EnglishThe path integral formulation, developed by Richard Feynman, provides an alternative yet equivalent approach to operator-based quantum mechanics, proving particularly effective for the study of semiclassical and non-perturbative phenomena. The main goal of this bachelor's thesis is to introduce the theoretical foundations of the path integral and apply them to the study of a particle in a one-dimensional double-well potential. This system represents a paradigmatic example of the tunneling phenomenon, for which perturbative expansions constructed separately around the two minima fail to reproduce the exponentially small energy splitting between the ground state and the first excited state. Through analytic continuation to Euclidean time, quantum tunneling is described via specific classical configurations known as instantons, which connect the two potential minima. In this framework, summing multi-instanton contributions within the dilute gas approximation allows one to derive the energy splitting between the two lowest-lying levels as well as the parity of the corresponding states. ItalianoIl formalismo degli integrali di cammino, sviluppato da Richard Feynman, fornisce una formulazione della meccanica quantistica alternativa ma equivalente a quella operatoriale, particolarmente efficace per lo studio dei fenomeni semiclassici e non perturbativi. L'obiettivo principale di questo lavoro di tesi è introdurre i fondamenti teorici dell'integrale di cammino e applicarli allo studio di una particella in una doppia buca di potenziale unidimensionale, sistema paradigmatico del fenomeno di tunneling per il quale gli sviluppi perturbativi costruiti separatamente attorno ai due minimi non sono in grado di riprodurre la separazione esponenzialmente piccola tra il livello energetico dello stato fondamentale e quello del primo stato eccitato. Attraverso la continuazione analitica al tempo euclideo, l'effetto tunnel viene descritto mediante particolari configurazioni classiche note come istantoni, che collegano i due minimi del potenziale. In questo modo, sommando i contributi multi-istantonici in regime di gas diluito, si ottiene infine lo splitting energetico dei due livelli più bassi e la parità dei relativi stati.
EnglishThe path integral formulation, developed by Richard Feynman, provides an alternative yet equivalent approach to operator-based quantum mechanics, proving particularly effective for the study of semiclassical and non-perturbative phenomena. The main goal of this bachelor's thesis is to introduce the theoretical foundations of the path integral and apply them to the study of a particle in a one-dimensional double-well potential. This system represents a paradigmatic example of the tunneling phenomenon, for which perturbative expansions constructed separately around the two minima fail to reproduce the exponentially small energy splitting between the ground state and the first excited state. Through analytic continuation to Euclidean time, quantum tunneling is described via specific classical configurations known as instantons, which connect the two potential minima. In this framework, summing multi-instanton contributions within the dilute gas approximation allows one to derive the energy splitting between the two lowest-lying levels as well as the parity of the corresponding states. ItalianoIl formalismo degli integrali di cammino, sviluppato da Richard Feynman, fornisce una formulazione della meccanica quantistica alternativa ma equivalente a quella operatoriale, particolarmente efficace per lo studio dei fenomeni semiclassici e non perturbativi. L'obiettivo principale di questo lavoro di tesi è introdurre i fondamenti teorici dell'integrale di cammino e applicarli allo studio di una particella in una doppia buca di potenziale unidimensionale, sistema paradigmatico del fenomeno di tunneling per il quale gli sviluppi perturbativi costruiti separatamente attorno ai due minimi non sono in grado di riprodurre la separazione esponenzialmente piccola tra il livello energetico dello stato fondamentale e quello del primo stato eccitato. Attraverso la continuazione analitica al tempo euclideo, l'effetto tunnel viene descritto mediante particolari configurazioni classiche note come istantoni, che collegano i due minimi del potenziale. In questo modo, sommando i contributi multi-istantonici in regime di gas diluito, si ottiene infine lo splitting energetico dei due livelli più bassi e la parità dei relativi stati.
Si analizza un gas diluito di atomi bosonici ultrafreddi, posti all'interno di una cavita ottica Fabry-Perot, e soggetti a un potenziale di confinamento armonico in due dimensioni e a tripla buca in una dimensione, generato da una trappola ottica di dipolo. L'hamiltoniano che descrive il sistema a molti corpi si basa su quello di Jaynes-Cummings, modificato con l'introduzione del potenziale di intrappolamento e dallo pseudo-potenziale di interazione di contatto. A partire dalle equazioni di Heisenberg relative agli operatori di seconda quantizzazione di atomi e fotoni, si ricavano, in prima approsimazione semiclassica, le equazioni che regolano la loro dinamica.
Dopo un’introduzione sui fondamenti matematici della Meccanica Quantistica e la sua formulazione wigneriana, si ricava un’equazione 1-dimensionale di Wigner con termine di decoerenza partendo dalla descrizione dettagliata di R. Adami, M. Hauray, C. Negulescu per la decoerenza di una particella pesante che interagisce con una particella leggera. Si mostra che il modello ottenuto ne contiene, quali casi particolari, altri già utilizzati per descrivere il fenomeno della decoerenza quantistica, come ad esempio l’equazione di Wigner–Fokker–Planck o le funzioni di Wigner con lunghezza di coerenza finita. Si indaga l’effetto della decoerenza sulla dinamica delle quantità macroscopiche (densità, corrente, energia) attraverso le corrispondenti leggi di bilancio. Si applica poi il modello ricavato ad una situazione di interesse fisico mediante simulazioni numeriche: un processo di tunneling in ambiente decoerente. Si investiga la questione asintotica per tempi lunghi nel caso di soluzioni gaussiane e si accenna al caso generale spazio omogeneo. Si mostra che l’aggiunta di un termine di frizione quantistica di tipo Caldeira-Legget all’equazione di Wigner con decoerenza è capace di realizzare il comportamento asintotico prevedibile sulla base di considerazioni di natura fisica.
In questa tesi si esamina un gas diluito di bosoni, confinati da un potenziale a tripla buca unidimensionale e da un potenziale armonico lungo le direzioni trasverse. Allo scopo di analizzare il tunneling fra le tre buche, si introduce una funzione d’onda macroscopica, soluzione dell’equazione di Gross-Pitaevskii. Tramite l’approssimazione a tre modi si ottengono le equazioni differenziali per gli sbilanciamenti di popolazione atomica e le differenze di fase. Si mostra che tali equazioni possono essere ricondotte a quelle che descrivono una giunzione di Josephson atomica. /
In this thesis we examine a dilute Bose gas, trapped by a one-dimensional triple-well potential and a harmonic potential along the transverse directions. With the aim of analyzing the tunneling between the wells, we introduce a macroscopic wave-function, which is a solution of the Gross-Pitaevskii equation. Through the three-mode approximation, we obtain the differential equations for the atomic population imbalance and the phase differences. We also show that these equations can be traced back to the ones describing an atomic Josephson junction.
The aim of this chapter is to introduce the concept of the Feynman path integral. As well as developing the general construction scheme, particular emphasis is placed on establishing the interconnections between the quantum mechanical path integral, classical Hamiltonian mechanics, and classical statistical mechanics. The practice of path integration is discussed in the context of several pedagogical applications. As well as the canonical examples of a quantum particle in a single and a double potential well, we discuss the generalization of the path integral scheme to tunneling of extended objects (quantum fields), dissipative and thermally assisted quantum tunneling, and the quantum mechanical spin. In this chapter we temporarily leave the arena of many-body physics and second quantization and, at least superficially, return to single-particle quantum mechanics. By establishing the path integral approach for ordinary quantum mechanics, we will set the stage for the introduction of field integral methods for many-body theories explored in the next chapter. We will see that the path integral not only represents a gateway to higher-dimensional functional integral methods but, when viewed from an appropriate perspective, already represents a field theoretical approach in its own right. Exploiting this connection, various concepts of field theory, namely stationary phase analysis, the Euclidean formulation of field theory, instanton techniques, and the role of topology in field theory, are introduced in this chapter. The path integral: general formalism Broadly speaking, there are two approaches to the formulation of quantum mechanics: the “operator approach” based on the canonical quantization of physical observables and the associated operator algebra, and the Feynman path integral.
Questo lavoro esamina le applicazioni del quantum computing in data science, riformulando problemi di ottimizzazione e machine learning attraverso un formalismo ibrido quantistico-classico. Innanzitutto, vengono presentati i concetti fondamentali della meccanica quantistica, limitando lo studio all’area di interesse del quantum computing ma allo stesso tempo impostando il contesto matematico in modo rigoroso. Dopodiche, attraverso una panoramica dell’hardware presente ad oggi e di quello atteso per il futuro prossimo, e con l’esaminazione dei problemi legati al rumore e al ridotto numero di qubit disponibili nei dispositivi quantistici moderni, si motiva il bisogno di un approccio ibrido per risolvere problemi complessi, che permetta ad hardware classico e quantistico di lavorare sinergicamente. Lo scopo di questo lavoro e quello di presentare strategie per modellare problemi di ottimizzazione e supervised e reinforcement learning in modo da far lavorare una Quantum Processing Unit sulle parti degli algoritmi computazionalmente piu costose. Vengono discussi sia i benefici sia gli svantaggi: i primi sono strettamente legati alla scelta di un modello di computazione nuovo, dal quale ci si aspetta l’esecuzione di operazioni classicamente intrattabili e lo sfruttamento della velocita intrinseca dei sistemi quantistici di raggiungere il ground state; i secondi derivano principalmente dalle attuali limitazioni ingegneristiche che non permettono un controllo efficiente di sistemi quantistici a larga scala. Vengono esaminati quattro casi di studio: un problema di classificazione di immagini auto-costruite attraverso un algoritmo di Support Vector Machine, il quale sfrutta funzioni che portano i dati dallo spazio di input allo spazio degli stati quantistici, construendo cosi un kernel quantum-enhanced; un problema di reinforcement learning, formulato come Quadratic Unconstrained Binary Optimisation (QUBO), con lo scopo di trovare una strategia vincente per il gioco del Blackjack usando dati auto-simulati; il Number Partitioning Problem, formulato come QUBO, che rappresenta lo scenario piu complesso dal punto di vista della connettivita dei qubit e, per grandi istanze, e capace di raggiungere la complessita di problemi reali; infine, il problema del limited-assets Markowitz portfolio optimisation, riscritto come QUBO, al fine di implementare un’euristica quantum-inspired che possa sormontare la complessita del problema al crescere della dimensione dell’input. Nel corso di questo lavoro sono stati analizzati sia l’approccio di computazione universale gate-model, sia quello di adiabatic quantum computing, con particolare attenzione verso quest’ultimo attraverso la maggior parte dei casi di studio. Per uno di questi, il Number Partitioning Problem, e stato sfruttato l’accesso in cloud ad un quantum annealer, che ha permesso uno studio completo delle capacita di tale macchina, in grado di risolvere tra i problemi piu complessi che i quantum computer moderni possano affrontare. Infine, non solo questo lavoro valuta l’accuratezza e la qualita delle soluzioni dei problemi esaminati, ma si concentra anche sul paragone tra strategie quantistiche e classiche, evidenziando le differenze e i benefici che un approccio quantistico o ibrido quantistico-classico puo portare nella risoluzione di problemi di ottimizzazione e machine learning, specialmente con l’eventuale disponibilita, nel futuro prossimo, di dispositivi a piu larga scala.
È stato studiato un problema di scattering tra due particelle che interagiscono tramite un potenziale puntuale in tre dimensioni nel limite in cui una particella ha massa molto minore dell’altra. I risultati ottenuti hanno permesso di stimare gli effetti di decoerenza dinamicamente indotta su uno stato entangled della particella “pesante” che si ottengono quando la particella “leggera” viene utilizzata come misuratore per la posizione della particella “pesante”. Utilizzando la teoria delle estensioni autoaggiunte è stato modellizzato un sistema in cui una particella quantistica (senza spin) interagisce con uno spin posto in un punto fissato dello spazio mediante un potenziale singolare dipendente dallo spin. È stata discussa la caratterizzazione di tutte le possibili hamiltoniane di interazione ottenibili come perturbazioni puntuali dell’hamiltoniana libera. In alcuni casi particolari è stato possibile ottenere espressioni esplicite per il propagatore. La conoscenza della dinamica esatta del sistema ha permesso di valutare esplicitamente l’attenuazione dei termini di interferenza quantistica in uno stato entangled dello spin, dovuta all’interazione con la particella. È stato studiato un problema di interazione in una dimensione di un numero finito e infinito di sorgenti con il campo acustico. Lo scopo era quello di dimostrare che, in assenza di meccanismi di riflessione delle onde acustiche, il moto delle sorgenti risulta smorzato a causa dell’interazione con il proprio campo. Utilizzando la teoria delle estensioni autoaggiunte di operatori simmetrici è stata realizzata una formulazione del tutto nuova di tale problema. Tale formulazione ha permesso di ottenere risultati molto generali sullo smorzamento delle oscillazioni delle sorgenti.