КИБЕРНЕТИКА И ТЕОРИЯ РЕГУЛИРОВАНИЯ Р. Р. ВАРШАМОВ О ВОЗМОЖНОСТЯХ УВЕЛИЧЕНИЯ МОЩНОСТИ ЛИНЕЙНЫХ КОРРЕКТИРУЮЩИХ кодов (Представлено академиком Б. Н. Петровым 3 VII Hfi'I) Одной из основных задач алгебраической теории кодов является пробле ма разработки конструктивных методов построения помехоустойчивых систем кодирования, обладающих максимальной скоростью передачи ин формации (или, что то же самое, максимальной мощностью кодовых под множеств) при заданных ее основных параметрах и, t п <?, где пблоко вая длина кода, tчисло исправляемых ошибок, qоснование кода.В за метке приводятся некоторые результаты относительно возможностей по строения в метрике Хемминга помехоустойчивых систем сигналов, мощ ность кодовых подмножеств которых намного превосходит мощность всех аналогичных известных в литературе наилучших линейных кодов.Наша основная концепция заключается в следующем.Теорема 1, Как бы велико ни было число 0 и каков бы ни был метод построения линейных корректирующих кодов, исправляющих t симметри ческих ошибок, опираясь на него, всегда можно указать такие значения па раметров п и q, для которых можно строить новые классы кодов, мощность кодовых подмножеств которых более чем в 0 раз будет превосходить мощ ность соответствующих кодов, построенных первоначальным способом-, при этом сохраняется их прежняя корректирующая способность.Мы будем считать, что задан метод построения систем кодирования, ис правляющих фиксированное число t ошибок, если указан вполне определен ный способ, позволяющий для произвольных п и q строить такие системы.Рассмотрим на примерах кодов Хемминга и Боуза -Чоудхури -Хоквингема, какую физическую интерпретацию допускает теорема 1. 1. Коды Хемминга.Как известно ('), кодами Хемминга называ ют класс линейных кодов, исправляющих одиночные симметрические ошиб ки.Эти коды, хотя и являются оптимальными в классе линейных кодов, од нако относятся к разряду кодов, для которых разработан метод построения.А поэтому согласно утверждениям теоремы 1 должна существовать конст руктивная возможность, позволяющая увеличивать (даже неограниченно) их мощность.Условимся в дальнейшем через g(n, q) обозначать мощность наилучше го кода Хемминга длины п и основания q, а также &q(n) =ql}oetnl, где [ж]наименьшее целое, не превосходящее х, и {х}=х-[ж].Случай q=3 * .* В случае q~2 наш метод неэффективен.
КИБЕРНЕТИКА И ТЕОРИЯ РЕГУЛИРОВАНИЯ Р. Р. ВАРШАМОВ О ВОЗМОЖНОСТЯХ УВЕЛИЧЕНИЯ МОЩНОСТИ ЛИНЕЙНЫХ КОРРЕКТИРУЮЩИХ кодов (Представлено академиком Б. Н. Петровым 3 VII Hfi'I) Одной из основных задач алгебраической теории кодов является пробле ма разработки конструктивных методов построения помехоустойчивых систем кодирования, обладающих максимальной скоростью передачи ин формации (или, что то же самое, максимальной мощностью кодовых под множеств) при заданных ее основных параметрах и, t п <?, где пблоко вая длина кода, tчисло исправляемых ошибок, qоснование кода.В за метке приводятся некоторые результаты относительно возможностей по строения в метрике Хемминга помехоустойчивых систем сигналов, мощ ность кодовых подмножеств которых намного превосходит мощность всех аналогичных известных в литературе наилучших линейных кодов.Наша основная концепция заключается в следующем.Теорема 1, Как бы велико ни было число 0 и каков бы ни был метод построения линейных корректирующих кодов, исправляющих t симметри ческих ошибок, опираясь на него, всегда можно указать такие значения па раметров п и q, для которых можно строить новые классы кодов, мощность кодовых подмножеств которых более чем в 0 раз будет превосходить мощ ность соответствующих кодов, построенных первоначальным способом-, при этом сохраняется их прежняя корректирующая способность.Мы будем считать, что задан метод построения систем кодирования, ис правляющих фиксированное число t ошибок, если указан вполне определен ный способ, позволяющий для произвольных п и q строить такие системы.Рассмотрим на примерах кодов Хемминга и Боуза -Чоудхури -Хоквингема, какую физическую интерпретацию допускает теорема 1. 1. Коды Хемминга.Как известно ('), кодами Хемминга называ ют класс линейных кодов, исправляющих одиночные симметрические ошиб ки.Эти коды, хотя и являются оптимальными в классе линейных кодов, од нако относятся к разряду кодов, для которых разработан метод построения.А поэтому согласно утверждениям теоремы 1 должна существовать конст руктивная возможность, позволяющая увеличивать (даже неограниченно) их мощность.Условимся в дальнейшем через g(n, q) обозначать мощность наилучше го кода Хемминга длины п и основания q, а также &q(n) =ql}oetnl, где [ж]наименьшее целое, не превосходящее х, и {х}=х-[ж].Случай q=3 * .* В случае q~2 наш метод неэффективен.
В рамках фурье-анализа были исследованы световые сдвиги резонансов когерентного пленения населенностей в периодически модулированном лазерном поле, когда частота модуляции варьируется вблизи дробной частоты сверхтонкого расщепления в основном состоянии атомов Δ/ (где = 1, 2, 3, ...). Такой тип модуляции обычно имеет место в малогабаритных часах с полупроводниковым лазером, когда ток инжекции гармонически модулирован на частоте , либо при использовании электрооптического или акустооптического модулятора. При этом формируется полихроматическое эквидистантное излучение, в котором имеются только две частотные компоненты, наиболее резонансные рабочим оптическим переходам в атоме, в то время как все остальные частотные компоненты являются относительно нерезонансными. На основе точных численных расчетов мы показали, что широко распространенная точка зрения, согласно которой сдвиг резонанса когерентного пленения населенностей определяется обычным квадратичным штарковским сдвигом нижних атомных уровней, является, в общем случае, существенно некорректной. Это обусловлено тем, что в общем случае дополнительный вклад в световой сдвиг резонанса когерентного пленения населенностей, обусловленный биениями (на частоте Δ) между различными нерезонансными частотными компонентами, может быть сопоставим (или даже доминировать) по отношению к величине стандартного штарковского сдвига. Более того, эти биения являются фазовочувствительными. Поэтому даже наличие детальной информации о спектральном составе модулированного излучения (например, с помощью спектр-анализатора) не является достаточным для определения светового сдвига резонанса когерентного пленения населенностей.
Предложен метод построения теории возмущений с конечным радиусом сходимости для достаточно широкого класса квантово-полевых моделей, традиционно применяемых к описанию критического и околокритического поведения в задачах статистической физики. Для предлагаемых сходящихся рядов при помощи инстантонного анализа определен радиус сходимости, а также указан способ вычисления их коэффициентов, опирающийся на диаграммы стандартной (расходящейся) теории возмущений. Подход апробирован на примере стандартной A-модели стохастической динамики и матричной модели фазового перехода в системе нерелятивистских фермионов, в которой его применение позволило объяснить ранее обнаруженное квазиуниверсальное поведение траекторий фазового перехода первого рода.
Стандартный подход к моделированию эффектов неоднородного спектрального уширения в среде, состоящей из двухуровневых или многоуровневых систем, заключается в вычислении микроскопической поляризации (дипольного момента одиночной системы) как функции частотной расстройки и дальнейшем усреднении этой величины по расстройкам с соответствующим весом. Это и приводит к макроскопической поляризации, фигурирующей в уравнениях Максвелла электродинамики сплошной среды. Здесь мы изучаем и развиваем альтернативный метод вычисления макроскопической поляризации, предложенный недавно Н.В. Высотиной, Н.Н. Розановым и В.Е. Семеновым [Опт. и спектр. 2009. Т. 106. № 5. С. 793797] и предназначенный для решения задач вычислительной квантовой оптики. В этом подходе частотная расстройка рассматривается как стохастическая функция координат, в одномерных задачах продольной координаты z. На каждом эволюционном шаге микроскопическая поляризация вычисляется для фиксированного случайным образом выбранного значения расстройки. Тем самым при вычислении макроскопической поляризации отпадает необходимость в дополнительном усреднении по расстройкам, которое заменяется усреднением по пространственным координатам, естественным образом выполняемым при описании распространения излучения через ансамбль квантовых систем. Это радикально сокращает объем вычислений, в особенности в рамках метода конечных разностей во временнoй области (FDTD).
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ОГРАНИЧЕНИЯ НА КВАЗИТОЧНО РЕШАЕМЫЕ СИСТЕМЫРассматриваются ограничения на двумерные квантово-механические системы, существующие в областях с границами.Данные ограничения возникают из требования эрмитовости соответствующих гамильтонианов.Строятся новые двумерные семейства формально точно решаемых систем.При учете упомянутых ограничений оказывается, что на самом деле эти системы в лучшем случае являются квазиточно решаемыми.Тем не менее в контексте псевдоэрмитовых гамильтонианов некоторые из построенных семейств являются точно решаемыми.
Одностенные углеродные нанотрубки (ОУНТ) обладают уникальными физическими свойствами, обусловленными присущим им квази-релятивистским поведением [1]. Поскольку описание поведения носителей в ОУНТ формально подобно описанию поведения электрона в теории Дирака, в данной работе предложен квантово-полевой подход к построению одно-частичного оператора плотности вероятности (ПВ) для двузонной модели ОУНТ [1]. Предложенный подход является альтернативой обычно рассматриваемому преобразованию Фолди-Ваутхаузена, которое позволяет разделить положительно и отрицательно частотные решения. Показано, что в рассмотренном “no-pair” приближении полученная одноэлектронная ПВ отличается от “классической” Шредингеровской ПВ, задаваемой квадратом волновой функции. Полученная ПВ указывает на вспомогательную роль волновой функции при анализе эксперимента, поскольку демонстрирует дополнительно к стандартному квантово-механическому размытию положения электрона, размытие, связанное с многозонностью проблемы. С точки зрения квантовой теории поля, дополнительное динамическое размытие связано с флуктуациями вакуума-заполненной валентной зоной (аналог “моря” Дирака). Налетающий электрон аннигилирует с дыркой виртуальной пары, а электрон пары продолжает движение [2]. Как показано, такая телепортация проявляется не только в особенности поведения ПВ, но и обуславливает существенную модификацию внешнего потенциала в полученном для однокомпонентной волновой функции одно-частичном уравнении типа Салпетера. К нелокальности псевдо-дифференциального оператора кинетической энергии добавляется нелокальное воздействие внешнего потенциала, который в общем случае представляет собой интегральный оператор. Обсуждаются условия существования псевдо-релятивистского эффекта дрожания электрона (Zitterbewegung) и его связь с полученным нелокальным потенциальным членом типа Дарвина. Показано, что описанные особенности поведения электрона в ОУНТ связаны с необычными свойствами оператора координаты rˆ в одно-частичном секторе: r n n r ˆ . Предсказанные эффекты размытия достаточно велики (характерная длина-аналог Комптоновской длины в теории Дирака порядка 28,6А [1]) и, следовательно, наблюдаемы, например, с помощью сканирующей зондовой микроскопии. Однозначное соответствие в рамках предложенного подхода между решениями в ОУНТ и решениями (1+1) проблемы Дирака, предсказания для которой вне современных экспериментальных возможностей, представляет возможность экспериментального наблюдения и теоретического описания в ОУНТ таких релятивистских эффектов, как Zitterbewegung [3] и эффекта порождения электрон-дырочных пар - эффекта нестабильности вакуума СаутераШвингера [4].