Zb027 · 双缝:相位差、条纹间距与 Nyquist 可分辨极限

guobin ouyang

Published Oct 31, 2026• 0 citations

Abstract

本篇把双缝写成三条可算的式子: $$ \boxed{\;\begin{aligned} &\textbf{相位差}:\ \Delta\varphi=k\,(r_1-r_2),\qquad k=\frac{2\pi}{\lambda};\\ &\textbf{条纹}:\ I(\Delta\varphi)=I_1+I_2+2\sqrt{I_1I_2}\cos\Delta\varphi;\\ &\textbf{间距}:\ \Delta y=\frac{\lambda L}{d}\quad(\text{小角});\qquad \text{可分辨下限 } \Delta y\ge 2a\ (\text{Nyquist}). \end{aligned}\;} \tag{0.1} $$ **四条正面结果**: 1. **条纹公式(定理 2.1)**:两路振幅相加的模方给出 $\cos\Delta\varphi$ 的调制。 2. **条纹间距(命题 2.2)**:小角下 $\Delta y=\lambda L/d$。 3. **Nyquist 极限(定理 3.2)**:屏上的采样间距为 $a$ 时,条纹周期小于 $2a$ 就无法分辨——这是**格点舞台**给出的硬下限。 4. **波长的来源(定理 4.1、推论 4.2)**:稳态的谱比 $p:q$ 经模流给出 $f=\log(p/q)$,再经 Zb005 的逆映射给格上波长;$p:q=2:1$ 时 $\lambda_{\rm lat}=8.8767$ 格。 **一处记账**:屏(采样面)是 Zb006 意义下的**舞台(I)**;条纹间距依赖它,但条纹的存在不依赖。 ---

DOI: 10.5281/zenodo.23829764

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guobin ouyang

Published Oct 31, 2026• 0 citations

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Abstract

本篇把双缝写成三条可算的式子:

\boxed{\;\begin{aligned} &\textbf{相位差}:\ \Delta\varphi=k\,(r_1-r_2),\qquad k=\frac{2\pi}{\lambda};\\ &\textbf{条纹}:\ I(\Delta\varphi)=I_1+I_2+2\sqrt{I_1I_2}\cos\Delta\varphi;\\ &\textbf{间距}:\ \Delta y=\frac{\lambda L}{d}\quad(\text{小角});\qquad \text{可分辨下限 } \Delta y\ge 2a\ (\text{Nyquist}). \end{aligned}\;} \tag{0.1}

四条正面结果: 1. 条纹公式(定理 2.1):两路振幅相加的模方给出

\cos\Delta\varphi

的调制。 2. 条纹间距(命题 2.2):小角下

\Delta y=\lambda L/d

。 3. Nyquist 极限(定理 3.2):屏上的采样间距为

a

时,条纹周期小于

2a

就无法分辨——这是格点舞台给出的硬下限。 4. 波长的来源(定理 4.1、推论 4.2):稳态的谱比

p:q

经模流给出

f=\log(p/q)

,再经 Zb005 的逆映射给格上波长;

p:q=2:1

时

\lambda_{\rm lat}=8.8767

格。 一处记账:屏(采样面)是 Zb006 意义下的舞台(I);条纹间距依赖它,但条纹的存在不依赖。 ---

DOI: 10.5281/zenodo.23829764

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本篇把"舞台"立成一个**有谱的对象**,并说明它为什么必须登记为**输入**: $$ \boxed{\;\begin{aligned} &\textbf{行模}:\ \text{平移与耦合交换}\ TL=LT\ \Longrightarrow\ \text{共同本征基}\ \Longrightarrow\ \lambda=\lambda(q);\\ &\textbf{方格}:\ \lambda(q_x,q_y)=4\sin^2\frac{q_x}2+4\sin^2\frac{q_y}2;\\ &\textbf{有限舞台}:\ K_4\ \text{的谱恰为}\ \{0,4,4,4\};\\ &\textbf{记账}:\ \text{舞台选择属}\ \textbf{结构选择(I)} . \end{aligned}\;} \tag{0.1} $$ **四条正面结果**: 1. **行模定理(定理 2.2)**:舞台上有与耦合交换的平移时,谱由一个行函数 $\lambda(q)$ 给出, $q$ 取遍对偶群。 2. **方格谱(定理 2.3)**:周期方格上的行模是两方向之和。 3. **舞台决定可用频率(定理 3.2)**: $K_4$ 只有两个频率( $0$ 与 $2c$ ),方格是连续带 $[0,2\sqrt2c]$ ;故舞台的选择改变可观测量,属结构选择(I)。 4. **同族判据(命题 5.1/5.2)**:覆盖保持度数;自由作用且**无被反转的边**的商也保持度数。故"两个舞台是否同族"有可查的判据——度数不一致就不同族。三条条件缺一不可( $K_4$ 对 $(12)(34)$ 的商是 $K_2$ , $3\to1$ )。 ---本篇把"舞台"立成一个**有谱的对象**,并说明它为什么必须登记为**输入**: $$ \boxed{\;\begin{aligned} &\textbf{行模}:\ \text{平移与耦合交换}\ TL=LT\ \Longrightarrow\ \text{共同本征基}\ \Longrightarrow\ \lambda=\lambda(q);\\ &\textbf{方格}:\ \lambda(q_x,q_y)=4\sin^2\frac{q_x}2+4\sin^2\frac{q_y}2;\\ &\textbf{有限舞台}:\ K_4\ \text{的谱恰为}\ \{0,4,4,4\};\\ &\textbf{记账}:\ \text{舞台选择属}\ \textbf{结构选择(I)} . \end{aligned}\;} \tag{0.1} $$ **四条正面结果**: 1. **行模定理(定理 2.2)**:舞台上有与耦合交换的平移时,谱由一个行函数 $\lambda(q)$ 给出,$q$ 取遍对偶群。 2. **方格谱(定理 2.3)**:周期方格上的行模是两方向之和。 3. **舞台决定可用频率(定理 3.2)**:$K_4$ 只有两个频率($0$ 与 $2c$),方格是连续带 $[0,2\sqrt2c]$;故舞台的选择改变可观测量,属结构选择(I)。 4. **同族判据(命题 5.1/5.2)**:覆盖保持度数;自由作用且**无被反转的边**的商也保持度数。故"两个舞台是否同族"有可查的判据——度数不一致就不同族。三条条件缺一不可($K_4$ 对 $(12)(34)$ 的商是 $K_2$,$3\to1$)。 ---

Oct 31, 20260 citations

10.61 双缝干涉的几何论推导:Born 法则与投影叠加

guobin ouyang

本文把双缝干涉的条纹分布纳入几何论定理链:从 Born 法则涌现定理(10.60.4.01)出发,推导屏上强度分布的形状(cos²),并明确标注间距标度(λD/d)依赖的实验锚定。主要结果: 1. **命题 10.61.2.01(双路径扇区结构)**:双缝 = 两个同时激活的路径通道;屏上观测 = 商映射 + 截面(#48、10.59 定理 10.59.2.02);两通道联合投影满足算子线性 P(L₁+L₂)P = (c₁+c₂)J(#3)——**振幅叠加是投影的线性,不是额外公设**。 2. **命题 10.61.2.02(等权重归一化)**:等宽等距双缝 → 两通道投影强度相等;#257 归一化 → σ₁ = σ₂ = 1/2。 3. **定理 10.61.3.01(双缝干涉强度定理)**:Born 法则(10.60.4.01)+ 投影线性 + 等权重 ⟹ I(x) = I₀cos²(πd·x/(λD))(等幅理想化;完整形式含包络,定理 10.61.3.04)。**条纹形状(cos²)是几何论定理的直接推论**;相位差 Δφ = 2πd·x/(λD) 是实验锚定(标准几何光学光程差,远场近似)。 4. **定理 10.61.3.04(单缝包络定理)**:缝 = 缝内位置连续纤维族(命题 10.61.2.03)⟹ 单通道振幅带 sinc 角分布(矩形窗傅里叶变换,相位锚定同定理 10.61.3.01 (iv))⟹ 完整强度 I(x) = I₀sinc²(πax/λD)·cos²(πdx/λD);包络第一零点 x₀ = λD/a(a = 0.1 mm 时 6.328 mm ≈ 5Δx,中央包络内 9 条亮纹)。 5. **推论 10.61.3.02(条纹间距)**:Δx = λD/d。 6. **推论 10.61.3.03(对比度)**:等幅 V = 1;非等幅(σ₁ ≠ σ₂)V = 2√(σ₁σ₂)/(σ₁+σ₂)。 7. **数值锚定(中间层,§4)**:λ = 632.8 nm(He-Ne)、d = 0.5 mm、D = 1 m ⟹ Δx = 1.2656×10⁻³ m = **1.2656 mm**,与标准光学公式逐项一致(calculate_math 验证:632.8×10⁻⁹ × 1 / 0.5×10⁻³ = 1.2656×10⁻³)。 **关键依赖**:10.60.4.01(Born 法则涌现定理)、10.60.3.01(投影的测度变换)、10.60.2.01(折叠均匀化:前像等测度);#3(投影强度)、#257(扇区权重归一化)、#259(Born 法则代数形式)、#48/#46(测量结构);10.59.2.02(商映射分解)、10.59.2.04(纤维结构);10.52(双光子双缝相位检验)、10.53(时间纠缠干涉相位预言)为实验语境。 **分层标注**:§2–§3 为纯几何/代数命题(真理层候选,可提交主库验证);§4 为数值锚定(中间层,参数 λ、d、D 为标准光学实验配置);§5 为推导边界声明与开放问题。 ---本文把双缝干涉的条纹分布纳入几何论定理链:从 Born 法则涌现定理(10.60.4.01)出发,推导屏上强度分布的形状(cos²),并明确标注间距标度(λD/d)依赖的实验锚定。主要结果: 1. **命题 10.61.2.01(双路径扇区结构)**:双缝 = 两个同时激活的路径通道;屏上观测 = 商映射 + 截面(#48、10.59 定理 10.59.2.02);两通道联合投影满足算子线性 P(L₁+L₂)P = (c₁+c₂)J(#3)——**振幅叠加是投影的线性,不是额外公设**。 2. **命题 10.61.2.02(等权重归一化)**:等宽等距双缝 → 两通道投影强度相等;#257 归一化 → σ₁ = σ₂ = 1/2。 3. **定理 10.61.3.01(双缝干涉强度定理)**:Born 法则(10.60.4.01)+ 投影线性 + 等权重 ⟹ I(x) = I₀cos²(πd·x/(λD))(等幅理想化;完整形式含包络,定理 10.61.3.04)。**条纹形状(cos²)是几何论定理的直接推论**;相位差 Δφ = 2πd·x/(λD) 是实验锚定(标准几何光学光程差,远场近似)。 4. **定理 10.61.3.04(单缝包络定理)**:缝 = 缝内位置连续纤维族(命题 10.61.2.03)⟹ 单通道振幅带 sinc 角分布(矩形窗傅里叶变换,相位锚定同定理 10.61.3.01 (iv))⟹ 完整强度 I(x) = I₀sinc²(πax/λD)·cos²(πdx/λD);包络第一零点 x₀ = λD/a(a = 0.1 mm 时 6.328 mm ≈ 5Δx,中央包络内 9 条亮纹)。 5. **推论 10.61.3.02(条纹间距)**:Δx = λD/d。 6. **推论 10.61.3.03(对比度)**:等幅 V = 1;非等幅(σ₁ ≠ σ₂)V = 2√(σ₁σ₂)/(σ₁+σ₂)。 7. **数值锚定(中间层,§4)**:λ = 632.8 nm(He-Ne)、d = 0.5 mm、D = 1 m ⟹ Δx = 1.2656×10⁻³ m = **1.2656 mm**,与标准光学公式逐项一致(calculate_math 验证:632.8×10⁻⁹ × 1 / 0.5×10⁻³ = 1.2656×10⁻³)。 **关键依赖**:10.60.4.01(Born 法则涌现定理)、10.60.3.01(投影的测度变换)、10.60.2.01(折叠均匀化:前像等测度);#3(投影强度)、#257(扇区权重归一化)、#259(Born 法则代数形式)、#48/#46(测量结构);10.59.2.02(商映射分解)、10.59.2.04(纤维结构);10.52(双光子双缝相位检验)、10.53(时间纠缠干涉相位预言)为实验语境。 **分层标注**:§2–§3 为纯几何/代数命题(真理层候选,可提交主库验证);§4 为数值锚定(中间层,参数 λ、d、D 为标准光学实验配置);§5 为推导边界声明与开放问题。 ---

Sep 9, 20260 citations

Zb021 · 测量:效应、无信号、退相干与指针基

guobin ouyang

本篇文章把"测量"拆成三个可证的部分: $$ \boxed{\;\begin{aligned} &\textbf{效应}:\ 0\le E_k\le I,\ \textstyle\sum_kE_k=I\ \Longrightarrow\ \text{计数比}\ p_k=\operatorname{tr}(\rho E_k)\ \text{仍归一};\\ &\textbf{无信号}:\ \operatorname{tr}_B\bigl[(\text{远端任意测量})\bigr]=\operatorname{tr}_B\rho_{AB}\quad(\text{与远端选择无关});\\ &\textbf{退相干}:\ \text{环境正交}\iff\text{系统约化态对角}. \end{aligned}\;} \tag{0.1} $$ **五条正面结果**: 1. **效应(定理 1.2)**:把投影放宽为效应,Born 比值的三条性质全部保留。 2. **无信号(定理 2.2)**:远端测量的选择不改变本地的边缘统计。 3. **退相干(定理 3.2/推论 3.4)**:环境态正交时非对角元精确为零;不正交时每次记录乘 $\kappa_1$ , $N$ 次后 $\mathcal V(N)=\kappa_1^N$ ,半衰期 $N_{1/2}=\ln2/(-\ln\kappa_1)$ ——**有限次记录不能完全退相干**。 4. **Naimark 膨胀(定理 1.4)**:任意 POVM 都可由等距嵌入 $V\lvert\chi\rangle=\sum_i(\sqrt{E_i}\lvert\chi\rangle)\otimes\lvert i\rangle$ 在扩大空间上的**投影**测量实现,故 POVM 不引入新的测量概念。 5. ** $\kappa_1$ 的三重身份(推论 3.5)**:同一个数同时给可见度衰减、半衰期、与环境学到的信息量 $\chi(N)=h\bigl(\frac{1-\kappa_1^N}2\bigr)$ ——退相干与信息泄露是同一件事。 **一处记账**:把"测量"实现为效应族(而不是投影族)是**结构选择(I)**;它放宽了可实现读出的范围,但不改变归一性。 ---本篇文章把"测量"拆成三个可证的部分: $$ \boxed{\;\begin{aligned} &\textbf{效应}:\ 0\le E_k\le I,\ \textstyle\sum_kE_k=I\ \Longrightarrow\ \text{计数比}\ p_k=\operatorname{tr}(\rho E_k)\ \text{仍归一};\\ &\textbf{无信号}:\ \operatorname{tr}_B\bigl[(\text{远端任意测量})\bigr]=\operatorname{tr}_B\rho_{AB}\quad(\text{与远端选择无关});\\ &\textbf{退相干}:\ \text{环境正交}\iff\text{系统约化态对角}. \end{aligned}\;} \tag{0.1} $$ **五条正面结果**: 1. **效应(定理 1.2)**:把投影放宽为效应,Born 比值的三条性质全部保留。 2. **无信号(定理 2.2)**:远端测量的选择不改变本地的边缘统计。 3. **退相干(定理 3.2/推论 3.4)**:环境态正交时非对角元精确为零;不正交时每次记录乘 $\kappa_1$,$N$ 次后 $\mathcal V(N)=\kappa_1^N$,半衰期 $N_{1/2}=\ln2/(-\ln\kappa_1)$——**有限次记录不能完全退相干**。 4. **Naimark 膨胀(定理 1.4)**:任意 POVM 都可由等距嵌入 $V\lvert\chi\rangle=\sum_i(\sqrt{E_i}\lvert\chi\rangle)\otimes\lvert i\rangle$ 在扩大空间上的**投影**测量实现,故 POVM 不引入新的测量概念。 5. **$\kappa_1$ 的三重身份(推论 3.5)**:同一个数同时给可见度衰减、半衰期、与环境学到的信息量 $\chi(N)=h\bigl(\frac{1-\kappa_1^N}2\bigr)$——退相干与信息泄露是同一件事。 **一处记账**:把"测量"实现为效应族(而不是投影族)是**结构选择(I)**;它放宽了可实现读出的范围,但不改变归一性。 ---

Oct 31, 20260 citations

10.71 几何退相干:V-D 互补恒等式与信息场衰减

guobin ouyang

本文攻取离散随机家族覆盖审核的第 5 项缺口(量子退相干机制),给出两个结果: 1. **静态互补恒等式(纯代数,A0 类,可提交主库)**:对双通道投影强度 σ₁、σ₂(#257 归一化 σ₁+σ₂=1),干涉可见度 V = 2√(σ₁σ₂)/(σ₁+σ₂)(10.61 推论 10.61.3.03)与路径不平衡度 D = |σ₁−σ₂|/(σ₁+σ₂) 满足 $V^2 + D^2 = 1.$ 这是量子信息中 Englert 对偶关系(D²+V² ≤ 1)在纯态双缝几何中的精确等号形式——干涉清晰度与路径可分辨度是单位圆上的两个互补坐标。注意 V 与 D 由同一对投影强度 (σ₁,σ₂) 定义,V²+D²=1 是归一化 σ₁+σ₂=1 的代数恒等式(形式对应,非两个独立结构的偶然相遇)。 2. **退相干动力学(中间层构造)**:环境印记重叠按信息场衰减率衰减(5.1 定理 5.1.2.01,Γ_geo = μ₁/N_info = 0.02308625),⟹ 可见度指数衰减 $V(t) = V_0 e^{-\Gamma_{\text{geo}} t}, \qquad \tau_{\text{dec}} = 1/\Gamma_{\text{geo}} = 43.32 \ \text{编码步}, \qquad t_{1/2} = 30.02.$ 5.1 §2 早已列出的"信息场衰减 vs 量子退相干"类比表(e^{−Γ_geo t} vs e^{−t/T₂})在此获得定量定理形式(衰减率 Γ_geo 为构造锚定,见 §5)。 **关键依赖**:5.1 定理 5.1.2.01(信息场衰减定理)、10.61 推论 10.61.3.03(对比度公式)、10.61 命题 10.61.2.02(等权重归一化);#257(扇区权重归一化)、#259(Born 法则代数形式 Δλᵢ = K√σᵢ);10.70 定理 10.70.3.01(几何 Zeno 冻结,关联对比)。 ---本文攻取离散随机家族覆盖审核的第 5 项缺口(量子退相干机制),给出两个结果: 1. **静态互补恒等式(纯代数,A0 类,可提交主库)**:对双通道投影强度 σ₁、σ₂(#257 归一化 σ₁+σ₂=1),干涉可见度 V = 2√(σ₁σ₂)/(σ₁+σ₂)(10.61 推论 10.61.3.03)与路径不平衡度 D = |σ₁−σ₂|/(σ₁+σ₂) 满足 $$V^2 + D^2 = 1.$$ 这是量子信息中 Englert 对偶关系(D²+V² ≤ 1)在纯态双缝几何中的精确等号形式——干涉清晰度与路径可分辨度是单位圆上的两个互补坐标。注意 V 与 D 由同一对投影强度 (σ₁,σ₂) 定义,V²+D²=1 是归一化 σ₁+σ₂=1 的代数恒等式(形式对应,非两个独立结构的偶然相遇)。 2. **退相干动力学(中间层构造)**:环境印记重叠按信息场衰减率衰减(5.1 定理 5.1.2.01,Γ_geo = μ₁/N_info = 0.02308625),⟹ 可见度指数衰减 $$V(t) = V_0 e^{-\Gamma_{\text{geo}} t}, \qquad \tau_{\text{dec}} = 1/\Gamma_{\text{geo}} = 43.32 \ \text{编码步}, \qquad t_{1/2} = 30.02.$$ 5.1 §2 早已列出的"信息场衰减 vs 量子退相干"类比表(e^{−Γ_geo t} vs e^{−t/T₂})在此获得定量定理形式(衰减率 Γ_geo 为构造锚定,见 §5)。 **关键依赖**:5.1 定理 5.1.2.01(信息场衰减定理)、10.61 推论 10.61.3.03(对比度公式)、10.61 命题 10.61.2.02(等权重归一化);#257(扇区权重归一化)、#259(Born 法则代数形式 Δλᵢ = K√σᵢ);10.70 定理 10.70.3.01(几何 Zeno 冻结,关联对比)。 ---

Sep 9, 20260 citations

Zb019 · 时间与演化:幺正生成元、KMS 条件、几何时间与热时间的分工

guobin ouyang

本篇给出"演化"的两种时间,并说明它们的分工: $$ \boxed{\;\begin{aligned} &\textbf{幺正演化}:\ \rho(t)=e^{-iHt}\rho e^{iHt},\quad \text{保迹、保正、保谱};\\ &\textbf{KMS}:\ \text{Gibbs 态满足}\ \langle A\,\sigma_{t+i\beta}(B)\rangle_\rho=\langle\sigma_t(B)\,A\rangle_\rho;\\ &\textbf{分工}:\ H\ \text{给几何时间(谁在动)},\ \log\rho\ \text{给热时间(多热)};\ \ \sigma^{\rm mod}_t=\sigma^{\rm geo}_{-\beta t}. \end{aligned}\;} \tag{0.1} $$ **五条正面结果**: 1. **幺正性(定理 1.2)**: $U(t)=e^{-iHt}$ 是单参数幺正群,共轭作用保持态的集合。 2. **KMS 条件(定理 2.2)**:Gibbs 态 $\rho=e^{-\beta H}/Z$ 的模流与 $H$ 生成的演化一致,满足 KMS 关系。 3. **两种时间的关系(命题 3.1)**: $\sigma_t^{\rm mod}(A)=e^{-i\beta Ht}Ae^{i\beta Ht}=\sigma^{\rm geo}_{-\beta t}(A)$ ——模流就是以 $\beta H$ 为生成元的演化,差一个由约定固定的符号。 4. **模流的完整判据(定理 4.3/4.4/4.5)**:非平凡且保代数 ⟺ 块对角 + 块内非标量;不同的态给不同的流;"保持一切忠实态"只在 $H$ 属于中心时发生(那时 $\alpha=\mathrm{id}$ )。 5. **时间箭头(定理 5.1)**: $\sigma_{-t}=\sigma_t^{-1}$ 使模流本身不区分方向;**箭头由 $\rho$ 的本征值序给出**,且 $K=-\ln\rho$ 的谱单调。箭头给方向、熵给大小,两者都来自同一个 $\rho$ 。 **一处记账**:把 $\rho$ 取成 Gibbs 形式 $e^{-\beta H}/Z$ 是**结构选择(I)**;给定它,KMS 是定理。 ---本篇给出"演化"的两种时间,并说明它们的分工: $$ \boxed{\;\begin{aligned} &\textbf{幺正演化}:\ \rho(t)=e^{-iHt}\rho e^{iHt},\quad \text{保迹、保正、保谱};\\ &\textbf{KMS}:\ \text{Gibbs 态满足}\ \langle A\,\sigma_{t+i\beta}(B)\rangle_\rho=\langle\sigma_t(B)\,A\rangle_\rho;\\ &\textbf{分工}:\ H\ \text{给几何时间(谁在动)},\ \log\rho\ \text{给热时间(多热)};\ \ \sigma^{\rm mod}_t=\sigma^{\rm geo}_{-\beta t}. \end{aligned}\;} \tag{0.1} $$ **五条正面结果**: 1. **幺正性(定理 1.2)**:$U(t)=e^{-iHt}$ 是单参数幺正群,共轭作用保持态的集合。 2. **KMS 条件(定理 2.2)**:Gibbs 态 $\rho=e^{-\beta H}/Z$ 的模流与 $H$ 生成的演化一致,满足 KMS 关系。 3. **两种时间的关系(命题 3.1)**:$\sigma_t^{\rm mod}(A)=e^{-i\beta Ht}Ae^{i\beta Ht}=\sigma^{\rm geo}_{-\beta t}(A)$——模流就是以 $\beta H$ 为生成元的演化,差一个由约定固定的符号。 4. **模流的完整判据(定理 4.3/4.4/4.5)**:非平凡且保代数 ⟺ 块对角 + 块内非标量;不同的态给不同的流;"保持一切忠实态"只在 $H$ 属于中心时发生(那时 $\alpha=\mathrm{id}$)。 5. **时间箭头(定理 5.1)**:$\sigma_{-t}=\sigma_t^{-1}$ 使模流本身不区分方向;**箭头由 $\rho$ 的本征值序给出**,且 $K=-\ln\rho$ 的谱单调。箭头给方向、熵给大小,两者都来自同一个 $\rho$。 **一处记账**:把 $\rho$ 取成 Gibbs 形式 $e^{-\beta H}/Z$ 是**结构选择(I)**;给定它,KMS 是定理。 ---

Oct 31, 20260 citations

Zb022 · 纠缠与复合:Schmidt 分解、可分判据与 CHSH 的两条界

guobin ouyang

本篇给出"复合"的代数,并算出 CHSH 的两条界: $$ \boxed{\;\begin{aligned} &\textbf{Schmidt}:\ \lvert\psi\rangle=\sum_i\sqrt{\lambda_i}\,\lvert a_i\rangle\lvert b_i\rangle,\quad\lambda_i\ge0,\ \textstyle\sum\lambda_i=1;\\ &\textbf{可分判据}:\ \text{纯态可分}\iff\text{Schmidt 秩}=1;\\ &\textbf{乘积界}:\ \rho=\rho_A\otimes\rho_B\ \Longrightarrow\ \lvert\langle S\rangle\rvert\le2;\\ &\textbf{算符界}:\ \lVert S\rVert\le2\sqrt2\quad(\text{对一切态}). \end{aligned}\;} \tag{0.1} $$ **五条正面结果**: 1. **熵分解(定理 3.2)**:块对角态的熵 $=H(w)+\sum_hw_h\ln d_h$ ; $d=2$ 时多出的恰是常数 $\ln2$ 。 2. **Schmidt 分解(定理 1.2)**:任何纯态都能写成配对形式, $\lambda_i$ 是系数矩阵的奇异值平方。 3. **可分判据(命题 1.3)**:纯态可分当且仅当其 Schmidt 秩为 1。 4. **两条界(定理 4.1、4.2)**:乘积态的上界是 $2$ ,一般态的上界是 $2\sqrt2$ 。 5. **纠缠 $\ne$ Bell 违反(定理 5.1/5.2)**:Werner 态的可分门限是 $p\le\frac13$ 、CHSH 门限是 $p>\frac{1}{\sqrt2}$ ——**两条线不重合**。故存在**纠缠却 Bell 局域**的态(例: $p=\frac35$ 给 $S_{\max}=\frac{6\sqrt2}{5}=1.697<2$ )。 **一处记账**:把"复合系统"读作张量积 $\mathcal H_A\otimes\mathcal H_B$ 是**结构选择(I)**;由它推出的全部分解与界是定理。 ---本篇给出"复合"的代数,并算出 CHSH 的两条界: $$ \boxed{\;\begin{aligned} &\textbf{Schmidt}:\ \lvert\psi\rangle=\sum_i\sqrt{\lambda_i}\,\lvert a_i\rangle\lvert b_i\rangle,\quad\lambda_i\ge0,\ \textstyle\sum\lambda_i=1;\\ &\textbf{可分判据}:\ \text{纯态可分}\iff\text{Schmidt 秩}=1;\\ &\textbf{乘积界}:\ \rho=\rho_A\otimes\rho_B\ \Longrightarrow\ \lvert\langle S\rangle\rvert\le2;\\ &\textbf{算符界}:\ \lVert S\rVert\le2\sqrt2\quad(\text{对一切态}). \end{aligned}\;} \tag{0.1} $$ **五条正面结果**: 1. **熵分解(定理 3.2)**:块对角态的熵 $=H(w)+\sum_hw_h\ln d_h$;$d=2$ 时多出的恰是常数 $\ln2$。 2. **Schmidt 分解(定理 1.2)**:任何纯态都能写成配对形式,$\lambda_i$ 是系数矩阵的奇异值平方。 3. **可分判据(命题 1.3)**:纯态可分当且仅当其 Schmidt 秩为 1。 4. **两条界(定理 4.1、4.2)**:乘积态的上界是 $2$,一般态的上界是 $2\sqrt2$。 5. **纠缠 $\ne$ Bell 违反(定理 5.1/5.2)**:Werner 态的可分门限是 $p\le\frac13$、CHSH 门限是 $p>\frac{1}{\sqrt2}$——**两条线不重合**。故存在**纠缠却 Bell 局域**的态(例:$p=\frac35$ 给 $S_{\max}=\frac{6\sqrt2}{5}=1.697<2$)。 **一处记账**:把"复合系统"读作张量积 $\mathcal H_A\otimes\mathcal H_B$ 是**结构选择(I)**;由它推出的全部分解与界是定理。 ---

Oct 31, 20260 citations

本篇把双缝写成三条可算的式子:

\boxed{\;\begin{aligned} &\textbf{相位差}:\ \Delta\varphi=k\,(r_1-r_2),\qquad k=\frac{2\pi}{\lambda};\\ &\textbf{条纹}:\ I(\Delta\varphi)=I_1+I_2+2\sqrt{I_1I_2}\cos\Delta\varphi;\\ &\textbf{间距}:\ \Delta y=\frac{\lambda L}{d}\quad(\text{小角});\qquad \text{可分辨下限 } \Delta y\ge 2a\ (\text{Nyquist}). \end{aligned}\;} \tag{0.1}

四条正面结果: 1. 条纹公式(定理 2.1):两路振幅相加的模方给出

\cos\Delta\varphi

的调制。 2. 条纹间距(命题 2.2):小角下

\Delta y=\lambda L/d

。 3. Nyquist 极限(定理 3.2):屏上的采样间距为

a

时,条纹周期小于

2a

就无法分辨——这是格点舞台给出的硬下限。 4. 波长的来源(定理 4.1、推论 4.2):稳态的谱比

p:q

经模流给出

f=\log(p/q)

,再经 Zb005 的逆映射给格上波长;

p:q=2:1

时

\lambda_{\rm lat}=8.8767

格。 一处记账:屏(采样面)是 Zb006 意义下的舞台(I);条纹间距依赖它,但条纹的存在不依赖。 ---

\lambda(q)

给出,

q

取遍对偶群。 2. **方格谱(定理 2.3)**:周期方格上的行模是两方向之和。 3. **舞台决定可用频率(定理 3.2)**:

K_4

只有两个频率(

0

与

2c

),方格是连续带

[0,2\sqrt2c]

;故舞台的选择改变可观测量,属结构选择(I)。 4. **同族判据(命题 5.1/5.2)**:覆盖保持度数;自由作用且**无被反转的边**的商也保持度数。故"两个舞台是否同族"有可查的判据——度数不一致就不同族。三条条件缺一不可(

K_4

对

(12)(34)

的商是

K_2

3\to1

)。 ---

\kappa_1

N

次后

\mathcal V(N)=\kappa_1^N

,半衰期

N_{1/2}=\ln2/(-\ln\kappa_1)

——**有限次记录不能完全退相干**。 4. **Naimark 膨胀(定理 1.4)**:任意 POVM 都可由等距嵌入

V\lvert\chi\rangle=\sum_i(\sqrt{E_i}\lvert\chi\rangle)\otimes\lvert i\rangle

在扩大空间上的**投影**测量实现,故 POVM 不引入新的测量概念。 5. **

\kappa_1

的三重身份(推论 3.5)**:同一个数同时给可见度衰减、半衰期、与环境学到的信息量

\chi(N)=h\bigl(\frac{1-\kappa_1^N}2\bigr)

——退相干与信息泄露是同一件事。 **一处记账**:把"测量"实现为效应族(而不是投影族)是**结构选择(I)**;它放宽了可实现读出的范围,但不改变归一性。 ---

V^2 + D^2 = 1.

这是量子信息中 Englert 对偶关系(D²+V² ≤ 1)在纯态双缝几何中的精确等号形式——干涉清晰度与路径可分辨度是单位圆上的两个互补坐标。注意 V 与 D 由同一对投影强度 (σ₁,σ₂) 定义,V²+D²=1 是归一化 σ₁+σ₂=1 的代数恒等式(形式对应,非两个独立结构的偶然相遇)。 2. **退相干动力学(中间层构造)**:环境印记重叠按信息场衰减率衰减(5.1 定理 5.1.2.01,Γ_geo = μ₁/N_info = 0.02308625),⟹ 可见度指数衰减

V(t) = V_0 e^{-\Gamma_{\text{geo}} t}, \qquad \tau_{\text{dec}} = 1/\Gamma_{\text{geo}} = 43.32 \ \text{编码步}, \qquad t_{1/2} = 30.02.

5.1 §2 早已列出的"信息场衰减 vs 量子退相干"类比表(e^{−Γ_geo t} vs e^{−t/T₂})在此获得定量定理形式(衰减率 Γ_geo 为构造锚定,见 §5)。 **关键依赖**:5.1 定理 5.1.2.01(信息场衰减定理)、10.61 推论 10.61.3.03(对比度公式)、10.61 命题 10.61.2.02(等权重归一化);#257(扇区权重归一化)、#259(Born 法则代数形式 Δλᵢ = K√σᵢ);10.70 定理 10.70.3.01(几何 Zeno 冻结,关联对比)。 ---

U(t)=e^{-iHt}

是单参数幺正群,共轭作用保持态的集合。 2. **KMS 条件(定理 2.2)**:Gibbs 态

\rho=e^{-\beta H}/Z

的模流与

H

生成的演化一致,满足 KMS 关系。 3. **两种时间的关系(命题 3.1)**:

\sigma_t^{\rm mod}(A)=e^{-i\beta Ht}Ae^{i\beta Ht}=\sigma^{\rm geo}_{-\beta t}(A)

——模流就是以

\beta H

为生成元的演化,差一个由约定固定的符号。 4. **模流的完整判据(定理 4.3/4.4/4.5)**:非平凡且保代数 ⟺ 块对角 + 块内非标量;不同的态给不同的流;"保持一切忠实态"只在

H

属于中心时发生(那时

\alpha=\mathrm{id}

)。 5. **时间箭头(定理 5.1)**:

\sigma_{-t}=\sigma_t^{-1}

使模流本身不区分方向;**箭头由

\rho

的本征值序给出**,且

K=-\ln\rho

的谱单调。箭头给方向、熵给大小,两者都来自同一个

\rho

。 **一处记账**:把

\rho

取成 Gibbs 形式

e^{-\beta H}/Z

是**结构选择(I)**;给定它,KMS 是定理。 ---

=H(w)+\sum_hw_h\ln d_h

;

d=2

时多出的恰是常数

\ln2

。 2. **Schmidt 分解(定理 1.2)**:任何纯态都能写成配对形式,

\lambda_i

是系数矩阵的奇异值平方。 3. **可分判据(命题 1.3)**:纯态可分当且仅当其 Schmidt 秩为 1。 4. **两条界(定理 4.1、4.2)**:乘积态的上界是

2

,一般态的上界是

2\sqrt2

。 5. **纠缠

\ne

Bell 违反(定理 5.1/5.2)**:Werner 态的可分门限是

p\le\frac13

、CHSH 门限是

p>\frac{1}{\sqrt2}

——**两条线不重合**。故存在**纠缠却 Bell 局域**的态(例:

p=\frac35

给

S_{\max}=\frac{6\sqrt2}{5}=1.697<2

)。 **一处记账**:把"复合系统"读作张量积

\mathcal H_A\otimes\mathcal H_B

是**结构选择(I)**;由它推出的全部分解与界是定理。 ---