifie leur crochet de Poisson au commutateur quantique de ses observables quantiques correspondantes. Les observables sont definies comme des operateurs auto-adjoints agissant sur un espace de Hilbert particulier. Leurs valeurs physiques se trouvent dans leur resolution spectrale, et pourtant sont lies a une mesure a valeur projection (PV). Neanmoins, il existe un empechement lorsqu’on impose des bornes sur les ces spectres. Cette restriction sur la definition des operateurs est decrite par un theoreme de W. Pauli et ouvre la voie vers la definition de methodes alternatives de quantification. La quantification par etats coherents propose une definition d’observable quantique qui prend des valeurs a travers la valeur moyenne sur une famille « coherente » non-orthogonale et surcomplete de vecteurs dans l’espace de Hilbert. Les etats coherents definis a cet effet partagent avec ceux de oscillateur harmonique la propriete d’etre des resolutions de l’identite et d’etre parametrises par un indice discret et une variable complexe. Ceci les rend particulierement utiles pour « traduire » des variables classiques en operateurs quantiques bien definis. On a etudie trois cas particuliers ou la definition d’operateurs auto-adjoints est compromise. En premier on propose une definition de l’operateur de phase, correspondant a l’angle conjugue a l’action classique. En deuxieme place on etudie la quantification du mouvement dans un puits infini de potentiel, notamment, l’operateur d’impulsion problematique est defini proprement. Finalement ont propose un operateur temps, conjugue au Hamiltonien, pour une particule libre en utilisant des etats coherents de type SU(1,1) sur des demi plans de Poincare
Au chapitre i, on presente une generalisation, avec les outils de l'analyse harmonique, de l'integrale de feynmann (type integrales de fresnel) a un groupe abelien localement compact en utilisant le theoreme de bochner-weil. Deux formulations sont construites, une convolutive et une oscillante. Au chapitre ii, on propose une presentation axiomatique des etats coherents generalises sur un groupe de lie qui permet d'avoir a la fois les etats coherents generalises de peremolov et les ondelettes de daubechies-grossman et qui permettra d'avoir une decomposition dans certains cas. Au chapitre iii, on donne une formulation hamiltonienne des processus stochastiques ce qui permet un calcul explicite du generateur infinitesimal du groupe des transformations lineaires d'un systeme hamiltonien lineaire. Plusieurs exemples (oscillateurs harmoniques, cordes infinies, mouvement brownien) illustrent cette formulation. L'approche quantifiee presente ici met en evidence l'aspect gaussien des etats coherents. Au chapitre iv, on propose une generalisation de la notion de systeme d'appell a un groupe de lie au moyen de la notion de systeme hamiltonien lineaire. Les systemes d'appell nous permettent dans certains cas d'avoir un aspect discretise des etats coherents. On traite l'exemple du groupe special lineaire sl(2,ir). Au chapitre v, la construction de la phase de berry comme l'holonomie d'un lacet relativement a une connexion particuliere nous a permis de calculer la phase de berry pour un systeme hamiltonien (dynamique) en considerant un chemin particulier construit a partir d'un systeme d'etats coherents generalises
Le point de départ de ces travaux est la résolution de l'indétermination arithmétique 0/0 dans les systèmes physiques où deux états d'énergie tendent simultanément vers une valeur critique. Contrairement aux approches classiques (règle de L'Hôpital ou séries de Taylor) qui supposent une régularité stricte, le formalisme C_{\phi} traite cette singularité comme la signature d'un état de stase, c'est-à-dire un transfert cohérent de phase entre deux entités. Le formalisme repose sur trois piliers : > L'indice de quantification n : Un entier relatif (n \in \mathbb{Z}) représentant les niveaux de quantification du système. > L'opérateur d'extension de phase \Psi^n : Un facteur de pondération agissant sur la propagation de l'état énergétique à travers les niveaux. > L'énergie de stase E_{stase}(n) : L'énergie propre de chaque niveau en l'absence de couplage externe. --> L'Opérateur de Couplage de Phase C_{\phi} Défini comme le rapport des énergies de stase de deux états (A et B), l'opérateur permet de maintenir un rapport fini et physiquement significatif même au point limite. L'analyse différentielle de sa dérivée première, \frac{dC_{\phi}}{d\Psi^n}, permet d'identifier deux régimes dynamiques : > Régime I (Invariance) : La dérivée est nulle, traduisant une résonance parfaite ou une dégénérescence où les états évoluent en phase. > Régime II (Transition) : La dérivée est non nulle, quantifiant la vitesse de transfert d'énergie entre les deux états lors du franchissement de la singularité. L'opérateur C_{\phi} a été appliqué avec succès pour résoudre des singularités dans trois domaines : > Mécanique Quantique : Description de la tunnelisation à travers une barrière évanescente (largeur nulle), où C_{\phi} exprime le coefficient de transmission. > Thermodynamique Statistique : Analyse du troisième principe au zéro absolu (T=0), où l'opérateur est lié à la dégénérescence de l'état fondamental \Omega_{ground} Les simulations utilisant un modèle lorentzien (E_{stase} = \frac{1}{1 + (\Psi^n)^2}) ont mis en évidence que la valeur \Psi = 1 constitue le point critique du système. > À \Psi = 1, l'énergie totale E_{Total} atteint un pic déterministe qui dépend de la troncature de la somme (par exemple, 50,5 pour 101 termes). > Ce point est interprété comme un point fixe du groupe de renormalisation, marquant une transition de phase du second ordre. Les derniers dossiers apportent des preuves formelles cruciales : > Symétrie de Réflexion de Phase : Il est démontré algébriquement que E_{Total}(\Psi) = E_{Total}(1/\Psi). Cela implique une dualité multiplicative : C_{\phi}(n, 1/\Psi) \cdot C_{\phi}(n, \Psi) = 1 > Dérivées explicites : Pour le modèle lorentzien, la dérivée prend une forme remarquablement simple : \frac{dC_{\phi}}{d\Psi} = \frac{-2n}{\Psi^{2n+1}}, confirmant une divergence linéaire en n au point critique. > Extension Multi-états : Le formalisme a été élargi à une matrice de couplage K \times K, permettant l'analyse de systèmes à plusieurs niveaux d'énergie proches. Chaque dossier se conclut par un protocole strict de replicabilité (étapes R1 à R7) et des critères de falsification (F1 à F5). Ces derniers précisent que le modèle serait invalide en cas d'incohérence énergétique mesurable ou d'absence de pic à \Psi = 1 pour un modèle symétrique.