La equivalencia matemática entre mecánicas cuánticas y la impredecibilidad en la teoría del caos: dos casos de estudio para el debate realismo-instrumentalismo
Esta tesis analiza dos casos entresacados de la historia de la física que arrojan luz al debate abierto entre filósofos realistas e instrumentalistas de la ciencia. Por un lado, estudiamos un contraejemplo al realismo científico: la equivalencia matemática entre la Mecánica Matricial de Heisenberg y la Mecánica Ondulatoria de Schrödinger. Tras analizar las posibles relaciones de equivalencia entre teorías (equivalencia lógica, matemática y empírica), estudiamos las pruebas de equivalencia de Schrödinger y Eckart, así como el papel que jugó la Teoría de las Transformaciones de Dirac. Frente a múltiples historiadores, defendemos que la primera demostración consistente de equivalencia se debe a Von Neumann. Y a partir de este episodio, construimos un argumento contra el realismo estructural, que pasa por ser la versión más defendible del realismo científico: la Mecánica de Matrices y la Mecánica de Ondas son matemática y empíricamente equivalentes, pero estructural y ontológicamente incompatibles. La idea de que los modelos representan la estructura de la realidad es la cruz del estructuralismo realista. Por otro, estudiamos la impredecibilidad que exhiben los sistemas dinámicos de la Teoría del Caos. Tras distinguir el determinismo de la predecibilidad, así como sus variedades (determinismo diferencial, único y valorativo), nos detenemos en la prehistoria del caos determinista (Poincaré), para después asistir a su redescubrimiento (Lorenz). La concepción instrumentalista de la física hace descansar la cientificidad en la predecibilidad y, sin embargo, la predecibilidad de los sistemas caóticos brilla por su ausencia. Hay un ejemplo de rabiosa actualidad: el cambio climático. Y aunque la Teoría del Caos posibilita cierta predicción topológica, esta carencia constituye un argumento contra el enfoque pragmatista de la ciencia (Van Fraassen).La tesis concluye postulando un realismo científico no estándar, más allá de la representación y la predicción. Precisamente, Ian Hacking y Gustavo Bueno se centran en la experimentación, buscando un realismo sin metafísica.
Esta tesis analiza dos casos entresacados de la historia de la física que arrojan luz al debate abierto entre filósofos realistas e instrumentalistas de la ciencia. Por un lado, estudiamos un contraejemplo al realismo científico: la equivalencia matemática entre la Mecánica Matricial de Heisenberg y la Mecánica Ondulatoria de Schrödinger. Tras analizar las posibles relaciones de equivalencia entre teorías (equivalencia lógica, matemática y empírica), estudiamos las pruebas de equivalencia de Schrödinger y Eckart, así como el papel que jugó la Teoría de las Transformaciones de Dirac. Frente a múltiples historiadores, defendemos que la primera demostración consistente de equivalencia se debe a Von Neumann. Y a partir de este episodio, construimos un argumento contra el realismo estructural, que pasa por ser la versión más defendible del realismo científico: la Mecánica de Matrices y la Mecánica de Ondas son matemática y empíricamente equivalentes, pero estructural y ontológicamente incompatibles. La idea de que los modelos representan la estructura de la realidad es la cruz del estructuralismo realista. Por otro, estudiamos la impredecibilidad que exhiben los sistemas dinámicos de la Teoría del Caos. Tras distinguir el determinismo de la predecibilidad, así como sus variedades (determinismo diferencial, único y valorativo), nos detenemos en la prehistoria del caos determinista (Poincaré), para después asistir a su redescubrimiento (Lorenz). La concepción instrumentalista de la física hace descansar la cientificidad en la predecibilidad y, sin embargo, la predecibilidad de los sistemas caóticos brilla por su ausencia. Hay un ejemplo de rabiosa actualidad: el cambio climático. Y aunque la Teoría del Caos posibilita cierta predicción topológica, esta carencia constituye un argumento contra el enfoque pragmatista de la ciencia (Van Fraassen).La tesis concluye postulando un realismo científico no estándar, más allá de la representación y la predicción. Precisamente, Ian Hacking y Gustavo Bueno se centran en la experimentación, buscando un realismo sin metafísica.
El debate sobre el determinismo e indeterminismo en la física ha alcanzado una enorme expansión con el advenimiento de la mecánica cuántica, una teoría formulada en términos probabilísticos dado que su ecuación fundamental, la ecuación de Schrödinger, no determina la dinámica de las propiedades de un sistema, sino la dinámica de sus probabilidades. Al tratar exclusivamente con probabilidades, la física cuántica parece evidenciar un indeterminismo ontológico en los valores que adquieren las variables de un sistema físico (típicamente posición, velocidad, energía, etc.). Sin embargo la evolución del estado del sistema, gobernada por la ecuación de Schrödinger, es perfectamente determinista. Dado el estado a un tiempo inicial, la ecuación de Schrödinger predice de manera determinista el estado en todo tiempo posterior. Pero las probabilidades entran en juego al predecir resultados en el proceso de medición. Según la interpretación ortodoxa, a partir de ahí la evolución es indeterminista y sólo se puede recurrir a las probabilidades que permiten calcular el estado, que hasta ese momento evolucionó manera determinista. La mecánica cuántica parece incorporar así, tanto aspectos determínisticos como indetermínisticos, y la medición parece jugar un rol central en esto.Esta característica ha dado origen un sinnúmero de interpretaciones y no poca controversia entre ellas. Bajo la visión realista, se ha intentado interpretar las probabilidades en términos epistemológicos, es decir, en términos de ignorancia subjetiva del observador. De este modo, las probabilidades sólo estarían cuantificando un indeterminismo epistemológico. Sin embargo muchos de estos intentos demostraron no estar exentos de inconsistencias al punto de poner en juego hasta la misma noción de realismo. Desde una postura no realista, por el contrario, la mecánica cuántica parece imponer un indeterminismo ontológico antes no evidenciado por la mecánica clásica, principalmente porque no es posible asignar valores bien definidos a todas las variables.En las siguientes secciones indagaremos la dualidad entre determinismo e indeterminismo que exhibe la teoría cuántica. La primera sección centra su recorrido en las interpretaciones modales, para analizar desde ella algunas características relevantes de la teoría. En la segunda sección, se desarrollará la formulación Bohmiana de la mecánica cuántica, que tratándose de una formulación realista, pone de relieve la posibilidad de un indeterminismo epistemológico compatible con determinismo ontológico.
El principio de incertidumbre de Heisenberg constituye uno de los pilares estructurales de la mecánica cuántica y representa una ruptura definitiva con el ideal determinista de la física clásica. En este trabajo se desarrolla un análisis exhaustivo del principio de incertidumbre desde una perspectiva matemática, física y filosófica, mostrando que no se trata de una limitación instrumental o epistemológica, sino de una propiedad ontológica inherente a la estructura formal de la teoría cuántica. A partir del formalismo de espacios de Hilbert, operadores auto-adjuntos y álgebras no conmutativas, se demuestra que la incertidumbre emerge de manera necesaria como consecuencia de la incompatibilidad estructural entre observables conjugados. El estudio articula el principio de incertidumbre con la teoría del caos clásico y las ciencias de la complejidad, estableciendo una distinción fundamental entre imprevisibilidad epistemológica e indeterminación ontológica. Mientras que el caos clásico conserva trayectorias bien definidas aunque prácticamente inaccesibles, la mecánica cuántica elimina la noción misma de trayectoria como entidad fundamental. Esta ruptura se manifiesta en la granularidad del espacio de fases, en la imposibilidad de definir condiciones iniciales exactas y en la reformulación del concepto de determinismo.Asimismo, se analizan desarrollos experimentales contemporáneos que han verificado el principio de incertidumbre bajo esquemas de medición diseñados para excluir perturbaciones instrumentales, consolidando su interpretación ontológica. Finalmente, se examinan las implicaciones del principio de incertidumbre para la simulación, la predictibilidad y la complejidad cuántica, mostrando que introduce límites estructurales irreductibles a la descripción y al control de los sistemas físicos. En conjunto, el trabajo sostiene que el principio de incertidumbre no debilita la racionalidad científica, sino que redefine susalcances y profundiza nuestra comprensión de la realidad física. Palabras clave: principio de incertidumbre; mecánica cuántica; estructura matemática; operadores no conmutativos; teoría del caos; complejidad; determinismo; ontología física.
RESUMEN: La esencia de este trabajo es examinar los fundamentos de la física a través del concepto de simetría. ¿Qué define una simetría en física? Esa es la pregunta inicial. El Cap. 1 está dedicado a desarrollar esta pregunta en el contexto de la mecánica clásica, y la respuesta se logra a través del teorema de Noether: las simetrías se representan en mecánica clásica por medio de transformaciones canónicas. Se establece pues la profunda relación entre el concepto de simetría y las leyes de conservación. El Cap. 2 está dedicado a desarrollar esta misma pregunta, pero esta vez en el contexto de la teoría cuántica, y además, bajo el influjo de las ideas de Asher Peres. «Los fenómenos cuánticos no suceden en un espacio de Hilbert, suceden en un laboratorio», dice en el prefacio de su libro. Tal como se propone allí, en el Cap. 2 se desarrolla la pregunta en teoría cuántica con un enfoque pragmático y estrictamente instrumentalista. Con la ayuda de experimentos conceptuales se intenta adivinar la respuesta, y al fin, a través del teorema de Wigner, se logra una en que se acentúa el valor de la observación: las simetrías se representan en teoría cuántica por medio de transformaciones unitarias y antiunitarias, i.e., aquellas que preservan las probabilidades de transición. Sin embargo, en particular, ¿por qué la evolución temporal tiene que ser unitaria? Esta será una pregunta recurrente. En el Cap. 3 se relaja la severidad de aquel enfoque instrumentalista y se procura plantear la primera pregunta en el contexto de los sistemas abiertos y en relación con los conceptos de información y entropía. Como sabemos, el concepto de entropía surgió originalmente en la termodinámica clásica y luego fue introducido en la teoría de la información por Shannon. Sin embargo, debido a su estrecha relación, es interesante que la asimetría entre pasado y futuro, intrínseca en el procesamiento de información, es equivalente a la flecha de tiempo que surge en los fenómenos termodinámicos irreversibles [8]. En este contexto, se propone un teorema que sugiere que un sistema es informacionalmente aislado si y solo si da lo mismo si el tiempo fluye en un sentido o en otro: un “mundo sin fricción” en que la entropía es constante, la de los sistemas y la del universo. Pero faltan ingredientes, la evolución temporal generalizada para sistemas abiertos y el análisis del proceso de medición. ¿Por qué se asume unitaria la evolución temporal en teoría cuántica? ¿Qué es una medición? ¿Es la medición un proceso irreversible? Estas son preguntas esenciales. La parte final del Cap. 3 se dedica justamente a sazonar aquel teorema y a examinar estas preguntas a través de la reinterpretación del teorema de Kraus y del teorema de Neumark. Así que la discusión final es sobre asimetría temporal.
[ES] Hoy en día hay sobradas razones para considerar la teoría cuántica como uno de los mayores éxitos de la física moderna. Después de unos primeros años dificultosos, inaugurados por el descubrimiento del cuanto de acción por Max Planck en 1900, la teoría física cuántica acumula éxitos y consigue describir una cantidad de fenómenos cada vez mayor. No obstante, también es una teoría que desafía a nuestra intuición, pues choca con las nociones más elementales de la física clásica. La validez del formalismo de la mecánica cuántica está fuera de toda duda, pero de este no se desprende inmediatamente una imagen de la realidad microscópica. Esto supone un problema serio, ya que el objetivo de la física es dar una descripción de la realidad, además de permitirnos manipularla. Profundizar en este tema es el motivo principal para hacer este trabajo. Una de las primeras soluciones al problema presentado, y también la más dominante,1 es la interpretación de Copenhague. Se asocian comúnmente a esta físicos como Max Born, Werner Heisenberg y Niels Bohr. Esta interpretación suele entenderse como sinónimo de indeterminismo, el principio de correspondencia de Bohr, la interpretación estadística de la función de onda de Born y la interpretación complementaria de Bohr de ciertos fenómenos atómicos.2 Sin embargo, a día de hoy se dispone de suficiente información para saber que bajo este término se agrupan interpretaciones muy diferentes entre sí.3 A pesar de las divergencias entre los autores mencionados, está ampliamente aceptado que la perspectiva general que comparten tiene su origen en el trabajo de Bohr.4 Así, he centrado el trabajo en su solución al problema de la física cuántica y en su filosofía de la física.
El asunto de la presente investigación pretende abordar el tema de la materia en el físico \ncontemporáneo Werner Heisenberg. Partiendo de la tesis de que la física ha buscado siempre la \nunidad en la formulación de teorías frente a la multiplicidad fenoménica, se busca estudiar la \nteoría cuántica desde una perspectiva filosófica, como un intento más por alcanzar dicha unidad. \nDado que la ciencia, desde la perspectiva de Popper, es un saber conjetural, a lo largo de la \nhistoria se ha tenido que reformular y restringir la validez de las teorías a la luz de nuevos \nresultados experimentales. La historia de las ideas científicas está marcada por diversos hitos que \nhan llevado a un claro diálogo interdisciplinario entre ciencia y filosofía. Uno de estos \n“momentos” es la elaboración de la teoría cuántica. Al interior de dicho momento se encuentra \nHeisenberg. \nAsí, la búsqueda por la unidad en toda teoría física es inherente a su propia estructura. Ahora \nbien, la física contemporánea surgió como consecuencia del descubrimiento de una serie de \nfenómenos que no eran posibles de abordar mediante la física clásica. De este modo, el estudio \nde las estructuras atómicas volvió a sacar a luz la vieja interrogante, ¿de qué están hechas las \ncosas?. Dicho de otro modo, ¿es posible concebir un mundo físico que se sustente en un \nfundamento material único y que a su vez sea posible conocerlo, es decir, de acceder a él? \nCon todo, la tesis consiste en mostrar la filosofía de la física que se encuentra, en muchos \npuntos implícita, en la obra de Werner Heisenberg y circunscribirla al problema de la materia; \nentendiendo por tal problemática, la pregunta por el fundamento de la realidad. Con ello se \npretende mostrar cómo el pensamiento de Platón y Aristóteles determinan, filosóficamente \nhablando, la búsqueda por el fundamento último del mundo físico en el mencionado autor. \nTeniendo presente este desarrollo hemos pretendido mostrar que a través de dicho diálogo \ninterdisciplinario entre física y filosofía, Heisenberg elabora una concepción simbólica de la \nmateria muy en la línea de un idealismo platónico, aunque matizado en muchos punto por un \nrealismo aristotélico.
Resumen.En estas notas se exponen con detalle y de manera autocontenida las herramientas básicas de la teoría de los espacios de Hilbert complejos de dimensión infinita, que son necesarias para un primer estudio, matemáticamente riguroso, de la mecánica cuántica.En la última parte incluimos una introducción axiomática a la mecánica cuántica y una breve exposición del modelo del oscilador armónico y de la teoría de estados cuánticos Gaussianos. IntroducciónLa mecánica cuántica es la rama de la física que estudia los fenómenos físicos que ocurren en escalas de longitudes muy pequeñas.El calificativo "cuántico" surge de, en contraste con la mecánica clásica, considerar algunas cantidades que toman solamente valores discretos i.e., en "paquetes" o quantum-quanta en latín.Aún cuando hay muchas nociones de la mecánica cuántica que aún suscitan controversia, esta teoría se aplica exitosamente para describir el comportamiento de sistema físicos y sus predicciones son consistentes con los experimentos.Los sistemas físicos que estudia la mecánica cuántica, exhiben propiedades ondulatorias que se pueden describir mediante una ecuación de onda, por ejemplo, la bien conocida "ecuación de Schrödinger", que describe la evolución temporal de una partícula subatómica con masa, en el contexto no relativista.En estas notas trabajamos con el formalismo de matrices de densidad, que permite describir estados que son mezclas de estados puros.En consecuencia, este enfoque resulta ser una herramienta poderosa para describir sistemas cuánticos más generales, por ejemplo, acoplamientos (ensambles) de muchos sistemas cuánticos idénticos.El material que se presenta en este trabajo está dividido en cuatro secciones compuestas de la siguiente manera: la sección 1 contiene una selección de resultados de índole geométrico y analítico de la teoría de espacios de Hilbert: ortogonalidad y descomposición ortogonal, convexidad, operadores lineales, norma de operadores y funcionales lineales.La sección 2 se concentra en la clase de los operadores compactos, particularmente en los operadores de la clase de traza y de manera especial, en los operadores de Hilbert-Schmidt.Es relevante mencionar que los estados cuánticos se representan mediante operadores positivos de traza uno.La sección 3 se dedica al estudio de operadores no acotados que pueden no estar densamente definidos en un espacio de Hilbert.Abordamos también el estudio de operadores cerrados y cerrables, el adjunto de un operador y una introducción a la teoría espectral de operadores.Una parte esencial de esta sección son los operadores simétricos e isométricos, los cuales exhiben similitudes en sus propiedades geométricas y espectrales.Cabe señalar que las observables físicas se representan por operadores simétricos típicamente no acotados.Por último, en la sección 4 se discuten brevemente postulados de la mecánica cuántica en el marco del formalismo de matrices de densidad, se revisa el modelo del oscilador armónico cuántico y se ofrece una introducción a los estados cuánticos Gaussianos.Al final de cada sección incluimos una selección de problemas que sirven para complementar estas notas.El lector interesado puede profundizar en el estudio de resultados aquí expuestos, desde los más básicos hasta los más avanzados, en la literatura clásica de operadores lineales, por ejemplo en [1,2,3,4,13,20].