Es wird zunächst gezeigt, daß es für die Bose-Statistik gleichgültig ist, ob man als maximale Besetzungszahl der einzelnen Energieniveaus die Teilchenzahl N des ganzen Systems, wie kürzlich Giovanni Gentile jr. vorgeschlagen hat, oder unendlich, wie man es bisher getan hat, annimmt. Es folgt dies nicht nur aus der Wellenmechanik, sondern auch aus der mit Hilfe der Darwin - Fowlerschen Anwendung der Sattelpunktsmethode gewonnenen Bose - Verteilungsfunktion, die auf Glieder der Ordnung 1/N und kleiner erweitert wird. Aus der Abschätzung der Erweiterungsglieder schließen wir, daß bei tiefsten Temperaturen sämtliche Zusatzglieder berücksichtigt werden müßten, daß deshalb dort auch die erweiterte Bose-Formel ihre Brauchbarkeit verliert. Mittlere Besetzungszahlen und mittlere Energie des Bose-Gases am absoluten Nullpunkt werden ohne die Fowlersche Metbode hergeleitet
Es wird zunächst gezeigt, daß es für die Bose-Statistik gleichgültig ist, ob man als maximale Besetzungszahl der einzelnen Energieniveaus die Teilchenzahl N des ganzen Systems, wie kürzlich Giovanni Gentile jr. vorgeschlagen hat, oder unendlich, wie man es bisher getan hat, annimmt. Es folgt dies nicht nur aus der Wellenmechanik, sondern auch aus der mit Hilfe der Darwin - Fowlerschen Anwendung der Sattelpunktsmethode gewonnenen Bose - Verteilungsfunktion, die auf Glieder der Ordnung 1/N und kleiner erweitert wird. Aus der Abschätzung der Erweiterungsglieder schließen wir, daß bei tiefsten Temperaturen sämtliche Zusatzglieder berücksichtigt werden müßten, daß deshalb dort auch die erweiterte Bose-Formel ihre Brauchbarkeit verliert. Mittlere Besetzungszahlen und mittlere Energie des Bose-Gases am absoluten Nullpunkt werden ohne die Fowlersche Metbode hergeleitet
ZusammenfassungObwohl das Maxwell-Boltzmannsche Verteilungsgesetz im vorigen Kapitel auf eine Weise abgeleitet wurde, die mit der Quantenmechanik verträglich ist, erhält man dieselben Ergebnisse auch bei einer rein klassischen Vorgangsweise. Wir haben außerdem gesehen, daß es zwischen einer Situation, in der eine kontinuierliche Energieverteilung möglich ist, wie bei den Translationsbewegungen der Moleküle eines Gases, und einer Situation, in der die Energien nur bestimmte diskrete Werte annehmen können, wie bei den Rotationszuständen eines Moleküls, keinen wesentlichen Unterschied gibt. In beiden Fällen haben wir die betrachteten Teilchen als unterscheidbare Objekte angenommen, was für Moleküle in einem Gas erlaubt ist, jedoch für Photonen in einem Hohlraum oder Elektronen in einem Metall nicht mehr zutrifft. Quanteneffekte werden für ununterscheidbare Teilchen wichtig, und die Verteilungsgesetze unterscheiden sich wesentlich von dem Maxwell-Boltzmannschen Gesetz. In diesem Kapitel wollen wir die statistischen Verteilungsgesetze von Bose und Einstein, beziehungsweise von Fermi und Dirac ableiten. Die Bose-Einstein-Statistik gilt für identische, ununterscheidbare Teilchen, die nicht dem Ausschließungsprinzip unterliegen (Photonen), während die Fermi-Dirac-Statistik für solche Teilchen gilt, auf die das Ausschließungsprinzip angewendet werden muß (Elektronen).
Die Bohrs che Theorie, die uns eine Vorstellung vom Bau des Atoms gegeben hat, und die mit ihr aufs engste verknüpfte Quantenlehre, die dieser Theorie zugrunde liegt, sind nicht nur in fast alle Gebiete der Physik eingedrungen, sondern haben auch in der Chemie eine gewaltige, beständig wachsende Bedeutung erlangt. Diese Wissenschaft befaßt sich vor allem mit Atomen und Molekülen, und daher ist es von vornherein klar, daß eine Lehre, die so viel Neues über diese Atome gebracht hat, auch für die Chemie als eine Art Offenbarung erscheinen, ihr einen Zufluß von neuen Ideen geben, neue weite Horizonte eröffnen und zur Entwicklung sowie Vertiefung der theoretischen Grundlagen beitragen mußte, mit denen diese Wissenschaft das von ihr erlangte, fast unübersehbare Versuchsmaterial zusammengefaßt und synthesiert. Es ist ohne weiteres klar, daß wir der Anwendung der neuen Lehre auf die Chemie nur wenig Platz einräumen können und nur bei den Fragen verweilen werden, die für die Physik von Interesse sind. Ohne auf Einzelheiten einzugehen, und sich in jedem speziellen Falle auf ein oder zwei Beispiele beschränkend, werden wir unser Hauptaugenmerk auf die leitenden Grundgedanken und Tatsachen richten, durch die die Anwendungen der neuen, auf dem Boden der Physik entstandenen und zur Blüte gelangten Ideen auf die Chemie charakterisiert werden.
ZusammenfassungBisher haben wir die Statistik klassischer Teilchen betrachtet und ihre die Identität durch einfache Gibbs-Faktoren 1/N! berücksichtigt. Das war möglich, weil wir annahmen, dass die thermische DeBroglie-Wellenlänge wesentlich kleiner war als der mittlere Abstand der Teilchen, oder in anderen Worten, dass die Wellenfunktionen der Teilchen sich nicht überlappten. Diese Annahmen wollen wir jetzt fallen lassen und erlauben, dass die Wellenfunktionen sich überlappen, also mit der Gesamtwellenfunktion eines Vielteilchensystems zu rechnen ist. Auf dieseWeise werden wir vollständig die Quanten-Natur von Fermionen, Bosonen, Phononen und Photonen berücksichtigen. Wir gehen dabei von Teilchen aus, die keinerlei Wechselwirkung untereinander haben und nur durch Gefäßwände eingeschlossen werden. Ein solches System heißt ideales Quanten-Gas. Den klassischen Grenzfall werden wir ebenfalls betrachten und dann die bekannten Formeln wieder erhalten.
Die letzten Ausführungen haben bereits einen Ausblick auf den Wandel in der Fassung des Naturgesetzes gewährt: es hat sich ja aus unserer ganzen Darstellung ergeben, daß das strenge, kausale, in Raum und Zeit gegebene, in Differentialgleichungen ausdrückbare Naturgesetz der älteren Physik mit dem der heutigen Physik, daß im Quantenpostulat eine Unstetigkeit des Geschehens einführt und mit ihr eine statistische Auffassung der Naturvorgänge, nicht übereinstimmt. Wenn wir uns in diesem abschließenden Teil noch besonders der Problematik des Naturgesetzes zuwenden, so könnte das den Anschein erwecken, als ob wir das bereits Gesagte wiederholen müßten. Denn die wesentlichsten Gesichtspunkte der neuen Auffassung vom Naturgesetz sind ja in der Tat durch die Begriffe Statistik und Komplementarität gekennzeichnet. Aber es bleibt doch noch ein besonderer Aspekt, unter dem man das Problem des Naturgesetzes betrachten kann, der zwar hier und da in den vorausgehenden Betrachtungen bereits zum Ausdruck gelangte, dessen Wichtigkeit aber doch eine gesonderte Behandlung verlangt: Das ist die Frage des Verhältnisses zwischen Naturgesetz und Objektivierbarkeit überhaupt, denn je nach der Entscheidung in diesen Fragen wird man von einem Begriffswandel in der Auffassung des Naturgesetzes sprechen müssen.
Es wird untersucht, in wie weit Spekulationen über die Statistik willkürlicher, hypothetischer Teilchen in einer relativistisch invarianten Theorie möglich sind, wenn alle oder ein Teil der folgenden drei Postulate vorausgesetzt werden: (I) die Energie ist positiv; (II) Observable an verschiedenen Raum-Zeitpunkten mit raumartiger Verbindungslinie sind kommutativ; (III) es gibt zwei äquivalente Beschreibungen der Natur, in welchen die Elementarladungen entgegengesetzte Vorzeichen haben und in welchen einander entsprechende Feldgrössen sich bei Lorentz-Transformationen in gleicher Weise transformieren. Der eine von uns (P.) hatte bereits gezeigt, dass allgemein bei ganzzahligem Spin aus (II) allein Einstein-Bose-Statistik, bei halbzahligem Spin aus (I) allein Fermi-Dirac-Statistik folgt. Ferner hatte der andere von uns (B.) gezeigt, dass für eine gewisse Klasse von Teilchen, (die alle bisher in der Natur beobachteten umfasst, und die dadurch charakterisiert ist, dass sie höchstens durch einen Undor von gegebener Stufe beschricben wird), aus dem durch cin spezielles Transformationsgesetz spezialisierten Postulat (III) für ganzen Spin E.-B.-Statistik, für halbzahligen Spin F.-D.-Statistik gefolgert werden kann. In der vorliegenden Note wird in den typischen Fällen von Spin 0 und Spin ½ durch Beispiele gezeigt, dass im allgemeinen Fall mehrerer Undoren von gleicher Stufe aus (III) nicht mehr eindeutig auf die Statistik der Teilchen geschlossen werden kann, während (II) bzw. (I) für ganzen bzw. halben Spin hiezu stets hinreichend bleiben. In den speziellen Fällen des Skalarfeldes, des Vektorfeldes und des Dira c-Elektrons, wo nur ein einziger Undor gegebener Stufe in die Theorie eingeht, folgt dagegen das Transformationsgesetz der Ladungskonjugierung eindeutig, so dass hier (III) zur Festlegung der Statistik ausreicht.