Ce manuscrit établit un cadre mathématique explicite pour l’étude d’opérateurs non auto-adjoints dans les systèmes ouverts. il sépare strictement les résultats démontrables —spectre complexe, dissipation effective, estimation en espaces de Sobolev, équations à retard et analyse numérique — des interprétations phénoménologiques, lesquelles sont formulées comme hypothèses testables plutôt que comme axiomes physiques établis. L’objectif est de fournir une base vérifiable et reproductible pour l’analyse d’un Hamiltonien effectif de la forme Heff = H0 − iΓ.
Ce manuscrit établit un cadre mathématique explicite pour l’étude d’opérateurs non auto-adjoints dans les systèmes ouverts. il sépare strictement les résultats démontrables —spectre complexe, dissipation effective, estimation en espaces de Sobolev, équations à retard et analyse numérique — des interprétations phénoménologiques, lesquelles sont formulées comme hypothèses testables plutôt que comme axiomes physiques établis. L’objectif est de fournir une base vérifiable et reproductible pour l’analyse d’un Hamiltonien effectif de la forme Heff = H0 − iΓ.
Ce mémoire présente une synthèse de travaux portant sur le contrôle adiabatique de systèmes quantiques ouverts. Trois cas sont abordés: le contrôle distordu où du bruit (stochastique ou chaotique) est ajouté au contrôle, le contrôle de systèmes dissipatifs modélisés par des Hamiltoniens non-auto-adjoints, et le contrôle de systèmes intriqués. Les effets de décohérence et de relaxation, ainsi que la gêne qu'ils occasionnent sur le contrôle, sont abordés. Des théorèmes adiabatiques pour les systèmes ouverts sont présentés, ainsi qu'une approche (dite de Schrödinger-Koopman) pour traiter des systèmes quantiques asservis à des systèmes dynamiques classiques chaotiques. L'étude du contrôle est abordée par la voie de représentations géométriques fondées sur le phénomène de phases géométriques. La généralisation de ces phases aux systèmes ouverts est abordée ainsi que les structures mathématiques qui les supportent (des espaces fibrés de catégories). Le rôle épistémologique de la géométrique et de la théorie des catégories en physique quantique est abordée. Des outils de simulations numériques associés aux représentations mathématiques sont également évoqués, et certaines applications concrètes sont présentées: contrôle d'une chaîne de spins par des frappes magnétiques ultra-courtes, refroidissement vibrationnel de molécules diatomiques par champs lasers, dynamique d'un spin autour d'un trou noir, contrôle des états électroniques d'un atome s'intriquant avec un autre.
Dans ce travail on se concentre sur une methode alternative de quantification a travers des etats coherents. La methode canonique associe un pair de variables conjuguees classiques et identifie leur crochet de Poisson au commutateur quantique de ses observables quantiques correspondantes. Les observables sont definies comme des operateurs auto-adjoints agissant sur un espace de Hilbert particulier. Leurs valeurs physiques se trouvent dans leur resolution spectrale, et pourtant sont lies a une mesure a valeur projection (PV). Neanmoins, il existe un empechement lorsqu’on impose des bornes sur les ces spectres. Cette restriction sur la definition des operateurs est decrite par un theoreme de W. Pauli et ouvre la voie vers la definition de methodes alternatives de quantification. La quantification par etats coherents propose une definition d’observable quantique qui prend des valeurs a travers la valeur moyenne sur une famille « coherente » non-orthogonale et surcomplete de vecteurs dans l’espace de Hilbert. Les etats coherents definis a cet effet partagent avec ceux de oscillateur harmonique la propriete d’etre des resolutions de l’identite et d’etre parametrises par un indice discret et une variable complexe. Ceci les rend particulierement utiles pour « traduire » des variables classiques en operateurs quantiques bien definis. On a etudie trois cas particuliers ou la definition d’operateurs auto-adjoints est compromise. En premier on propose une definition de l’operateur de phase, correspondant a l’angle conjugue a l’action classique. En deuxieme place on etudie la quantification du mouvement dans un puits infini de potentiel, notamment, l’operateur d’impulsion problematique est defini proprement. Finalement ont propose un operateur temps, conjugue au Hamiltonien, pour une particule libre en utilisant des etats coherents de type SU(1,1) sur des demi plans de Poincare
Analyse mathématique et numérique de méthodes de plongement en mécanique quantique Dans cette thèse, on se propose d'étudier les propriétés mathématiques et numériques de certaines méthodes de plongement en mécanique quantique. Le principe de ces dernières réside dans l'approximation d'un grand système quantique en une collection de sous-systèmes auto-cohérents. Cette stratégie permet d'outrepasser les limitations pratiques inhérentes du problème à N-corps, et de décrire certaines propriétés de systèmes électroniques fortement corrélés. La première partie pose le cadre mathématique et introduit les deux méthodes étudiées dans cette thèse : d'une part la Théorie du Champ Moyen Dynamique (DMFT), s'intéressant aux fonctions de Green quantiques à un corps, et d'autre part la Théorie du Plongement de la Matrice Densité (DMET), portant sur la matrice densité réduite à un corps. On présente alors une analyse des équations DMET, où l'on démontre l'existence et l'unicité d'une solution « physique » dans la limite faiblement interagissante. La qualité de l'approximation réalisée est aussi étudiée dans cette limite : on montre l'exactitude au premier ordre, en le paramètre d'interaction entre les électrons, de l'approximation DMET. Des résultats numériques présentent l'applicabilité des théorèmes démontrés, et soulignent l'importance des hypothèses formulées. Les équations DMFT sont étudiées dans la partie suivante, dans le cadre de l'approximation du solveur d'impureté « IPT ». Notre analyse montre l'existence de solutions à ces équations, à l'aide d'une reformulation originale de ces dernières en termes d'un problème de point-fixe dans l'espaces de certaines mesures positives. Enfin, on étudie les propriétés d'une version discrète des équations IPT-DMFT, en donnant des résultats d'existence et d'unicité de la solution. Des simulations numériques réalisées sur un modèle de Hubbard révèlent l'intérêt et les propriétés de cette méthode dans l'étude d'un effet de fortes corrélations: la transition de Mott.
La dynamique d'un système quantique gouverné par un hamiltonien dépendant du temps de manière périodique peut être décrite à l'aide d'un opérateur de Floquet sur un espace de Hilbert convenable. La nature spectrale de cet opérateur donne des informations sur le comportement temporel asymptotique du système concerné. Deux modèles sont étudiés dans cette perspective. La première analyse que nous proposons, prolonge et complète les travaux de Combescure sur la dynamique de systèmes stationnaires à spectre discret, simple, frappés périodiquement par une perturbation de rang un. Un premier résultat est d'abord obtenu lorsque les valeurs propres du système stationnaire sont données par un polynôme vérifiant certaines conditions arithmétiques et lorsque la perturbation est convenablement choisie : le spectre de l'opérateur de Floquet est alors singulier continu. Nous montrons ensuite que sous certaines hypothèses sur la croissance de ces valeurs propres, ce spectre reste singulier continu pour presque toute période au sens de la mesure de Lebesgue et tout choix convenable de la perturbation de rang un. Une stratégie d'analyse spectrale différente est ensuite mise en place pour une classe d'opérateurs de Floquet intervenant dans un modèle de conduction électronique et ayant une représentation matricielle multi-diagonale. Bien que ces opérateurs soient bâtis autour d'un nombre de paramètres plus importants, nous montrons que dans une certaine limite motivée par des considérations physiques, l'étude spectrale est seulement gouvernée par deux suites de phases. Lorsque ces phases sont engendrées par certains processus ergodiques, nous montrons que le spectre de l'opérateur de Floquet est singulier. Lorsqu'elles sont données par une construction périodique, le spectre présente une portion absolument continue ainsi qu'un nombre fini de valeurs propres isolées et de multiplicité un.
Simulation des noyaux et de leurs constituants avec des ordinateurs quantiques La méthode de Brisure de Symétrie/Restauration de Symétrie est un outil largement utilisé pour traiter un ensemble de particules en interaction. Cette méthode permet souvent d'améliorer l'approximation de l'énergie de l'état fondamental d'un Hamiltonien dans un cadre variationnel. Dans cette technique, certaines symétries du système sont brisées intentionnellement dans la fonction d'onde utilisée lors de la recherche de l'état fondamental. Ce processus permet de capturer des corrélations complexes entre les particules à un coût numérique plus faible par rapport à un cadre qui préserve ces symétries. Étant donné que le véritable état fondamental doit respecter les symétries du problème, une étape de restauration de symétrie est a priori nécessaire pour revenir dans le sous-espace approprié de l'espace de Hilbert total.Cette thèse examine comment mettre en œuvre le schéma de Brisure de Symétrie/Restauration de Symétrie à l'aide d'ordinateurs quantiques. L'algorithme quantique que nous utilisons pour la composante variationnelle est la méthode de ``Variational Quantum Eigensolver (VQE)". Son but est de préparer une approximation de l'état fondamental en utilisant une fonction d'onde paramétrisée afin de minimiser l'énergie associée au Hamiltonien. L'ansatz quantique de Bardeen-Cooper-Schrieffer (BCS) a été utilisé comme ansatz brisant les symétries, et les techniques développées ont été testées en utilisant les Hamiltoniens d'appariement et le modèle de Hubbard. Nous avons également utilisé la transformation de Jordan-Wigner pour encoder les opérateurs présents dans le Hamiltonien. Avec ces outils, à l'instar des calculs sur ordinateurs classiques, deux manières d'utiliser le processus de Brisure de Symétrie/Restauration de Symétrie en conjonction avec la méthode VQE sont développés : nous pouvons varier les paramètres d'un ansatz de Brisure de Symétrie avant ou après la restauration de symétrie. La première approche est identifiée comme Projection Quantique Après Variation, tandis que la dernière est nommée Variation Quantique Après Projection.L'un des aboutissements de cette thèse est le développement de diverses techniques pour la restauration de symétrie. Certaines d'entre elles sont basées sur l'algorithme d'Estimation de Phase Quantique (QPE), ce qui comprend les méthodes de QPE itérative et de Rodéo. Nous avons également étudié d'autres techniques basées sur le concept ``d'Oracles quantiques", telles que les méthodes Oracle+Hadamard et Grover-Hoyer. L'algorithme de Combinaison Linéaire d'opérateurs Unitaires a été utilisé pour implémenter directement soit la projection, soit l'oracle. Nous avons également adapté le formalisme de ``Classical Shadows" pour la restauration de symétries dans le but d'optimiser les ressources quantiques nécessaires. Les différentes méthodes de restauration de symétrie sont illustrées à travers la thèse pour les symétries associées au nombre de particules et au spin total.Dans la dernière partie de la thèse, des techniques dites hybrides quantiques-classiques sont présentées, qui peuvent aider à extraire des informations précieuses sur le spectre de basse énergie du Hamiltonien. En supposant qu'il est possible d'extraire avec précision les moments du Hamiltonien à partir de leur fonction génératrice à l'aide d'un ordinateur quantique, nous introduisons deux méthodes d'analyse des spectres : la méthode de t-expansion, qui combine l'évolution en temps imaginaire et l'approximation de Padé, et la méthode de Krylov, une méthode d'expansion du sous-espace quantique qui peut fournir des informations sur les valeurs propres du Hamiltonien et sur l'évolution de la probabilité de survie. De plus, nous présentons également des résultats de la méthode Krylov Quantique. Cette technique donne des informations similaires à la méthode de Krylov, mais sans avoir besoin d'estimer les moments du Hamiltonien, une tâche qui reste difficile sur un ordinateur quantique actuellement.
Dans ce travail on se concentre sur une méthode alternative de quantification a travers des états cohérents. La méthode canonique associe un pair de variables conjuguées classiques et identifie leur crochet de Poisson au commutateur quantique de ses observables quantiques correspondantes. Les observables sont définies comme des opérateurs auto-adjoints agissant sur un espace de Hilbert particulier. Leurs valeurs physiques se trouvent dans leur résolution spectrale, et pourtant sont liés à une mesure à valeur projection (PV). Néanmoins, il existe un empêchement lorsqu’on impose des bornes sur les ces spectres. Cette restriction sur la définition des opérateurs est décrite par un théorème de W. Pauli et ouvre la voie vers la définition de méthodes alternatives de quantification. La quantification par états cohérents propose une définition d’observable quantique qui prend des valeurs à travers la valeur moyenne sur une famille « cohérente » non-orthogonale et surcomplète de vecteurs dans l’espace de Hilbert. Les états cohérents définis à cet effet partagent avec ceux de oscillateur harmonique la propriété d’être des résolutions de l’identité et d’être parametrisés par un indice discret et une variable complexe. Ceci les rend particulièrement utiles pour « traduire » des variables classiques en opérateurs quantiques bien définis. On a étudié trois cas particuliers ou la définition d’opérateurs auto-adjoints est compromise. En premier on propose une définition de l’opérateur de phase, correspondant à l’angle conjugué à l’action classique. En deuxième place on étudie la quantification du mouvement dans un puits infini de potentiel, notamment, l’opérateur d’impulsion problématique est défini proprement. Finalement ont propose un opérateur temps, conjugué au Hamiltonien, pour une particule libre en utilisant des états cohérents de type SU(1,1) sur des demi plans de Poincaré