Das Ziel dieser Dissertation besteht darin, das Verstandnis von ungeordneten Spin-Systemen in einer Dimension zu verbessern.
Magnetische Systeme mit eingefrorener Unordnung werden seit langem intensiv untersucht.
Beruhmte Beispiele hierfur sind Spinglaser oder der Ferromagnetismus in verdunnten magnetischen Halbleitern (DMS), die in zukunftigen
Spin-Bauelementen eine gewichtige Rolle spielen konnten.
Um die Rolle von Unordnung in hoch korrelierten Systemen verstehen zu konnen, sind einfache Modelle sehr hilfreich, welche die
wesentlichen physikalischen Eigenschaften widerspiegeln.
Trotz der exponentiell anwachsenden Rechenleistung von Computern geben analytisch losbare Modelle immer noch den tiefsten
Einblick in die grundlegenden Eigenschaften physikalischer Systeme.
Die Sparte an losbaren Modellen ist naturlich beschrankt. Einige der bekannteren Spin-Modelle sind das
Kirkpatrick Modell der Spinglaser und das eindimensionale Ising Modell mit zufalligem, transversem Magnetfeld.
Letzteres ist vielleicht das einfachste Modell mit eingefrorener Unordnung, welches einen Quantenphasenubergang aufweist.
Das hier betrachtete Modell besteht aus einer Spinkette aus lokalisierten Ising Spins S_i mit zufalligen
lokalen Potentialen V_i. Die Korrelation zwischen diesen Spins wird durch bewegliche Locher vermittelt, die
an der Kette entlang hupfen. Die anti-ferromagnetische Kopplung J_i und die Hupfmatrixelemente werden ebenfalls als zufallig
angenommen.
Der zugehorige Kondo-Gitter-artige Hamilton Operator wird mittels der Ortsraum Renormierungsgruppe analysiert.
Wegen der Unordnung ist man mehr an den Verteilungen als an den Kopplungen selbst interessiert.
In Erwartung eines Quanten-kritischen Punktes erhalt man die so genannten kritischen Verteilungen mit
Hilfe des Renormierungsschemas.
Man gewinnt die dazugehorigen Flussgleichungen, die durch weitere Naherungen analytisch gelost werden konnen.
Mit Hilfe der kritischen Verteilungen berechnet man die Spin-Spin-Korrelationsfunktion und die Korrelationslange.
The aim of this thesis is to improve the understanding of disordered spin systems in
one dimension.
Magnetic systems with quenched disorder have been under intensive studies for a long time.
Famous examples are spin glasses or the ferromagnetism in diluted magnetic semiconductors (DMS) which may play
an important role in future spintronic devices.
To understand the role of disorder in highly correlated systems one
greatly benefits from simple models which capture the essential physical properties.
Despite exponentially growing computer power analytically solvable models give the deepest insight into basic
properties of physical systems.
The range of solvable models is limited of course. Some well known spin models are
the Kirkpatrick model for spin glasses and the Ising model with random transverse field in one
spatial dimension. The latter one
is perhaps the simplest model featuring quenched disorder which exhibits a quantum phase transition.
The model under consideration here consists of a spin chain of localized Ising spins S_i
with random on site energies V_i. The correlation between these spins is mediated by
itinerant holes with spin s_i hopping along the chain. The anti-ferromagnetic interaction
strength J_i and the hopping amplitude t_i are chosen to be random also.
The corresponding Kondo-lattice like Hamiltonian is analyzed using the formalism of real space
renormalization group.
Because of the randomness one is more interested in the distributions of couplings rather
than the couplings themselves.
Expecting a quantum critical point, the so called critical distributions are
obtained via the renormalization scheme.
One obtains the corresponding flow equations which can be solved analytically using some further approximations.
With the help of the critical distributions one calculates the spin correlation function and correlation
length.
Das Ziel dieser Dissertation besteht darin, das Verstandnis von ungeordneten Spin-Systemen in einer Dimension zu verbessern.
Magnetische Systeme mit eingefrorener Unordnung werden seit langem intensiv untersucht.
Beruhmte Beispiele hierfur sind Spinglaser oder der Ferromagnetismus in verdunnten magnetischen Halbleitern (DMS), die in zukunftigen
Spin-Bauelementen eine gewichtige Rolle spielen konnten.
Um die Rolle von Unordnung in hoch korrelierten Systemen verstehen zu konnen, sind einfache Modelle sehr hilfreich, welche die
wesentlichen physikalischen Eigenschaften widerspiegeln.
Trotz der exponentiell anwachsenden Rechenleistung von Computern geben analytisch losbare Modelle immer noch den tiefsten
Einblick in die grundlegenden Eigenschaften physikalischer Systeme.
Die Sparte an losbaren Modellen ist naturlich beschrankt. Einige der bekannteren Spin-Modelle sind das
Kirkpatrick Modell der Spinglaser und das eindimensionale Ising Modell mit zufalligem, transversem Magnetfeld.
Letzteres ist vielleicht das einfachste Modell mit eingefrorener Unordnung, welches einen Quantenphasenubergang aufweist.
Das hier betrachtete Modell besteht aus einer Spinkette aus lokalisierten Ising Spins S_i mit zufalligen
lokalen Potentialen V_i. Die Korrelation zwischen diesen Spins wird durch bewegliche Locher vermittelt, die
an der Kette entlang hupfen. Die anti-ferromagnetische Kopplung J_i und die Hupfmatrixelemente werden ebenfalls als zufallig
angenommen.
Der zugehorige Kondo-Gitter-artige Hamilton Operator wird mittels der Ortsraum Renormierungsgruppe analysiert.
Wegen der Unordnung ist man mehr an den Verteilungen als an den Kopplungen selbst interessiert.
In Erwartung eines Quanten-kritischen Punktes erhalt man die so genannten kritischen Verteilungen mit
Hilfe des Renormierungsschemas.
Man gewinnt die dazugehorigen Flussgleichungen, die durch weitere Naherungen analytisch gelost werden konnen.
Mit Hilfe der kritischen Verteilungen berechnet man die Spin-Spin-Korrelationsfunktion und die Korrelationslange.
The aim of this thesis is to improve the understanding of disordered spin systems in
one dimension.
Magnetic systems with quenched disorder have been under intensive studies for a long time.
Famous examples are spin glasses or the ferromagnetism in diluted magnetic semiconductors (DMS) which may play
an important role in future spintronic devices.
To understand the role of disorder in highly correlated systems one
greatly benefits from simple models which capture the essential physical properties.
Despite exponentially growing computer power analytically solvable models give the deepest insight into basic
properties of physical systems.
The range of solvable models is limited of course. Some well known spin models are
the Kirkpatrick model for spin glasses and the Ising model with random transverse field in one
spatial dimension. The latter one
is perhaps the simplest model featuring quenched disorder which exhibits a quantum phase transition.
The model under consideration here consists of a spin chain of localized Ising spins S_i
with random on site energies V_i. The correlation between these spins is mediated by
itinerant holes with spin s_i hopping along the chain. The anti-ferromagnetic interaction
strength J_i and the hopping amplitude t_i are chosen to be random also.
The corresponding Kondo-lattice like Hamiltonian is analyzed using the formalism of real space
renormalization group.
Because of the randomness one is more interested in the distributions of couplings rather
than the couplings themselves.
Expecting a quantum critical point, the so called critical distributions are
obtained via the renormalization scheme.
One obtains the corresponding flow equations which can be solved analytically using some further approximations.
With the help of the critical distributions one calculates the spin correlation function and correlation
length.
In den letzten Jahren haben Quantenpunkte viel Aufmerksamkeit erhalten, da ihre magnetischen Eigenschaften für Spintronik Geräte benutzt oder ein in einem Quantenpunkt eingesperrter Spin als Qubit für einen Quantencomputer verwendet werden könnte. In dieser Arbeit untersuchen wir die Gleichgewichts- und Nichtgleichgewichtseigenschaften von verschiedenen Quantenstörstellensystemen (QIS). Als erstes wird das Kondo-Modell betrachtet, in dem das lokale magnetische Moment einer Störstelle über eine Heisenberg-Wechselwirkung an ein fermionisches Bad gekoppelt ist. Wir untersuchen, wie die Kondokorrelationen aufgebaut werden und wie sie sich durch das Leitungsband ausbreiten. Die Nichtgleichgewichtsergebnisse zeigen, dass die meisten Korrelationen sich innerhalb eines Lichtkegels ausbreiten, der bestimmt ist durch die Fermi-Geschwindigkeit. Interessanterweise sehen wir auch Korrelationen außerhalb des Lichtkegels. Mittels einer Störungstheorie in zweiter Ordnung in der Kopplung, können wir zeigen, dass diese Korrelationen mit den intrinsischen Korrelationen des Fermi-Sees zusammenhängen. Weiterhin stellen wir ein Experiment vor, in dem Metall-Molekül-Komplexe durch Reaktion von einem PTCDA Molekül, das auf einer Au(111) Oberfläche adsorbiert, mit einem einzelnen Au Atom gebildet werden. Dies führt zur Entstehung von Radikalen. Der beobachtete Kondoeffekt in den Rastertunnelmikroskopie (STM) Spektren ist ein eindeutiger Beweis für die Bildung eines lokalen Momentes. Die physikalisch korrekte Beschreibung der Bildung des lokalen Momentes und des Kondoeffekt ist jedoch mit der Dichtefunktionaltheorie (DFT) nicht möglich. Daher verwenden wir einen kombinierten DFT + Numerische Renormierungsgruppen (NRG) Ansatz, in dem wir die Ergebnisse der DFT als “ab initio” Eingangs-Parameter für unsere NRG verwenden. Wir zeigen, dass die Ergebnisse des Experiments und der NRG ohne Anpassungen der Modellparameter sehr gut übereinstimmen. Wenn zwei Au Atome auf benachbarten PTCDA Molekülen adsorbieren, weist das Spektrum in manchen Fällen eine Lücke um die Fermi-Energie, anstatt einer Kondoresonanz auf. Indem wir das System auf ein Zwei-Störstellen-Anderson-Modell (TIAM) abbilden, können wir zeigen, dass diese Lücke durch die starke nichtmagnetische chemische Wechselwirkung zwischen den beiden Komplexen entsteht. Mittels unserer NRG Ergebnisse liefern wir eine ausführliche Analyse des auftretenden Quantenphasenübergangs (QPT). Am Schluss betrachten wir die Gleichgewichts- und Nichtgleichgewichtseigenschaften des Zwei-Störstellen-Kondo-Modells (TIKM), welches einen QPT aufweist, wenn man die Energieabhängigkeit der Kopplungen an das Leitungsband vernachlässigt. Wir zeigen, dass es möglich ist, diesen QPT in dem voll energieabhängigen Modell mittels passenden Potentialstreutermen wiederherzustellen. Danach wird die Zeitdynamik nach einem Quench in der direkten Spin-Spin-Wechselwirkung zwischen den beiden Störstellenspins untersucht. Es wird gezeigt, dass eine ausreichend große antiferromagnetische Wechselwirkung die Thermalisierung der Spin-Spin-Korrelationsfunktion verhindert, da in diesem Fall die Störstellen vom Leitungsband entkoppeln.
Numerische Simulationen sind ein unverzichtbares Werkzeug der modernen Physik geworden, insbesondere im Kontext stark korrelierter Quantensysteme, die häufig nicht analytisch behandelt werden können. Viele Physiker betrachten die numerische Physik mittlerweile als eigene Fachrichtung neben der experimentellen und der theoretischen Physik. In den Veröffentlichungen, aus denen diese kumulative Dissertation besteht, werden stark korrelierte Quantensysteme studiert. Dafür werden eine Vielzahl moderner numerischer Methoden verwendet, unter anderem exakte Diagonalisierung, Matrix-Produktzustände, Quanten-Monte-Carlo und neuronale Quantenzustände. In dieser Dissertation werden drei Klassen von stark korrelierten Quantensystemen betrachtet: 1) Vom Hubbard-Modell abgeleitete frustrierte Quantenmagnete, 2) Toric Codes und 3) Z2 Gittereichtheorien. Seit der Entdeckung der Hochtemperatursupraleitung in Cupraten in den 1980er-Jahren sind die Niedertemperaturphasen von Cupraten von zentralem Interesse für experimentelle und theoretische Studien. Modelle wie das Hubbard-Modell wurden eingeführt, um die effektive zweidimensionale Physik in CuO2-Schichten zu modellieren. Das Verschwinden der antiferromagnetischen Ordnung als Konsequenz von Störstellen und deren Zusammenhang mit supraleitenden Phasen ist bedeutsam, um den Bindungsmechanismus von Elektronen in supraleitenden Phasen zu entschlüsseln. Dieser Bindungsmechanismus ist bis heute Gegenstand aktueller Forschung. Mikroskopische Studien des t-J-Modells, eines Grenzfalls des Hubbard-Modells bei starken Interaktionen, legen Szenarien nahe, in denen Elektronen in zwei Partons fraktionalisieren: Ein Spinon (trägt den Spin) und ein Holon (trägt die Ladung). Mit Hilfe von Matrix-Produktzuständen wird in dieser Dissertation für einen paradigmatischen dotierten, frustrierten Quantenmagneten - das Majumdar-Ghosh-Modell - gezeigt, dass die Existenz eines gebundenen Parton-Zustands eng mit einer Feshbach-Resonanz verknüpft ist. Frustrierte Quantenmagnete werden zudem als Plattform vorgeschlagen, um Systeme weniger Teilchen zu untersuchen. Der Toric Code ist ein Grundpfeiler der modernen Physik der kondensierten Materie und ein grundlegendes Modell für die Felder Topologie und Quantum Error Correction. Der Grundzustand des Toric Codes ist eine Z2 Quantenspinflüssigkeit und ist eines der einfachsten Beispiele für eine topologische Phase. Es wurde ein C++-Softwarepaket (ParaToric) entwickelt, in dem ein Continuous-Time-Quanten-Monte-Carlo-Verfahrem implementiert wird, um den Toric Code in einem parallel angelegten Feld zu simulieren. Der Algorithmus von Wu, Deng und Prokof’ev wurde um weitere Zustandsaktualisierungen erweitert, die Simulationen in bislang unzulänglichen Parameterbereichen ermöglichen. ParaToric erlaubt bislang unerreichte Systemgrößen und bildet die Grundlage für Publikationen mit den bisher größten Systemen auf dreieckigen, quadratischen, hexagonalen und kubischen Gittern. Es werden Schnittstellen für C, C++ und Python bereitgestellt, die eine nahtlose Integration von ParaToric in Projekte Dritter ermöglichen. In dieser Dissertation werden neue geometrische Ordnungsparameter für Z2-Gittereichtheorien auf Basis von Perkolationstheorie eingeführt und getestet. Diese Ordnungsparameter können direkt aus experimentellen Messungen von Quantensimulatoren berechnet werden und sind konkurrierenden Ordnungsparametern in vielen Bereichen überlegen. Die Anwendung auf den Toric Code offenbart, dass selbst beim absoluten Nullpunkt Deconfined Phasen existieren, die nicht topologisch sind. Des Weiteren wird eine neue Netzwerkarchitektur für neuronale Quantenzustände eingeführt, die ungefähre Symmetrien in das Netzwerk kodiert. Diese Netzwerkarchitektur wird verwendet, um die Phasendiagramme nicht-stoquastischer Varianten des Toric Codes zu berechnen. Zu guter Letzt werden symmetriegeschützte topologische Phasen vorgeschlagen, die auch bei einer endlichen Temperatur existieren.
Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit den thermodynamischen Eigenschaften von Spinleitern. Spinleitern bestehen aus zwei über Sprossenverbindungen miteinander wechselwirkenden Spinketten, die als topologische Struktur in komplexen Übergangsmetallverbindungen auftreten und die relevante Tieftemperaturphysik bestimmen. Die Tatsache, dass für eindimensionale Systeme eine ganze Reihe hochentwickelter analytischer und numerischer Methoden zur Verfügung stehen, macht Spinleitern zu einem attraktiven Forschungsgebiet im Bereich stark korrelierter Elektronensysteme. In jüngerer Zeit wurde entdeckt, dass zahlreiche experimentell realisierte Substanzen nur verlässlich durch die Einbeziehung eines zyklischen Vier-Spin-Wechselwirkungsterms (Ringaustausch) theoretisch modelliert werden können. In der vorliegenden Arbeit wurden thermodynamische Größen für Spinleitern mit beliebigem Ringaustausch numerisch mit Hilfe der Transfermatrix-Dichtematrix-Renormierungsgruppe (TMRG) berechnet. In der TMRG-Methode wird ein eindimensionales Quantensystem mit kurzreichweitiger Wechselwirkung auf ein zweidimensionales klassisches Gittermodell abgebildet. Die freie Energie des zugrundeliegenden Systems wird durch den höchsten Eigenwert einer geeigneten Transfermatrix codiert, welche durch eine iterative Prozedur vergrößert wird. Unwichtige Freiheitsgrade werden dabei durch Dichtematrixprojektion verworfen. Eine Weiterentwicklung der TMRG-Methode wird in dieser Arbeit vorgestellt, die die Idee der so genannten Corner-Transfermatrix-Methode für die zweidimensionale Trotterzerlegung anwendet. In dieser Methode fehlt die zeitaufwändige Berechnung von Eigenwerten großer Systeme. Im Prinzip ist daher ein hoher Geschwindigkeitsvorteil gegenüber der TMRG in der Berechnung von thermischen Eigenschaften von eindimensionalen Quantensystemen zu erwarten. Testberechnungen am klassischen Ising-Modell und am Heisenbergmodell zeigen jedoch zwei bis lang ungelöste inhärente Schwierigkeiten, die mit der Struktur der zweidimensionalen Trotterzerlegung zusammenhängen. Im Rahmen der vorliegenden Arbeit ist ein TMRG-Programm entstanden, das sowohl die Methoden der objektorientierten Programmierung als auch hohe numerische Effizienz in den relevanten Routinen umsetzt. Verläßliche numerische Daten konnten so bis in einen Temperaturbereich von 0,02 in Einheiten der Kopplungskonstanten mit hoher Genauigkeit erzielt werden. Mit dieser Methode wurden spezifische Wärmekapazität, verallgemeinerte Suszeptibilitäten und thermische Erwartungwerte berechnet. Wir fanden damit eine Reihe von Hinweisen, welche das reichhaltige Phasenverhalten des vorhergesagten Phasendiagramms für verschwindende Temperatur bestätigen. In der Nähe eines Quantenphasenübergangs erster Ordnung sahen wir bei endlichen Temperaturen die Karikatur eines Phasenübergangs, das heißt ein scharfes Tieftemperaturmaximum in der spezifischen Wärme, dessen Position über ein Potenzgesetz vom Abstand zum Punkt des Phasenübergangs abhängt. Darüberhinaus ermittelten wir in den Phasen mit gebrochener diskreter Symmetrie eine charakteristische Struktur mit zwei Maxima in der spezifischen Wärme. Die gebrochenen Symmetrien konnten wir als Divergenzen in entsprechenden verallgemeinerten Suszeptibilitäten klar erkennen.
Der erste Teil dieser Arbeit ist dem Kondogittermodell gewidmet. Für ein Elektron, das in einen ferromagnetisch gesättigten Hintergrund aus lokalen Spinmomenten eingebracht wird (ferromagnetisches Polaron), wird die stationäre Schrödingergleichung gelöst und das vollständige Eigenwertspektrum im endlichen und unendlichen Gitter abgeleitet. Danach wird die zeitabhängige Schrödingergleichung für beliebige Anfangsbedingungen gelöst und eine detaillierte Analyse des Down-Elektron-Zerfalls vorgenommen. Für endliche Bandfüllungen wird im Anschluss das magnetische Grundzustandsphasendiagramm mit Hilfe einer Molekularfeldtheorie bestimmt. Der Einfluss von Verdünnung/Unordnung im lokalen Momentensystem auf die auftretenden Phasen wird analysiert. Im zweiten Teil der Arbeit wird das Hubbardmodell untersucht. Für dieses wird mit Hilfe einer modifizierten Störungstheorie (englisch: modified perturbation theory, MPT) eine wellenzahlabhängige (nicht-lokale) Selbstenergie abgeleitet, die sowohl für schwache als auch für starke Coulombwechselwirkungen gute Ergebnisse liefert. Mit dieser werden dann Spektraldichten und Quasiteilchenzustandsdichten berechnet, wobei insbesondere die nicht-lokalen Korrelationseffekte im Fokus stehen. Daneben werden Ergebnisse für die optische Leitfähigkeit, die in einer renormierten diagrammatischen Ein-Schleifen-Näherung berechnet wurden, besprochen. Es wird dann gezeigt, dass nur unter Beachtung der nicht-lokalen Korrelationseffekte ein ferromagnetisches Phasendiagramm konstruiert werden kann, das in Einklang mit dem Mermin-Wagner-Theorem steht.
Das universelle Verhalten von Störstellen mit stark korrelierten Elektronen in einem Metall wird bewiesen. In solchen Systemen wechselwirken die lokalen, stark korrelierten Elektronen der Störstelle mit den niederenergetischen Teilchen-Loch-Anregungen des Metalls und bilden einen komplizierten Vielteilchen-Grundzustand. Alle Versuche, diesen Grundzustand, die elementaren Anregungen und die Energieskalen des universellen Verhaltens mit den sonst üblichen störungstheoretischen Methoden zu berechnen, sind gescheitert. In einigen Spezialfällen gelingt mit Hilfe des Bethe-Ansatzes oder der numerischen Renormierungsgruppe eine Bestimmung der Thermodynamik eines Modellsystems, das aber nicht direkt mit dem ursprünglichen System in Verbindung gebracht werden kann. Daher stellt sich die Frage, wie man das universelle Verhalten von solchen Systemen systematisch beschreiben kann. Die zentralen Aussagen dieser Dissertation lauten: 1. Die Energieskalen eines Systems mit Störstellen lassen sich mit Hilfe einer Diagrammtechnik exakt berechnen. 2. Der Störstellen-Anteil jeder Observablen skaliert im universellen Limes mit der gleichen Energie. 3. Allein die Diagrammstruktur liefert ein Kriterium dafür, wann eine Näherung das universelle Verhalten bewahrt. Die hier benutzte Diagrammtechnik für Störstellen in Metallen wird neu und vereinfacht hergeleitet. Die Zusammenfassung der Diagramme in Klassen von Skelettdiagrammen führt auf ein Variationsprinzip für ein erzeugendes Funktional. Der Störstellen-Anteil der jeweiligen Observablen ergibt sich am Sattelpunkt des Funktionals bezüglich der Variation nach den ionischen Propagatoren. Diese Methode stammt von Luttinger und Ward. In dieser Dissertation wird die Information benutzt, wie die Skelettdiagramme strukturiert sind. Der entscheidende Punkt ist, dass man die Parameter-Abhängigkeit der Propagatoren im erzeugenden Funktional am Sattelpunkt ignorieren kann: Sie wird nur durch die Struktur der Skelettdiagramme bestimmt. Die Skelettdiagramme können so allein aufgrund ihrer Struktur nach der inversen Bandbreite klassifiziert werden. Nur eine als relevant bezeichnete Mindestmenge der Skelettdiagramme bestimmt die exakten Energieskalen des Systems, ohne das Modell vorher gelöst zu haben. Dies ergibt die erste Aussage. Eine Observable ergibt sich stets als Antwort des Systems auf ein entsprechendes äusseres Feld. Es wurde gezeigt, dass es nicht von der Observablen abhängt, welche Skelettdiagramme relevant sind. So kann man zeigen, dass der Störstellen-Anteil jeder Observablen mit der gleichen Energieskala skaliert. Dies ergibt die zweite Aussage. Die relevanten Skelettdiagramme beschreiben damit das universelle Verhalten der Störstelle und garantieren eine systematische Näherung für die Thermodynamik und die Dynamik der Störstelle. Berücksichtigt man noch weitere Skelettdiagramme, so verhalten sich die damit berechneten Störstellen-Anteile von Observablen genau dann universell, wenn ganze Familien von Skelettdiagrammen mitgenommen werden. Diese Skelettdiagramme ändern nichts an der Energieskala. Dies ergibt die dritte Aussage. Für das Anderson-Modell Störstelle in einem Metall ergeben die relevanten Skelettdiagramme gerade die sogenannte non-crossing-approximation (NCA). Daher beschreibt die NCA das universelle Verhalten des Anderson-Modells qualitativ richtig. Skelettdiagramme höherer Ordnung ändern das Bild nicht qualitativ. Bisher war es unerklärlich, warum die NCA mit den Resultaten der numerischen Renormierungsgruppe so gut übereinstimmt. Die Erklärung findet sich im exakten Skalierungsverhalten der NCA, das hier gezeigt wurde. Um das Verfahren zu testen, haben wir für das Anderson-Modell im magnetischen Limes das crossover untersucht. Für hohe Temperaturen oder Magnetfelder verhält sich das magnetische Moment der Störstelle asymptotisch frei, während es für tiefe Temperaturen durch niederenergetische Teilchen-Loch-Anregungen des Fermi-Sees abgeschirmt wird. Dieses crossover vom perturbativen Hochtemperatur- zum nichtperturbativen Niedertemperaturbereich wird durch die Wilson-Zahl charakterisiert. Hier wird die Wilson-Zahl zum ersten Mal mit einer Diagrammtechnik (NCA) berechnet. Das Ergebnis stimmt im Rahmen der Näherung mit dem als exakt postulierten Resultat überein. Um das universelle Verhalten anderer Observablen zu demonstrieren, wurde sodann für das Anderson-Modell zum ersten Mal explizit gezeigt, dass das Einteilchen-Anregungsspektrum - und damit die Abrikosov-Suhl-Resonanz - richtig skaliert, wenn man es mit Hilfe der NCA berechnet. Die vorgestellte Methode ermöglicht es auch, für ein System mit Störstellen die Qualität von Näherungen zu beurteilen, ohne sie zuvor explizit lösen zu müssen.
In der vorliegenden Arbeit werden Grundzustandseigenschaften zweidimensionaler antiferromagnetischer Quantenspinsysteme untersucht. Wir betrachten insbesondere das Spin-1/2 Shastry-Sutherland Modell, das aus einem Heisenbergmodell mit zusätzlichen Zweispinwechselwirkungen besteht, und ein von J. Zittartz vorgeschlagenes Spin-1/2 Plakettenmodell, ebenfalls mit Zweispinwechselwirkungen und mit zusätzlichen Vierspinwechselwirkungen auf Plaketten. Diese Modelle sind von besonderem Interesse, da sie sich durch einen exakt bekannten Grundzustand in der dimerisierten Phase auszeichnen. Das Shastry--Sutherland Modell ist in der Substanz SrCu2(BO3)2 realisiert. Die Phasengrenze der dimerisierten Phase konnte trotz Anwendung verschiedener theoretischer Ans"atze bis heute nicht exakt bestimmt werden. Wir können mit Hilfe eines von P. W. Anderson vorgeschlagenen Variationsansatzes in Verbindung mit exakter Diagonalisierung durch das Lanczos Verfahren und zusätzlicher Anwendung von Parallelisierungstechniken (OpenMP) Grundzustände offener Gitter bis 31 Gitterplätze berechnen, die eine strikte untere Schranke des Grundzustands des unendlich großen Systems bilden. Desweiteren werden Gitter mit bis zu 36 Gitterplätzen mit periodischen Randbedingungen betrachtet, deren Grundzustände den des unendlich großen Systems direkt annähern. Dabei werden Untersektoren des Hilbertraums mit bis zu 500 Millionen Zuständen betrachtet, was einer Erweiterung der uns bekannten bisher betrachteten Räume um mehr als eine Größenordnung darstellt. Die Gundzustandsenergien hängen stark von der Geometrie der jeweiligen betrachteten Gitter ab. Es wird versucht, die Grundzustandsenergien von Systemen mit ähnlicher Geometrie mit Hilfe linearer Fits auf ein unendlich großes System zu extrapolieren. Leider scheinen die untersuchten Gitter noch zu klein zu sein, um eine eindeutige Aussage über die genaue kritische inverse Frustration machen zu k"onnen, bei der die dimerisierte Phase der beiden Modelle jeweils verschwindet.