Wir untersuchen Phasenübergänge und das kritische Verhalten topologisch geordneter Phasen unter Einfluss von lokalen Störungen anhand verschiedener String-Net-Modelle, die auf dem zweidimensionalen Bienenwabengitter definiert sind. Mittels verschiedener Hochordnungsreihenentwicklungen und exakter Diagonalisierung werden Phasenübergänge zwischen verschiedenen topologisch geordneten und topologisch trivialen Phasen untersucht. Die hier betrachteten topologisch geordneten Phasen werden jeweils durch achirale Semion-, Fibonacci- und Ising-Feldtheorien beschrieben. Zur Betrachtung der gestörten String-Net-Modelle, entwickeln wir eine Quasiteilchenbeschreibung der jeweiligen elementaren anyonischen Anregungen. Diese effektiven Modelle wechselwirkender Quasiteilchen ermöglichen eine Analyse des Niederenergiespektrums und damit auch eine Bestimmung der kritischen Eigenschaften von auftretenden Phasenübergängen. Unsere Untersuchung liefert erste Anzeichen für kontinuierliche Phasenübergänge zwischen topologisch geordneten Phasen, deren elementare Anregungen fraktionale, nicht abelsche Statistik aufweisen, und topologisch trivialen Phasen.
Wir untersuchen Phasenübergänge und das kritische Verhalten topologisch geordneter Phasen unter Einfluss von lokalen Störungen anhand verschiedener String-Net-Modelle, die auf dem zweidimensionalen Bienenwabengitter definiert sind. Mittels verschiedener Hochordnungsreihenentwicklungen und exakter Diagonalisierung werden Phasenübergänge zwischen verschiedenen topologisch geordneten und topologisch trivialen Phasen untersucht. Die hier betrachteten topologisch geordneten Phasen werden jeweils durch achirale Semion-, Fibonacci- und Ising-Feldtheorien beschrieben. Zur Betrachtung der gestörten String-Net-Modelle, entwickeln wir eine Quasiteilchenbeschreibung der jeweiligen elementaren anyonischen Anregungen. Diese effektiven Modelle wechselwirkender Quasiteilchen ermöglichen eine Analyse des Niederenergiespektrums und damit auch eine Bestimmung der kritischen Eigenschaften von auftretenden Phasenübergängen. Unsere Untersuchung liefert erste Anzeichen für kontinuierliche Phasenübergänge zwischen topologisch geordneten Phasen, deren elementare Anregungen fraktionale, nicht abelsche Statistik aufweisen, und topologisch trivialen Phasen.
Diese Arbeit behandelt die Frage nach der Struktur von Quanten-Phasen kondensierter Materie, im Speziellen die Eigenschaften am absoluten Nullpunkt, im Rahmen von Tensor-netzwerken. Diese Arbeit behandelt die Frage nach der Struktur von Quanten-Phasen kondensierter Materie, im Speziellen die Eigenschaften am absoluten Nullpunkt, im Rahmen von Tensor-netzwerken. Es wird gezeigt, dass diese Bedingungen die jeweiligen Konzepte emergierender topologischer Ordnung in Vielteilchen Tensornetzwerk-Zuständen wiedergeben: MPO (Matrixproduktoperator)-Injektivität bestimmt den korrekten lokalen Teilraum, welcher mit Hilfe der pulling-through Bedingung auf große Gebiete ausgedehnt werden kann. Diese Gebiete bestimmen wiederum den globalen Teilraum am Rand des jweiligen topologisch geordneten Tensornetzwerk-Zustands. Bei intrinsischer topologischer Ordnung, wird der korrekte lokale Teilraum durch den jeweiligen MPO bestimmt, während der MPO im symmetriegeschützten Fall die globale Symmetrie des Systems in den virtuellen Freiheitsgraden des Tensornetzwerks implementiert. Es wird gezeigt, dass bekannte Fixpunkt-Modelle aus der Literatur, wie Kitaev quantum double- und Levin-Wen string-net-Modelle, Spezialfälle des eingeführten Frameworks sind. Der neue Rahmen geht über Fixpunkte hinaus und ist geeignet, topologische Phasenübergänge im Grundzustandraum zu studieren. Vor dem Hintergrund topologischer Quantenfeldtheorien (TQFTs) wird das Framework für den zweidiminsionalen Fall auf höhere Dimensionen verallgemeinert. Zustandssummen von lattice combinatorial TQFTs werden als Tensornetzwerke formuliert und Bedinungen für topologische Invarianz werden mittels lokaler Tensoren implementiert. Die Bedinugnen für topologische Invarianz dieser TQFTs werden als Spezialfälle der TNO (Tensornetzwerk- Operator)-Injektivität und pulling-through Bedingung in höheren Dimensionen identifiziert. TQFTs, welche verschiedene globale Symmetrien aufweisen können (und damit auf natür- liche Art SPT und SET Phasen beinhalten), sind Beispiele von Renormierungs-Fixpunkten des allgemeinen Frameworks. Dieses beinhaltet Modelle, welche von den Fixpunkten entfernt sind und ist somit geeignet, Phasenübergänge zu studieren. Abschließend, werden Walker-Wang Modelle im Rahmen von Tensornetzwerken detailliert behandlet. Der lokale Tensor und der TNO werden durch lokale Eigenschaften der relevanten TQFT ausgedrückt. Es wird gezeigt, dass TNO-Injektivität und pulling-through Bedingungen topologischen Invarianzbedingungen der TQFT in diesem speziellen Modell sind.
In der vorliegenden Arbeit erforschen wir Netzwerke von Vielteilchen-Quantensystemen, um neue, durch die Wechselwirkung der individuellen Knoten entstehende Quanten- und topologische Phasen zu beschreiben. Alle betrachteten Netzwerke beruhen auf dem semi-klassischen Lipkin–Meshkov–Glick-Model, und die Kopplungen zwischen den Netzwerk-Knoten werden mit entweder einer oder zwei Kopplungskonstanten beschrieben. Es wurde gezeigt, dass die uniforme anisotropische y–y Kopplung vier Quantenphasen ergibt (wenn sowie positive, als auch negative Werte für Kopplungskonstanten berücksichtigt werden), die sich in den Mean-Fields und der Entartung der Grundzustände unterscheiden. Für schwache Kopplungen befindet sich das Netzwerk in der paramagnetischen Phase. Wird es jedoch von der Selbstwechselwirkung dominiert, so wird der Grundzustand exponentiell entartet. Für starke Kopplungen ist der Grundzustand zweifach entartet und weist eine Fernordnung auf. Über die Mean-Field-Approximation hinausgehend, erhielten wir analytische Ausdrücke für die Dispersionsrelationen der Energie für ein eindimensionales Netz mit periodischen Randbedingungen. Für relativ kleine Netzwerke rechneten wir die Grundzustandsenergie durch direkte Diagonalisierung des Hamiltonians aus. Das Effekt der Einführung einer zweiten Kopplungskonstante wurde auf dem Beispiel der eindimensionale Kette (eine Erweiterung des SSH-Models auf Vielteilchensysteme) betrachtet, und die grundsätzliche Frage war die Untersuchung vom Wechselspiel zwischen den topologischen und Quantenphasen. Es wurde gezeigt, dass die Sprungkopplung zwischen Knoten fünf Quantenphasen ergibt, wenn sowie positive, als auch negative Werte für Kopplungskonstanten berücksichtigt werden. Die Analyse von der Quantenfluktuationen um die Mean-Field-Lösungen zeigte, dass es für dieses Model topologisch triviale und nicht-triviale Phasen gibt, die durch den Wert der symplectischen Polarisation voneinander abweichen. Die Bulk--Grenzen-Beziehung wurde auf dem Beispiel einer endlichen Kette mit offenen Randbedingungen getestet, und es wurde bestätigt, dass die Anzahl der lokalisierten Randzustände proportional zum Wert der symplectische Polarisation ist. Weitere Analyse zeigte, dass ein zusätzliches Paar von Randzuständen in der selbstwechselwirkungdominierten Quantenphase erscheint, das keinen Zusammenhang mit der Topologie hat. Außerdem, wenn eine von den Kopplungen stark wird, werden topologische Randzustände von Bulk-Bänden abgefangen und dadurch seine Lokalisation verlieren.
Diese Doktorarbeit untersucht die Struktur von Phasen kondensierter Materie mit nichtchiraler topologischer Ordnung.Es wird gezeigt, dass bekannte Fixpunkt-Modelle solcher Phasen dieselbe Universalitätsklasse beschreiben.Neue Modelle werden aus Quantengruppen konstruiert, um die Klasse derjenigen Fixpunkte zu erweitern, deren Quasiteilchen-Anregungen eine vollständige lokale Klassifikation erlauben.Zugleich wird eine nicht-Abelsche, elektrisch-magnetische Dualität in diesen nichtchiralen topologischen Phasen entdeckt.Außerdem stellt diese Doktorarbeit neue, effiziente Beschreibungen für Quantenzustände mit nichtchiraler topologischer Ordnung vor.Dazu werden Fixpunkt-Wellenfunktionen direkt aus der algebraischen Beschreibung dieser Phasen mit Hilfe eines neuartigen graphischen Kalküls entwickelt.
Ziel dieser Forschungsarbeit ist die Untersuchung von Phasen der Quantenmaterie, die dynamischer Natur sind, d.h. Phasen, welche durch das Treiben eines Quanten-Vielteilchensystems aus dem Gleichgewicht erzeugt werden. Die untersuchten Systeme sind offene Quanten-Vielteilchensysteme, die mit den Freiheitsgraden ihrer Umgebung gekoppelt sind. Im Gegensatz zu Quantenphasenübergängen von isolierter Quantenmaterie, welche in der Regel eng mit den Eigenschaften des Grundzustands und den entsprechenden statischen Ordnungsparametern verbunden sind, wie z. B. Transporteigenschaften, Korrelationslänge oder topologische Phänomene, kann in offenen Quantensystemen, welche effektiv durch nicht-hermitsche Dynamik beschrieben werden, kein Grundzustand definiert werden, und die Charakterisierung der dynamisch induzierten Phasen ist weniger offensichtlich. In unserer Forschung untersuchen wir zwei Fälle von dynamischen Phasen in Quanten-Vielteilchensystemen. Zunächst betrachten wir ``quantum quenches'' in getrieben-dissipativen quadratischen fermionischen Systemen. Ein quantum quench bezieht sich hier auf die abrupte Änderung eines Systemparameters und die Entwicklung eines Anfangszustandes gemäß diesen neuen Bedingungen, wodurch eine Dynamik außerhalb des Gleichgewichts entsteht. Im Gegensatz zu isolierten Quantensystemen, in denen solche Protokolle gut untersucht sind, sind quantum quenches in offenen Quantensystemen kaum erforscht. In diesem Zusammenhang finden wir eine neue Art von dynamischer Phase, die eng mit einer bestimmten verallgemeinerten Form von Thermalisierung verbunden ist. Diese Form der Thermalisierung wird durch eine kombinierte Paritäts-Zeit-Symmetrie der getrieben-dissipativen fermionischen Systeme garantiert. Ähnlich wie bei integrablen isolierten Quantensystemen, die lokal zu einem verallgemeinerten Gibbs-Ensemble relaxieren nachdem sie aus dem Gleichgewicht gebracht wurden, zeigen wir, dass paritätszeitsymmetrische quadratische fermionische Systeme zu einem statistischen Ensemble relaxieren, das wir das paritätszeitsymmetrische verallgemeinerte Gibbs-Ensemble (PTGGE) nennen. Darüber hinaus stellen wir fest, dass Nullmoden des PTGGE die Oszillationsperioden der topologischen (Un-)Ordnungsparameter bestimmen, die an dynamischen Phasengrenzen mit kritischen Skalierungsexponenten divergieren. Weiters deutet die Modifikation der langwelligen effektiven Beschreibung durch ein langreichweitig gekoppeltes Modell und die dadurch veränderten kritischen Exponenten stark auf ein universelles Verhalten hin. Messungsinduzierte Phasen und Übergänge sind ein weiteres Beispiel im Bereich der dynamisch erzeugten Phasen. In diesem Fall erzeugt das Zusammenspiel von unitärer Evolution und häufigen Messungen in einem Quanten-Vielteilchensystem eine stochastische Dynamik mit einem Übergang in der Skalierung der Verschränkung des stationären Zustands. Insbesondere in einem System, das bei rein unitärer Evolution eine volumensabhängige Skalierung der Verschränkungsentropie aufweist, unterdrücken häufige Messungen die Erzeugung von Verschränkung im Durchschnitt über viele Realisationen der stochastischen Entwicklung, was zu einer flächenabhängigen Skalierung führt. Eine gängige Erklärung für dieses Phänomen ist das Einfrieren der Dynamik aufgrund häufiger projektiver Messungen, die einen Quanten-Zeno-Effekt hervorrufen. Wir zeigen, dass die Unterdrückung der Verschränkungserzeugung nicht nur bei projektiven Messungen auftritt, sondern dass vielmehr ein verallgemeinerter Zeno-Effekt aufgrund verallgemeinerter Messungen ausreicht, um die kohärente Dynamik zu unterdrücken, was analoge Signaturen in den stationären Observablen für projektive und verallgemeinerte Messungen verursacht. Des Weiteren gehen wir auf eine aktuelle Kontroverse ein, in der die Existenz einer dynamischen Phase mit kritischer Verschränkungsskalierung für freie Fermionen unter kontinuierlicher Messung lokaler Besetzungszahlen diskutiert wird. Durch eine präzise numerische Analyse in Verbindung mit analytischen Vorhersagen, die aus einer replizierten Keldysh-Feldtheorie für verallgemeinerte Messungen abgeleitet wurden, sind wir in der Lage, starke Hinweise für das Fehlen einer ausgedehnten kritischen Phase vorzulegen und das theoretische Verständnis weiterzuentwickeln, indem wir zeigen, dass die Kritikalität auf einen gut definierten kritischen Bereich endlicher Längenskalen beschränkt ist.
In den letzten Jahren zeigte die Entwicklung von experimentellen Methoden, um Vielteilchenquantensysteme zu kontrollieren, beträchtliche Fortschritte. Eines der interessantesten Vielteilchenquantenphänomene sind Quantenphasenübergänge. Die typische Beschreibung von Nichtgleichgewichtsquantenphasenübergängen basiert auf der Tatsache, dass die Parameter des Systems durch die externe Kontrolle renormalisiert werden, sodass sich die kritischen Punkte vom Gleichgewichtspunkt verschieben. Aus dieser Sicht ähnelt die nicht-stationäre Dynamik des Systems dem Verhalten im Gleichgewicht. Die theoretische Betrachtung des kritischen Verhaltens unter Nichtgleichgewichtsbedingungen steht im Fokus dieser Arbeit. Überraschenderweise werden in einem monochromatisch getriebenen System neue Zustände der Materie und effektive Wechselwirkungen erzeugt, die im Gleichtgewicht abwesend sind. Im Allgemeinen wird das kritische Verhalten von (d+1)-dimensionalen Quantensystemen untersucht, die im Gleichtgewicht einen Quantenphasenübergang zweiter Ordnung zeigen. In Rahmen dieser Arbeit wird d für die räumliche Dimension und 1 für die zeitliche Dimension stehen. Als erstes beschäftigen wir uns mit zwei nulldimensionalen Modellen: dem Dicke-Modell und dem Lipkin-Meshkov-Glick-Modell. Im Gleichgewicht zeigt eine Mean-Field-Betrachtung der Energielandschaften, dass die Systeme am kritischen Punkt einen Übergang vom "mono-stabilen" zum bistabilen Bereich aufweisen. Interessanterweise zeigt unsere Untersuchung eine komplexe, multi-stabile Struktur von Quasienergielandschaften für den getriebenen Fall. Zum Beispiel während das Dicke-Modell im ungetriebenen Fall nur einen Phasenübergang zweiter Ordnung zeigt, zeigt das getriebene Modell zusätzlich einen neuen Nichtgleichgewichtsquantenphasenübergang erster Ordnung. Für den Fall d=1 untersuchen wir das Quanten-Ising-Modell in einem zeitperiodischen, transversalen Feld. Neben dem Ising-typischen Phasenübergang an einem verschobenen kritischen Punkt, induziert das äußere Feld unendlich viele anisotropische Übergänge zwischen unterschiedlichen ferromagnetisch geordneten Phasen. Schlussendlich, für d=2, betrachten wir das Wen-Plaquetten-Model. Wir werden sehen, dass im getriebenen Fall - neben der trivialen Spin-polarisierten Phase und der gewöhnlichen topologisch geordneten Phase - das System neuartige topologische Phasen zeigt. Um diese topologischen Quantenphasenübergänge zu beschreiben, führen wir verallgemeinerte "String-ähnliche", über eine Periode gemittelte Ordnungsparameter ein.
Symmetrien --- eine zentrales Konzept in der modernen Physik --- spielen eine wichtige Rolle in der Formulierung vieler wichtiger physikalischen Theorien, wie z.B. der speziellen und allgemeinen Relativätstheorie, der Quantenmechanik und diverser Feldtheorien bis hin zum Standardmodell der Teilchenphysik. Topologische Invarianz im Speziellen ist eine sehr starke Symmetrie, die dem tiefgreifenden Verständnis von kooperativen Phänomenen in kondensierter Materie (wie z.B. dem Quanten-Hall-Effekt), welche sich als erstaunlich robust gegenüber Störungen und Verunreinigungen erweisen, zugrunde liegt. In dieser Doktorarbeit wird ein theoretisches Grundgerüst entwickelt, das in der Lage ist, sowohl globale als auch topologische Symmetrien von sogenannten Tensornetzwerkzuständen zu beschreiben, und das Zugang zu universalen physikalischen Kenngrößen für die Klassifizierung von verschiedenen Phasen kondensierter Materie gewährt. Zu Beginn wird ein allgemeiner Formalismus für die Beschreibung physikalischer und virtueller Symmetrien von Projected Entangled Pair State (PEPS)-Tensornetzwerken in zwei räumlichen Dimensionen entwickelt, welche aus der Kontraktion vieler Kopien ein und desselben elementaren, lokalen Tensors konstruiert werden. Dieser elementare Tensor verbindet physikalische, ortslokale Symmetrien mit virtuellen Matrixproduktoperator (MPO)-Symmetrien, welche auf die virtuellen Verschränkungsfreiheitsgrade wirken und die Grundbausteine des neuen Formalismus darstellen. Insbesondere werden jene Systeme untersucht welche nur topologisch triviale Anregungen beinhalten um daraus die Klassifikation von symmetrie-geschützten topologischen Phasen herzuleiten. Ein Eichverfahren wird dann genau auf diese Zustände angewandt wobei gleichsam die globale Symmetrie auf eine Menge von lokalen Eichbedingungen transformiert wird. Weiters wird die daraus resultierende MPO-Symmetrietransformation dargelegt und die hieraus entstehende topologische Phase der Eichsysteme hergeleitet. Im nächsten Schritt wird die Relevanz dieser MPO-Symmetrien für eindimensionale Oberflächenphysik untersucht. Es stellt sich heraus, dass die MPO’s als Dualitätsabbildung zwischen gegapten Phasen, welche an kritischen Punkten zu Symmetrien werden, verstanden werden können. Solch ein Phasenübergang ist durch eine resultierende konforme Feldtheorie (CFT) beschrieben. Unter Verwendung der MPO Symmetrien werden topologische Sektoren, welche nichtlokale scaling Felder beinhalten können, von dieser CFT konstruiert und deren physikalische Eigenschaften studiert. Wir entwickeln dann die allgemeine Theorie von MPO Synnetrien, welche wir mit den graduierten unitären Fusions-Kategorien identifizieren. Eine Methode zur Konstruktion von Tensor-Netzwerk-Darstellungen der Superauswahl-Sektoren, einschließlich der für extrinsische Symmetrie -Defekte, wird gegeben. Die universellen physikalischen Daten der emergenten Symmetrie-angereicherten topologischen Ordnung wird aus diesen Darsellungen abgeleitet. Der Effekt der Eichung der globalen Symmetrie wird berechnet und stellt sich als dual zum Prozess der Anyon-Kondensation, welcher von der Brechung der virtuellen MPO Symmetrie herrührt. Ein Tensor-Netzwerk-Ansatz wird verwendet zur Konstruktion von Hamiltonians welche neue Phasen der Materie in drei räumlichen Dimensionen realisieren. Dies stellt ein Beispiel des allgemeinen Rahmens der Tensor-Netzwerk-Darstellungen von Zustandssummen, Hamiltonians, Grundzuständen, und deren Symmetrien der topologischen Quantenfeldtheorien (TQFT). Eine große Klasse von Beispielen wird abgeleitet aus einer TQFT welche kürzlich mit Hilfe der definierenden Daten einer Symmetrie-angereicherten topologischen Ordnung konstruiert wurde. Zuletzt wird eine Verallgemeinerung der Eich-Prozedur gegeben für Symmetrien die auf Unterräumen des Gitters wirken, möglicherweise von fraktaler Dimension, welche diese auf lokale Eich-Constraints abbildet. Dies wirft neues Licht auf exotisch fracton topologische Phasen, einschließlich Haah's cubic code, welche in Termen von Symmetrien und Eichung verstanden werden können.