Determinamos las condiciones necesarias y suficientes que garantizan que un estado fermiónico o bosónico de N = 2m partículas tenga la forma |Ψ⟩ ∝ (A†)m|0⟩, donde A† = 1/2 ∑ ᵢⱼ Aᵢᵢc† ic† ⱼ es un operador general de creación de pares. Estas condiciones pueden expresarse como una ecuación de autovalores para una matriz de densidad de dos cuerpos modificada, y permiten una reconstrucción exacta del operador A, proporcionando además una medida de la proximidad de un estado dado a un condensado de pares exacto. A través de un formalismo basado en covarianzas cuánticas [1], también se demuestra que tales estados están completamente caracterizados por un conjunto de L operadores de un cuerpo conservados, los cuales tienen a |Ψ⟩ como autoestado exacto, con L determinado únicamente por la dimensión del espacio de una partícula involucrado. De este modo, se determina el conjunto completo de hamiltonianos de dos cuerpos que tienen a |Ψ⟩ como autoestado exacto, y también se identifica un subconjunto general que tiene a |Ψ⟩ como estado fundamental (GS) no degenerado. Se discute además la extensión a estados f(A†)|0⟩, donde f es una función arbitraria [2].
Determinamos las condiciones necesarias y suficientes que garantizan que un estado fermiónico o bosónico de N = 2m partículas tenga la forma |Ψ⟩ ∝ (A†)m|0⟩, donde A† = 1/2 ∑ ᵢⱼ Aᵢᵢc† ic† ⱼ es un operador general de creación de pares. Estas condiciones pueden expresarse como una ecuación de autovalores para una matriz de densidad de dos cuerpos modificada, y permiten una reconstrucción exacta del operador A, proporcionando además una medida de la proximidad de un estado dado a un condensado de pares exacto. A través de un formalismo basado en covarianzas cuánticas [1], también se demuestra que tales estados están completamente caracterizados por un conjunto de L operadores de un cuerpo conservados, los cuales tienen a |Ψ⟩ como autoestado exacto, con L determinado únicamente por la dimensión del espacio de una partícula involucrado. De este modo, se determina el conjunto completo de hamiltonianos de dos cuerpos que tienen a |Ψ⟩ como autoestado exacto, y también se identifica un subconjunto general que tiene a |Ψ⟩ como estado fundamental (GS) no degenerado. Se discute además la extensión a estados f(A†)|0⟩, donde f es una función arbitraria [2].
En esta Tesis se desarrollan metodologías para determinar y analizar en profundidad el fenómeno de factorización exacta de autoestados de Hamiltonianos de sistemas cuánticos de muchos cuerpos fuertemente interactuantes. Esta factorización comprende tanto el caso de autoestados que son producto de estados de componentes primarios, como aquél en el que son producto de estados de pares (dimerización) o grupos de componentes (clústers). El tema es relevante en varias áreas de gran interés actual. En primer lugar se derivan condiciones necesarias y suficientes generales para que un Hamiltoniano de un sistema interactuante posea un autoestado exacto factorizado, expresadas en forma de ecuaciones de autovalores especiales. El formalismo es aplicado a un sistema de interacción general de N componentes, cada uno con n niveles accesibles localmente, de modo que el Hamiltoniano puede expresarse en términos de operadores que satisfacen un álgebra U(n). Para n=2, es equivalente a un sistema de espines 1/2 con acoplamientos tipo XYZ en un campo magnético. Se determinan puntos de factorización, mostrando que corresponden a un punto de degeneración excepcional, y se examinan las propiedades críticas del entrelazamiento en su entorno. Posteriormente, se muestra que las condiciones de factorización pueden expresarse en términos de la matriz de covarianza cuántica de los operadores locales que componen el Hamiltoniano. El formalismo requiere solo valores medios locales y resulta adecuado para sistemas y factorizaciones generales. Pone de manifiesto el rol esencial de la existencia de operadores locales conservados para una separabilidad exacta, ya sea total o parcial. El método permite derivar las condiciones para la existencia de diversos tipos de factorización exacta de autoestados en sistemas de espines interactuantes. En particular, se derivan las condiciones más generales para la factorización en dímeros y clústers de espín 0, solo conocidas en algunos casos especiales. Luego se extienden los resultados a dimerización exacta en singletes generalizados, que son estados de pares que no están máximamente entrelazados, con propiedades únicas en relación a operadores conservados. Se muestra que permiten la dimerización exacta inducida por campo en sistemas anisotrópicos XYZ para espín arbitrario. Se brindan ejemplos específicos, incluyendo la extensión a campo magnético no nulo del modelo de Majumdar-Ghosh. Finalmente, se examina la factorización en sistemas de componentes indistinguibles. Siguiendo el esquema basado en operadores conservados, se caracterizaron los estados llamados condensados de pares, tanto fermiónicos como bosónicos, que pueden considerarse "uniformemente separables'' a nivel de par. Se muestra que están completamente caracterizados por un número fijo de operadores de un cuerpo exactamente conservados. A partir de este resultado se obtiene el Hamiltoniano de dos cuerpos más general que posee el condensado de pares como autoestado exacto, junto con una clase que lo tiene como estado fundamental no degenerado. Mediante el formalismo anterior se determina también una condición necesaria y suficiente para asegurar que un estado dado sea un condensado de par exacto, que permite además su reconstrucción exacta. Proporciona también una medida simple de la proximidad de un estado dado a un condensado de par, junto con una "mejor'' aproximación de condensado de par al estado. Se muestran resultados ilustrativos.
En esta tesis estudiaremos diversos aspectos del entrelazamiento entre diferentes particiones de sistemas de muchos cuerpos, tanto para el estado fundamental como para estados térmicos. Consideraremos en general aquellos sistemas definidos por Hamiltonianos cuadráticos en operadores locales y en particular el caso de redes de espines. Con este fin se desarrollará en primer lugar una generalización de la aproximación denominada CSPA de la función de partición de sistemas cuánticos compuestos, así como del formalismo RPA, al que se reduce el primero en situaciones donde el sistema admite soluciones de campo medio estables. A partir de la función de partición aproximada se estimará la concurrencia de pares para redes de espines 1/2 invariantes ante translaciones. Se mostrará también que en redes de espín 1/2 invariantes traslacionales la función de partición en la aproximación RPA puede evaluarse en forma analítica. En segundo lugar se presentará un mapeo bosónico consistente con RPA, que nos permitirá mapear el estado fundamental de un sistema general a un estado en el sistema de bosones que en primera aproximación pertenece a la clase de los estados Gaussianos. Esto nos permitirá estimar el entrelazamiento entre cualquier par de partes del sistema original en términos del entrelazamiento en estados Gaussianos, que puede ser evaluado exactamente. Luego se mostrarán resultados concretos en redes generales de espín s invariantes ante transformaciones de “paridad de espín z”. Veremos además como este tratamiento nos permite determinar las condiciones exactas para la existencia de un campo factorizante del sistema, esto es, configuraciones particulares del campo magnético externo para las que el sistema admite un (o en general varios) estado(s) fundamental(es) completamente separables. En los ejemplos estudiados, mostraremos cómo en el caso en que estos estados presenten ruptura espontánea de simetría el sistema desarrolla correlaciones cuánticas de largo alcance en la vecindad de ese punto, independientemente del alcance de las interacciones entre las partes. Finalmente se analizará en detalle el comportamiento exacto del sistema en esas condiciones.
En esta tesis se estudia la dinámica de no equilibrio de sistemas cuánticos aislados de muchos cuerpos. El protocolo de no equilibrio estudiado es el de un quench cuántico, es decir, una perturbación abrupta al sistema que se produce al variar instantáneamente uno de los parámetros del Hamiltoniano. Estamos particularmente interesados en las escalas de tiempo y en los mecanismos de relajación de los sistemas cuánticos aislados. Para atacar este problema utilizamos una variedad de técnicas analíticas para indagar diversos modelos. En el Capítulo 2 utilizamos la bosonización en una dimensión para estudiar la relajación por dephasing (el mecanismo que domina a tiempos cortos) en un sistema de fermiones unidimensionales con interacciones de corto y largo alcance. En el Capítulo 3 investigamos la formación de estados metaestables de tiempos cortos (estados pretermalizados) como fruto de la evolución por dephasing en un sistema de fermiones en dos dimensiones usando bosonización multidimensional. En el Capítulo 4 deducimos ecuaciones de movimiento para funciones de correlación de pocos puntos en sistemas débilmente interactuantes utilizando el formalismo del operador proyección. En el Capítulo 5 utilizamos estas ecuaciones para analizar la dinámica de tiempos largos de un sistema unidimensional de fermiones cerca del punto integrable X X Z . En este Capítulo también estudiamos la dinámica de un sistema unidimensional de bosones usando la aproximación truncada de Wigner (TWA por sus siglas en inglés), una aproximación válida en el límite semiclásico. Los hallazgos de nuestro trabajo pueden enunciarse de manera suscinta: cuando los canales de relajación del sistema son escasos y para energías lo suficientemente bajas emergen estados metaestables entre el estado inicial y el estado final de la evolución. Éstos pueden tener vidas medias muy grandes y obturar completamente la observación del equilibrio térmico en simulaciones numéricas o en experimentos. Los estados metaestables surgen como resultado del dephasing entre ciertos modos cuasilibres del sistema. Además, tales estados estacionarios admiten una descripción estadística en términos de un ensamble de Gibbs generalizado que toma en cuenta todas las cantidades conservadas del modelo efectivo de tiempos cortos. A tiempos mayores las colisiones inelásticas llevan al equilibrio térmico final. En el Capítulo 6 se detallan las conclusiones de nuestro trabajo y diversas perspectivas abiertas.
La extensión del concepto de entrelazamiento a sistemas de componentes indistinguibles, y en particular a sistemas fermiónicos es un problema fundamental que ha recientemente suscitado gran interés. En este trabajo se desarrolla y examina en profundidad esta extensión, considerando además su rol en información cuántica y en la caracterización de correlaciones en sistemas fuertemente interactuantes. En primer lugar se considera el denominado entrelazamiento de un cuerpo, que es una medida de correlaciones fermiónicas basada en la matriz densidad de un cuerpo (SPDM) y que cuantifica la desviación de un estado puro fermiónico de un determinante de Slater. Se analiza su comportamiento en el estado fundamental de un sistema superconductor y de otros sistemas fuertemente interactuantes, mostrándose su correlación con el parámetro de orden correspondiente y saturación en el régimen de acoplamiento fuerte. Se examina también el entrelazamiento de estados reducidos del sistema por medio de la concurrencia fermiónica, mostrando que caracteriza la transición de fase. En segundo lugar se analizan aspectos formales del entrelazamiento de un cuerpo. Se demuestra que el mismo puede ser considerado formalmente como un recurso cuántico. La teoría de recursos asociada tiene al conjunto de determinantes de Slater como estados libres, y un conjunto de operaciones, que incluyen transformaciones unitarias de un cuerpo y medidas de ocupación de un modo, como operaciones libres. Se introduce también una formulación general bipartita del entrelazamiento de un cuerpo, basada en una descomposición tipo Schmidt 1 −(N −1) de un estado puro de N fermiones, en la que la SPDM emerge naturalmente. Finalmente se generaliza esta formulación bipartita, separando los estados de M < N y (N − M) fermiones. Esta descomposición se encuentra directamente vinculada con las matrices densidad de M y (N−M) cuerpos, que son isoespectrales. De aquí emerge naturalmente el concepto de entrelazamiento de M cuerpos, que generaliza el entrelazamiento de un cuerpo y provee una caracterización general de las correlaciones. Se demuestran también propiedades operacionales del mismo. Se presentan asimismo evaluaciones analíticas de los espectros de las matrices de M cuerpos en sistemas fuertemente correlacionados.
I. 3.4.1.Unidades At'Ómic2q 1.3.5.Aplicaciones de la Ecuación de Onda.Átorno de en el desxrollo de la física teórica.it;í c'omo en la descripción de l a serie espectral de Balmer o en el modelo atómico de Bohr Para su resolución, se considera al átomo como un sistema de dos pa-tículai;; interactuantes.con masas m l y 7n2.Donde l a energía potencial del sistema es I' = -2 e 2 / r ..\qui r es la distancia núcleo-electrón Z es el n h e r o atómico.L a ecuación en coordenadas carte5ianas se expresa ~01110:En donde el potencial es: [3.IS) (3.16) I. 3.5.1.Solnción de (q jLas soluciones de l a s diferentes @,n(oj.se cspresan como:(3.17a) (3.171 !I; 1.3.5.2.Solución de @17,(0) Las ecuaciones que satisfacen esta función son conocida?como funciones o polinomios asociados de Legendre 4 m (cos O) [2], donde 1 es el nimero cu6ntico azimut~al ,v m es el nmgni.tico.El polinomio puede normalizarse >' adquiere l a siguiente forma (3.1 S) 1.3.5.3.Solución de &(rj .(3.19) La matriz de segundo orden se puede expresar en f:loriou de los orbitales naturale:+ de espín.l a expresión de un determinante de Slater r 1 = -~{ ~/ J : \ .; ¡ l ' l l ( 2 !?; ( 2 / -{ < t i i L 1 q k ( L k ; ( l / ?} I : ; .\ : . .>:. kl Con l a matriz de segundo orden se pueden obtemr Fropiedades de dos electrones.en un esquema de Hartree-Fock, como la energía potencial.también se puede obteser la OD11 operador de una partícula.y de elIa se pueden determinar propiedades EOnoelectrónicas como la energía cinética.Como se observa en la Ec. (3.75).1.3.7.3.Matrices Densidad Libres de Espín XLuchos operadores en la mecáuica cuántica no involucran coordenadas de espin.como el hamiltoniano de la Ec. (3.7.5j, lo que pernlitirá reducir las matrices de ias Ecs.(3.67.3.68, 3.69) a partir de la ODM.Se definen las matrices densidad reducidas de espin de primer y segundo orden como [38].La matriz densidad reducida densidad de c a r p se expresan en de espin y por lo tanto la densidad ,:-ctrbnicit o función de fa ODM y del mismo r ~: en funcicjn ,le los orbitales zaturales de espín (_\S@!.Ec ( 3 .3 ) .p ( r : r' 1 k La densidad electrónica en función de los orbitales naturales es donde .nkson los números de ocupación de los orbitales naturales & en el intervalo de 1.3.7.4 Representación en el Espacio de Momentos El principio de incertidumbre nos indica que es imposible determinar con precisión en un sistema cuántico al mismo tiempo la posición y el momento.Las primeras aplicaciones del concepto de espacio fase a la mecánica cuzintica hicieron uso de las funciones de \%-igner y Husimi [do].Estas funciones dan información contenida en l a matriz densidad de en un sistema.El estado cte a n sistema nlec~nico-L.u,i:;icvest& descrito pc)r 1 .m elen?ento X.rf, definido en un espacio de Hilbert.En cuzlquier representación específica de este espacio.es reer:;Fii--tzado por una c:oordenada er! particular.Las coordenadas o reT1r-t~secraciones de la-partículas nxis cornunes e11 ia mecinica cuántict son la ysi(::Gu \el momento.€1 estado descrito por el elenlento J( bra; se define C O I ~~ un espacio dud.Estas matrices están conectadas ;>\ir l m a tranifornlada clr Fourier.pero no e x i ~~e una relacicjn maten-:.Atica rigurosa y directa entre p(Fi y su contraparte en el e:--\PC.. ':o de momentos (6) :, 1. Las ODYI son equivalentes por la Ec. (i3.90 y contienen la misma informacidn ',el +:enla.pero a(@! contiene informacicin de los r:3n?entos fuera de !a diagonal ' ; ; , A OD\! en la representación de posici6n J-ofrrect.ccc:xnuciones no locales de la tJ! i, '\I desde la perspectiva espacial.-~ ., 1.3.8.Teoría de la Información El problema de reconstruir una función a parrir de un conjunto finito de datos es común en diversos problemas.Usualmente el conjunto finito de datos no es suficiente únicamente para determinar la función!y algca Tipo de función debe ser elegida del conjunto de todas las fuociones que tienen los datos correct,os.Se debe entender por mejor función a aquella que sea tan cercana c o x 0 sea posible.a la función original que generó los datos [13-47].En 1948, Claude Shannon [48j introdujo una nueva vía probabilística para considerar la comunicación y crear simultáneamente l a primera teoría maternática r!r la entropía.motivado por el problema de la tIransrriisi6n deficiente en una comunic~ión ruidosa en un canal.Sus ideas fueron aplicadas rGp:damente.J-se crearon dos gri-.:dei:líneas de investigación: 'ia teoría de la inforn:,ic:ox que elnplea l a probabilidnc'.,I:'(.estudiar las características estadísticas de lcs i-a: x y sistemas de comunicac:,.:l.x+la teoría de codificación.la cual usa princip&n:ez-e el iilgebra S la seometn',t.-;<irc\ proporcionar códigos pitra diversas situaciorie-s., . . .Shcinnon propuso algunos axiomas para la incerriduzhre e11 una transmisión de infamación.Estos axiomas se basan c, n la suposición de tener un conjunto de posibles eventos cuyas probabilidades son p 7;). . . . .pn. los criterios establecidos permiten medir la aparición de un evento.h a medida Hip:.p;. . .p1 ) requiere de que se cu11:pldn ciertas condiciones.e H debe ser continua en pi o Si I a s probabilidades pi son iguales, entonces p2 = 1 ; 12. y H debe ser una función monótona y creciente.Para event,os igualmente probables hay mas elección.o incertidumbre cuando hay miis posibles evenios e Si una elección se dit-ide en dos sucesit-as elecciones, el valor original de H debe ser la suma promediada de los valores individuales de H Shannon [48] estableció el siguiente Teorema : L,a ~n i c a f u n c i ó n H que satlsfuce las tres condiciones anteriores tiene la forma, 1".Esti función H = -C ( y i ) ¿ o g ( p i ) (la h' indica la cantidad de elección de una unidad de medida).juega un papel cent,ral en l a riledida de la información.elección e ir?cer-idumbre.y su forma se asocia al de la en-ropía de !a xeclinica estadística ;-!!I Esta h c i ó n H se puede utilizar para.Ln entropía para u n conjunto discreto de probitbiiidades ?l. ., p T 2 .ha sido detiuicia ec la Ec. (3.91).De una manera análoga Shannon definid la entropía de una disrribución continua con la función de distrihuci6n i S !CORN -481: . .Después de la teoría propuest,a por Shamon.6: se ha utilizado en una gran variedad de aplicaciones, entre ellas en la r~constr1,:I :. .I y análisis de informaci6n.Se ha aplicado rambii.nen los G i ~i m o s años en ei ?studio de fencimenos físicos ,y químic0.sLas probabilidades de la densidad de !it, mtropías de Shannon.se vbtierlrn C?P las funciones de onda en la representacicin de posiciolles (II 1 :-;.(,Ec.:3.%l 1.de la función de onda en lit de momentos @ I :. . . .~ y, (Ec. 3 .$S;.Las ent ropi~.. (ic, Shannon normalizadas al número de electrones se expresan como: (3.94) Gadre J-colaboradores -51; . .han utilizado ia suma de las entropías como una cantidad para evaluar la calidad de las bases, ya que con esta cantidad se consideran ambos espacios complementarios \k (rl: . . ., r,) y @'jpl. . . .p,), y esto se debe a que una cant,idad es mínima cuando la otra se masimiza.Esta suma de entropías se expresa COIllO Esta suma de entropias Sr [52:.proveé u x t medida balanceada de la incert,idun?breen sisema.tornando e3 cuenta las conliiciones de fronrzra de la distrihucidn ec aml~os espacios.
Con la motivación de saber en qué sistemas es conveniente aplicar la teoría de cobosones, el objetivo de este trabajo es responder esta pregunta para un modelo simple de fermiones fuertemente interactuantes. El sistema a estudiar consiste en una cadena de potenciales unidimensional de S sitios, con N pares de fermiones de dos tipos (a y b), con tasa de tuneleo de las partículas individuales J y energía de interacción atractiva U0, con tasa de tuneleo de las partículas individuales mucho menor que la energía de interacción atractiva entre ellas. Nos centramos en el estudio del estado fundamental del sistema. Para resolver el problema usamos, en primer lugar, herramientas usuales en Mecánica Cuántica: se buscó un Hamiltoniano efectivo, se lo proyectó en el subespacio de los estados de menor energía, es decir, el espacio donde los pares de fermiones permanecen unidos, y se lo resolvió exactamente o por diagonalización numérica para encontrar el estado fundamental con su energía correspondiente. Se llegó a los mismos resultados mediante el uso de teoría de perturbaciones a segundo orden. Luego, en segundo lugar, se siguieron las indicaciones de la teoría de cobosones para construir el estado fundamental de N cobosones del Hamiltoniano efectivo, y se calculó su energía. Comparando los resultados obtenidos por ambos métodos se puede finalmente determinar si dicha teoría resulta adecuada para resolver este sistema.