En la presente tesis doctoral se estudian los cambios de estado (transiciones de fase) en sistemas con inhomogeneidades. En concreto se consideraron varios modelos de transicion de fase al estado ferromagnetico en presencia de desorden. Estos modelos han sido: el modelo de Potts de cuatro y ocho estados en dos y tres dimensiones, el modelo de Heisenberg en tres dimensiones, y el modelo de Ising en tres y cuatro dimensiones.
Denominamos desorden a atomos no magneticos colocados aleatoriamente en la red completamente pura de un solido ideal. La presencia de impurezas en los materiales es omnipresente por lo que la comprension de su comportamiento es de gran interes tanto teorico como tecnologico.
Hemos comprobado es que medida el desorden influye en el comportamiento critico utilizando metodos de simulacion novedosos que han permitido afrontar problemas hasta ahora inabordables.
Hemos propuesto una teoria de Finite-Size Scaling dentro del colectivo microcanonico que tambien se ha comprobado utilizando un metodo de simulacion recientemente propuesto para simular el modelo de Ising en 3D y el modelo de Potts con cuatro estados en 2D.
Se han comprobado las propiedades de autopromedio de la susceptibilidad en el modelo de Heisenberg diluido en 3D, asi como la validez del criterio de Harris.
Hemos encontrado una region de primer orden del espacio de fases del modelo de Pottts con cuatro y ocho estados en 3D y en presencia de dilucion.
Tambien hemos utilizado los ceros de Lee-Yang para recalcular los exponentes de los terminos de correcciones logaritmicas del modelos de Ising en 4D y en presencia de dilucion, con ello hemos conseguido distinguir entre cinco escenarios en conflicto presentes en la literatura.
Por lo tanto hemos avanzado en la compresion teorica del efecto del desorden en materiales, se ha mejorado la precision de los resultados obtenidos anteriormente y eliminado algunas polemicas presentes en la descripcion teorica de algunos modelos
En la presente tesis doctoral se estudian los cambios de estado (transiciones de fase) en sistemas con inhomogeneidades. En concreto se consideraron varios modelos de transicion de fase al estado ferromagnetico en presencia de desorden. Estos modelos han sido: el modelo de Potts de cuatro y ocho estados en dos y tres dimensiones, el modelo de Heisenberg en tres dimensiones, y el modelo de Ising en tres y cuatro dimensiones.
Denominamos desorden a atomos no magneticos colocados aleatoriamente en la red completamente pura de un solido ideal. La presencia de impurezas en los materiales es omnipresente por lo que la comprension de su comportamiento es de gran interes tanto teorico como tecnologico.
Hemos comprobado es que medida el desorden influye en el comportamiento critico utilizando metodos de simulacion novedosos que han permitido afrontar problemas hasta ahora inabordables.
Hemos propuesto una teoria de Finite-Size Scaling dentro del colectivo microcanonico que tambien se ha comprobado utilizando un metodo de simulacion recientemente propuesto para simular el modelo de Ising en 3D y el modelo de Potts con cuatro estados en 2D.
Se han comprobado las propiedades de autopromedio de la susceptibilidad en el modelo de Heisenberg diluido en 3D, asi como la validez del criterio de Harris.
Hemos encontrado una region de primer orden del espacio de fases del modelo de Pottts con cuatro y ocho estados en 3D y en presencia de dilucion.
Tambien hemos utilizado los ceros de Lee-Yang para recalcular los exponentes de los terminos de correcciones logaritmicas del modelos de Ising en 4D y en presencia de dilucion, con ello hemos conseguido distinguir entre cinco escenarios en conflicto presentes en la literatura.
Por lo tanto hemos avanzado en la compresion teorica del efecto del desorden en materiales, se ha mejorado la precision de los resultados obtenidos anteriormente y eliminado algunas polemicas presentes en la descripcion teorica de algunos modelos
null Los denominados sistemas cuanticos fuertemente correlacionados son un tipo particular de sistemas en los cuales las interacciones que toman parte en ellos, independientemente de su magnitud, los conducen a un regimen fisico alejado del habitual liqui do de Fermi. Este tipo de comportamiento se produce en sistemas de muy baja dimensionalidad y en la fisica actual de la materia condensada juegan un papel fundamental en areas tales como la superconductividad de alta temperatura, magnetismo cuantico y conductores de baja dimensionalidad
En esta tesis hemos estudiado distintas configuraciones de espines cuanticos interaccionando entre ellos principalmente mediante interacciones de tipo Heisenberg. En concreto hemos realizado estudios rigurosos de la escalera de Heisenberg de dos cadenas y acoplos ferro- y antiferro-magneticos, asi como de distintas configuraciones de escaleras dimerizadas compuestas por tres cadenas. La eleccion de dichos sistemas no es arbitraria sino que se debe a que to dos ellos poseen propiedades de criticalidad cuantica. Esto es, dichos sistemas poseen lineas criticas en sus diagramas de fase en los cuales se producen transiciones de fase cuanticas. Dichas transiciones se producen a temperatura cero y el mecanism o que las induce son las fluctuaciones cuanticas del sistema.
Por otra parte, en el trabajo de esta tesis hemos estudiado en profundidad la naturaleza del estado fundamental en las distintas regiones del diagrama de fases de cada modelo. En e ste sentido hemos establecido con claridad que dichas fases poseen el ordenamiento cuantico propio de los llamados solidos de enlaces de valencia: se trata de fases masivas en las cuales el estado fundamental esta separado por un intervalo finito de energia del resto del espectro. Ademas el orden intrinseco de estos estados es de naturaleza topologica en el sentido que solo puede ser caracterizado empleando parametros de orden no locales. Una parte importante del trabajo de la tesis consiste pre cisamente en la caracterizacion de estas fases haciendo uso de los llamados parametros de orden de secuencia y de torsion, los cuales estan intimamente asociados al concepto de solido de enlaces de valencia.
En el ultimo trabajo publicado en esta tesis hemos abordado un modelo muy concreto que describe una determinada nano-molecula magnetica compuesta por pocos atomos. En este contexto hemos establecido que su estado fundamental tambien posee la estructura de un solido de enlaces de valencia
En esta memoria se presenta un estudio del comportamiento critico de distintos sistemas de espines. Se calculan sus exponentes criticos mediante la aplicacion de tecnicas de tamano finito. Los diferentes sistemas considerados son: los modelos O(N) ferromagneticos en tres dimensiones para los cuales podemos alcanzar una gran precision en los exponentes criticos, los sistemas antiferromagneticos O(2) y O(3) en cuatro dimensiones en una red F4 para dilucidar el orden de sus transiciones de fase, y por ultimo, realizamos un estudio del modelo de Ising con dilucion en los nodos en varias dimensiones, con el objeto de investigar la influencia del desorden sobre este sistema simple.
El incipiente campo de los ordenes topologicos ha sido ampliamente estudiado tanto por las comunidad de fisica de la materia condensada como por la de simulacion cuantica. Sin embargo, es poco lo que se conoce sobre el comportamiento de estos ordenes topologicos en presencia de ruido externo o efectos disipativos.
En la primera parte de esta tesis, hemos estudiado como los estados de borde de un aislante topologico se vuelven intestables cuando se ponen en interaccion con banos termicos. Motivados por estos resultados, hemos generalizado la nocion de aislante topologico de tipo Chern para el caso de dinamicas Liouvillianas. Estas dinamicas caracterizan sistemas en presencia de disipacion que no puede ser descritos por un Hamiltoniano. Para alcanzar este objetivo de generalizacion hemos definido un nuevo indicador topologico que esta relacionado con la conductividad Hall cuantica a temperatura finita. Este formalismo describe tambien el caracter mixto de los estados de borde del aislante topologico. A modo de ejemplo, hemos estudiado modelos explicitos de aislantes topologicos acoplados a distintos canales de disipacion.
Por otra lado, hemos encontrado nuevas fases cuanticas y topologicas que permanecen cuantizadas a temperatura finita. La construccion de las mismas esta basada en la fase de Uhlman, que es una fase geometrica cuantica definida para matrices densidad; utilizadas estas ultimas para describir estados cuanticos con ruido. Empleando esta nueva herramienta, hemos sido capaces de caracterizar aislantes y superconductores topologicos a temperatura finita tanto en una como en dos dimensiones espaciales. Desde el punto de vista experimental, hemos propuesto un protocolo (independiente del estado del sistema) para medir la fase de Uhlmann topologica en un contexto de simulacion cuantica.
En la segunda parte de la tesis hemos centrado nuestros esfuerzos en el estudio de sistemas topologicos que presentan efectos de largo alcance. Los ordenes topologicos de tipo symmetry-protected han emergido tradicionalmente a partir de interacciones de corto alcance. Sin embargo, se desconoce en gran medida el rol que juegan las interacciones de largo alcance en la fisica de estos sistemas topologicos.
En esta parte de la tesis hemos analizado como las fases topologicas superconductoras se ven afectadas por la inclusion de acoplos de largo alcance. De manera muy resenable, hemos encontrado nuevas quasi-particulas topologicas debido a las interacciones de largo alcance, que no estaban presentes en modelos de corto alcance. Se trata de fermiones de Dirac no-locales protegidos por la topologia del propio sistema. Ademas, hemos estudiado como los invariantes topologicos se ven modificados por la presencia de efectos de largo alcance.
Por ultimo, en la seccion de apendices de esta tesis, hemos utilizados diversos metodos numericos para estudiar transiciones de fase cuanticas inducidas por disipacion. De esta manera, hemos considerado sistemas cuanticos con un termino disipativo que conduce el sistema a un estado estacionario de no equilibrio. En particular, hemos demostrado que la inclusion de flucturaciones de corto alcance en los sistemas fuera del equilibrio, modifica significativamente la topologia del diagrama de fases. Este es un hecho que por el contrario no se observa en la termodinamica de equilibrio.
El trabajo se estructura en 6 capitulos. El capitulo 1 posee fundamentalmente un caracter de introduccion teorica a las herramientas de campo medio que se usan en los diferentes modelos que se presentan, ademas de introducirse otros conceptos que apareceran a lo largo del trabajo. El capitulo 2 tambien constituye una introduccion teorica en la que se realiza un breve analisis del concepto de la decoherencia y sus implicaciones en la Mecanica Cuantica, poniendo especial enfasis en el problema de la medida y como la introduccion del ambiente permite una posible solucion a dicho problema. En este capitulo se presentara la matriz densidad como herramienta basica de trabajo para estudiar el factor de decoherencia.El capitulo 3 se puede dividir en dos bloques. Un primer bloque dedicado la modelo vibronico U(4) y un segundo bloque dedicado a su limite 2D, el modelo U(3). En ambos bloques se expondran las propiedades algebraicas de los dos modelos asi como las diferentes cadenas de simetria que se obtienen. Estos modelos presentan una QPT y usando el formalismo de estados intrinsecos se estudiara la transicion de fase entre la fase simetrica y la fase no simetrica. Sin embargo, se sabe que este metodo es correcto unicamente en el orden mas alto en el desarrollo en potencias de N, donde N es el numero de bosones. Nosotros nos basaremos en el metodo desarrollado en [15] para ir mas alla de este orden y calcular correcciones de tamano finito a varios observables espectroscopicos. Para ello, se introducira la transformacion de Holstein-Primako_ que proporcionara un hamiltoniano en serie de potencias de N donde unicamente se consideraran los terminos en orden mas alto: N, N1/2 y N0. Despues, mediante el uso de una transformacion de Bogoliubov se conseguira la diagonalizacion del hamiltoniano, con lo que se obtendran expresiones analiticas para el estudio del sistema tanto en la fase simetrica como en la no simetrica. Dichas expresiones analiticas se compararan posteriormente con los calculos numericos obtenidos de resolver el problema exactamente en una base adecuada. Ademas, se llevara a cabo un estudio de escalado del sistema por tamano finito que nos permitira extraer los exponentes criticos de los observables espectroscopicos analizados.El capitulo 4 esta dedicado a otro sistema de dos niveles, el modelo de Lipkin. Este modelo guarda una estrecha relacion con el modelo vibronico tal y como se vera en el capitulo 3. Dicha relacion quedara mas patente con la eleccion que se realizara del estado intrinseco para estudiar el diagrama de fases del modelo vibronico. De hecho podemos afirmar que un modelo vibronico con simetria axial se comporta como un modelo de Lipkin. Por este motivo, todo el estudio que se realice en campo medio para el modelo vibronico sera aplicable al modelo de Lipkin, ya que las expresiones que se obtendran son formalmente analogas. Asi pues, en este capitulo nos centraremos en la influencia que tiene una transicion de fase cuantica sobre el fenomeno de la decoherencia. Ahora bien, se sabe que el citado modelo presenta tanto una QPT como una ESQPT, y dependiendo del valor de los parametros concretos del sistema, la ESQPT puede ser de primer o segundo orden. De modo que el analisis se realizara para ambos tipos de transicion. Para tal proposito, se presenta un sistema constituido por un qubit interactuando con un bano bosonico que vendra descrito por el modelo de Lipkin. El estudio de la decoherencia se realizara tanto empleando las tecnicas mas alla de campo medio desarrolladas en el modelo vibronico, como usando la aproximacion de Tamm-Dancoff (TDA) [28] y TDA a segundo orden. Todos los resultados se compararan una vez mas con la solucion exacta del problema y se analizara la relacion entre la transicion de fase que experimenta dicho sistema con la decoherencia. Ademas se incluira un estudio de escalado por tamano finito del factor de decoherencia.En el capitulo 5 se estudiaran tres modelos que describen un campo bosonico de un unico modo interactuando con un subsistema algebraico basado o bien en el algebra SU(1; 1) o en el SU(2). El modelo SU(1; 1) es un modelo de juguete util para la descripcion de la formacion y disociacion de moleculas diatomicas y atomos independientes [16]. El hamiltoniano SU(2) representa al modelo de Dicke [27] o al modelo de Jaynes-Cummings (JC) [17] (tambien conocido como modelo de Tavis-Cummings [29]). Estos dos ultimos modelos poseen interes en Optica Cuantica y describen a un sistema de atomos susceptibles a ocupar dos niveles interactuando con un campo de radiacion. Mientras que el modelo SU(1; 1) y el modelo de Jaynes-Cummings son integrables, el modelo de Dicke no lo es. Todos ellos son sistemas de dos niveles que presentan tanto una QPT como una ESQPT. Asi pues, en primer lugar se analizaran las transiciones de fase con una aproximacion semiclasica, en particular las relacionadas con las transiciones de fase de estados excitados. Despues se introducira el concepto de quantum quench, analizandose la influencia que tiene una ESQPT sobre este. Por ultimo, relacionaremos la presencia de caos cuantico en el modelo no integrable de Dicke con los precursores de la ESQPT en el mismo.En el ultimo capitulo se presentara un resumen y las conclusiones de los principales resultados de este trabajo.
Esta memoria ha sido dedicada al estudio de modelos de vidrios de espin con interacciones a corto alcance, en concreto el modelo de Potts de vidrios de espin y el de Edwards-Anderson. El objetivo principal de esta Tesis Doctoral ha sido el estudio de las transiciones de fase que estos modelos presentan, asi como la caracterizacion de su fase de vidrio de espin a bajas temperaturas. La complejidad que presentan los vidrios de espin exigen el desarrollo de sofisticadas herramientas para su estudio, las cuales pueden ser aplicadas en otras ramas de la ciencia como el plegamiento de proteinas. Para el desarrollo de esta tesis se han utilizado programas propios escritos en lenguaje C y la maquina dedicada Janus del BIFI, asi como en menor medida otras infraestructuras como el Cluster del BIFI. Un vidrio de espin es una coleccion de momentos magneticos, espines, que a baja temperatura presenta un estado congelado desordenado, la fase de vidrio de espin. En esta fase, el sistema posee caracteristicas muy interesantes. Los tiempos de relajacion son extremadamente largos debido a un paisaje de energia muy complicado. Una de las principales causas de ello es la frustracion, que consiste en que los espines no son capaces de encontrar un estado estable debido a que hay competencia entre distintas interacciones con los espines vecinos. El objetivo de esta tesis consiste en una pequena aportacion a este vasto campo de investigacion, estudiando modelos teoricos en tres dimensiones mediante simulaciones por ordenador para estudiar entre otras cosas la existencia de transicion de fase a la fase de vidrio de espin en presencia de campo magnetico externo en el modelo de Edwards-Anderson, la caracterizacion de las transiciones de fase en el modelo de Potts y estudiar el escenario teorico que mejor describe la fase de vidrio de espin en modelos realistas en tres dimensiones. Desarrollo teorico Se han desarrollado muchos modelos de vidrios de espin para modelizar los sistemas reales, con diferentes formas de afrontar el problema. Algunos modelos reproducen las impurezas en los sitios tipicas de los primeros sistemas experimentales estudiados, son los modelos con aleatoriedad en los sitios. Sin embargo, se ha desarrollado otro tipo de vidrios de espin, los modelos con enlaces aleatorios. Edwards y Anderson propusieron el primero de este tipo de modelos en el que si las variables de los espines son vectores unitario de una dimension tenemos el llamado modelo de vidrio de espin de Ising o de Edwards-Anderson, EA. Los acoplamientos son variables aleatorias estaticas mientras que las variables de los espines son variables dinamicas. Solo interactuan los vecinos mas proximos (dependiendo del modelo primeros, segundos vecinos, etc.) lo que es una forma de modelar el decaimiento con la distancia de la interaccion en sistemas reales. Las dos principales distribuciones de probabilidad de los acoplamientos son la distribucion gaussiana y la distribucion bimodal. Otro modelo de enlaces aleatorios es el modelo de Potts de vidrios de espin en el que las variables de los espines pueden tomar p valores distintos. La distribucion de probabilidad de los acoplamientos puede ser tambien gaussiana o bimodal. Esta tesis se centra en el modelo de Potts de vidrios de espin y en el modelo de Edwards-Anderson de vidrios de espin de tipo Ising. Sin embargo, la solucion analitica de estos modeles es bastante complicada por lo que se deben realizar algunas aproximaciones. En 1975, Sherrington y Kirkpatrick propusieron una teoria de campo medio basada en un modelo con un rango de interacciones infinito. El Hamiltoniano del modelo de Sherrington-Kirkpatrick (SK) es bastante similar a la del modelo EA pero con alcance infinito de las interacciones y con distribucion gaussiana de los acoplamientos es gaussiana. Este modelo SK se suele interpretar a menudo como un modelo de EA con infinitas dimensiones. Para encontrar la solucion a alta temperatura basta con suponer simetria en las replicas, sin embargo esta suposicion no funciona para la fase de vidrio de espin. Parisi encontro una solucion para la fase de baja temperatura de este modelo, Replica Symmetry Breaking (Rotura de Simetria de las Replicas, RSB). Su solucion consiste en romper en sucesivos pasos la simetria de las replicas. Otra aproximacion que permite una solucion analitica es la teoria de los droplets, que fue desarrollada por Bray y Moore usando el grupo de renormalizacion de Migdal-Kadanoff, y desde un punto de vista fenomenologico por Fisher y Huse. En este caso se trabaja con un Hamiltoniano con interacciones de corto alcance. Un droplet es una region compacta en la que los espines estan invertidos. La solucion RSB en campo medio (interpretandolo como un modelo con interacciones de corto alcance en dimension infinita) es la solucion exacta por encima y en la dimension critica superior, 6, mientras que el modelo droplet es la solucion exacta en bajas dimensiones. Sin embargo, no se conoce el comportamiento de un sistema realista en tres dimensiones. Uno de los objetivos de esta tesis sera estudiar cual de estos dos modelos funciona mejor en tres dimensiones. Afortunadamente, el comportamiento esperado en cada escenario es completamente diferente. RSB predice una transicion de fase a un fase de vidrio de espin en presencia de campo magnetico mientras que el modelo droplet no. Ademas, la distribucion de probabilidad del overlap es bastante diferente en estos escenarios. Hay otro escenario intermedio, TNT (trivial-no trivial) pero nos centraremos en los dos primeros. Conclusiones En esta tesis se ha estudiado el Modelo de Potts Desordenado (DPM) y el Modelo de Vidrios de Espin de tipo Ising de Edwards-Anderson (ISGM), ambos en tres dimensiones. En el DPM (con valor medio de los acoplamientos cero) hemos encontrado una transicion a una fase de vidrio de espin para p=5 y p=6 estados y hemos caracterizado su temperatura critica. Tambien hemos calculado los exponentes criticos para caracterizar la transicion de fase, donde hemos encontrado nuestro resultado mas importante en este modelo: conforme crece p, la transicion tiende hacia una de primer orden. Sin embargo, no hemos hallado signos de transicion a una fase ferromagnetica a bajas temperaturas, como predice la teoria de campo medio, en todo el rango de temperaturas estudiado, aunque este modelo permite su existencia. En lo que respecta al ISGM, se ha llevado a cabo un profundo analisis de el. Se ha estudiado el comportamiento de sistemas en equilibrio y fuera del equilibrio (este ultimo incluso en presencia de un campo magnetico externo). En primer lugar, analizamos las fluctuaciones entre muestras de la distribucion del overlap para comprobar si el sistema exhibe estabilidad estocastica y ultrametricidad. Comprobando la primera de ellas hallamos una pequena discrepancia. Afortunadamente, parece ser debida a efectos de tamano finito y tiende a desaparecer conforme crece L. Respecto a la ultrametricidad, no hemos conseguido alcanzar ninguna conclusion clara, aunque parece que mejora conforme crece el tamano del reticulo. Ademas, se ha estudiado la transicion de fase del ISGM analizando los ceros de la funcion de particion. De hecho, hemos estudiado los ceros de un ISGM con una pequena perturbacion debida al overlap. En la temperatura critica, se ha estudiado el comportamiento de los ceros y la densidad integrada de ceros. Los exponentes hallados en ambos analisis son compatibles con los resultados previos de la literatura. Es mas, hemos contrastado el comportamiento de la densidad integrada de los ceros con la pendiente esperada en el origen calculada con el valor de qEA obtenido de la literatura con un resultado satisfactorio. Se ha analizado tambien la fase de baja temperatura y los resultados obtenidos son compatibles con los que se pueden encontrar en la literatura calculados con tecnicas mas tradicionales. Respecto al comportamiento fuera del equilibrio, hemos hallado evidencias de una transicion vitrea en tres dimensiones en presencia de un campo magnetico externo. Aunque no hemos podido determinar si se lleva a cabo una transicion termodinamica. La principal evidencia es el comportamiento del tiempo de relajacion que crece varios ordenes de magnitud cuando se incrementa la temperatura. Este efecto sugiere la existencia de dos fases diferentes y ajustando su curva se puede calcular la temperatura critica. Ademas, los ajustes realizados de W y q a bajas temperaturas apoyan la hipotesis de esta transicion de fase e incluso las temperaturas criticas esperadas son compatibles. Tambien se ha estudiado el rejuvenecimiento y la memoria (en ausencia de campo magnetico externo) usando un sistema bastante grande L=256. Desafortunadamente no hemos conseguido reproducir el experimento Dip.
El objetivo de este trabajo es realizar un estudio sobre las transiciones de fase cuánticas que se presentan en el modelo de Rabi, un modelo de interacción radiación-materia entre un átomo de dos niveles y un campo bosónico. Presentaremos y analizaremos su hamiltoniano para, a partir del mismo, caracterizar las transiciones de fase cuánticas que afectan tanto al estado fundamental como a los estados excitados del sistema. Primero analizaremos la transición en el estado fundamental, realizando el estudio cuántico mediante cálculos numéricos y luego haciendo un estudio analítico dentro de una aproximación semiclásica. Ello nos permitirá comparar los resultados y comprobar la validez de esta aproximación. Después, analizaremos la transición en los estados excitados, comparando de nuevo el estudio analítico con los cálculos numéricos, exactos. Veremos que la transición de fase en el estado fundamental se debe al cambio del potencial que observa el sistema, causando la rotura de la simetría de dicho estado. Por otro lado, comprobaremos que la transición en los estados excitados solo puede ocurrir cuando ya se ha dado la transición en el estado fundamental, y veremos que se caracteriza por la degeneración en niveles de energía inferiores a cierto valor crítico. En todos los casos, comprobaremos que los cálculos semiclásicos y los exactos coinciden cuando el cociente entre las energías que caracterizan al átomo y al campo bosónico tiene un valor grande comparado con 1. Para conseguirlo, hemos desarrollado desde cero diversos códigos MATLAB con el objetivo de poder realizar los cálculos necesarios para caracterizar las transiciones. En concreto, para estudiar la transición de fase en el estado fundamental, hemos desarrollado un código que permite obtener la energía del estado fundamental del sistema y otro que permite calcular, para dicho estado, el valor esperado del número de fotones y de σz, observables que se discutirán en el texto. También hemos creado un código que muestra la forma del potencial que afecta al sistema en su estado fundamental. Del mismo modo, al estudiar la transición en los estados excitados, hemos creado un código que obtiene todos los niveles de energía del sistema, con el objetivo de calcular numéricamente la densidad de estados. Otro código permite comparar este cálculo con la expresión analítica que obtendremos de la densidad de estados, y otro último calcula el valor de σz en todos los estados del sistema. Por último, dos códigos nos permitirán crear imágenes que sirvan para ilustrar lo que sucede en las transiciones; el primero de ellos representa la forma del potencial que afecta al sistema en diversas situaciones; el segundo estudia la variación de los diez primeros niveles energéticos del sistema. Todo esto se desarrolla en el trabajo. Los códigos pueden consultarse en el apéndice.