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arXiv:2011.14884 · Journal de Mathématiques Pures et Appliquées

Semiclassical evolution with low regularity

François Golse, Thierry Paul

Published Feb 18, 2021• 9 citations
arXivHTMLPDF

Abstract

We prove semiclassical estimates for the Schrödinger-von Neumann evolution with C1,1 potentials and density matrices whose square root have either Wigner functions with low regularity independent of the dimension, or matrix elements between Hermite functions having long range decay. The estimates are settled in different weak topologies and apply to initial density operators whose square root have Wigner functions 7 times differentiable, independently of the dimension. They also apply to the N-body quantum dynamics uniformly in N and to concentrating pure and mixed states without any regularity assumption. In a appendix, we finally estimate the dependence in the dimension of the constant appearing on the Calderón-Vaillancourt Theorem. Nous démontrons des estimations semi-classiques pour l'équation de Schrödinger-von Neumann avec potentiel C1,1 et des matrices densité initiales dont la racine carrée a soit une fonction de Wigner de faible régularité indépendante de la dimension, soit des éléments de matrice entre fonctions d'Hermite à décroissance lente. Les estimations sont exprimées dans diverses topologies faibles et s'appliquent à des matrices densité dont la racine carrée a une fonction de Wigner 7 fois différentiable, indépendamment de la dimension. Elles s'appliquent aussi à la dynamique quantique à N corps uniformément en N, et, sans aucune hypothèse de régularité, à des états mixtes ou purs se concentrant à la limite classique. Enfin, nous estimons dans un appendice la dépendance en la dimension de la constante apparaissant dans le théorème de Calderón-Vaillancourt.

DOI
10.1016/j.matpur.2021.02.008

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Semiclassical properties of Wigner functions

Asher Peres

The following conjecture is shown to be plausible: Consider a sequence of quantum theories with different values of ℏ. In each one, let be a non-degenerate self-adjoint operator, having a "classical limit" as ℏ → 0. Let z' be an eigenvalue of in the vicinity of a fixed real number z (independent of ℏ) and let W ( p, q ; z' ) be the corresponding Wigner function. Then, if we subject W ( p, q ; z' ) to a coarse graining over a scale ≫ ℏ, the result, in the limit ℏ → 0, is proportional to the classical distribution δ[ Z ( p, q ) - z ].

Physica Scripta•Dec 1, 1986•3 citations

Etude d'une mécanique stochastique dans l'espace des phases

O Cohendet

Dans l'optique de la mecanique stochastique, une formulation probabiliste de la mecanique quantique dans l'espace des phases est proposee. Notre approche utilise la fonction de wigner qui offre, dans un cadre general, une description d'un systeme quantique dans l'espace des phases. Alors que la mecanique stochastique ne considere que les etats purs du systeme, les proprietes de la fonction introduite par wigner nous permettent de traiter les etats de melange aussi bien que les etats purs. Apres avoir precise, en premiere partie, les proprietes essentielles de cette fonction et rappele son lien avec les operateurs de weyl, nous donnons dans une deuxieme partie une analyse heuristique de la mecanique quantique en terme de fluide. L'interpretation habituelle de la fonction de wigner comme etant une densite dans l'espace des phases, nous amene a considerer le cas d'un systeme soumis a l'action d'une force derivant d'un potentiel qui est la transformee de fourier d'une mesure bornee. Nous montrons que l'on peut alors envisager la fonction de wigner comme une difference de deux fonctions positives telles qu'a chacune de ces fonctions soit associe un processus de markov. Notre conception de fluide quantique consiste a interpreter ces deux fonctions comme etant les densites d'un fluide compose de deux types de particules differents mais dans lequel seule la difference de ces densites est observee. L'evolution de chaque type de particule est alors donnee par le processus de markov associe. Dans le cas particulier ou l'espace de hilbert du systeme est de dimension finie, une telle construction de processus peut alors rigoureusement etre effectuee. Cette etude est realisee dans une troisieme partie ou la dimension n de l'espace de hilbert est supposee impaire. La raison d'un tel choix est due au fait que le groupe des residus modulo n, que nous utilisons, possede dans ce cas une racine carree. Nous construisons, en premier lieu, une theorie des operateurs de weyl et des fonctions de wigner discretises. En augmentant l'espace des phases discretise d'une variable dichotomique egale a +1 ou -1, nous prouvons l'existence d'un processus de markov evoluant dans cet espace, tel que la fonction de wigner soit egale a la valeur moyenne partielle de cette variable dichotomique. Dans un article ecrit en collaboration avec p. Combe, m. Sirugue et m. Sirugue-collin, nous montcrons que ce formalisme peut etre applique a l'etude d'un spin entier. Enfin, en appendice, nous donnons les proprietes des processus de markov qui sont utiles a notre expose

•Jan 1, 1987•1 citation

Estimation non paramétrique en tomographie quantique homodyne

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En optique quantique, la reconstruction de l'etat quantique (fonction de Wigner ou matrice de densite infini-dimensionnelle) d'un faisceau de lumiere correspond en statistique a un probleme inverse tres mal pose. Premierement, nous proposons des estimateurs de la matrice de densite bases sur les fonctions pattern et des estimateurs a noyau de la fonction de Wigner. Nous faisons l'hypothese que la matrice de densite inconnue appartient a une classe non parametrique definie en accord avec les exemples etudies par les physiciens. Nous en deduisons pour la fonction de Wigner associee a cette matrice des proprietes de decroissance rapide et de regularite. Deuxiemement, nous estimons une fonctionnelle quadratique de la fonction de Wigner par une U-statistique d'ordre deux sur une classe plus large. Cette fonctionnelle peut etre vue comme une indication sur la purete de l'etat quantique considere. Nous en deduisons un estimateur adaptatif aux parametres de regularite de la fonction de Wigner. La derniere partie de ce manuscrit est consacree au probleme de test d'adequation a la matrice de densite. Cette procedure est construite a partir d'un estimateur de type projection sur les fonctions \textit{pattern}. Nous etudions les bornes superieures de type minimax de toutes ces procedures. Les procedures d'estimation de la matrice de densite et de test d'adequation a une matrice de densite sont implementees et leurs performances numeriques sont etudiees.

•Jan 1, 2008•0 citations

Semiclassical limit for mixed states with singular and rough potentials.

Thierry Paul, Alessio Figalli, Marilena Ligabò

We consider the semiclassical limit for the Heisenberg-von Neumann equation with a potential which consists of the sum of a repulsive Coulomb potential, plus a Lipschitz potential whose gradient belongs to $BV$; this assumption on the potential guarantees the well posedness of the Liouville equation in the space of bounded integrable solutions. We find sufficient conditions on the initial data to ensure that the quantum dynamics converges to the classical one. More precisely, we consider the Husimi functions of the solution of the Heisenberg-von Neumann equation, and under suitable assumptions on the initial data we prove that they converge, as $\e \to 0$, to the unique bounded solution of the Liouville equation (locally uniformly in time).

•Jan 1, 2012•12 citations

Sur les mesures de Wigner

Pierre‐Louis Lions, Thierry Paul

We study the properties of the Wigner transform for arbitrary functions in L^2 for hermitian kernels like the so-called density matrices. And we introduce some limits of these transforms for sequences of functions in L^2 , limits that correspond to the semi-classical limit in Quantum Mechanics. The measures we obtain in this way, that we call Wigner measures, have various mathematical properties that we establish. In particular, we prove they satisfy, in linear situations (Schrödinger equations) or nonlinear ones (time-dependent Hartree equations), transport equations of Liouville or Vlasov type.

Revista Matemática Iberoamericana•Dec 31, 1993•568 citations

Estimations et tests non paramétriques en tomographie quantique homodyne

Katia Méziani

En optique quantique, la reconstruction de l'état quantique (fonction de Wigner ou matrice de densité infini-dimensionnelle) d'un faisceau de lumière correspond en statistique à un problème inverse trés mal posé. Premièrement, nous proposons des estimateurs de la matrice de densité basés sur les fonctions \textit{pattern} et des estimateurs à noyau de la fonction de Wigner. Nous faisons l'hypothèse que la matrice de densité inconnue appartient à une classe non paramétrique définie en accord avec les exemples étudiés par les physiciens. Nous en déduisons pour la fonction de Wigner associée à cette matrice des propriétés de décroissance rapide et de régularité. Deuxièmement, nous estimons une fonctionnelle quadratique de la fonction de Wigner par une U-statistique d'ordre deux sur une classe plus large. Cette fonctionnelle peut être vue comme une indication sur la pureté de l'état quantique considéré. Nous en déduisons un estimateur adaptatif aux paramètres de régularité de la fonction de Wigner. La dernière partie de ce manuscrit est consacrée au problème de test d'adéquation à la matrice de densité. Cette procédure est construite à partir d'un estimateur de type projection sur les fonctions \textit{pattern}. Nous étudions les bornes supérieures de type minimax de toutes ces procédures. Les procédures d'estimation de la matrice de densité et de test d'adéquation à une matrice de densité sont implémentées et leurs performances numériques sont étudiées.

•Dec 9, 2008•0 citations
We prove semiclassical estimates for the Schrödinger-von Neumann evolution with C1,1 potentials and density matrices whose square root have either Wigner functions with low regularity independent of the dimension, or matrix elements between Hermite functions having long range decay. The estimates are settled in different weak topologies and apply to initial density operators whose square root have Wigner functions 7 times differentiable, independently of the dimension. They also apply to the N-body quantum dynamics uniformly in N and to concentrating pure and mixed states without any regularity assumption. In a appendix, we finally estimate the dependence in the dimension of the constant appearing on the Calderón-Vaillancourt Theorem. Nous démontrons des estimations semi-classiques pour l'équation de Schrödinger-von Neumann avec potentiel C1,1 et des matrices densité initiales dont la racine carrée a soit une fonction de Wigner de faible régularité indépendante de la dimension, soit des éléments de matrice entre fonctions d'Hermite à décroissance lente. Les estimations sont exprimées dans diverses topologies faibles et s'appliquent à des matrices densité dont la racine carrée a une fonction de Wigner 7 fois différentiable, indépendamment de la dimension. Elles s'appliquent aussi à la dynamique quantique à N corps uniformément en N, et, sans aucune hypothèse de régularité, à des états mixtes ou purs se concentrant à la limite classique. Enfin, nous estimons dans un appendice la dépendance en la dimension de la constante apparaissant dans le théorème de Calderón-Vaillancourt.
The following conjecture is shown to be plausible: Consider a sequence of quantum theories with different values of ℏ. In each one, let be a non-degenerate self-adjoint operator, having a "classical limit" as ℏ → 0. Let z' be an eigenvalue of in the vicinity of a fixed real number z (independent of ℏ) and let W ( p, q ; z' ) be the corresponding Wigner function. Then, if we subject W ( p, q ; z' ) to a coarse graining over a scale ≫ ℏ, the result, in the limit ℏ → 0, is proportional to the classical distribution δ[ Z ( p, q ) - z ].
Dans l'optique de la mecanique stochastique, une formulation probabiliste de la mecanique quantique dans l'espace des phases est proposee. Notre approche utilise la fonction de wigner qui offre, dans un cadre general, une description d'un systeme quantique dans l'espace des phases. Alors que la mecanique stochastique ne considere que les etats purs du systeme, les proprietes de la fonction introduite par wigner nous permettent de traiter les etats de melange aussi bien que les etats purs. Apres avoir precise, en premiere partie, les proprietes essentielles de cette fonction et rappele son lien avec les operateurs de weyl, nous donnons dans une deuxieme partie une analyse heuristique de la mecanique quantique en terme de fluide. L'interpretation habituelle de la fonction de wigner comme etant une densite dans l'espace des phases, nous amene a considerer le cas d'un systeme soumis a l'action d'une force derivant d'un potentiel qui est la transformee de fourier d'une mesure bornee. Nous montrons que l'on peut alors envisager la fonction de wigner comme une difference de deux fonctions positives telles qu'a chacune de ces fonctions soit associe un processus de markov. Notre conception de fluide quantique consiste a interpreter ces deux fonctions comme etant les densites d'un fluide compose de deux types de particules differents mais dans lequel seule la difference de ces densites est observee. L'evolution de chaque type de particule est alors donnee par le processus de markov associe. Dans le cas particulier ou l'espace de hilbert du systeme est de dimension finie, une telle construction de processus peut alors rigoureusement etre effectuee. Cette etude est realisee dans une troisieme partie ou la dimension n de l'espace de hilbert est supposee impaire. La raison d'un tel choix est due au fait que le groupe des residus modulo n, que nous utilisons, possede dans ce cas une racine carree. Nous construisons, en premier lieu, une theorie des operateurs de weyl et des fonctions de wigner discretises. En augmentant l'espace des phases discretise d'une variable dichotomique egale a +1 ou -1, nous prouvons l'existence d'un processus de markov evoluant dans cet espace, tel que la fonction de wigner soit egale a la valeur moyenne partielle de cette variable dichotomique. Dans un article ecrit en collaboration avec p. Combe, m. Sirugue et m. Sirugue-collin, nous montcrons que ce formalisme peut etre applique a l'etude d'un spin entier. Enfin, en appendice, nous donnons les proprietes des processus de markov qui sont utiles a notre expose
En optique quantique, la reconstruction de l'etat quantique (fonction de Wigner ou matrice de densite infini-dimensionnelle) d'un faisceau de lumiere correspond en statistique a un probleme inverse tres mal pose. Premierement, nous proposons des estimateurs de la matrice de densite bases sur les fonctions pattern et des estimateurs a noyau de la fonction de Wigner. Nous faisons l'hypothese que la matrice de densite inconnue appartient a une classe non parametrique definie en accord avec les exemples etudies par les physiciens. Nous en deduisons pour la fonction de Wigner associee a cette matrice des proprietes de decroissance rapide et de regularite. Deuxiemement, nous estimons une fonctionnelle quadratique de la fonction de Wigner par une U-statistique d'ordre deux sur une classe plus large. Cette fonctionnelle peut etre vue comme une indication sur la purete de l'etat quantique considere. Nous en deduisons un estimateur adaptatif aux parametres de regularite de la fonction de Wigner. La derniere partie de ce manuscrit est consacree au probleme de test d'adequation a la matrice de densite. Cette procedure est construite a partir d'un estimateur de type projection sur les fonctions \textit{pattern}. Nous etudions les bornes superieures de type minimax de toutes ces procedures. Les procedures d'estimation de la matrice de densite et de test d'adequation a une matrice de densite sont implementees et leurs performances numeriques sont etudiees.
We consider the semiclassical limit for the Heisenberg-von Neumann equation with a potential which consists of the sum of a repulsive Coulomb potential, plus a Lipschitz potential whose gradient belongs to BVBVBV; this assumption on the potential guarantees the well posedness of the Liouville equation in the space of bounded integrable solutions. We find sufficient conditions on the initial data to ensure that the quantum dynamics converges to the classical one. More precisely, we consider the Husimi functions of the solution of the Heisenberg-von Neumann equation, and under suitable assumptions on the initial data we prove that they converge, as $\e \to 0$, to the unique bounded solution of the Liouville equation (locally uniformly in time).
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