Given a pair of conjugate variables x and y (time and frequency in signal theory, position and momentum in quantum mechanics) which cannot be fixed together, we have built a family of wavelets satisfying the following properties. Each wavelet is characterized by a pair of mean values
xˉ,
yˉ lying at a site of a lattice in the plane x, y (information plane or phase space); the wavelets are deduced from one another by the translation of this lattice; their family constitutes an orthonormal complete basis; each one is as localized as possible around
xˉ,
yˉ in both x and y. Such a paving of the plane x, y provides a representation of any wave, which specifies both conjugate variables at best. The orthogonality constraint implies however the divergence of the uncertainty
Δx.Δy for each wavelet. The implications on measurement theory of this strong uncertainty principle are discussed. French abstract: Etant donne une paire de variables conjuguees x et y (temps et frequence en theorie du signal, position et impulsion en mecanique quantique) qui ne peuvent etre precisees a la fois, on a construit une famille d'ondelettes ayant les proprietes suivantes. Chacune est caracterisee par la paire des valeurs moyennes
xˉ,
yˉ, disposee en un nœud d'un reseau du plan x, y (plan d'information ou espace des phases); les ondelettes se deduisent l'une de l'autre par les translations de ce reseau; leur famille constitue une base complete orthonormee; chacune est aussi localisee que possible autour de
xˉ,
yˉ, a la fois en x et y. Le pavage du plan x, y ainsi constituee peut servir a representer toute onde en specifiant au mieux les deux variables conjuguees. La contrainte d'orthogonalite impose cependant que l'incertitude
Δx.Δy relative a chaque ondelette diverge. On discute des implications de ce principe d'incertitude fort sur la theorie de la mesure.
Nous utilisons en premier lieu un exemple simple de physique classique pour définir la déviation standard (ou écart type). Nous énonçons ensuite de façon précise le principe d’incertitude de Heisenberg sous forme d’une relation entre les déviations standard des mesures respectives de position et d’impulsion et la constante de Planck. Nous critiquons l’expression usuelle « principe d’incertitude de Heisenberg » qui a été la source de nombreuses confusions et proposons d’utiliser de préférence « inégalités de Heisenberg ». Enfin nous soulignons l’utilisation heuristique de ces inégalités dans des raisonnements semi-classiques.
To resolve an issue that was raised in our earlier paper in this journal [69, 340–347 (2001)], a direct analog of the standard uncertainty relation is derived for the discrete Fourier transform (DFT). This inequality gives a simple lower bound for the degree of localization of the DFT of any sequence in terms of just the localization of the original sequence. It is also shown that the earlier uncertainty relations for the Fourier transform and the Fourier series can be derived from this new relation by taking appropriate limits. Because the same cannot be said of the others, this new relation is arguably the most fundamental of the three.
L'indiscernabilité des corpuscules de mème espèce étant adoptée comme principe fondamental indépendamment de toute considération quantique, on en étudie les conséquences. On définit d'une manière précise déterminisme et indéterminisme pour les positions et pour les quantités de mouvement. On étudie ensuite les possibilités de mesures simultanées des positions et des quantités de mouvement; on établit alors que la mesure simultanée des quantités de mouvement et des positions des corpuscules indiscernables appartenant à un système S est impossible, ce qui entraîne l'indéterminisme mécanique pour un système contenant des corpuscules indiscernables. Puis on démontre que ce résultat s'étend au cas d'un corpuscule unique et d'un système quelconque. Ainsi l'indiscernabilité entraîne l'indéterminisme. On montre ensuite que l'impossibilité de mesures simultanées nécessite une modification des propriétés du produit logique et par conséquent l'utilisation d'une nouvelle logique. L'indéterminisme qui résulte de l'hypothèse d'indiscernabilité permet d'écrire des relations d'incertitude. Celles-ci ne contiennent pas la constante h puisqu'on n'a pas fait appel à des considérations quantiques ; les relations obtenues sont plus faibles que celles de Heisenberg. La constante de Planck ne peut être introduite que par un postulat. Enfin, on indique les grandes lignes d'une géométrie cinématique en accord avec l'indéterminisme, qui s'appuie sur la nouvelle logique envisagée auparavant.