Ce mémoire présente une synthèse de travaux portant sur le contrôle adiabatique de systèmes quantiques ouverts. Trois cas sont abordés: le contrôle distordu où du bruit (stochastique ou chaotique) est ajouté au contrôle, le contrôle de systèmes dissipatifs modélisés par des Hamiltoniens non-auto-adjoints, et le contrôle de systèmes intriqués. Les effets de décohérence et de relaxation, ainsi que la gêne qu'ils occasionnent sur le contrôle, sont abordés. Des théorèmes adiabatiques pour les systèmes ouverts sont présentés, ainsi qu'une approche (dite de Schrödinger-Koopman) pour traiter des systèmes quantiques asservis à des systèmes dynamiques classiques chaotiques. L'étude du contrôle est abordée par la voie de représentations géométriques fondées sur le phénomène de phases géométriques. La généralisation de ces phases aux systèmes ouverts est abordée ainsi que les structures mathématiques qui les supportent (des espaces fibrés de catégories). Le rôle épistémologique de la géométrique et de la théorie des catégories en physique quantique est abordée. Des outils de simulations numériques associés aux représentations mathématiques sont également évoqués, et certaines applications concrètes sont présentées: contrôle d'une chaîne de spins par des frappes magnétiques ultra-courtes, refroidissement vibrationnel de molécules diatomiques par champs lasers, dynamique d'un spin autour d'un trou noir, contrôle des états électroniques d'un atome s'intriquant avec un autre.
Ce mémoire présente une synthèse de travaux portant sur le contrôle adiabatique de systèmes quantiques ouverts. Trois cas sont abordés: le contrôle distordu où du bruit (stochastique ou chaotique) est ajouté au contrôle, le contrôle de systèmes dissipatifs modélisés par des Hamiltoniens non-auto-adjoints, et le contrôle de systèmes intriqués. Les effets de décohérence et de relaxation, ainsi que la gêne qu'ils occasionnent sur le contrôle, sont abordés. Des théorèmes adiabatiques pour les systèmes ouverts sont présentés, ainsi qu'une approche (dite de Schrödinger-Koopman) pour traiter des systèmes quantiques asservis à des systèmes dynamiques classiques chaotiques. L'étude du contrôle est abordée par la voie de représentations géométriques fondées sur le phénomène de phases géométriques. La généralisation de ces phases aux systèmes ouverts est abordée ainsi que les structures mathématiques qui les supportent (des espaces fibrés de catégories). Le rôle épistémologique de la géométrique et de la théorie des catégories en physique quantique est abordée. Des outils de simulations numériques associés aux représentations mathématiques sont également évoqués, et certaines applications concrètes sont présentées: contrôle d'une chaîne de spins par des frappes magnétiques ultra-courtes, refroidissement vibrationnel de molécules diatomiques par champs lasers, dynamique d'un spin autour d'un trou noir, contrôle des états électroniques d'un atome s'intriquant avec un autre.
Dynamique hors-équilibre des systèmes quantiques ouverts et fermés Cette thèse est consacrée à l'étude de la dynamique de hors-équilibre dans les systèmes quantiques fermés et ouverts. La question de l'obtention d'équations dynamiques numériquement efficaces pour simuler de tels systèmes, qui souffrent d'une malédiction de dimensionnalité lorsqu'ils sont de grande taille est au centre de la thèse, ainsi que les divers nouveaux résultats physiques qui peuvent être obtenus grâce à ces équations efficaces. La question de l'obtention de représentations efficaces des états quantiques est également centrale, à travers la construction d'Ansatz. En particulier, nous présentons la méthode du sous-espace dynamique, une nouvelle méthode numérique pour la simulation de l'évolution temporelle de systèmes quantiques ouverts avec une entropie modérée. En représentant la matrice densité par un sous-espace constitué de M états purs, la complexité de l'intégration de l'équation maîtresse de Lindblad est considérablement réduite, et l'algorithme obtenu est entièrement déterministe. Nous appliquons ensuite cette méthode pour modéliser des algorithmes quantiques bruités, en simulant un algorithme quantique bruité de transformation de Fourier qui est au centre de l'algorithme de Shor pour la factorisation de nombre premiers. Nous trouvons une loi d'échelle pour l'erreur en fonction du taux de dissipation, et le comportement de l'infidélité par rapport au circuit idéal est modélisé en fonction des états initiaux qui sont fournis en entrée à l'algorithme. Ensuite, l'application des méthodes d'apprentissage automatique à la mécanique quantique est présentée, à travers la classe d'Ansatz des états quantiques neuronaux (NQS). La construction générale des NQS est introduite, ainsi que sa relation avec d'autres Ansatz tels que les réseaux tensoriels. Ensuite, le problème de la simulation de la dynamique des systèmes fermés avec NQS est étudié, ainsi que les problèmes courants liés à la géométrie de l'espace des paramètres qui peuvent survenir. Un schéma alternatif est introduit et appliqué aux quenches dépendantes du temps dans les systèmes critiques, où le mécanisme de Kibble-Zurek peut être étudié. Enfin, différentes constructions d'Ansatz pour les systèmes ouverts sont présentées, notamment la combinaison de la méthode du sous-espace dynamique avec un Ansatz neuronal. Enfin, nous étudions théoriquement la propagation de l'intrication dans les systèmes photoniques dissipatifs à forte interaction, motivés par la réalisation expérimentale récente de telles plateformes. Nos résultats montrent qu'en dépit du caractère dissipatif du système étudié, la propagation de l'intrication est ballistique avec une vitesse en accord avec l'image de quasiparticules impliquées dans la dynamique, des doublons et des holons photoniques. Notre analyse révèle que la dissipation est fortement asymétrique dans les deux cas étudiés de l'injection d'un doublon ou de son extraction, avec une influence plus forte dans le cas de l'extraction.
Dans cette thèse, nous étudions trois classes de modèles utilisés dans la littérature pour représenter les systèmes quantiques: 1 -L'équation de Schrödinger où le contrôle agit sur le système de façon bilinéaire; 2 -L'équation de Lindblad; 3 -Les filtres quantiques (modèles stochastiques). Les contributions de la thèse concernant l'équation de Schrödinger se répartissent en trois parties. Dans le premier chapitre, nous étudions la contrôlabilité d'un tel système. Le cas de dimension finie étant déjà bien exploré, nous traitons l'exemple d'un oscillateur harmonique quantique comme un cas typique des problèmes de dimension infinie. Parmi les résultats obtenus nous retrouvons transposée dans les termes de la théorie du contrôle, l'assertion bien connue des physiciens: ``les sources classiques de contrôle ne peuvent générer que de la lumière classique''. La question de la génération des trajectoires est abordée dans le Chapitre 2. Le contrôle en boucle ouverte du système est alors traité à l'aide des méthodes de stabilisation de Lyapounov. Ces méthodes de contrôle par feedback sont utilisées en simulation et le contrôle retrouvé est ensuite inséré en boucle ouverte dans le système physique. La convergence est étudiée dans différentes configurations et des exemples numériques tirés de la chimie quantique sont testés. Enfin dans le chapitre 3, nous étudions le problème inverse d'identification de l'Hamiltonien. Malgré le grand intérêt pratique que présente ce problème, peu de contributions ont été apportées jusqu'à maintenant. Nous étudions d'abord le problème mathématique d'identifiabilité. Une première réponse positive à cette question est apportée. Ensuite nous considérons le problème d'identification. A l'aide de méthodes numériques d'optimisation, nous proposons une première approche qui permet de résoudre ce problème inverse. Au sujet de l'équation de Lindblad, la contribution de cette thése se résume à la réduction du modèle lorsque certaines hypothèses sur les durées de vie atomiques sont vérifiées. Cette étude peut être considérée comme une première étape vers le contrôle en boucle fermée d'un ensemble statistique de systèmes quantiques. Finalement dans le chapitre 5, nous considérons les filtres quantiques. Certaines méthodes issues de la théorie des probabilités ainsi que les techniques de Lyapounov stochastiques nous permettent d'étudier la stabilisation globale de ces modéles.
Le travail aborde deux grandes problématiques d'actualité des systèmes quantiques. La première concerne les systèmes quantiques ouverts, typiquement un bit quantique (qubit) couplé à un bain. Dans cette partie on présente l'étude de la décohérence et la relaxation du qubit. La seconde partie concerne les systèmes quantiques isolés. Dans cette partie on présente l'étude de la thermalisation de deux systèmes quantiques macroscopiques après un quench Décohérence et relaxation d'un qubit. L'étude de la dynamique réduite d'un qubit couplé à un réservoir est intéressant pour deux points de vue complémentaires, l'un lié à l'informatique quantique et l'autre lié à la physique quantique de N corps. Pour construire des ordinateurs quantiques, il est nécessaire de comprendre l'effet de l'environnement sur la décohérence des qubits. D'autre part, d'un point de vue de la physique des systèmes quantiques, ou bien des systèmes quantiques hors équilibre, les qubits peuvent être utilisés pour mesurer et comprendre les propriétés thermodynamiques et dynamiques du bain. Dans ce second sens, tout à fait d'actualité, il existent nombreux travaux théoriques et expérimentales récentes. Des expériences récentes suggèrent utiliser des dispositifs semi-conducteurs tels que les Josephson jonctions ou des spins dans les boîtes quantiques pour l'informatique et la communication quantique. Ces appareils ont l'avantage de taille par rapport aux autres systèmes physiques qui ont également été proposées pour l'informatique quantique, comme des atomes en cavité, les ions piégés dans un champ magnétique ou des molécules en résonance magnétique nucléaire . L'unité de base de ces dispositifs est un système quantique à deux niveaux, connu dans la littérature comme un quantum bit ou qubit. L'utilisation de bits quantiques (qubits) dans n'importe quel contexte est limitée par interaction avec leur environnement (réservoir ou bain). En fait, l'interaction leur fait perdre leur caractère quantique, un processus appelé décohérence. Les premiers études qui ont modelé la perte de la cohérence sont ceux de Caldeira et Leggett dans les années quatre-vingt. Dans ces études le réservoir était composé des bosons indépendants. Le modèle proposé, appelé Spin-Boson, est pertinente lorsque l'on considère un bain des photons ou des phonons. Cependant, dans le cas des dispositifs semi-conducteurs mentionnés au paragraphe précédent, des expériences ont montré qu'il est nécessaire d'envisager des réservoirs plus complexes composés des spins et électrons en interaction. De plus, il est important de considérer les effets non markoviens (effets de mémoire sur la dynamique des qubits. Le traitement théorique de bains quantiques avec interactions est beaucoup plus difficile que le traitement pour le bain des bosons indépendants et nous devons recourir à des méthodes théoriques puissantes. Le chapitre introductif présente les techniques d'opérateurs de projection qui sert a dériver les équations maîtresses qui régissent l'évolution du qubit, dans la thèse on se concentre sur les approximations Nakajima Zwanzig (NZ) et Time convolutionless technique (TCL). Ces techniques sont élégantes et, bien que perturbatives, sont capables de décrire certains aspects non markoviens de la dynamique. Nous avons étudie dans une première partie, la décohérence et relaxation d'un qubit couplé a un bain électronique sans interaction décrivant un métal ou un semi-conducteur Les résultats reflètent la richesse car la dynamique réduite du qubit dépend de façon subtile de plusieurs paramètres: la densité d'états des électrons, le champ magnétique, etc. Dans le chapitre 3 nous avons considéré un qubit couplé à un bain possédant un ordre supraconducteur. Pour un couplage de type Kondo à température fini nous avons trouvé une décohérence et relaxation non markoviens et ultra rapides, pour un couplage direct au paramètre d'ordre nous avons trouvé une dynamique plus complexe qui dépend des conditions initiales. Pour certaines conditions initiales la dynamique est sensible aux fluctuations de spin et ressemble a la situation du couplage Kondo. Pour autres conditions initiales, la dynamique est sensible aux fluctuations de charge et relaxe de façon markovien. Ces résultats donnent des pistes pour réduire les effets de décohérence dans les dispositifs et motivent des nombreux questions. Ces travaux ont aboutit à la publication des articles suivantes: Effect of a gap on the decoherence of a qubit J. Restrepo, E. Dupont, S. Camalet, R. Chitra (submitted to Phys Rev B) Decoherence induced by an ordered environment J. Restrepo, S. Camalet, R. Chitra (in preparation) Thermalisation d'un système quantique isolé. L'étude de la dynamique hors équilibre après un quench est devenu particulièrement d'actualité depuis l'avènement des expériences d'atomes ultra-froids qui représentent des systèmes quantiques isolés idéaux Pour les systèmes quantiques, la plupart des questions fondamentales sur la thermalisations restent ouvertes. Il y a deux types de questions : Quel est l'état asymptotique après un quench ? Est-il un état d'équilibre ? Quels sont les mécanismes qui expliquent la thermalisation ? Jusqu'au présent, il existent soit des hypothèses générales avec aucune preuve rigoureuse soit des résultats particuliers. Les résultats sont obtenus analytiquement lorsque le système est intégrable et numériquement quand il ne l'est pas. Dans notre travail (chapitre 4), nous abordons la question de la stabilité de l'équilibre thermique dans les systèmes quantiques, nous modélisons les systèmes quantiques par des champs bosoniques libres. L intérêt de ce modèle est de pouvoir apporter des réponses claires à certaines des questions fondamentales sur la thermalisation. Il a deux ingrédients intéressantes. Tout d'abord, il considère un état initial qui n'est pas l'état fondamental. Deuxièmement, il considère un système composite où les deux parties sont de taille comparable, ce qui permet de voir comment l'état asymptotique est atteint dans l'espace. L'effet d'avoir des champs bosoniques libres conduit à un hamiltonien quadratique pour lequel on a calculé l'énergie et les fonctions de corrélation de façon exacte aux temps longs. Ainsi on a pu montré que dans le cas d'un contact thermique modifié soudainement, le système n'atteint pas un état stationnaire, et il ne se produit pas de relaxation. Ces résultats peuvent en fait être partiellement compris du fait de la nature particulière du spectre des excitations. Néanmoins, ils motivent des nombreuses questions. Ce travail a abouti à la publication de l'article suivante: Sudden Change of the thermal contact between two quantum systems New Journal of Physics 12 055011, 2010.
Au niveau atomique, le contrôle de spins est un objectif primordial en physique quantique. Malheureusement la présence de bruits gêne ce dernier. Le but est de trouver les conditions à imposer à l’environnement pour que le contrôle ne soit pas perturbé par le bruit. L’étude d’une chaîne de spins caractérisée par trois couplages : interactions d’Heisenberg, d’Ising-Z et d’Ising-X, évoluant librement est prise comme référence. Nous observons que l’interaction d’Heisenberg correspond à un couplage isotrope. Celle d’Ising-Z conserve l’ordre dans la chaîne tandis que celle d’Ising-X est très désordonnée. Nous rendons le système plus complexe en ajoutant du contrôle et en analysant le comportement adiabatique d’un système quantique. Ce dernier est composé d’un système et d’un environnement, dont le couplage est perturbatif. Trois régimes adiabatiques ont été mis en évidence. Des formules permettant d’obtenir la fonction d'onde au cours du temps ont alors été établies pour ces trois régimes. Cependant, dans la pratique, les systèmes quantiques ne sont en aucun cas isolés. L’interaction avec leur environnement peut entraîner des comportements plus complexes, rendant le contrôle très difficile. Nous avons alors étudié des systèmes de spins, couplés ou non, frappés par des trains d’impulsions magnétiques ultracourtes. Ces trains traversent un environnement classique (stationnaire, de dérive linéaire, Markovien, microcanonique) modifiant la force et le retard de chaque impulsion. La modification des trains par l’environnement classique est une des sources du désordre dans le système de spins. Ce désordre est transmis entre les spins par le couplage. Dans cette étude nous n’arrivons pas à contrôler le système lorsque les trains sont en présence des environnements précédents. Pour palier à ce problème, nous imposons aux impulsions magnétiques de traverser un environnement chaotique. Avant un temps t, appelé horizon de cohérence, le système couplé par une interaction d’Heisenberg et soumis à un environnement chaotique reste cohérent alors qu’après, la population et la cohérence d'un spin et du spin moyen du système tendent à se rapprocher de la distribution microcanonique. Pendant cet horizon, il est possible de réaliser du contrôle quantique soit par contrôle total (contrôle du système à chaque instant), soit par transmission d’information. Cette étude nous a permis de déterminer une formule empirique de l’horizon de cohérence. Finalement, nous nous sommes attachés à trouver une formule plus formelle de cet horizon.
Au niveau atomique, le contrôle de spins est un objectif primordial en physique quantique. Malheureusement la présence de bruits gêne ce dernier. Le but est de trouver les conditions à imposer à l’environnement pour que le contrôle ne soit pas perturbé par le bruit. L’étude d’une chaîne de spins caractérisée par trois couplages : interactions d’Heisenberg, d’Ising-Z et d’Ising-X, évoluant librement est prise comme référence. Nous observons que l’interaction d’Heisenberg correspond à un couplage isotrope. Celle d’Ising-Z conserve l’ordre dans la chaîne tandis que celle d’Ising-X est très désordonnée. Nous rendons le système plus complexe en ajoutant du contrôle et en analysant le comportement adiabatique d’un système quantique. Ce dernier est composé d’un système et d’un environnement, dont le couplage est perturbatif. Trois régimes adiabatiques ont été mis en évidence. Des formules permettant d’obtenir la fonction d'onde au cours du temps ont alors été établies pour ces trois régimes. Cependant, dans la pratique, les systèmes quantiques ne sont en aucun cas isolés. L’interaction avec leur environnement peut entraîner des comportements plus complexes, rendant le contrôle très difficile. Nous avons alors étudié des systèmes de spins, couplés ou non, frappés par des trains d’impulsions magnétiques ultracourtes. Ces trains traversent un environnement classique (stationnaire, de dérive linéaire, Markovien, microcanonique) modifiant la force et le retard de chaque impulsion. La modification des trains par l’environnement classique est une des sources du désordre dans le système de spins. Ce désordre est transmis entre les spins par le couplage. Dans cette étude nous n’arrivons pas à contrôler le système lorsque les trains sont en présence des environnements précédents. Pour palier à ce problème, nous imposons aux impulsions magnétiques de traverser un environnement chaotique. Avant un temps t, appelé horizon de cohérence, le système couplé par une interaction d’Heisenberg et soumis à un environnement chaotique reste cohérent alors qu’après, la population et la cohérence d'un spin et du spin moyen du système tendent à se rapprocher de la distribution microcanonique. Pendant cet horizon, il est possible de réaliser du contrôle quantique soit par contrôle total (contrôle du système à chaque instant), soit par transmission d’information. Cette étude nous a permis de déterminer une formule empirique de l’horizon de cohérence. Finalement, nous nous sommes attachés à trouver une formule plus formelle de cet horizon.
Les systèmes quantiques ouverts décrivent l'évolution d'un système de référence S en interaction avec un ou plusieurs autres systèmes appelés environnements. Pour les étudier on rencontre deux approches dans la littérature: l'approche hamiltonienne, où on décrit complètement les systèmes et leurs interactions, et l'approche markovienne, où on abandonne l'idée de décrire l'environnement et on considère une dynamique, dite effective, du système S seul mais prenant en compte les effets de l'interaction avec l'environnement.Nous nous intéresserons dans cette thèse à une classe particulière de tels systèmes: les système quantiques avec interactions répétées. Le système S interagit successivement avec une suite de sous-systèmes indépendants. L'approche de ces systèmes est à la fois hamiltonienne et markovienne. Leur étude joue un rôle fondamental dans la compréhension pratique et théorique des processus d'interaction matière-lumière ainsi qu'en optique quantique (expérience du maser à un atome).Cette thèse porte sur l'étude d'un système de type maser à un atome. Le modèle considéré décrit un champ électromagnétique dans une cavité et traversé par un faisceau d'atomes mais auquel on ajoute un réservoir supplémentaire interagissant de façon continue avec le champ électromagnétique. L'idée est que la cavité n'est pas parfaitement isolée et le réservoir permet de modéliser les fuites dans la cavité. Ainsi l'interaction entre le champ électromagnétique et les atomes est décrit par un système quantique avec interactions répétées et l'interaction entre le champ électromagnétique et le réservoir est décrit par une approche hamiltonienne des systèmes quantiques ouverts.Le système "cavité+réservoir" à été étudié par Könenberg en se basant sur des travaux de Arai. Via une diagonalisation du Hamiltonien du système couplé il montre des propriétés de retour à l'équilibre. Dans une première partie nous donnerons une nouvelle approche de ces travaux en utilisant des résultats récents de Nam, Napiórkowki et Solovej sur la diagonalisation des hamiltoniens bosoniques quadratiques.Dans un premier temps, nous étudierons l'auto-adjonction des Hamiltoniens du système et on s'intéressera notamment à la diagonalisation de l'un d'eux. Dans un second temps, nous étudierons le comportement en temps long du système, nous obtenons entre-autres des formules explicites pour l'évolution à un temps donné des observables de Weyl. Ces résultats nous permettent d'étudier la variation d'énergie totale ainsi que les échanges d'énergies dans le système. Enfin on terminera en étudiant la production d'entropie dans le système que l'on reliera aux formules de variation d'énergie. Pour cela on généralisera au préalable la formule dite de production d'entropie de Jaksic et Pillet.