O modelo esférico desempenha um papel importante na mecânica estatística, pois ele permite a realização de cálculos exatos para estudar o comportamento crítico. Diferentes soluções do modelo esférico têm sido usadas para estudar o comportamento crítico de uma grande variedade de sistemas (com diversos tipos de desordem, com interações competitivas, de curto e de longo alcance, ferro e antiferromagnéticas, além de muitas outras situações). As soluções desses modelos apresentam uma série de anomalias a baixas temperaturas, inclusive resultados que contradizem a terceira lei da termodinâmica. Na década de 70, foi sugerido que esse comportamento anômalo a temperaturas muito baixas seria corrigido pela introdução de flutuações quânticas, que não eram levadas em conta nas soluções clássicas. De fato, a partir da quantização do modelo esférico e possível corrigir esse comportamento. Utilizamos então dois métodos distintos de quantização - quantização canônica e representação em termos de integrais funcionais - para construir versões quânticas do modelo esférico clássico, que podem ser investigadas analiticamente. Mostramos que essas formulações quânticas conduzem aos mesmos resultados. Em particular, analisamos as propriedades termodinâmicas de um modelo esférico médio\" quântico nas seguintes situações: (i) com inteirações de longo alcance, do tipo campo médio, que deve constituir um dos sistemas mais simples exibindo uma transição de fase quântica; (ii) com interações competitivas, entre primeiros e segundos vizinhos, numa situação em que ocorre um ponto multicrítico de Lifshitz; (iii) na presença de interações de longo alcance, tipo campo médio, e de um campo aleatório com média nula; (iv) na presença de desordem de sítios, como nos modelos de van Hemmen para um vidro de spin ou de Hopfield para uma rede neural com poucos padrões. Em todos esses casos há correção do comportamento anômalo a baixas temperaturas. Obtemos diagramas de fases e estudamos em cada caso a natureza das fases ordenadas.
Resumo: O modelo esférico pertence a uma pequena classe de modelos em mecânica estatística que são solúveis exatamente em dimensões arbitrárias, o que o torna atraente para o estudo de transições de fase Assim, apresentamos o modelo esférico clássico e suas proprieda des, incluindo o comportamento patológico da entropia para baixas temperaturas Em seguida, introduzimos a versão quântica do modelo, em que analisamos o seu compor tamento crítico para interações de primeiros vizinhos, tanto para o caso de temperatura finita quanto para temperatura nula Como o foco principal deste trabalho é investigar o comportamento crítico de uma extensão supersimétrica do modelo esférico quântico, jul gamos apropriado discutir inicialmente as principais propriedades de supersimetria, que são fundamentais para a construção da versão supersimétrica a partir de uma formulação no superespaço Esta construção no superespaço é conveniente para garantir que a estru tura de vínculo da teoria seja compatível com a supersimetria A extensão supersimétrica do modelo é parametrizada por uma energia de interação Ur,r , que governa a interação entre os supercampos nos diferentes sítios Em particular, o cálculo da função de partição é apresentado considerando uma energia de interação que depende apenas do módulo da distância entre dois sítios, U = U(?r - r ?) Porém, a análise do comportamento crítico é apresentada para interações de campo médio No geral, é possível mostrar que a versão de campo médio apresenta uma transição de fase quântica, sem quebra de supersimetria para temperatura nula, assim como uma transição de fase a temperatura finita com uma quebra de supersimetria Apresentamos os expoentes críticos da magnetização e da sus ceptibilidade em ambos os casos de temperatura finita e temperatura nula Com relação a susceptibilidade, encontramos dois regimes no caso de temperatura finita caracterizados por expoentes críticos distintos A entropia para a extensão supersimétrica do modelo é bem comportada no limite de baixas temperaturas, s ?
Introdução o interesse em se estudar modelos com interaçÕe8 mais gerais do que interações de dois corpos surgiu com as evidências de efeitos importantes de atrações de muitos corpos em teorias de ligas (1), problemas de superfície (2,3), estrutura do 3He sólido (.), etc.Os primeiros modelos que surgiram focalizando o problema de interações de multispin foram os modelos de Ashkin-Teller (5) e o modelo de oito vértices (6), ambos em duas dimensões.Em seguida Baxter e Wu (7) resolveram exatamente o modelo de lsing com interações de três corpos numa rede triangular, observando que na transição de fase os expoentes diferiam daqueles do modelo de Ising com interação de vizinhos próximos (Onsager).Na década de 70 o estudo dos fenômenos críticos vivia uma época efervescente com a introdução das idéias de invariância de escala que levaram K. Wilson ( 8) a int.oduzir a técnica do grupo de renormalização.Tal técnica revelou-se um método eficiente na explicação dos valores dos expoentes críticos obtidos experimentalmente.Por outro lado, também se iniciou neste período a investigação sobre o comportamento de sistemas finitos ao redor do ponto crítico do sistema infinito.Como as singub'ridad',s a~""Zecem-'penas nos sistemas infinitos estudou-se de que forma essas singularidades apareceriam à medida que o tamanho do sistema fosse aumentando.O primeiro trabalho que abordou a teoria de escala para sistemas finitos (finite size scaling) foi de Fisher e Barber (9), discutindo sistematicamente os efeitos de ta.ma.nho finito.A união de conceitos advindos da teoria do Grupo de Renormalização e da teoria de finite size scaling possibilitou um avanço considerável no estudo dos fenômenos críticos.Na linguagem de Grupo de Renormalização o inverso do comprimento do sistema (L-1) é um parâmetro relevante da mesma forma que o campo magnético e a temperatura.O próximo passo foi dado por Nightingale que formulou o chamado "grupo de renormalização fenomenológico" possibilitando um desenvolvimento computacional enorme, ideal para o tratamento de Hamiltonianas quânticas.Utilizando tais técnicas de finite size scaling Penson et al (11) e Debierre e Turban (12) voltaram a estudar modelos com interaçÕe8 de multispin.No entanto as investigações não foram conclusivas e o comportamento crítico permaneceu sujeito a várias 2 ~---.".._--~---