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Zb022 · 纠缠与复合:Schmidt 分解、可分判据与 CHSH 的两条界

guobin ouyang

Published Oct 31, 2026• 0 citations
Publisher

Abstract

本篇给出"复合"的代数,并算出 CHSH 的两条界: $$ \boxed{\;\begin{aligned} &\textbf{Schmidt}:\ \lvert\psi\rangle=\sum_i\sqrt{\lambda_i}\,\lvert a_i\rangle\lvert b_i\rangle,\quad\lambda_i\ge0,\ \textstyle\sum\lambda_i=1;\\ &\textbf{可分判据}:\ \text{纯态可分}\iff\text{Schmidt 秩}=1;\\ &\textbf{乘积界}:\ \rho=\rho_A\otimes\rho_B\ \Longrightarrow\ \lvert\langle S\rangle\rvert\le2;\\ &\textbf{算符界}:\ \lVert S\rVert\le2\sqrt2\quad(\text{对一切态}). \end{aligned}\;} \tag{0.1} $$ **五条正面结果**: 1. **熵分解(定理 3.2)**:块对角态的熵 $=H(w)+\sum_hw_h\ln d_h$;$d=2$ 时多出的恰是常数 $\ln2$。 2. **Schmidt 分解(定理 1.2)**:任何纯态都能写成配对形式,$\lambda_i$ 是系数矩阵的奇异值平方。 3. **可分判据(命题 1.3)**:纯态可分当且仅当其 Schmidt 秩为 1。 4. **两条界(定理 4.1、4.2)**:乘积态的上界是 $2$,一般态的上界是 $2\sqrt2$。 5. **纠缠 $\ne$ Bell 违反(定理 5.1/5.2)**:Werner 态的可分门限是 $p\le\frac13$、CHSH 门限是 $p>\frac{1}{\sqrt2}$——**两条线不重合**。故存在**纠缠却 Bell 局域**的态(例:$p=\frac35$ 给 $S_{\max}=\frac{6\sqrt2}{5}=1.697<2$)。 **一处记账**:把"复合系统"读作张量积 $\mathcal H_A\otimes\mathcal H_B$ 是**结构选择(I)**;由它推出的全部分解与界是定理。 ---

DOI
10.5281/zenodo.23829740

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Zb021 · 测量:效应、无信号、退相干与指针基

guobin ouyang

本篇文章把"测量"拆成三个可证的部分: $$ \boxed{\;\begin{aligned} &\textbf{效应}:\ 0\le E_k\le I,\ \textstyle\sum_kE_k=I\ \Longrightarrow\ \text{计数比}\ p_k=\operatorname{tr}(\rho E_k)\ \text{仍归一};\\ &\textbf{无信号}:\ \operatorname{tr}_B\bigl[(\text{远端任意测量})\bigr]=\operatorname{tr}_B\rho_{AB}\quad(\text{与远端选择无关});\\ &\textbf{退相干}:\ \text{环境正交}\iff\text{系统约化态对角}. \end{aligned}\;} \tag{0.1} $$ **五条正面结果**: 1. **效应(定理 1.2)**:把投影放宽为效应,Born 比值的三条性质全部保留。 2. **无信号(定理 2.2)**:远端测量的选择不改变本地的边缘统计。 3. **退相干(定理 3.2/推论 3.4)**:环境态正交时非对角元精确为零;不正交时每次记录乘 $\kappa_1$,$N$ 次后 $\mathcal V(N)=\kappa_1^N$,半衰期 $N_{1/2}=\ln2/(-\ln\kappa_1)$——**有限次记录不能完全退相干**。 4. **Naimark 膨胀(定理 1.4)**:任意 POVM 都可由等距嵌入 $V\lvert\chi\rangle=\sum_i(\sqrt{E_i}\lvert\chi\rangle)\otimes\lvert i\rangle$ 在扩大空间上的**投影**测量实现,故 POVM 不引入新的测量概念。 5. **$\kappa_1$ 的三重身份(推论 3.5)**:同一个数同时给可见度衰减、半衰期、与环境学到的信息量 $\chi(N)=h\bigl(\frac{1-\kappa_1^N}2\bigr)$——退相干与信息泄露是同一件事。 **一处记账**:把"测量"实现为效应族(而不是投影族)是**结构选择(I)**;它放宽了可实现读出的范围,但不改变归一性。 ---

•Oct 31, 2026•0 citations

Zb019 · 时间与演化:幺正生成元、KMS 条件、几何时间与热时间的分工

guobin ouyang

本篇给出"演化"的两种时间,并说明它们的分工: $$ \boxed{\;\begin{aligned} &\textbf{幺正演化}:\ \rho(t)=e^{-iHt}\rho e^{iHt},\quad \text{保迹、保正、保谱};\\ &\textbf{KMS}:\ \text{Gibbs 态满足}\ \langle A\,\sigma_{t+i\beta}(B)\rangle_\rho=\langle\sigma_t(B)\,A\rangle_\rho;\\ &\textbf{分工}:\ H\ \text{给几何时间(谁在动)},\ \log\rho\ \text{给热时间(多热)};\ \ \sigma^{\rm mod}_t=\sigma^{\rm geo}_{-\beta t}. \end{aligned}\;} \tag{0.1} $$ **五条正面结果**: 1. **幺正性(定理 1.2)**:$U(t)=e^{-iHt}$ 是单参数幺正群,共轭作用保持态的集合。 2. **KMS 条件(定理 2.2)**:Gibbs 态 $\rho=e^{-\beta H}/Z$ 的模流与 $H$ 生成的演化一致,满足 KMS 关系。 3. **两种时间的关系(命题 3.1)**:$\sigma_t^{\rm mod}(A)=e^{-i\beta Ht}Ae^{i\beta Ht}=\sigma^{\rm geo}_{-\beta t}(A)$——模流就是以 $\beta H$ 为生成元的演化,差一个由约定固定的符号。 4. **模流的完整判据(定理 4.3/4.4/4.5)**:非平凡且保代数 ⟺ 块对角 + 块内非标量;不同的态给不同的流;"保持一切忠实态"只在 $H$ 属于中心时发生(那时 $\alpha=\mathrm{id}$)。 5. **时间箭头(定理 5.1)**:$\sigma_{-t}=\sigma_t^{-1}$ 使模流本身不区分方向;**箭头由 $\rho$ 的本征值序给出**,且 $K=-\ln\rho$ 的谱单调。箭头给方向、熵给大小,两者都来自同一个 $\rho$。 **一处记账**:把 $\rho$ 取成 Gibbs 形式 $e^{-\beta H}/Z$ 是**结构选择(I)**;给定它,KMS 是定理。 ---

•Oct 31, 2026•0 citations

Zb025 · 开放系统:完全正、Kraus 表示与 Lindblad 生成元的保迹性

guobin ouyang

本篇把开放系统的三条代数事实写清: $$ \boxed{\;\begin{aligned} &\textbf{Kraus}:\ \Phi(\rho)=\sum_kM_k\rho M_k^\ast\ \Longrightarrow\ \Phi\ \text{完全正};\\ &\textbf{保迹}:\ \operatorname{tr}\Phi(\rho)=\operatorname{tr}\rho\iff\textstyle\sum_kM_k^\ast M_k=I;\\ &\textbf{Lindblad}:\ \dot\rho=-i[H,\rho]+\sum_k\Bigl(A_k\rho A_k^\ast-\tfrac12\{A_k^\ast A_k,\rho\}\Bigr)\ \text{保迹}. \end{aligned}\;} \tag{0.1} $$ **三条正面结果**: 1. **完全正(定理 1.2)**:任何 Kraus 形式都给出完全正映射,且 Kraus 形式对"系统-环境耦合 + 部分迹"完全等价(Zb023 定理 2.2 的逆命题)。 2. **保迹判据(定理 2.1)**:$\sum_kM_k^\ast M_k=I$ ⟺ 保迹。 3. **Lindblad 保迹(定理 3.2)**:GKSL 生成元逐项保迹,故 $\operatorname{tr}\rho(t)$ 是常数。 **一处记账**:取 GKSL 形式(而不取任意保迹正映射)是**结构选择(I)**——它限制在"马尔可夫、时间齐次"的一支;由它推出的保迹性是定理。 ---

•Oct 31, 2026•0 citations

Zb006 · 舞台与格点:平移不变性、行模、舞台是输入

guobin ouyang

本篇把"舞台"立成一个**有谱的对象**,并说明它为什么必须登记为**输入**: $$ \boxed{\;\begin{aligned} &\textbf{行模}:\ \text{平移与耦合交换}\ TL=LT\ \Longrightarrow\ \text{共同本征基}\ \Longrightarrow\ \lambda=\lambda(q);\\ &\textbf{方格}:\ \lambda(q_x,q_y)=4\sin^2\frac{q_x}2+4\sin^2\frac{q_y}2;\\ &\textbf{有限舞台}:\ K_4\ \text{的谱恰为}\ \{0,4,4,4\};\\ &\textbf{记账}:\ \text{舞台选择属}\ \textbf{结构选择(I)} . \end{aligned}\;} \tag{0.1} $$ **四条正面结果**: 1. **行模定理(定理 2.2)**:舞台上有与耦合交换的平移时,谱由一个行函数 $\lambda(q)$ 给出,$q$ 取遍对偶群。 2. **方格谱(定理 2.3)**:周期方格上的行模是两方向之和。 3. **舞台决定可用频率(定理 3.2)**:$K_4$ 只有两个频率($0$ 与 $2c$),方格是连续带 $[0,2\sqrt2c]$;故舞台的选择改变可观测量,属结构选择(I)。 4. **同族判据(命题 5.1/5.2)**:覆盖保持度数;自由作用且**无被反转的边**的商也保持度数。故"两个舞台是否同族"有可查的判据——度数不一致就不同族。三条条件缺一不可($K_4$ 对 $(12)(34)$ 的商是 $K_2$,$3\to1$)。 ---

•Oct 31, 2026•0 citations

Zb018 · 运动学:态、可观测量与读出计数——Born 比值不是新公理

guobin ouyang

本篇建立量子运动学,并把"概率"的位置说清: $$ \boxed{\;\begin{aligned} &\textbf{可观测量}:\ \text{自伴算子}\ A=A^\ast\ \text{(有限维、实谱)};\\ &\textbf{读出计数}:\ N_k=\operatorname{tr}(\rho P_k);\\ &\textbf{Born 比值}:\ p_k=\frac{\operatorname{tr}(\rho P_k)}{\operatorname{tr}\rho}=\operatorname{tr}(\rho P_k)\quad(\operatorname{tr}\rho=1);\\ &\textbf{记账}:\ p_k\ \text{是}\textbf{计数比},\text{由公理②(不设概率)留给} \text{读出}. \end{aligned}\;} \tag{0.1} $$ **四条正面结果**: 1. **谱定理(定理 1.2)**:有限维自伴算子有实谱与正交本征基,可观测量的"读数"因此是实数。 2. **Born 比值定理(定理 2.2)**:把读数定义为 $\operatorname{tr}(\rho P_k)$ 后,比值自动非负、归一、对正交分解可加——**不需要额外公设**。 3. **纯态的两次方(定理 5.1)**:$\rho=\lvert\psi\rangle\langle\psi\rvert$ 时 $p_k=\lvert\langle k\rvert\psi\rangle\rvert^2$,即"振幅的模方"由迹的定义直接给出。 4. **概率从计数测度来(定理 3.1/推论 3.2)**:均匀计数测度在**任意**粗粒化下的推前是概率测度(非负、归一、可加,三行证完)。取"层高"这一粗粒化,推前恰是 Zb047 的层权重 $w_h$——故**概率不是公设,是推前**。 **一处记账**:把"读出"实现为投影 $P_k$ 上的迹,是**结构选择(I)**;它的后果(非负、归一、可加)是定理。 ---

•Oct 31, 2026•0 citations

Zb026 · 相位与 2π:单值性、通量量子化、自旋半整数的 4π 周期

guobin ouyang

相位在本库有三处出现,本篇把它们统一到"$2\pi$ 的整数倍"这一条上: $$ \boxed{\;\begin{aligned} &\textbf{单值性}:\ \psi\ \text{单值}\iff\oint\nabla\theta\cdot d\ell=2\pi n\ (n\in\mathbb Z);\\ &\textbf{通量}:\ \partial_\mu\theta=\tfrac q\hbar A_\mu+\cdots\ \Longrightarrow\ \Phi=\frac{2\pi\hbar}{q}\,n=\frac{h}{q}\,n;\\ &\textbf{半整数}:\ \text{自旋-}\tfrac12\ \text{绕轴转}\ 2\pi\ \text{给}\ -I,\quad 4\pi\ \text{才给}\ +I . \end{aligned}\;} \tag{0.1} $$ **三条正面结果**: 1. **单值性(定理 1.2)**:绕闭合回路一周相位必须整 $2\pi$ 倍。 2. **通量量子化(定理 2.2)**:单值性把磁通量锁定为 $h/q$ 的整数倍。 3. **$4\pi$ 周期(定理 3.2)**:自旋-$\frac12$ 的旋转群是 $SU(2)$,其 $2\pi$ 旋转等于 $-I$,故态向量需要 $4\pi$。 **一处记账**:"波函数单值"是**结构选择(I)**(也可以取多值、双值表示);给定它,三条结论都是定理。 ---

•Oct 31, 2026•0 citations
本篇给出"复合"的代数,并算出 CHSH 的两条界: \boxed{\;\begin{aligned} &\textbf{Schmidt}:\ \lvert\psi\rangle=\sum_i\sqrt{\lambda_i}\,\lvert a_i\rangle\lvert b_i\rangle,\quad\lambda_i\ge0,\ \textstyle\sum\lambda_i=1;\\ &\textbf{可分判据}:\ \text{纯态可分}\iff\text{Schmidt 秩}=1;\\ &\textbf{乘积界}:\ \rho=\rho_A\otimes\rho_B\ \Longrightarrow\ \lvert\langle S\rangle\rvert\le2;\\ &\textbf{算符界}:\ \lVert S\rVert\le2\sqrt2\quad(\text{对一切态}). \end{aligned}\;} \tag{0.1} 五条正面结果: 1. 熵分解(定理 3.2):块对角态的熵 =H(w)+∑hwhln⁡dh=H(w)+\sum_hw_h\ln d_h=H(w)+∑h​wh​lndh​;d=2d=2d=2 时多出的恰是常数 ln⁡2\ln2ln2。 2. Schmidt 分解(定理 1.2):任何纯态都能写成配对形式,λi\lambda_iλi​ 是系数矩阵的奇异值平方。 3. 可分判据(命题 1.3):纯态可分当且仅当其 Schmidt 秩为 1。 4. 两条界(定理 4.1、4.2):乘积态的上界是 222,一般态的上界是 222\sqrt222​。 5. 纠缠 ≠\ne= Bell 违反(定理 5.1/5.2):Werner 态的可分门限是 p≤13p\le\frac13p≤31​、CHSH 门限是 p>12p>\frac{1}{\sqrt2}p>2​1​——两条线不重合。故存在纠缠却 Bell 局域的态(例:p=35p=\frac35p=53​ 给 Smax⁡=625=1.697<2S_{\max}=\frac{6\sqrt2}{5}=1.697<2Smax​=562​​=1.697<2)。 一处记账:把"复合系统"读作张量积 HA⊗HB\mathcal H_A\otimes\mathcal H_BHA​⊗HB​ 是结构选择(I);由它推出的全部分解与界是定理。 ---
本篇文章把"测量"拆成三个可证的部分: $$ \boxed{\;\begin{aligned} &\textbf{效应}:\ 0\le E_k\le I,\ \textstyle\sum_kE_k=I\ \Longrightarrow\ \text{计数比}\ p_k=\operatorname{tr}(\rho E_k)\ \text{仍归一};\\ &\textbf{无信号}:\ \operatorname{tr}_B\bigl[(\text{远端任意测量})\bigr]=\operatorname{tr}_B\rho_{AB}\quad(\text{与远端选择无关});\\ &\textbf{退相干}:\ \text{环境正交}\iff\text{系统约化态对角}. \end{aligned}\;} \tag{0.1} $$ **五条正面结果**: 1. **效应(定理 1.2)**:把投影放宽为效应,Born 比值的三条性质全部保留。 2. **无信号(定理 2.2)**:远端测量的选择不改变本地的边缘统计。 3. **退相干(定理 3.2/推论 3.4)**:环境态正交时非对角元精确为零;不正交时每次记录乘 κ1\kappa_1κ1​,NNN 次后 V(N)=κ1N\mathcal V(N)=\kappa_1^NV(N)=κ1N​,半衰期 N1/2=ln⁡2/(−ln⁡κ1)N_{1/2}=\ln2/(-\ln\kappa_1)N1/2​=ln2/(−lnκ1​)——**有限次记录不能完全退相干**。 4. **Naimark 膨胀(定理 1.4)**:任意 POVM 都可由等距嵌入 V∣χ⟩=∑i(Ei∣χ⟩)⊗∣i⟩V\lvert\chi\rangle=\sum_i(\sqrt{E_i}\lvert\chi\rangle)\otimes\lvert i\rangleV∣χ⟩=∑i​(Ei​​∣χ⟩)⊗∣i⟩ 在扩大空间上的**投影**测量实现,故 POVM 不引入新的测量概念。 5. **κ1\kappa_1κ1​ 的三重身份(推论 3.5)**:同一个数同时给可见度衰减、半衰期、与环境学到的信息量 χ(N)=h(1−κ1N2)\chi(N)=h\bigl(\frac{1-\kappa_1^N}2\bigr)χ(N)=h(21−κ1N​​)——退相干与信息泄露是同一件事。 **一处记账**:把"测量"实现为效应族(而不是投影族)是**结构选择(I)**;它放宽了可实现读出的范围,但不改变归一性。 ---
本篇给出"演化"的两种时间,并说明它们的分工: $$ \boxed{\;\begin{aligned} &\textbf{幺正演化}:\ \rho(t)=e^{-iHt}\rho e^{iHt},\quad \text{保迹、保正、保谱};\\ &\textbf{KMS}:\ \text{Gibbs 态满足}\ \langle A\,\sigma_{t+i\beta}(B)\rangle_\rho=\langle\sigma_t(B)\,A\rangle_\rho;\\ &\textbf{分工}:\ H\ \text{给几何时间(谁在动)},\ \log\rho\ \text{给热时间(多热)};\ \ \sigma^{\rm mod}_t=\sigma^{\rm geo}_{-\beta t}. \end{aligned}\;} \tag{0.1} $$ **五条正面结果**: 1. **幺正性(定理 1.2)**:U(t)=e−iHtU(t)=e^{-iHt}U(t)=e−iHt 是单参数幺正群,共轭作用保持态的集合。 2. **KMS 条件(定理 2.2)**:Gibbs 态 ρ=e−βH/Z\rho=e^{-\beta H}/Zρ=e−βH/Z 的模流与 HHH 生成的演化一致,满足 KMS 关系。 3. **两种时间的关系(命题 3.1)**:σtmod(A)=e−iβHtAeiβHt=σ−βtgeo(A)\sigma_t^{\rm mod}(A)=e^{-i\beta Ht}Ae^{i\beta Ht}=\sigma^{\rm geo}_{-\beta t}(A)σtmod​(A)=e−iβHtAeiβHt=σ−βtgeo​(A)——模流就是以 βH\beta HβH 为生成元的演化,差一个由约定固定的符号。 4. **模流的完整判据(定理 4.3/4.4/4.5)**:非平凡且保代数 ⟺ 块对角 + 块内非标量;不同的态给不同的流;"保持一切忠实态"只在 HHH 属于中心时发生(那时 α=id\alpha=\mathrm{id}α=id)。 5. **时间箭头(定理 5.1)**:σ−t=σt−1\sigma_{-t}=\sigma_t^{-1}σ−t​=σt−1​ 使模流本身不区分方向;**箭头由 ρ\rhoρ 的本征值序给出**,且 K=−ln⁡ρK=-\ln\rhoK=−lnρ 的谱单调。箭头给方向、熵给大小,两者都来自同一个 ρ\rhoρ。 **一处记账**:把 ρ\rhoρ 取成 Gibbs 形式 e−βH/Ze^{-\beta H}/Ze−βH/Z 是**结构选择(I)**;给定它,KMS 是定理。 ---
本篇把开放系统的三条代数事实写清: $$ \boxed{\;\begin{aligned} &\textbf{Kraus}:\ \Phi(\rho)=\sum_kM_k\rho M_k^\ast\ \Longrightarrow\ \Phi\ \text{完全正};\\ &\textbf{保迹}:\ \operatorname{tr}\Phi(\rho)=\operatorname{tr}\rho\iff\textstyle\sum_kM_k^\ast M_k=I;\\ &\textbf{Lindblad}:\ \dot\rho=-i[H,\rho]+\sum_k\Bigl(A_k\rho A_k^\ast-\tfrac12\{A_k^\ast A_k,\rho\}\Bigr)\ \text{保迹}. \end{aligned}\;} \tag{0.1} $$ **三条正面结果**: 1. **完全正(定理 1.2)**:任何 Kraus 形式都给出完全正映射,且 Kraus 形式对"系统-环境耦合 + 部分迹"完全等价(Zb023 定理 2.2 的逆命题)。 2. **保迹判据(定理 2.1)**:∑kMk∗Mk=I\sum_kM_k^\ast M_k=I∑k​Mk∗​Mk​=I ⟺ 保迹。 3. **Lindblad 保迹(定理 3.2)**:GKSL 生成元逐项保迹,故 tr⁡ρ(t)\operatorname{tr}\rho(t)trρ(t) 是常数。 **一处记账**:取 GKSL 形式(而不取任意保迹正映射)是**结构选择(I)**——它限制在"马尔可夫、时间齐次"的一支;由它推出的保迹性是定理。 ---
本篇把"舞台"立成一个**有谱的对象**,并说明它为什么必须登记为**输入**: $$ \boxed{\;\begin{aligned} &\textbf{行模}:\ \text{平移与耦合交换}\ TL=LT\ \Longrightarrow\ \text{共同本征基}\ \Longrightarrow\ \lambda=\lambda(q);\\ &\textbf{方格}:\ \lambda(q_x,q_y)=4\sin^2\frac{q_x}2+4\sin^2\frac{q_y}2;\\ &\textbf{有限舞台}:\ K_4\ \text{的谱恰为}\ \{0,4,4,4\};\\ &\textbf{记账}:\ \text{舞台选择属}\ \textbf{结构选择(I)} . \end{aligned}\;} \tag{0.1} $$ **四条正面结果**: 1. **行模定理(定理 2.2)**:舞台上有与耦合交换的平移时,谱由一个行函数 λ(q)\lambda(q)λ(q) 给出,qqq 取遍对偶群。 2. **方格谱(定理 2.3)**:周期方格上的行模是两方向之和。 3. **舞台决定可用频率(定理 3.2)**:K4K_4K4​ 只有两个频率(000 与 2c2c2c),方格是连续带 [0,22c][0,2\sqrt2c][0,22​c];故舞台的选择改变可观测量,属结构选择(I)。 4. **同族判据(命题 5.1/5.2)**:覆盖保持度数;自由作用且**无被反转的边**的商也保持度数。故"两个舞台是否同族"有可查的判据——度数不一致就不同族。三条条件缺一不可(K4K_4K4​ 对 (12)(34)(12)(34)(12)(34) 的商是 K2K_2K2​,3→13\to13→1)。 ---
本篇建立量子运动学,并把"概率"的位置说清: $$ \boxed{\;\begin{aligned} &\textbf{可观测量}:\ \text{自伴算子}\ A=A^\ast\ \text{(有限维、实谱)};\\ &\textbf{读出计数}:\ N_k=\operatorname{tr}(\rho P_k);\\ &\textbf{Born 比值}:\ p_k=\frac{\operatorname{tr}(\rho P_k)}{\operatorname{tr}\rho}=\operatorname{tr}(\rho P_k)\quad(\operatorname{tr}\rho=1);\\ &\textbf{记账}:\ p_k\ \text{是}\textbf{计数比},\text{由公理②(不设概率)留给} \text{读出}. \end{aligned}\;} \tag{0.1} $$ **四条正面结果**: 1. **谱定理(定理 1.2)**:有限维自伴算子有实谱与正交本征基,可观测量的"读数"因此是实数。 2. **Born 比值定理(定理 2.2)**:把读数定义为 tr⁡(ρPk)\operatorname{tr}(\rho P_k)tr(ρPk​) 后,比值自动非负、归一、对正交分解可加——**不需要额外公设**。 3. **纯态的两次方(定理 5.1)**:ρ=∣ψ⟩⟨ψ∣\rho=\lvert\psi\rangle\langle\psi\rvertρ=∣ψ⟩⟨ψ∣ 时 pk=∣⟨k∣ψ⟩∣2p_k=\lvert\langle k\rvert\psi\rangle\rvert^2pk​=∣⟨k∣ψ⟩∣2,即"振幅的模方"由迹的定义直接给出。 4. **概率从计数测度来(定理 3.1/推论 3.2)**:均匀计数测度在**任意**粗粒化下的推前是概率测度(非负、归一、可加,三行证完)。取"层高"这一粗粒化,推前恰是 Zb047 的层权重 whw_hwh​——故**概率不是公设,是推前**。 **一处记账**:把"读出"实现为投影 PkP_kPk​ 上的迹,是**结构选择(I)**;它的后果(非负、归一、可加)是定理。 ---
相位在本库有三处出现,本篇把它们统一到"2π2\pi2π 的整数倍"这一条上: $$ \boxed{\;\begin{aligned} &\textbf{单值性}:\ \psi\ \text{单值}\iff\oint\nabla\theta\cdot d\ell=2\pi n\ (n\in\mathbb Z);\\ &\textbf{通量}:\ \partial_\mu\theta=\tfrac q\hbar A_\mu+\cdots\ \Longrightarrow\ \Phi=\frac{2\pi\hbar}{q}\,n=\frac{h}{q}\,n;\\ &\textbf{半整数}:\ \text{自旋-}\tfrac12\ \text{绕轴转}\ 2\pi\ \text{给}\ -I,\quad 4\pi\ \text{才给}\ +I . \end{aligned}\;} \tag{0.1} $$ **三条正面结果**: 1. **单值性(定理 1.2)**:绕闭合回路一周相位必须整 2π2\pi2π 倍。 2. **通量量子化(定理 2.2)**:单值性把磁通量锁定为 h/qh/qh/q 的整数倍。 3. **4π4\pi4π 周期(定理 3.2)**:自旋-12\frac1221​ 的旋转群是 SU(2)SU(2)SU(2),其 2π2\pi2π 旋转等于 −I-I−I,故态向量需要 4π4\pi4π。 **一处记账**:"波函数单值"是**结构选择(I)**(也可以取多值、双值表示);给定它,三条结论都是定理。 ---