Zb025 · 开放系统:完全正、Kraus 表示与 Lindblad 生成元的保迹性

guobin ouyang

Published Oct 31, 2026• 0 citations

Abstract

本篇把开放系统的三条代数事实写清: $$ \boxed{\;\begin{aligned} &\textbf{Kraus}:\ \Phi(\rho)=\sum_kM_k\rho M_k^\ast\ \Longrightarrow\ \Phi\ \text{完全正};\\ &\textbf{保迹}:\ \operatorname{tr}\Phi(\rho)=\operatorname{tr}\rho\iff\textstyle\sum_kM_k^\ast M_k=I;\\ &\textbf{Lindblad}:\ \dot\rho=-i[H,\rho]+\sum_k\Bigl(A_k\rho A_k^\ast-\tfrac12\{A_k^\ast A_k,\rho\}\Bigr)\ \text{保迹}. \end{aligned}\;} \tag{0.1} $$ **三条正面结果**: 1. **完全正(定理 1.2)**:任何 Kraus 形式都给出完全正映射,且 Kraus 形式对"系统-环境耦合 + 部分迹"完全等价(Zb023 定理 2.2 的逆命题)。 2. **保迹判据(定理 2.1)**:$\sum_kM_k^\ast M_k=I$ ⟺ 保迹。 3. **Lindblad 保迹(定理 3.2)**:GKSL 生成元逐项保迹,故 $\operatorname{tr}\rho(t)$ 是常数。 **一处记账**:取 GKSL 形式(而不取任意保迹正映射)是**结构选择(I)**——它限制在"马尔可夫、时间齐次"的一支;由它推出的保迹性是定理。 ---

DOI: 10.5281/zenodo.23829756

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Zb025 · 开放系统:完全正、Kraus 表示与 Lindblad 生成元的保迹性

guobin ouyang

Published Oct 31, 2026• 0 citations

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Abstract

本篇把开放系统的三条代数事实写清:

\boxed{\;\begin{aligned} &\textbf{Kraus}:\ \Phi(\rho)=\sum_kM_k\rho M_k^\ast\ \Longrightarrow\ \Phi\ \text{完全正};\\ &\textbf{保迹}:\ \operatorname{tr}\Phi(\rho)=\operatorname{tr}\rho\iff\textstyle\sum_kM_k^\ast M_k=I;\\ &\textbf{Lindblad}:\ \dot\rho=-i[H,\rho]+\sum_k\Bigl(A_k\rho A_k^\ast-\tfrac12\{A_k^\ast A_k,\rho\}\Bigr)\ \text{保迹}. \end{aligned}\;} \tag{0.1}

三条正面结果: 1. 完全正(定理 1.2):任何 Kraus 形式都给出完全正映射,且 Kraus 形式对"系统-环境耦合 + 部分迹"完全等价(Zb023 定理 2.2 的逆命题)。 2. 保迹判据(定理 2.1):

\sum_kM_k^\ast M_k=I

⟺ 保迹。 3. Lindblad 保迹(定理 3.2):GKSL 生成元逐项保迹,故

\operatorname{tr}\rho(t)

是常数。 一处记账:取 GKSL 形式(而不取任意保迹正映射)是结构选择(I)——它限制在"马尔可夫、时间齐次"的一支;由它推出的保迹性是定理。 ---

DOI: 10.5281/zenodo.23829756

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guobin ouyang

本篇文章把"测量"拆成三个可证的部分: $$ \boxed{\;\begin{aligned} &\textbf{效应}:\ 0\le E_k\le I,\ \textstyle\sum_kE_k=I\ \Longrightarrow\ \text{计数比}\ p_k=\operatorname{tr}(\rho E_k)\ \text{仍归一};\\ &\textbf{无信号}:\ \operatorname{tr}_B\bigl[(\text{远端任意测量})\bigr]=\operatorname{tr}_B\rho_{AB}\quad(\text{与远端选择无关});\\ &\textbf{退相干}:\ \text{环境正交}\iff\text{系统约化态对角}. \end{aligned}\;} \tag{0.1} $$ **五条正面结果**: 1. **效应(定理 1.2)**:把投影放宽为效应,Born 比值的三条性质全部保留。 2. **无信号(定理 2.2)**:远端测量的选择不改变本地的边缘统计。 3. **退相干(定理 3.2/推论 3.4)**:环境态正交时非对角元精确为零;不正交时每次记录乘 $\kappa_1$ , $N$ 次后 $\mathcal V(N)=\kappa_1^N$ ,半衰期 $N_{1/2}=\ln2/(-\ln\kappa_1)$ ——**有限次记录不能完全退相干**。 4. **Naimark 膨胀(定理 1.4)**:任意 POVM 都可由等距嵌入 $V\lvert\chi\rangle=\sum_i(\sqrt{E_i}\lvert\chi\rangle)\otimes\lvert i\rangle$ 在扩大空间上的**投影**测量实现,故 POVM 不引入新的测量概念。 5. ** $\kappa_1$ 的三重身份(推论 3.5)**:同一个数同时给可见度衰减、半衰期、与环境学到的信息量 $\chi(N)=h\bigl(\frac{1-\kappa_1^N}2\bigr)$ ——退相干与信息泄露是同一件事。 **一处记账**:把"测量"实现为效应族(而不是投影族)是**结构选择(I)**;它放宽了可实现读出的范围,但不改变归一性。 ---本篇文章把"测量"拆成三个可证的部分: $$ \boxed{\;\begin{aligned} &\textbf{效应}:\ 0\le E_k\le I,\ \textstyle\sum_kE_k=I\ \Longrightarrow\ \text{计数比}\ p_k=\operatorname{tr}(\rho E_k)\ \text{仍归一};\\ &\textbf{无信号}:\ \operatorname{tr}_B\bigl[(\text{远端任意测量})\bigr]=\operatorname{tr}_B\rho_{AB}\quad(\text{与远端选择无关});\\ &\textbf{退相干}:\ \text{环境正交}\iff\text{系统约化态对角}. \end{aligned}\;} \tag{0.1} $$ **五条正面结果**: 1. **效应(定理 1.2)**:把投影放宽为效应,Born 比值的三条性质全部保留。 2. **无信号(定理 2.2)**:远端测量的选择不改变本地的边缘统计。 3. **退相干(定理 3.2/推论 3.4)**:环境态正交时非对角元精确为零;不正交时每次记录乘 $\kappa_1$,$N$ 次后 $\mathcal V(N)=\kappa_1^N$,半衰期 $N_{1/2}=\ln2/(-\ln\kappa_1)$——**有限次记录不能完全退相干**。 4. **Naimark 膨胀(定理 1.4)**:任意 POVM 都可由等距嵌入 $V\lvert\chi\rangle=\sum_i(\sqrt{E_i}\lvert\chi\rangle)\otimes\lvert i\rangle$ 在扩大空间上的**投影**测量实现,故 POVM 不引入新的测量概念。 5. **$\kappa_1$ 的三重身份(推论 3.5)**:同一个数同时给可见度衰减、半衰期、与环境学到的信息量 $\chi(N)=h\bigl(\frac{1-\kappa_1^N}2\bigr)$——退相干与信息泄露是同一件事。 **一处记账**:把"测量"实现为效应族(而不是投影族)是**结构选择(I)**;它放宽了可实现读出的范围,但不改变归一性。 ---

Oct 31, 20260 citations

Zb023 · 场与观察者:局域代数、门、以及观察者作为子系统

guobin ouyang

本篇把"场"与"观察者"都写成**子系统**,并给出三条可算的结论: $$ \boxed{\;\begin{aligned} &\textbf{局域代数}:\ \mathcal A_A=\mathcal B(\mathcal H_A)\otimes I_B,\quad \mathcal A_B=I_A\otimes\mathcal B(\mathcal H_B);\\ &\textbf{局域交换}:\ [\mathcal A_A,\mathcal A_B]=0\ \Longrightarrow\ \text{两侧读出互不干扰};\\ &\textbf{观察者}:\ \text{观察者是被耦合的子系统,其"记录"是它自身的态}. \end{aligned}\;} \tag{0.1} $$ **三条正面结果**: 1. **局域交换(定理 1.2)**:两侧局域算子交换,故两侧的读数互不改变。 2. **门(定理 2.2)**:任何保迹、保正(完全正)的映射都可实现为"系统-辅助耦合 + 部分迹",这是测量的普遍模型。 3. **观察者即子系统(命题 3.2)**:把观察者当作第三子系统后,"读出"就是它与系统的关联;退相干公式(Zb021 定理 3.2)直接适用。 **一处记账**:切分"系统 / 环境 / 观察者"是**结构选择(I)**;给定切分,全部结论是定理。 ---本篇把"场"与"观察者"都写成**子系统**,并给出三条可算的结论: $$ \boxed{\;\begin{aligned} &\textbf{局域代数}:\ \mathcal A_A=\mathcal B(\mathcal H_A)\otimes I_B,\quad \mathcal A_B=I_A\otimes\mathcal B(\mathcal H_B);\\ &\textbf{局域交换}:\ [\mathcal A_A,\mathcal A_B]=0\ \Longrightarrow\ \text{两侧读出互不干扰};\\ &\textbf{观察者}:\ \text{观察者是被耦合的子系统,其"记录"是它自身的态}. \end{aligned}\;} \tag{0.1} $$ **三条正面结果**: 1. **局域交换(定理 1.2)**:两侧局域算子交换,故两侧的读数互不改变。 2. **门(定理 2.2)**:任何保迹、保正(完全正)的映射都可实现为"系统-辅助耦合 + 部分迹",这是测量的普遍模型。 3. **观察者即子系统(命题 3.2)**:把观察者当作第三子系统后,"读出"就是它与系统的关联;退相干公式(Zb021 定理 3.2)直接适用。 **一处记账**:切分"系统 / 环境 / 观察者"是**结构选择(I)**;给定切分,全部结论是定理。 ---

Oct 31, 20260 citations

Zb019 · 时间与演化:幺正生成元、KMS 条件、几何时间与热时间的分工

guobin ouyang

本篇给出"演化"的两种时间,并说明它们的分工: $$ \boxed{\;\begin{aligned} &\textbf{幺正演化}:\ \rho(t)=e^{-iHt}\rho e^{iHt},\quad \text{保迹、保正、保谱};\\ &\textbf{KMS}:\ \text{Gibbs 态满足}\ \langle A\,\sigma_{t+i\beta}(B)\rangle_\rho=\langle\sigma_t(B)\,A\rangle_\rho;\\ &\textbf{分工}:\ H\ \text{给几何时间(谁在动)},\ \log\rho\ \text{给热时间(多热)};\ \ \sigma^{\rm mod}_t=\sigma^{\rm geo}_{-\beta t}. \end{aligned}\;} \tag{0.1} $$ **五条正面结果**: 1. **幺正性(定理 1.2)**: $U(t)=e^{-iHt}$ 是单参数幺正群,共轭作用保持态的集合。 2. **KMS 条件(定理 2.2)**:Gibbs 态 $\rho=e^{-\beta H}/Z$ 的模流与 $H$ 生成的演化一致,满足 KMS 关系。 3. **两种时间的关系(命题 3.1)**: $\sigma_t^{\rm mod}(A)=e^{-i\beta Ht}Ae^{i\beta Ht}=\sigma^{\rm geo}_{-\beta t}(A)$ ——模流就是以 $\beta H$ 为生成元的演化,差一个由约定固定的符号。 4. **模流的完整判据(定理 4.3/4.4/4.5)**:非平凡且保代数 ⟺ 块对角 + 块内非标量;不同的态给不同的流;"保持一切忠实态"只在 $H$ 属于中心时发生(那时 $\alpha=\mathrm{id}$ )。 5. **时间箭头(定理 5.1)**: $\sigma_{-t}=\sigma_t^{-1}$ 使模流本身不区分方向;**箭头由 $\rho$ 的本征值序给出**,且 $K=-\ln\rho$ 的谱单调。箭头给方向、熵给大小,两者都来自同一个 $\rho$ 。 **一处记账**:把 $\rho$ 取成 Gibbs 形式 $e^{-\beta H}/Z$ 是**结构选择(I)**;给定它,KMS 是定理。 ---本篇给出"演化"的两种时间,并说明它们的分工: $$ \boxed{\;\begin{aligned} &\textbf{幺正演化}:\ \rho(t)=e^{-iHt}\rho e^{iHt},\quad \text{保迹、保正、保谱};\\ &\textbf{KMS}:\ \text{Gibbs 态满足}\ \langle A\,\sigma_{t+i\beta}(B)\rangle_\rho=\langle\sigma_t(B)\,A\rangle_\rho;\\ &\textbf{分工}:\ H\ \text{给几何时间(谁在动)},\ \log\rho\ \text{给热时间(多热)};\ \ \sigma^{\rm mod}_t=\sigma^{\rm geo}_{-\beta t}. \end{aligned}\;} \tag{0.1} $$ **五条正面结果**: 1. **幺正性(定理 1.2)**:$U(t)=e^{-iHt}$ 是单参数幺正群,共轭作用保持态的集合。 2. **KMS 条件(定理 2.2)**:Gibbs 态 $\rho=e^{-\beta H}/Z$ 的模流与 $H$ 生成的演化一致,满足 KMS 关系。 3. **两种时间的关系(命题 3.1)**:$\sigma_t^{\rm mod}(A)=e^{-i\beta Ht}Ae^{i\beta Ht}=\sigma^{\rm geo}_{-\beta t}(A)$——模流就是以 $\beta H$ 为生成元的演化,差一个由约定固定的符号。 4. **模流的完整判据(定理 4.3/4.4/4.5)**:非平凡且保代数 ⟺ 块对角 + 块内非标量;不同的态给不同的流;"保持一切忠实态"只在 $H$ 属于中心时发生(那时 $\alpha=\mathrm{id}$)。 5. **时间箭头(定理 5.1)**:$\sigma_{-t}=\sigma_t^{-1}$ 使模流本身不区分方向;**箭头由 $\rho$ 的本征值序给出**,且 $K=-\ln\rho$ 的谱单调。箭头给方向、熵给大小,两者都来自同一个 $\rho$。 **一处记账**:把 $\rho$ 取成 Gibbs 形式 $e^{-\beta H}/Z$ 是**结构选择(I)**;给定它,KMS 是定理。 ---

Oct 31, 20260 citations

Zb018 · 运动学:态、可观测量与读出计数——Born 比值不是新公理

guobin ouyang

本篇建立量子运动学,并把"概率"的位置说清: $$ \boxed{\;\begin{aligned} &\textbf{可观测量}:\ \text{自伴算子}\ A=A^\ast\ \text{(有限维、实谱)};\\ &\textbf{读出计数}:\ N_k=\operatorname{tr}(\rho P_k);\\ &\textbf{Born 比值}:\ p_k=\frac{\operatorname{tr}(\rho P_k)}{\operatorname{tr}\rho}=\operatorname{tr}(\rho P_k)\quad(\operatorname{tr}\rho=1);\\ &\textbf{记账}:\ p_k\ \text{是}\textbf{计数比},\text{由公理②(不设概率)留给} \text{读出}. \end{aligned}\;} \tag{0.1} $$ **四条正面结果**: 1. **谱定理(定理 1.2)**:有限维自伴算子有实谱与正交本征基,可观测量的"读数"因此是实数。 2. **Born 比值定理(定理 2.2)**:把读数定义为 $\operatorname{tr}(\rho P_k)$ 后,比值自动非负、归一、对正交分解可加——**不需要额外公设**。 3. **纯态的两次方(定理 5.1)**: $\rho=\lvert\psi\rangle\langle\psi\rvert$ 时 $p_k=\lvert\langle k\rvert\psi\rangle\rvert^2$ ,即"振幅的模方"由迹的定义直接给出。 4. **概率从计数测度来(定理 3.1/推论 3.2)**:均匀计数测度在**任意**粗粒化下的推前是概率测度(非负、归一、可加,三行证完)。取"层高"这一粗粒化,推前恰是 Zb047 的层权重 $w_h$ ——故**概率不是公设,是推前**。 **一处记账**:把"读出"实现为投影 $P_k$ 上的迹,是**结构选择(I)**;它的后果(非负、归一、可加)是定理。 ---本篇建立量子运动学,并把"概率"的位置说清: $$ \boxed{\;\begin{aligned} &\textbf{可观测量}:\ \text{自伴算子}\ A=A^\ast\ \text{(有限维、实谱)};\\ &\textbf{读出计数}:\ N_k=\operatorname{tr}(\rho P_k);\\ &\textbf{Born 比值}:\ p_k=\frac{\operatorname{tr}(\rho P_k)}{\operatorname{tr}\rho}=\operatorname{tr}(\rho P_k)\quad(\operatorname{tr}\rho=1);\\ &\textbf{记账}:\ p_k\ \text{是}\textbf{计数比},\text{由公理②(不设概率)留给} \text{读出}. \end{aligned}\;} \tag{0.1} $$ **四条正面结果**: 1. **谱定理(定理 1.2)**:有限维自伴算子有实谱与正交本征基,可观测量的"读数"因此是实数。 2. **Born 比值定理(定理 2.2)**:把读数定义为 $\operatorname{tr}(\rho P_k)$ 后,比值自动非负、归一、对正交分解可加——**不需要额外公设**。 3. **纯态的两次方(定理 5.1)**:$\rho=\lvert\psi\rangle\langle\psi\rvert$ 时 $p_k=\lvert\langle k\rvert\psi\rangle\rvert^2$,即"振幅的模方"由迹的定义直接给出。 4. **概率从计数测度来(定理 3.1/推论 3.2)**:均匀计数测度在**任意**粗粒化下的推前是概率测度(非负、归一、可加,三行证完)。取"层高"这一粗粒化,推前恰是 Zb047 的层权重 $w_h$——故**概率不是公设,是推前**。 **一处记账**:把"读出"实现为投影 $P_k$ 上的迹,是**结构选择(I)**;它的后果(非负、归一、可加)是定理。 ---

Oct 31, 20260 citations

Zb022 · 纠缠与复合:Schmidt 分解、可分判据与 CHSH 的两条界

guobin ouyang

本篇给出"复合"的代数,并算出 CHSH 的两条界: $$ \boxed{\;\begin{aligned} &\textbf{Schmidt}:\ \lvert\psi\rangle=\sum_i\sqrt{\lambda_i}\,\lvert a_i\rangle\lvert b_i\rangle,\quad\lambda_i\ge0,\ \textstyle\sum\lambda_i=1;\\ &\textbf{可分判据}:\ \text{纯态可分}\iff\text{Schmidt 秩}=1;\\ &\textbf{乘积界}:\ \rho=\rho_A\otimes\rho_B\ \Longrightarrow\ \lvert\langle S\rangle\rvert\le2;\\ &\textbf{算符界}:\ \lVert S\rVert\le2\sqrt2\quad(\text{对一切态}). \end{aligned}\;} \tag{0.1} $$ **五条正面结果**: 1. **熵分解(定理 3.2)**:块对角态的熵 $=H(w)+\sum_hw_h\ln d_h$ ; $d=2$ 时多出的恰是常数 $\ln2$ 。 2. **Schmidt 分解(定理 1.2)**:任何纯态都能写成配对形式, $\lambda_i$ 是系数矩阵的奇异值平方。 3. **可分判据(命题 1.3)**:纯态可分当且仅当其 Schmidt 秩为 1。 4. **两条界(定理 4.1、4.2)**:乘积态的上界是 $2$ ,一般态的上界是 $2\sqrt2$ 。 5. **纠缠 $\ne$ Bell 违反(定理 5.1/5.2)**:Werner 态的可分门限是 $p\le\frac13$ 、CHSH 门限是 $p>\frac{1}{\sqrt2}$ ——**两条线不重合**。故存在**纠缠却 Bell 局域**的态(例: $p=\frac35$ 给 $S_{\max}=\frac{6\sqrt2}{5}=1.697<2$ )。 **一处记账**:把"复合系统"读作张量积 $\mathcal H_A\otimes\mathcal H_B$ 是**结构选择(I)**;由它推出的全部分解与界是定理。 ---本篇给出"复合"的代数,并算出 CHSH 的两条界: $$ \boxed{\;\begin{aligned} &\textbf{Schmidt}:\ \lvert\psi\rangle=\sum_i\sqrt{\lambda_i}\,\lvert a_i\rangle\lvert b_i\rangle,\quad\lambda_i\ge0,\ \textstyle\sum\lambda_i=1;\\ &\textbf{可分判据}:\ \text{纯态可分}\iff\text{Schmidt 秩}=1;\\ &\textbf{乘积界}:\ \rho=\rho_A\otimes\rho_B\ \Longrightarrow\ \lvert\langle S\rangle\rvert\le2;\\ &\textbf{算符界}:\ \lVert S\rVert\le2\sqrt2\quad(\text{对一切态}). \end{aligned}\;} \tag{0.1} $$ **五条正面结果**: 1. **熵分解(定理 3.2)**:块对角态的熵 $=H(w)+\sum_hw_h\ln d_h$;$d=2$ 时多出的恰是常数 $\ln2$。 2. **Schmidt 分解(定理 1.2)**:任何纯态都能写成配对形式,$\lambda_i$ 是系数矩阵的奇异值平方。 3. **可分判据(命题 1.3)**:纯态可分当且仅当其 Schmidt 秩为 1。 4. **两条界(定理 4.1、4.2)**:乘积态的上界是 $2$,一般态的上界是 $2\sqrt2$。 5. **纠缠 $\ne$ Bell 违反(定理 5.1/5.2)**:Werner 态的可分门限是 $p\le\frac13$、CHSH 门限是 $p>\frac{1}{\sqrt2}$——**两条线不重合**。故存在**纠缠却 Bell 局域**的态(例:$p=\frac35$ 给 $S_{\max}=\frac{6\sqrt2}{5}=1.697<2$)。 **一处记账**:把"复合系统"读作张量积 $\mathcal H_A\otimes\mathcal H_B$ 是**结构选择(I)**;由它推出的全部分解与界是定理。 ---

Oct 31, 20260 citations

Zb006 · 舞台与格点:平移不变性、行模、舞台是输入

guobin ouyang

本篇把"舞台"立成一个**有谱的对象**,并说明它为什么必须登记为**输入**: $$ \boxed{\;\begin{aligned} &\textbf{行模}:\ \text{平移与耦合交换}\ TL=LT\ \Longrightarrow\ \text{共同本征基}\ \Longrightarrow\ \lambda=\lambda(q);\\ &\textbf{方格}:\ \lambda(q_x,q_y)=4\sin^2\frac{q_x}2+4\sin^2\frac{q_y}2;\\ &\textbf{有限舞台}:\ K_4\ \text{的谱恰为}\ \{0,4,4,4\};\\ &\textbf{记账}:\ \text{舞台选择属}\ \textbf{结构选择(I)} . \end{aligned}\;} \tag{0.1} $$ **四条正面结果**: 1. **行模定理(定理 2.2)**:舞台上有与耦合交换的平移时,谱由一个行函数 $\lambda(q)$ 给出, $q$ 取遍对偶群。 2. **方格谱(定理 2.3)**:周期方格上的行模是两方向之和。 3. **舞台决定可用频率(定理 3.2)**: $K_4$ 只有两个频率( $0$ 与 $2c$ ),方格是连续带 $[0,2\sqrt2c]$ ;故舞台的选择改变可观测量,属结构选择(I)。 4. **同族判据(命题 5.1/5.2)**:覆盖保持度数;自由作用且**无被反转的边**的商也保持度数。故"两个舞台是否同族"有可查的判据——度数不一致就不同族。三条条件缺一不可( $K_4$ 对 $(12)(34)$ 的商是 $K_2$ , $3\to1$ )。 ---本篇把"舞台"立成一个**有谱的对象**,并说明它为什么必须登记为**输入**: $$ \boxed{\;\begin{aligned} &\textbf{行模}:\ \text{平移与耦合交换}\ TL=LT\ \Longrightarrow\ \text{共同本征基}\ \Longrightarrow\ \lambda=\lambda(q);\\ &\textbf{方格}:\ \lambda(q_x,q_y)=4\sin^2\frac{q_x}2+4\sin^2\frac{q_y}2;\\ &\textbf{有限舞台}:\ K_4\ \text{的谱恰为}\ \{0,4,4,4\};\\ &\textbf{记账}:\ \text{舞台选择属}\ \textbf{结构选择(I)} . \end{aligned}\;} \tag{0.1} $$ **四条正面结果**: 1. **行模定理(定理 2.2)**:舞台上有与耦合交换的平移时,谱由一个行函数 $\lambda(q)$ 给出,$q$ 取遍对偶群。 2. **方格谱(定理 2.3)**:周期方格上的行模是两方向之和。 3. **舞台决定可用频率(定理 3.2)**:$K_4$ 只有两个频率($0$ 与 $2c$),方格是连续带 $[0,2\sqrt2c]$;故舞台的选择改变可观测量,属结构选择(I)。 4. **同族判据(命题 5.1/5.2)**:覆盖保持度数;自由作用且**无被反转的边**的商也保持度数。故"两个舞台是否同族"有可查的判据——度数不一致就不同族。三条条件缺一不可($K_4$ 对 $(12)(34)$ 的商是 $K_2$,$3\to1$)。 ---

Oct 31, 20260 citations

本篇把开放系统的三条代数事实写清:

\boxed{\;\begin{aligned} &\textbf{Kraus}:\ \Phi(\rho)=\sum_kM_k\rho M_k^\ast\ \Longrightarrow\ \Phi\ \text{完全正};\\ &\textbf{保迹}:\ \operatorname{tr}\Phi(\rho)=\operatorname{tr}\rho\iff\textstyle\sum_kM_k^\ast M_k=I;\\ &\textbf{Lindblad}:\ \dot\rho=-i[H,\rho]+\sum_k\Bigl(A_k\rho A_k^\ast-\tfrac12\{A_k^\ast A_k,\rho\}\Bigr)\ \text{保迹}. \end{aligned}\;} \tag{0.1}

\sum_kM_k^\ast M_k=I

⟺ 保迹。 3. Lindblad 保迹(定理 3.2):GKSL 生成元逐项保迹,故

\operatorname{tr}\rho(t)

是常数。 一处记账:取 GKSL 形式(而不取任意保迹正映射)是结构选择(I)——它限制在"马尔可夫、时间齐次"的一支;由它推出的保迹性是定理。 ---

\kappa_1

N

次后

\mathcal V(N)=\kappa_1^N

,半衰期

N_{1/2}=\ln2/(-\ln\kappa_1)

——**有限次记录不能完全退相干**。 4. **Naimark 膨胀(定理 1.4)**:任意 POVM 都可由等距嵌入

V\lvert\chi\rangle=\sum_i(\sqrt{E_i}\lvert\chi\rangle)\otimes\lvert i\rangle

在扩大空间上的**投影**测量实现,故 POVM 不引入新的测量概念。 5. **

\kappa_1

的三重身份(推论 3.5)**:同一个数同时给可见度衰减、半衰期、与环境学到的信息量

\chi(N)=h\bigl(\frac{1-\kappa_1^N}2\bigr)

——退相干与信息泄露是同一件事。 **一处记账**:把"测量"实现为效应族(而不是投影族)是**结构选择(I)**;它放宽了可实现读出的范围,但不改变归一性。 ---

U(t)=e^{-iHt}

是单参数幺正群,共轭作用保持态的集合。 2. **KMS 条件(定理 2.2)**:Gibbs 态

\rho=e^{-\beta H}/Z

的模流与

H

生成的演化一致,满足 KMS 关系。 3. **两种时间的关系(命题 3.1)**:

\sigma_t^{\rm mod}(A)=e^{-i\beta Ht}Ae^{i\beta Ht}=\sigma^{\rm geo}_{-\beta t}(A)

——模流就是以

\beta H

为生成元的演化,差一个由约定固定的符号。 4. **模流的完整判据(定理 4.3/4.4/4.5)**:非平凡且保代数 ⟺ 块对角 + 块内非标量;不同的态给不同的流;"保持一切忠实态"只在

H

属于中心时发生(那时

\alpha=\mathrm{id}

)。 5. **时间箭头(定理 5.1)**:

\sigma_{-t}=\sigma_t^{-1}

使模流本身不区分方向;**箭头由

\rho

的本征值序给出**,且

K=-\ln\rho

的谱单调。箭头给方向、熵给大小,两者都来自同一个

\rho

。 **一处记账**:把

\rho

取成 Gibbs 形式

e^{-\beta H}/Z

是**结构选择(I)**;给定它,KMS 是定理。 ---

\operatorname{tr}(\rho P_k)

后,比值自动非负、归一、对正交分解可加——**不需要额外公设**。 3. **纯态的两次方(定理 5.1)**:

\rho=\lvert\psi\rangle\langle\psi\rvert

时

p_k=\lvert\langle k\rvert\psi\rangle\rvert^2

,即"振幅的模方"由迹的定义直接给出。 4. **概率从计数测度来(定理 3.1/推论 3.2)**:均匀计数测度在**任意**粗粒化下的推前是概率测度(非负、归一、可加,三行证完)。取"层高"这一粗粒化,推前恰是 Zb047 的层权重

w_h

——故**概率不是公设,是推前**。 **一处记账**:把"读出"实现为投影

P_k

上的迹,是**结构选择(I)**;它的后果(非负、归一、可加)是定理。 ---

=H(w)+\sum_hw_h\ln d_h

;

d=2

时多出的恰是常数

\ln2

。 2. **Schmidt 分解(定理 1.2)**:任何纯态都能写成配对形式,

\lambda_i

是系数矩阵的奇异值平方。 3. **可分判据(命题 1.3)**:纯态可分当且仅当其 Schmidt 秩为 1。 4. **两条界(定理 4.1、4.2)**:乘积态的上界是

2

,一般态的上界是

2\sqrt2

。 5. **纠缠

\ne

Bell 违反(定理 5.1/5.2)**:Werner 态的可分门限是

p\le\frac13

、CHSH 门限是

p>\frac{1}{\sqrt2}

——**两条线不重合**。故存在**纠缠却 Bell 局域**的态(例:

p=\frac35

给

S_{\max}=\frac{6\sqrt2}{5}=1.697<2

)。 **一处记账**:把"复合系统"读作张量积

\mathcal H_A\otimes\mathcal H_B

是**结构选择(I)**;由它推出的全部分解与界是定理。 ---

\lambda(q)

给出,

q

取遍对偶群。 2. **方格谱(定理 2.3)**:周期方格上的行模是两方向之和。 3. **舞台决定可用频率(定理 3.2)**:

K_4

只有两个频率(

0

与

2c

),方格是连续带

[0,2\sqrt2c]

;故舞台的选择改变可观测量,属结构选择(I)。 4. **同族判据(命题 5.1/5.2)**:覆盖保持度数;自由作用且**无被反转的边**的商也保持度数。故"两个舞台是否同族"有可查的判据——度数不一致就不同族。三条条件缺一不可(

K_4

对

(12)(34)

的商是

K_2

3\to1

)。 ---