In 12.1. hatten wir über mathematische Modelle physikalischer Theorien ge sprochen. Im Fall der Quantenmechanik läßt sich die schematische Darstellung aus 12.1.2. wie folgt konkretisieren, wobei die Zahlen die Abschnitte angeben, in denen
Dieser Artikel bietet eine vollständige Herleitung der Schrödingergleichung im eindimensionalen Potenzialtopf und zeigt, wie die Eigenfunktionen und Energieniveaus aus dem Hamiltonoperator gewonnen werden. Die Darstellung folgt der Operatorformulierung der Quantenmechanik nach Dirac und nutzt die Bornsche Wahrscheinlichkeitsinterpretation. Im zweiten Teil wird das Modell auf das eindimensionale Wasserstoffatom übertragen, wobei das Coulomb‑Potenzial berücksichtigt und der Grundzustand analytisch bestimmt wird. Der Text eignet sich als kompakte Einführung in die mathematische Struktur einfacher quantenmechanischer Systeme.
In einer früheren Arbeit1 des Verfassers wurden Hauptsätze über das Messen formuliert und diskutiert, die HILBERT-Raum-ähnliche Strukturen zu Folge haben. Das in 1 vorgeschlagene System von Axiomen läßt aber wahrscheinlich noch andere Realisationen als den HILBERT-Raum zu. In dieser Arbeit wird ein weiterer Hauptsatz so formuliert, daß im „endlich dimensionalen Fall“ (siehe Axiom l η endlich aus 1) als irreduzible Lösungen nur noch HILBERT-Räume über dem Körper der reellen oder komplexen Zahlen oder der Quaternionen übrig bleiben. Der formulierte Hauptsatz ist im wesentlichen eine Art modulares Postulat, wie es von vielen an die „Propositions“ gestellt wurde [siehe 2 „loi de couverture“ (siehe Anm. 3), Theorem 8 und Axiom 12]. Man kann aber dieses Postulat als Aussage über Gesamtheiten so formulieren, daß es sich leicht und anschaulich physikalisch interpretieren läßt. Ebenso läßt es sich sofort auf den unendlich dimensionalen Fall übertragen, so daß der Verband der abgeschlossenen Teilräume des HILBERT-Raumes (der bekanntlich nicht modular ist!) alle Axiome erfüllt.
Während unseres Weges durch die theoretische Physik ist uns der Begriff der Wahrscheinlichkeit immer wieder begegnet. Wir haben mathematische Bilder kennengelernt (VI, § 5.7; XI, § 1.7; XIII, § 1.2), sie vielfältig angewandt, besonders auch in der statistischen Mechanik (XV); und wir haben eine Interpretation dieser Bilder gegeben, indem wir sagten, daß gemessene Häufigkeiten mit den mathematischen Wahrscheinlichkeiten zu vergleichen seien (siehe insbesondere XIII, § 1.2). Dieser sogenannte physikalische Wahrscheinlichkeitsbegriff lag allen unseren Überlegungen zugrunde. Es hat sich gezeigt, daß er für alle physikalischen Theorien auf das in XIII, § 1.2 beschriebene mathematische Bild der statistischen Auswahlverfahren mit ihrer Interpretation zurückgeführt werden kann. In XIII, § 1 bis 3 haben wir die zunächst in XI, § 1.7 heuristisch für die Quantenmechanik eingeführte Beschreibung der Wahrscheinlichkeiten auf die in XIII, § 1.2 dargestellten Grundlagen explizit zurückgeführt. Auch die in VI, § 5.7 eingeführte Beschreibung läßt sich auf XIII, § 1.2 zurückführen, auch wenn wir dies in diesem Buch nicht ausführlich dargestellt haben. Für unsere Darstellung der Theorie makroskopischer Systeme in XV haben wir gleich die Grundlagen aus XIII, §§ 1.2 und 1.3 benutzt.