Le point de départ de ces travaux est la résolution de l'indétermination arithmétique 0/0 dans les systèmes physiques où deux états d'énergie tendent simultanément vers une valeur critique. Contrairement aux approches classiques (règle de L'Hôpital ou séries de Taylor) qui supposent une régularité stricte, le formalisme C_{\phi} traite cette singularité comme la signature d'un état de stase, c'est-à-dire un transfert cohérent de phase entre deux entités. Le formalisme repose sur trois piliers : > L'indice de quantification n : Un entier relatif (n \in \mathbb{Z}) représentant les niveaux de quantification du système. > L'opérateur d'extension de phase \Psi^n : Un facteur de pondération agissant sur la propagation de l'état énergétique à travers les niveaux. > L'énergie de stase E_{stase}(n) : L'énergie propre de chaque niveau en l'absence de couplage externe. --> L'Opérateur de Couplage de Phase C_{\phi} Défini comme le rapport des énergies de stase de deux états (A et B), l'opérateur permet de maintenir un rapport fini et physiquement significatif même au point limite. L'analyse différentielle de sa dérivée première, \frac{dC_{\phi}}{d\Psi^n}, permet d'identifier deux régimes dynamiques : > Régime I (Invariance) : La dérivée est nulle, traduisant une résonance parfaite ou une dégénérescence où les états évoluent en phase. > Régime II (Transition) : La dérivée est non nulle, quantifiant la vitesse de transfert d'énergie entre les deux états lors du franchissement de la singularité. L'opérateur C_{\phi} a été appliqué avec succès pour résoudre des singularités dans trois domaines : > Mécanique Quantique : Description de la tunnelisation à travers une barrière évanescente (largeur nulle), où C_{\phi} exprime le coefficient de transmission. > Thermodynamique Statistique : Analyse du troisième principe au zéro absolu (T=0), où l'opérateur est lié à la dégénérescence de l'état fondamental \Omega_{ground} Les simulations utilisant un modèle lorentzien (E_{stase} = \frac{1}{1 + (\Psi^n)^2}) ont mis en évidence que la valeur \Psi = 1 constitue le point critique du système. > À \Psi = 1, l'énergie totale E_{Total} atteint un pic déterministe qui dépend de la troncature de la somme (par exemple, 50,5 pour 101 termes). > Ce point est interprété comme un point fixe du groupe de renormalisation, marquant une transition de phase du second ordre. Les derniers dossiers apportent des preuves formelles cruciales : > Symétrie de Réflexion de Phase : Il est démontré algébriquement que E_{Total}(\Psi) = E_{Total}(1/\Psi). Cela implique une dualité multiplicative : C_{\phi}(n, 1/\Psi) \cdot C_{\phi}(n, \Psi) = 1 > Dérivées explicites : Pour le modèle lorentzien, la dérivée prend une forme remarquablement simple : \frac{dC_{\phi}}{d\Psi} = \frac{-2n}{\Psi^{2n+1}}, confirmant une divergence linéaire en n au point critique. > Extension Multi-états : Le formalisme a été élargi à une matrice de couplage K \times K, permettant l'analyse de systèmes à plusieurs niveaux d'énergie proches. Chaque dossier se conclut par un protocole strict de replicabilité (étapes R1 à R7) et des critères de falsification (F1 à F5). Ces derniers précisent que le modèle serait invalide en cas d'incohérence énergétique mesurable ou d'absence de pic à \Psi = 1 pour un modèle symétrique.
Le point de départ de ces travaux est la résolution de l'indétermination arithmétique 0/0 dans les systèmes physiques où deux états d'énergie tendent simultanément vers une valeur critique. Contrairement aux approches classiques (règle de L'Hôpital ou séries de Taylor) qui supposent une régularité stricte, le formalisme C_{\phi} traite cette singularité comme la signature d'un état de stase, c'est-à-dire un transfert cohérent de phase entre deux entités. Le formalisme repose sur trois piliers : > L'indice de quantification n : Un entier relatif (n \in \mathbb{Z}) représentant les niveaux de quantification du système. > L'opérateur d'extension de phase \Psi^n : Un facteur de pondération agissant sur la propagation de l'état énergétique à travers les niveaux. > L'énergie de stase E_{stase}(n) : L'énergie propre de chaque niveau en l'absence de couplage externe. --> L'Opérateur de Couplage de Phase C_{\phi} Défini comme le rapport des énergies de stase de deux états (A et B), l'opérateur permet de maintenir un rapport fini et physiquement significatif même au point limite. L'analyse différentielle de sa dérivée première, \frac{dC_{\phi}}{d\Psi^n}, permet d'identifier deux régimes dynamiques : > Régime I (Invariance) : La dérivée est nulle, traduisant une résonance parfaite ou une dégénérescence où les états évoluent en phase. > Régime II (Transition) : La dérivée est non nulle, quantifiant la vitesse de transfert d'énergie entre les deux états lors du franchissement de la singularité. L'opérateur C_{\phi} a été appliqué avec succès pour résoudre des singularités dans trois domaines : > Mécanique Quantique : Description de la tunnelisation à travers une barrière évanescente (largeur nulle), où C_{\phi} exprime le coefficient de transmission. > Thermodynamique Statistique : Analyse du troisième principe au zéro absolu (T=0), où l'opérateur est lié à la dégénérescence de l'état fondamental \Omega_{ground} Les simulations utilisant un modèle lorentzien (E_{stase} = \frac{1}{1 + (\Psi^n)^2}) ont mis en évidence que la valeur \Psi = 1 constitue le point critique du système. > À \Psi = 1, l'énergie totale E_{Total} atteint un pic déterministe qui dépend de la troncature de la somme (par exemple, 50,5 pour 101 termes). > Ce point est interprété comme un point fixe du groupe de renormalisation, marquant une transition de phase du second ordre. Les derniers dossiers apportent des preuves formelles cruciales : > Symétrie de Réflexion de Phase : Il est démontré algébriquement que E_{Total}(\Psi) = E_{Total}(1/\Psi). Cela implique une dualité multiplicative : C_{\phi}(n, 1/\Psi) \cdot C_{\phi}(n, \Psi) = 1 > Dérivées explicites : Pour le modèle lorentzien, la dérivée prend une forme remarquablement simple : \frac{dC_{\phi}}{d\Psi} = \frac{-2n}{\Psi^{2n+1}}, confirmant une divergence linéaire en n au point critique. > Extension Multi-états : Le formalisme a été élargi à une matrice de couplage K \times K, permettant l'analyse de systèmes à plusieurs niveaux d'énergie proches. Chaque dossier se conclut par un protocole strict de replicabilité (étapes R1 à R7) et des critères de falsification (F1 à F5). Ces derniers précisent que le modèle serait invalide en cas d'incohérence énergétique mesurable ou d'absence de pic à \Psi = 1 pour un modèle symétrique.
Parmi les méthodes de la théorie du groupe de renormalisation, les développements en epsilon sont basés sur des calculs dans l'espace réciproque et permettent de calculer les exposants critiques associés aux transitions magnétiques du second ordre pour des valeurs non entières de la dimension d'espace. Une interprétation physique naturelle consiste à se demander comment se comporte un système de spins en interaction dans un espace de dimension fractale. Or les structures fractales sont construites par itération d'une cellule génératrice dont les détails sont donc présents à plusieurs échelles ; la question qui se pose alors est de savoir ce qui se passe lorsque l'invariance par translation est remplacée par une invariance d'échelle géométrique. La convergence vers la limite thermodynamique se produit en même temps que le processus d'itération construit la structure. De ce fait, des simulations Monte Carlo fiables de ces transitions de phase n'ont pu être menées à bien que récemment, puisqu'elles nécessitent la simulation de très grandes tailles, lesquelles varient comme des séries géométriques avec l'étape d'itération. C'est en utilisant des algorithmes non locaux dits “d'amas” (Wolff, Swendsen-Wang), capables de réduire le ralentissement critique de manière significative, et des méthodes d'histogrammes pour traiter les données des simulations Monte-Carlo que j'ai tout d'abord réalisé ces études. Il s'avère que le calcul précis des exposants critiques est rendu encore plus difficile par le fait que l'analyse en tailles finies du modèle d'Ising souffre de corrections d'échelle qui peuvent affecter fortement le comportement de certaines grandeurs thermodynamiques, en particulier lorsque la dimension fractale tend vers 1. J'ai montré que ces corrections d'échelle sont en partie liées à la très forte inhomogénéité du réseau sous-jacent (due à l'existence de trous sur plusieurs ordres de grandeurs) et à la concomitance de la construction du fractal avec la convergence vers la limite thermodynamique. Les résultats que j'ai obtenus pour les exposants critiques, ou leurs bornes, sont toujours compatibles avec la relation d'hyperscaling dans laquelle on substitue la dimension de Hausdorff à la dimension d'espace. Le comportement critique en dimension non entière se décrit dans le cadre de l'universalité faible. Cela se manifeste par un désaccord net entre les exposants que j'ai obtenus par les méthodes Monte Carlo et les développements en epsilon. Les exposants critiques ne dépendent pas seulement de la dimension d'espace, des propriétés de symétrie du paramètre d'ordre et de la portée des interactions, mais aussi des propriétés géométriques de la structure fractale : Très récemment des calculs précis d'exposants critiques m'ont permis de montrer que des classes d'universalité différentes sont en général nécessaires pour décrire le comportement du modèle d'Ising sur des fractals de même dimension et de lacunarités différentes. Un tel résultat généralise le concept d'universalité faible proposé par Masuo Suzuki. L'hypothèse d'homogénéité qui sous-tend les lois d'échelle permettant de décrire un comportement critique se dérive par renormalisation. La procédure de renormalisation dans l'espace direct est naturelle dans les fractals, puisqu'elle suit exactement le processus inverse de construction de la structure. Avec mon étudiant Pai-Yi Hsiao, nous avons mené à bien l'étude du modèle d'Ising par une méthode de renormalisation Monte-Carlo sur une structure fractale de dimension voisine de 1, 89 ; il s'avère que l'exposant associé à l'une des directions propres peut être calculé avec une très bonne précision et est en accord avec les résultats de l'analyse en tailles finies. En revanche, la convergence est très lente dans l'autre direction, ce qui est lié aux corrections d'échelle mises en évidence lors de cette analyse. La cinétique stochastique associée à la formation des amas construits par l'algorithme de Wolff sous tend la compréhension du phénomène de ralentissement critique. J'ai montré que les distributions des tailles des amas de Wolff ont une propriété d'homogénéité qui fait intervenir l'un des exposants associé à une des directions propres du processus de renormalisation. Par ailleurs, les distributions des tensions de surface des amas vérifient une propriété analogue dans laquelle intervient un nouvel exposant critique. L'étude des fonctions d'autocorrélation m'a permis de calculer précisément les exposants dynamiques de Wolff lorsque la température critique est connue, et d'éclaircir l'évolution du ralentissement critique avec la dimension et la connectivité. Dans le cas de systèmes invariants par translation, l'ordre de la transition ferromagnétique du modèle de Potts est lié au nombre d'états de spin ; le passage du premier au second ordre est attendu pour des dimensions non entières. Par ailleurs, la présence de désordre peut, dans certaines conditions, induire une transition du second ordre à partir d'un système qui en présente une du premier. L'étude du comportement critique du modèle de Potts sur des fractals est donc particulièrement intéressante, puisque deux des paramètres qui le déterminent (dimensionnalité et désordre structurel) sont liés. Avec mon étudiant Pai-Yi Hsiao, nous avons montré que la transition associée au modèle de Potts à trois états sur une structure fractale de dimension voisine de 1, 89 est du second ordre. Les difficultés attendues lorsqu'on augmente le nombre d'états de spins se font déjà nettement sentir : Les corrections d'échelle empêchent de calculer la température critique avec une très bonne précision. Nous n'avons donc pu donner que des bornes pour certains exposants ; nous avons cependant clairement mis en évidence la différence entre les classes d'universalité de Potts à 2 et 3 états. L'étude de la percolation en dimension non entière est liée à la fois à celle du modèle de Potts et aux algorithmes d'amas. Elle est basée sur l'étude des moments de la distribution de taille des amas, ce qui nécessite la localisation de pics en fonction de la probabilité d'occupation. J'ai pu montrer que les corrections d'échelle n'affectent pratiquement pas le comportement des pics avec la taille des structures, et proposé de les interpréter en termes de "seuil effectif".
Le domaine des problèmes quantiques à N-corps à l'équilibre et hors d'équilibre sont des sujets majeurs de la Physique et de la Physique de la matière condensée en particulier. Les propriétés d'équilibre de nombreux systèmes unidimensionnels en interaction sont bien comprises d'un point de vue théorique, des chaînes de spins aux théories quantiques des champs dans le continue. Ces progrès ont été rendus possibles par le développement de nombreuses techniques puissantes, comme, par exemple, l'ansatz de Bethe, le groupe de renormalisation, la bosonisation, les états produits de matrices ou la théorie des champs invariante conforme. Même si les propriétés à l'équilibre de nombreux modèles soient connues, ceci n'est en général pas suffisant pour décrire leurs comportements hors d'équilibre, et ces derniers restent moins explorés et beaucoup moins bien compris. Les modèles d'impuretés quantiques représentent certains des modèles à N-corps les plus simples. Mais malgré leur apparente simplicité ils peuvent capturer plusieurs phénomènes expérimentaux importants, de l'effet Kondo dans les métaux aux propriétés de transports dans les nanostructures, comme les points quantiques. Dans ce travail nous considérons un modèle d'impureté appelé "modèle de niveau résonnant en interaction" (IRLM). Ce modèle décrit des fermions sans spin se propageant dans deux fils semi-infinis qui sont couplés à un niveau résonant -- appelé point ou impureté quantique -- via un terme de saut et une répulsion Coulombienne. Nous nous intéressons aux situations hors d'équilibre où un courant de particules s'écoule à travers le point quantique, et étudions les propriétés de transport telles que le courant stationnaire (en fonction du voltage), la conductance différentielle, le courant réfléchi, le bruit du courant ou encore l'entropie d'intrication. Nous réalisons des simulations numériques de la dynamique du modèle avec la méthode du groupe de renormalisation de la matrice densité dépendent du temps (tDMRG), qui est basée sur une description des fonctions d'onde en terme d'états produits de matrices. Nous obtenons des résultats de grande précision concernant les courbes courant-voltage ou bruit-voltage de l'IRLM, dans un grand domaine de paramètres du modèle (voltage, force de l'interaction, amplitude de saut vers le dot, etc.). Ces résultats numériques sont analysés à la lumière de résultats exacts de théorie des champs hors d'équilibre qui ont été obtenus pour un modèle similaire à l'IRLM, le modèle de Sine-Gordon avec bord (BSG). Cette analyse est en particulier basée sur l'identification d'une échelle d'énergie Kondo et d'exposants décrivant les régimes de petit et grand voltage. Aux deux points particuliers où les modèles sont connus comme étant équivalents, nos résultats sont en accord parfait avec la solution exacte. En dehors de ces deux points particuliers nous trouvons que les courbes de transport de l'IRLM et du modèle BSG demeurent très proches, ce qui était inattendu et qui reste dans une certaine mesure inexpliqué.
Dans ce travail on se concentre sur une methode alternative de quantification a travers des etats coherents. La methode canonique associe un pair de variables conjuguees classiques et identifie leur crochet de Poisson au commutateur quantique de ses observables quantiques correspondantes. Les observables sont definies comme des operateurs auto-adjoints agissant sur un espace de Hilbert particulier. Leurs valeurs physiques se trouvent dans leur resolution spectrale, et pourtant sont lies a une mesure a valeur projection (PV). Neanmoins, il existe un empechement lorsqu’on impose des bornes sur les ces spectres. Cette restriction sur la definition des operateurs est decrite par un theoreme de W. Pauli et ouvre la voie vers la definition de methodes alternatives de quantification. La quantification par etats coherents propose une definition d’observable quantique qui prend des valeurs a travers la valeur moyenne sur une famille « coherente » non-orthogonale et surcomplete de vecteurs dans l’espace de Hilbert. Les etats coherents definis a cet effet partagent avec ceux de oscillateur harmonique la propriete d’etre des resolutions de l’identite et d’etre parametrises par un indice discret et une variable complexe. Ceci les rend particulierement utiles pour « traduire » des variables classiques en operateurs quantiques bien definis. On a etudie trois cas particuliers ou la definition d’operateurs auto-adjoints est compromise. En premier on propose une definition de l’operateur de phase, correspondant a l’angle conjugue a l’action classique. En deuxieme place on etudie la quantification du mouvement dans un puits infini de potentiel, notamment, l’operateur d’impulsion problematique est defini proprement. Finalement ont propose un operateur temps, conjugue au Hamiltonien, pour une particule libre en utilisant des etats coherents de type SU(1,1) sur des demi plans de Poincare
L'électrodynamique quantique en guide d'onde étudie le comportement de circuits électriques supraconducteurs composés entre autres de jonctions Josephson et de lignes à transmission. Ces circuits présentent peu de pertes puisqu'ils sont supraconducteurs. De plus, grâce à la non-linéarité des jonctions Josephson, ils peuvent présenter des comportements typiquement quantiques. Dans cette thèse, nous élaborons un cadre théorique qui permet de traiter la connexion entre les lignes à transmission et les éléments de circuits localisés (lumped element). Nous présentons ensuite la théorie d'entrée-sortie dans le contexte de ce cadre théorique. Comme son nom l'indique, celle-ci lie les observables à la sortie du circuit à celles à son entrée et elle permet de faire des prédictions expérimentales. Nous obtenons aussi une équation maîtresse qui décrit le circuit lorsque l'information contenue dans les lignes à transmission est perdue ou ignorée. Nous utilisons le cadre théorique développé pour étudier la situation où deux circuits qui se comportent chacun comme un atome sont connectés à une ligne à transmission. Nous montrons que la physique dans ce type de système dépend de la distance entre les deux atomes artificiels. Lorsque la distance est telle que la phase [phi] acquise par le champ électromagnétique entre les deux atomes artificiels est un multiple entier de [pi], on observe qu'une superposition d'états particulière des atomes est couplée à la ligne à transmission. On dit que cet état est brillant tandis que l'autre état est dit sombre. Lorsque la phase [phi] acquise par le champ électromagnétique est un multiple impair de [pi]/2, on observe plutôt une interaction cohérente entre les deux atomes artificiels. Nous suggérerons des protocoles pour observer des signatures expérimentales de cette physique. Nous présentons des résultats expérimentaux obtenus suite à ces prédictions par nos collègues du groupe d'Andreas Wallraff à Zurich. Ces résultats confirment la théorie. Parmi ces données, on retrouve la première mesure d'une signature claire de l'interaction cohérente entre deux atomes. Nous utilisons aussi le cadre théorique développé pour étudier des circuits dans lesquels les inductances dépendent du temps. Nous nous intéressons à ces circuits puisqu'ils sont généralement non réciproque, ce qui en fait des candidats idéaux pour implémenter des circulateurs. Ces dispositifs qui permettent d'obtenir un couplage unidirectionnel entre deux circuits sont généralement réalisés à l'aide d'aimants. Ainsi, un défi important du domaine est de concevoir un circulateur qui peut s'intégrer à un circuit supraconducteur. On utilise notre cadre théorique pour décrire les circuits avec des inductances variables à l'aide d'un opérateur de transfert qui relient les entrées du circuit à ses sorties. Cet objet permet d'extraire les conditions sous lesquelles ce type de circuit se comporte comme un circulateur. On utilise aussi l'opérateur de transfert pour étudier un modèle de circuit qui sera testé sous peu par nos collaborateurs de JILA dans le but d'implémenter un des premiers circulateurs sans conversion de fréquence nette, sans pertes et sans ferrite. On montre que ce modèle de circuit se comporte bien comme un circulateur, avec une largeur de bande de l'ordre de 200 MHz et un niveau d'imperfections de -20 dB.
Cette these etudie les diagrammes de phase et l'integrabilite de differents modeles de physique statistique classique et quantique. Plusieurs methodes numeriques sont employees ; en particulier, un critere fonctionnel pour decider de l'integrabilite est presente. Le document est organise en deux parties independantes qui sont fortement reliees par les modeles etudies. La premiere partie applique la simulation de monte carlo a des modeles a spins classiques, non integrables, pour confronter des resultats de simulation a des propositions analytiques, obtenues recemment par l'etude des relations d'inverses et du groupe de symetries de ces modeles. Nous determinons ainsi les diagrammes de phase d'un modele de potts chiral a six etats sur reseau carre et du modele de potts standard a trois etats sur reseau triangulaire avec interactions a deux et trois spins. La deuxieme partie etudie l'integrabilite de differents modeles en physique statistique. Par des methodes de la theorie des matrices aleatoires nous analysons les proprietes statistiques du spectre d'un operateur decrivant le modele (le hamiltonien ou une matrice de transfert). En utilisant les symetries connues de celui-ci, on peut operer une decomposition en sous-espaces stables de cet operateur. Nous developpons la methode par l'etude systematique d'une chaine quantique de hubbard avec un terme d'echange. Par la suite, nous l'appliquons pour la premiere fois aux matrices de transfert de modeles classiques (modele d'ising 2d, 3d, modele de potts, modele a huit vertex asymetrique)
Cette these etudie les phases classiques et quantiques des systemes atomiques ou moleculaires de basse dimension en mettant un accent particulier sur le crossover dimensionnel de une a deux dimensions.La premiere partie de la these est consacree a la description d'un systeme d'atomes froids interagissants avec un potentiel de contact. Plus precisement, nous etudions le de-piegeage dynamique qui, suite a l'extinction rapide d'un reseau optique, s'opere dans un gaz compose de bosons impenetrables dans un guide d'onde atomique lineaire. Nous employons une solution exacte, basee sur une correspondance entre bosons en forte interaction et fermions sans interaction pour deduire l'evolution dynamique quantique exacte. Dans la limite thermodynamique, nous observons l'approche vers un etat stationnaire hors equilibre, caracterise par l'absence d'ordre hors diagonal a longue distance et une visibilite reduite de la distribution en impulsions. Des caracteristiques similaires sont observees dans un systeme de taille finie pour des temps correspondant a la moitie du temps de recurrence, lors desquels nous observons que le systeme approche un etat quasi-stationnaire auquel le systeme s'approche avec une dependance temporelle en loi de puissance.La deuxieme partie de la these analyse l'effet des interactions dipolaires sur l'etat fondamental du systeme. L'inclusion de l'interaction dipole-dipole donne lieu a de nouvelles phases quantiques du systeme unidimensionnel, mais peut egalement entrainer une instabilite transverse.Cette instabilite est tout d'abord analysee dans le regime classique. Nous considerons des particules classiques avec interactions dipolaires, confines sur un anneau par un potentiel harmonique radiale. Les dipoles sont polarises perpendiculairement au plan de confinement. En diminuant le confinement dans la direction radiale, les particules classique montrent une transition entre une chaine simple et une chaine double (en zigzag). Nous montrons que cette transition est faiblement du premier ordre. Nous expliquons que la nature de cette transition est determinee par le couplage entre les modes d'excitation transversaux et axiaux de la chaine des dipoles. Ce resultat est tres different du comportement observe dans les systemes Coulombiens, ou la transition entre la chaine lineaire et la chaine en zigzag est continue et appartient a la classe d'universalite de la transition ferromagnetique. Nos resultats s'appliquent aux systemes dipolaires classiques et aux atomes Rydberg, qui peuvent constituer un banc d'essai pour simuler le comportement critique des aimants couples a des grilles.Dans le regime quantique, nous considerons un systeme des bosons dipolaires sur un reseaux optique, confines par un potentiel harmonique anisotrope. Dans le regime favorisant l'instabilite d'une chaine simple, nous demontrons que le systeme peut etre decrit par un modele de Bose-Hubbard etendu a plusieurs modes couples entre eux, dont les coefficients peuvent etre determines en utilisant une theorie de basse energie. La methode d'integrale de chemin Monte Carlo, la diagonalisation exacte et TEBD sont utilises pour determiner l'etat fondamental de modele de Bose-Hubbard etendu et demontrent que ce modele capture la transition entre la chaine lineaire et la chaine en zigzag.