Les methodes variationnelles se sont revelees etre de puissants outils pour evaluer des quantites physiques dans des systemes de mecanique quantique ayant un nombre fini des degres de liberte, dans les cas ou la theorie des perturbations est inapplicable. Les applications de ces methodes, notamment en physique atomique, nucleaire et du solide, ont donne d'excellents resultats. Par consequent, il est tentant d'essayer de les adapter dans le cadre de la theorie quantique des champs. La premiere partie de ce travail consiste a introduire une nouvelle approche variationnelle-perturbative applique a un systeme de mecanique quantique bien connu: l'oscillateur anharmonique. De maniere tout a fait remarquable, cette methode a fourni une amelioration de sept ordres de grandeur a la precision caracteristique des resultats de hartree-fock. D'un autre cote, cette nouvelle methode semble etre bien adaptee pour des calculs de theorie quantique de champs. On espere qu'en combinant les estimations variationnelles avec le developpement perturbatif et la theorie de renormalisation, on pourra obtenir des reponses variationnelles finies. La deuxieme partie de ce travail est consacree a cet objectif. On a donc applique cette strategie a un modele non trivial et renormalisable a deux dimensions a savoir le modele de gross-neveu. On a trouve donc que les reponses variationnelles de diverses quantites physiques ne presentent pas des divergences. De plus, ces resultats sont assez raisonnables, si on les compare avec les resultats exacts de la litterature, et peuvent s'ameliorer de facon systematique
Les methodes variationnelles se sont revelees etre de puissants outils pour evaluer des quantites physiques dans des systemes de mecanique quantique ayant un nombre fini des degres de liberte, dans les cas ou la theorie des perturbations est inapplicable. Les applications de ces methodes, notamment en physique atomique, nucleaire et du solide, ont donne d'excellents resultats. Par consequent, il est tentant d'essayer de les adapter dans le cadre de la theorie quantique des champs. La premiere partie de ce travail consiste a introduire une nouvelle approche variationnelle-perturbative applique a un systeme de mecanique quantique bien connu: l'oscillateur anharmonique. De maniere tout a fait remarquable, cette methode a fourni une amelioration de sept ordres de grandeur a la precision caracteristique des resultats de hartree-fock. D'un autre cote, cette nouvelle methode semble etre bien adaptee pour des calculs de theorie quantique de champs. On espere qu'en combinant les estimations variationnelles avec le developpement perturbatif et la theorie de renormalisation, on pourra obtenir des reponses variationnelles finies. La deuxieme partie de ce travail est consacree a cet objectif. On a donc applique cette strategie a un modele non trivial et renormalisable a deux dimensions a savoir le modele de gross-neveu. On a trouve donc que les reponses variationnelles de diverses quantites physiques ne presentent pas des divergences. De plus, ces resultats sont assez raisonnables, si on les compare avec les resultats exacts de la litterature, et peuvent s'ameliorer de facon systematique
Solution des problèmes à petit nombre de particules avec les réseaux neuronaux : moyens d'améliorer la méthode variationnelle stochastique pour l'étude des systèmes bosoniques à quelques corps à l'intérieur de la fenêtre universelle L'une des méthodes les plus efficaces utilisées pour étudier les systèmes à quelques corps en mécanique quantique est basée sur une représentation variationnelle de la fonction d'onde. On choisit une base finie dans l'espace de Hilbert, qui approxime l'espace entier, puis on diagonalise le problème dans ce sous--ensemble. Dans les approches variationnelles, le choix de la base est un ingrédient clé. Ces dernières années, différents types de bases ont été proposés. La Méthode Variationnelle Stochastique repose sur une base surcomplète de Gaussiennes Explicitement Corrélées dont les paramètres non linéaires sont choisis de manière stochastique. Cette méthode s'est avérée offrir une convergence rapide, une bonne stabilité et une grande précision; c'est pourquoi elle a été largement utilisée pour étudier divers systèmes quantiques--mécaniques à quelques corps: de l'échelle subnucléaire (comme les baryons et les mésons) aux noyaux légers, aux petites molécules et aux atomes, aux points quantiques dans la matière condensée et à la physique à l'intérieur de la fenêtre d'Efimov.Le présent travail se compose de deux parties principales. Dans la première partie, nous illustrons les principaux aspects computationnels de la Méthode Variationnelle Stochastique. Dans la deuxième partie, nous présentons une application de la Méthode Variationnelle Stochastique pour retrouver les propriétés les plus remarquables des systèmes bosoniques à quelques corps dans la fenêtre d'Efimov.La surcomplétude de la base et le caractère stochastique de la Méthode Variationnelle Stochastique donnent à cette méthode la possibilité d'être améliorée par différentes techniques de recherche et d'optimisation. Après avoir illustré les principes fondamentaux de cette méthode, nous montrons d'abord comment différentes techniques de recherche ont été historiquement déployées pour l'améliorer. Ensuite, nous proposons d'autres approches pour rechercher les paramètres variationnels non linéaires de cette méthode; nous nous concentrerons en particulier sur la manière dont elles contribuent à accélérer la convergence de l'algorithme. Enfin, nous explorons la possibilité d'optimiser les éléments de base de la Méthode Variationnelle Stochastique grâce à des techniques d'optimisation inspirées des plus récentes percées en matière d'Apprentissage par Renforcement.La Méthode Variationnelle Stochastique mentionnée précédemment peut être exploitée pour étudier les systèmes de mécanique quantique composés de quelques bosons identiques à l'intérieur de la fenêtre d'Efimov. La fenêtre d'Efimov, ou fenêtre universelle, est une région d'énergie particulière dans laquelle les systèmes à quelques corps sont faiblement liés. Les nombreuses caractéristiques de ces systèmes sont universelles; leurs propriétés sont largement indépendantes de l'interaction particulière qui produit la liaison. Cela suggère l'utilisation de modèles potentiels simples caractérisés par peu de paramètres pour décrire les propriétés dynamiques. Dans ce travail, nous construisons une série de termes potentiels d'importance décroissante en utilisant le cadre de la Théorie Effective des Champs comme guide. Nous testons notre description effective en utilisant le système atomique 4He comme référence. Les termes potentiels d'ordre supérieur consistent en des termes Gaussiens à deux et trois corps. Avec ce potentiel, certaines propriétés remarquables des systèmes bosoniques à trois corps (comme les états d'Efimov à trois corps et l'Invariance d'Échelle Discrète) sont récupérées. Nous étudions ensuite le rôle de la portée de l'interaction dans la description d'ordre principal, et nous étendons l'exploration au--delà de l'ordre principal en incluant les termes d'ordre suivant dans les potentiels à deux et trois corps. En fonction de le cutoff, la paramétrisation du potentiel est fixée pour décrire l'énergie des amas de 4He jusqu'à sept particules avec la précision attendue.
En utilisant la théorie du Groupe de Renormalisation on peut prédire les valeurs de certaines quantités physiques (dites universelles) ; parmi elles on compte les exposants critiques des transitions de phase du deuxième ordre. Plusieurs méthodes théoriques peuvent être utilisées pour calculer des quantités universelles ; la méthode la plus précise est le développement perturbatif à dimension fixe (proposé par G. Parisi). Avec cette méthode, Nickel et al. ont calculé vers la fin des années '70 les exposants critiques jusqu'au niveau de six boucles (et, plus récemment, un sous-ensemble des contributions à sept boucles). Dans ce travail de thèse, nous montrons comment automatiser le calcul sur ordinateur; du fait de la complexité du développement perturbatif, on ne peut espérer paramétrer et calculer les exposants critiques au niveau de sept boucles complètes qu'avec l'ordinateur. En particulier, nous présentons une technique générale pour paramétrer le développement perturbatif à n'importe quel ordre (déjà testé avec succès au niveau sept boucles complètes); même si le travail n'a pas encore été complété, cette technique (utilisée conjointement avec des algorithmes pour l'intégration automatique multidimensionnelle) nous a déjà permis de reproduire un sous-ensemble important des calculs précédents.
Cette thèse vise à utiliser le t-J Hamiltonian de la corrélation forte pour mieux comprendre la micro-fonctionnalité des scénarios de matériau condensé. Un des problèmes qui existe depuis longtemps est que pour ce type de modèle comme Hubbard Hamiltonian ou t-J Hamiltonian avec une corrélation forte ne peut pas être résolu complètement \nanalytiquement. Par conséquent, quand on aborde ces modèles, il est important de les exploiter de façon numérique. Dans cette thése, nous utiliserons la manière qui s'appelle\t"Renormalized Mean-Field Theory"(RMFT) pour le t-J Hamiltonian. Grâce à M. Gutzwiller, ce que nous devons faire est simplement de chiffrer des paramètres qui incluent l'influence de la corrélation électronique et de les mettre avant chaque partie du Hamiltonian. Après ce calcul, nous calculerons l'Hamiltonian du champ moyen de manière standard. Ceci sera notre façon principale pour aborder des questions physiques. Ensuite, nous l'appliquerons sur deux systèmes. Le premier est la mystique de supraconducteur à haute température. Après sa découverte il y a 30 ans, on ne peut pas encore définir une théorie pour expliquer sa micromécanique de manière appropriée. Cependant, avec des équipements avancés, on peut faire des expériences correctement et obtenir des résultats exacts. Ces preuves nous facilitent l'élaboration d'une bonne théorie, même s'il est aussi très difficile d'inclure tous les phénomènes ensemble. Nous avons obtenu des résultats et par rapport aux \nexpériences, ils sont similaires qualitativement. Nous montrerons les détails dans le texte. Le deuxième système qui nous intéresse est le mouvement d'électron dans un champ magnétique fort. Le papillon d'Hofstadter et son modèle, l'Hamiltonian de Harper-Hofstadter ont obtenu un grand succès à décrire la mécanique d'électrons libres aux treillis. Donc il est ainsi intéressant de se demander ce qu'il se passera si nous remplaçons des électrons libres avec ceux qui s'interagissent. D'ailleurs, t-J Hamiltonian s'utilise comme bon modèle à le découvrir. Nous allons comparer nos résultats avec ceux de la diagonalisation exacte. Nous proposerons des découvertes intéressantes qui désormais seront réalisées par l'expérience d'atome froide.
Algorithmes quantiques pour les équations aux dérivées partielles : circuits quantiques et applications physiques Les simulations classiques actuelles des phénomènes physiques présentent de nombreuses limitations, en particulier lorsqu'il s'agit de systèmes complexes tels que les fluides turbulents, les plasmas ou les matériaux quantiques fortement corrélés. Ces simulations rencontrent souvent des difficultés liées à des coûts de calculs élevés, une mise à l'échelle limitée à travers plusieurs dimensions ou échelles temporelles, ainsi qu'à la complexité de capturer des dynamiques intrinsèquement non-linéaires ou chaotiques. Même avec l'accès à des ressources de calcul haute performance (HPC), la résolution précise des dynamiques à fine échelle ou des évolutions sur de longues périodes reste un défi majeur. Le développement de nouvelles méthodes numériques est donc essentiel, tant pour la recherche académique que pour les applications industrielles. Les ordinateurs quantiques émergent comme de nouveaux outils numériques pour l'étude de tels systèmes et la résolution des équations aux dérivées partielles qui les modélisent. Grâce aux propriétés de superposition et d'intrication des qubits, les calculs numériques peuvent être réalisés de manière inédite, offrant des avantages théoriques prometteurs pour certains problèmes. Dans ce contexte, cette thèse contribue au développement et à la compréhension des algorithmes quantiques, allant de la conception de circuits quantiques à la résolution numérique d'équations différentielles partielles et ordinaires. Dans une première partie, des circuits quantiques efficaces sont présentés pour l'implémentation de routines couramment utilisées dans les algorithmes quantiques (opérations multi-contrôlées, préparation d'états quantiques, opérations diagonales), ainsi que pour une nouvelle routine : la transformée de Laplace quantique. Ces routines limitaient l'efficacité des algorithmes quantiques en raison d'implémentations génériques dont la complexité croissait de manière exponentielle avec le nombre de qubits. Désormais, ces tâches peuvent être réalisées à l'aide de circuits quantiques adaptés qui exploitent la structure des problèmes physiques. Dans une seconde partie, des schémas numériques quantiques sont introduits pour résoudre des équations de transport anisotropes et des équations différentielles ordinaires hamiltoniennes non linéaires. Ces schémas se composent de trois étapes (initialisation, évolution et mesure) et reposent sur des approximations en différences finies d'ordre élevé et des formules de Trotterisation. Des protocoles efficaces pour mesurer des grandeurs d'intérêt sont présentés, et une nouvelle analyse numérique, basée sur la norme vectorielle plutôt que sur la norme d'opérateur générique, est introduite. Cette approche permet d'atteindre une précision donnée tout en réduisant le nombre de pas de temps par un facteur qui croît de manière exponentielle avec le nombre de qubits. De plus, une étude de différentes transformations de Madelung non linéaires est présentée afin de résoudre certaines équations fluides sur ordinateur quantique. Les différents résultats de cette thèse sont illustrés par des simulations classiques des algorithmes quantiques ainsi que par des simulations sur des processeurs quantiques actuels. Ce travail pose les bases de la simulation pratique de systèmes physiques classiques, aussi bien sur les dispositifs quantiques actuels de type NISQ (noisy intermediate-scale quantum) que sur les futurs ordinateurs quantiques tolérants aux erreurs.
Cette thèse concerne le développement et l’utilisation de nouveaux algorithmes pour l’étude théorique de systèmes quantiques fortement corrélés. Il s’agit de systèmes dans lesquels les interactions, par exemple l’interaction de Coulomb répulsive entre les électrons d’un matériau, induisent des phénomènes physiques remarquables (comme la supraconductivité à haute température critique) qui ne peuvent être décrits dans le cadre d’une théorie standard à un corps. Pour comprendre l’origine de ces phénomènes, il est indispensable de traiter l’ensemble des particules et leurs interactions: on parle du problème à N -corps.Le projet de thèse consiste à continuer le développement, l’analyse et l’application des méthodes numériques dites diagrammatiques à ces systèmes. Si des progrès ont été faits, il reste beaucoup de questions fondamentales ouvertes quant à l’utilisation de méthodes perturbatives pour décrire un système qui est,par nature, dans un régime non-perturbatif. Quelles sont les limites de ces approches? Comment se manifestent les effets des corrélations dans la structure des séries perturbatives?Les développements algorithmiques seront utilisés pour l’étude de modèles de systèmes fortement corrélés, comme le modèle de Hubbard, ce qui permettra d’aborder des questions physiques d’intérêt actuel, en particulier en relation avec la physique des corrélations magnétiques et du pseudo-gap dans les cuprates supraconducteurs ou avec l’existence d’une transition de Mott sans phase ordonnée préemptive telle qu’elle est observée dans des expériences récentes sur des composés organiques.
La dynamique d'un système quantique formée de particules en interaction devient rapidement impossible à décrire exactement lorsque le nombre de particules augmente. Ceci est une des principales difficultés dans la description des noyaux atomiques pouvant contenir plusieurs centaines de nucléons. Une approche simplifiée du problème consiste à supposer que certains degrés de liberté contiennent plus d'information que les autres. Une approximation classique est de se concentrer sur les degrés de liberté à un corps : la dynamique du système peut être approximativement décrite par un ensemble de particules se propageant dans un champ moyen effectif. Si l'approximation de champ moyen a permis de nombreuses avancées dans la compréhension théorique des propriétés des noyaux, il n'en reste pas moins qu'elle ne peut décrire un certain nombre de leurs propriétés, par exemple les effets des collisions directes entre les nucléons où les fluctuations quantiques des observables à un corps. L'objectif de la thèse est de rendre compte de ces corrélations au-delà de l'approximation de champ moyen afin d'améliorer la description dynamique des systèmes quantiques corrélés. Une composante de la thèse a été d'étudier les méthodes qui permettent de traiter les collisions entre les particules en incluant le terme de Born au-delà du champ moyen. Ce terme est particulièrement complexe à cause d'effets non-locaux en temps, effets dits non-markoviens. Des simplifications possibles de ce terme, en vue de futures applications, ont été étudiées. Deux approches simplificatrices ont été proposées, l'une permettant de traiter ce terme à l'aide d'équations maîtresses, l'autre en s'affranchissant des intégrales en temps. La seconde partie de la thèse a été consacrée à l'amélioration de l'approximation de champ moyen afin de décrire les fluctuations quantiques. En se basant sur des méthodes d'espace des phases existantes, une nouvelle méthode, appelée «Hybrid Phase Space Method» (HPS) a été proposée. Cette méthode est une combinaison entre la théorie de champ moyen avec fluctuations initiales et une théorie où les degrés de liberté à deux corps sont propagés explicitement. Cette nouvelle approche a été testée avec succès pour la description d'un ensemble de fermions sur réseau, i.e, le modèle de Fermi-Hubbard et a donné de bien meilleurs résultats que les approches d'espace des phases précédemment utilisées pour décrire les systèmes corrélés, notamment dans un cas de couplage faible. Si cette nouvelle approximation donne des résultats intéressants, elle reste cependant numériquement assez lourde et empirique. Cela a conduit à étudier en détail les formalismes de Wigner-Weyl et de Bohm afin d'explorer de manière plus systématique les méthodes d'espace des phases et amené à la notion de trajectoire en mécanique quantique. La conclusion de cette étude, dont les tests ont été effectués sur l'effet tunnel, est qu'il est nécessaire que les trajectoires interfèrent entre elles au cours du temps pour bien reproduire les effets quantiques.