Dans cette thèse, les limites fondamentales de la transmission simultanée d’information et d’énergie sont étudiées sous deux perspectives : le régime asymptotique et le régime non-asymptotique. Pour le régime asymptotique, les limites fondamentales de la transmission simultanée d’information et d’énergie dans le canal Gaussien à interférence (G-IC) avec et sans voie de retour sont déterminées. Un ensemble des débits atteignables de transmission d’information et d’énergie (en bits par utilisation du canal et en unités d’énergie par utilisation du canal respectivement) est identifié. Pour les deux cas, un schéma de faisabilité basé sur division de puissance, des variable aléatoire en commun, division de débit, codage superposé en block du Markov , et décodage en arrière est présenté. Finalement, une région converse pour les deux cas est obtenue en utilisant des techniques de majoration dans la littérature pour les débits d’information et aussi un majorant pour le débit d’énergie en utilisant la loi des grands nombres. Deuxièmement, le problème d’introduction d’un récepteur d’énergie dans le canal binaire symétrique est présenté. Pour ce problème, une borne de faisabilité et une borne d’impossibilité sont obtenues dans le régime non-asymptotique. Ces deux bornes caractérisent le nombre maximal de bits d’information et d’énergie qui peuvent être introduits de manière furtive pour le canal binaire symétrique.
Dans cette thèse, les limites fondamentales de la transmission simultanée d’information et d’énergie sont étudiées sous deux perspectives : le régime asymptotique et le régime non-asymptotique. Pour le régime asymptotique, les limites fondamentales de la transmission simultanée d’information et d’énergie dans le canal Gaussien à interférence (G-IC) avec et sans voie de retour sont déterminées. Un ensemble des débits atteignables de transmission d’information et d’énergie (en bits par utilisation du canal et en unités d’énergie par utilisation du canal respectivement) est identifié. Pour les deux cas, un schéma de faisabilité basé sur division de puissance, des variable aléatoire en commun, division de débit, codage superposé en block du Markov , et décodage en arrière est présenté. Finalement, une région converse pour les deux cas est obtenue en utilisant des techniques de majoration dans la littérature pour les débits d’information et aussi un majorant pour le débit d’énergie en utilisant la loi des grands nombres. Deuxièmement, le problème d’introduction d’un récepteur d’énergie dans le canal binaire symétrique est présenté. Pour ce problème, une borne de faisabilité et une borne d’impossibilité sont obtenues dans le régime non-asymptotique. Ces deux bornes caractérisent le nombre maximal de bits d’information et d’énergie qui peuvent être introduits de manière furtive pour le canal binaire symétrique.
Dans cette thèse, les limites fondamentales de la transmission simultanée d’information et d’énergie sont étudiées sous deux perspectives : le régime asymptotique et le régime non-asymptotique. Pour le régime asymptotique, les limites fondamentales de la transmission simultanée d’information et d’énergie dans le canal Gaussien à interférence (G-IC) avec et sans voie de retour sont déterminées. Un ensemble des débits atteignables de transmission d’information et d’énergie (en bits par utilisation du canal et en unités d’énergie par utilisation du canal respectivement) est identifié. Pour les deux cas, un schéma de faisabilité basé sur division de puissance, des variable aléatoire en commun, division de débit, codage superposé en block du Markov , et décodage en arrière est présenté. Finalement, une région converse pour les deux cas est obtenue en utilisant des techniques de majoration dans la littérature pour les débits d’information et aussi un majorant pour le débit d’énergie en utilisant la loi des grands nombres. Deuxièmement, le problème d’introduction d’un récepteur d’énergie dans le canal binaire symétrique est présenté. Pour ce problème, une borne de faisabilité et une borne d’impossibilité sont obtenues dans le régime non-asymptotique. Ces deux bornes caractérisent le nombre maximal de bits d’information et d’énergie qui peuvent être introduits de manière furtive pour le canal binaire symétrique.
Cette thèse se trouve à l'intersection de la théorie des matrices aléatoires, des probabilités libres et de la théorie de l'information quantique. La plus grande partie des travaux présentés se concentrent sur les aspects probabilistes de l'information quantique et, en particulier, sur l'usage des matrices aléatoires dans différents modèles en théorie quantique. Une autre partie de cette thèse est dédiée à la théorie des probabilités libres et à ses liens avec les matrices aléatoires et l'information quantique. En théorie quantique de l'information, il existe différents modèles de matrices densités aléatoires. On s'intéresse, dans l'esprit de la théorie des matrices aléatoires, au comportement asymptotique des matrices densités, dans la limite où la taille du système converge vers l'infini. Le point de vue pris dans cette thèse est celui des systèmes quantiques ouverts, où l'espace qui nous intéresse est couplé avec l'environnement et le système composé se trouve dans un état pur uniforme. En prenant la trace partielle sur l'environnement, on obtient des matrices densités aléatoires que l'on étudie dans deux régimes asymptotiques. En exploitant des liens avec l'ensemble des matrices aléatoires dites de Wishart, on obtient les densités spectrales limites et les fluctuations des valeurs propres extrémales. En collaboration avec Clément Pellegrini, on étudie des interactions répétées entre un système quantique et une chaîne de systèmes auxiliaires. Nous avons introduit des éléments aléatoires dans ce modèle, soit en considérant que les états de la chaîne sont des variables indépendantes et identiquement distribuées, soit en choisissant, à chaque interaction, une matrice unitaire d'interaction aléatoire uniforme. On s'intéresse aux propriétés asymptotiques des matrices, après un grand nombre d'interactions. Au passage, on introduit un nouveau modèle de matrices densités aléatoires que l'on compare avec les modèles existants dans la littérature. Un problème qui occupe une place centrale dans cette thèse est la conjecture de Nielsen sur la catalyse en théorie quantique de l'information. En collaboration avec Guillaume Aubrun, nous avons progressé vers la preuve de cette conjecture et nous l'avons par la suite généralisée dans différentes directions. L'outil principal utilisé dans ces travaux nous vient de la théorie des probabilités : la théorie des grandes déviations nous permet de comparer stochastiquement des puissances de convolution des mesures de probabilités. Les techniques introduites et le lien avec la théorie des grandes déviations nous ont permis de voir ce problème sous un autre angle et de donner aux théoriciens de l'information quantique un outil de travail puissant. Enfin, toujours en lien avec les matrices aléatoires, cette thèse a donné lieu à deux travaux en probabilités libres. Les ensembles de matrices aléatoires sont des exemples importants et simples où l'on peut observer l'indépendance libre; il est donc naturel de se demander s'il est possible d'obtenir la notion de liberté avec des matrices déterministes. Une telle construction a été proposée par Philippe Biane, en utilisant des sommes de transpositions dans l'algèbre du groupe symétrique. Avec Florent Benaych-Georges, on a pu généraliser les résultats de P. Biane à des cycles quelconques. Notre approche est combinatoire ce qui nous a permis d'aboutir à des formules explicites pour les moments et les cumulants libres des variables à la limite. Grâce à cette même approche nous avons élaboré un modèle analogue en probabilités classiques en remplaçant le groupe symétrique par le groupe abélien des parties d'un ensemble fini, muni de l'opération de différence symétrique. En collaboration avec Stéphane Attal, nous avons construit une approximation de l'espace de Fock libre (qui joue un rôle central en théorie des probabilités non-commutatives) par un produit libre dénombrable d'espaces discrets. Cette idée généralise au cas libre une construction similaire pour l'espace de Fock symétrique, introduite et étudié par S. Attal. En même temps nous avons obtenu une approximation des opérateurs fondamentaux de création, d'annihilation et de jauge par des opérateurs construits à partir des matrices de taille 2. En utilisant ces constructions sont ensuite utilisées pour retrouver quelques approximations connues du mouvement brownien libre et du processus de Poisson libre. Tous ces résultats se généralisent au cas des espaces de Fock de multiplicité supérieure, qui permettent d'approcher des processus multidimensionnels. En conclusion, l'ensemble des travaux scientifiques présentés dans cette thèse se situe à l'intersection de trois grandes directions: les matrices aléatoires, les probabilités libres et la théorie quantique de l'information, l'accent étant mis sur les interactions et sur les liens entre ces domaines.
Cette thèse se trouve à l'intersection de la théorie des matrices aléatoires, des probabilités libres et de la théorie de l'information quantique. La plus grande partie des travaux présentés se concentrent sur les aspects probabilistes de l'information quantique et, en particulier, sur l'usage des matrices aléatoires dans différents modèles en théorie quantique. Une autre partie de cette thèse est dédiée à la théorie des probabilités libres et à ses liens avec les matrices aléatoires et l'information quantique. En théorie quantique de l'information, il existe différents modèles de matrices densités aléatoires. On s'intéresse, dans l'esprit de la théorie des matrices aléatoires, au comportement asymptotique des matrices densités, dans la limite où la taille du système converge vers l'infini. Le point de vue pris dans cette thèse est celui des systèmes quantiques ouverts, où l'espace qui nous intéresse est couplé avec l'environnement et le système composé se trouve dans un état pur uniforme. En prenant la trace partielle sur l'environnement, on obtient des matrices densités aléatoires que l'on étudie dans deux régimes asymptotiques. En exploitant des liens avec l'ensemble des matrices aléatoires dites de Wishart, on obtient les densités spectrales limites et les fluctuations des valeurs propres extrémales. En collaboration avec Clément Pellegrini, on étudie des interactions répétées entre un système quantique et une chaîne de systèmes auxiliaires. Nous avons introduit des éléments aléatoires dans ce modèle, soit en considérant que les états de la chaîne sont des variables indépendantes et identiquement distribuées, soit en choisissant, à chaque interaction, une matrice unitaire d'interaction aléatoire uniforme. On s'intéresse aux propriétés asymptotiques des matrices, après un grand nombre d'interactions. Au passage, on introduit un nouveau modèle de matrices densités aléatoires que l'on compare avec les modèles existants dans la littérature. Un problème qui occupe une place centrale dans cette thèse est la conjecture de Nielsen sur la catalyse en théorie quantique de l'information. En collaboration avec Guillaume Aubrun, nous avons progressé vers la preuve de cette conjecture et nous l'avons par la suite généralisée dans différentes directions. L'outil principal utilisé dans ces travaux nous vient de la théorie des probabilités : la théorie des grandes déviations nous permet de comparer stochastiquement des puissances de convolution des mesures de probabilités. Les techniques introduites et le lien avec la théorie des grandes déviations nous ont permis de voir ce problème sous un autre angle et de donner aux théoriciens de l'information quantique un outil de travail puissant. Enfin, toujours en lien avec les matrices aléatoires, cette thèse a donné lieu à deux travaux en probabilités libres. Les ensembles de matrices aléatoires sont des exemples importants et simples où l'on peut observer l'indépendance libre; il est donc naturel de se demander s'il est possible d'obtenir la notion de liberté avec des matrices déterministes. Une telle construction a été proposée par Philippe Biane, en utilisant des sommes de transpositions dans l'algèbre du groupe symétrique. Avec Florent Benaych-Georges, on a pu généraliser les résultats de P. Biane à des cycles quelconques. Notre approche est combinatoire ce qui nous a permis d'aboutir à des formules explicites pour les moments et les cumulants libres des variables à la limite. Grâce à cette même approche nous avons élaboré un modèle analogue en probabilités classiques en remplaçant le groupe symétrique par le groupe abélien des parties d'un ensemble fini, muni de l'opération de différence symétrique. En collaboration avec Stéphane Attal, nous avons construit une approximation de l'espace de Fock libre (qui joue un rôle central en théorie des probabilités non-commutatives) par un produit libre dénombrable d'espaces discrets. Cette idée généralise au cas libre une construction similaire pour l'espace de Fock symétrique, introduite et étudié par S. Attal. En même temps nous avons obtenu une approximation des opérateurs fondamentaux de création, d'annihilation et de jauge par des opérateurs construits à partir des matrices de taille 2. En utilisant ces constructions sont ensuite utilisées pour retrouver quelques approximations connues du mouvement brownien libre et du processus de Poisson libre. Tous ces résultats se généralisent au cas des espaces de Fock de multiplicité supérieure, qui permettent d'approcher des processus multidimensionnels. En conclusion, l'ensemble des travaux scientifiques présentés dans cette thèse se situe à l'intersection de trois grandes directions: les matrices aléatoires, les probabilités libres et la théorie quantique de l'information, l'accent étant mis sur les interactions et sur les liens entre ces domaines.
Limites fondamentales des communications dissimulées sur canaux à bruit additif La sécurité de la couche physique vise à exploiter le caractère aléatoire inhérent aux canaux de communication afin de garantir la confidentialité même contre des attaquants avec une capacité de calcul illimitée. Dans cette thèse, nous nous concentrons sur les communications dissimulées, également appelées “communications à faible probabilité de détection”. Il s'agit d'un scénario où l'émetteur et le récepteur tentent d'empêcher un espion de deviner si une communication est en cours ou non. Nous supposons que le récepteur et l'écouteur observent les mêmes sorties de canal.Dans ce scénario, l'émetteur partage une clé avec le récepteur légitime afin de lui donner l'avantage nécessaire pour détecter la communication et décoder le message. Asymptotiquement, la quantité d'informations qui peut être envoyée de manière fiable et dissimulée est proportionnelle à la racine carrée du nombre d'utilisations du canal de communication; ce phénomène est connu comme la square root law des communications dissimulées.Nous étudions la constante de proportionnalité correspondant à la square root law pour une classe générale de canaux de communication avec bruit additif non gaussien, ainsi que des canaux gaussiens avec mémoire. Dans ce dernier cas, nous montrons que la constante de proportionnalité est la même que pour le canal gaussien sans mémoire. Pour les canaux continus sans mémoire, sous certaines conditions d'intégrabilité, nous montrons que la constante de proportionnalité admet comme borne supérieure une expression simple qui dépend seulement de la variance du logarithme de la densité de probabilité du bruit. De plus, nous montrons que sous certaines hypothèses supplémentaires, cette borne supérieure devient une égalité. Nous prouvons également des bornes supérieures sur la longueur de la clé secrète nécessaire pour communiquer de manière dissimulée.Le deuxième objectif de ce travail est d'étudier les limites fondamentales des communications dissimulées pour des canaux continus sans mémoire en longueur finie. Nous fournissons des bornes pour les asymptotiques de premier et de second ordre des communications dissimulées sur un canal AWGN selon un critère de probabilité d'erreur maximale, ainsi que pour l'asymptotique de premier ordre selon un critère de probabilité d'erreur moyenne.
Dans cette these, nous menons une etude dans le cadre de la theorie de l'information sur deux questions importantes de la communication sans fil : l'amelioration du debit de donnees dans les reseaux avec interference grâce a la cooperation entre utilisateurs et le renforcement de la securite des transmissions a l'aide d'un signal de retroaction.Dans la premiere partie de la these, nous nous concentrons sur le modele le plus simple qui integre a la fois l'interference et la cooperation, le canal a relais et interference ou IRC (Interference Relay Channel). Notre objectif est de caracteriser dans un nombre fixe de bits la region de capacite du IRC gaussien. A cette fin, nous derivons une nouvelle limite superieure de la capacite et deux strategies de transmission. La limite superieure est notamment obtenue grâce a une extension non triviale que nous proposons, de la classe de canaux semi-deterministe et injective a l'origine derivee par Telatar et Tse pour le canal a interference.Dans la seconde partie, nous etudions le canal avec espion et retroaction generalisee ou WCGF (Wiretap Channel with Generalized Feedback). Notre objectif est de developper une strategie de transmission generale qui englobe les resultats existants pour les differents modeles de retroaction trouves dans la litterature. A cette fin, nous proposons deux strategies de transmission differentes sur la capacite du WCGF sans memoire. Nous derivons d'abord une strategie qui est basee sur le codage source-canal conjoint. Nous introduisons ensuite une seconde strategie ou le signal de retroaction est utilise pour generer une cle secrete qui permet de chiffrer le message partiellement ou totalement.
Dans cette thèse, nous menons une étude dans le cadre de la théorie de l'information sur deux questions importantes de la communication sans fil : l'amélioration du débit de données dans les réseaux avec interférence grâce à la coopération entre utilisateurs et le renforcement de la sécurité des transmissions à l'aide d'un signal de rétroaction.Dans la première partie de la thèse, nous nous concentrons sur le modèle le plus simple qui intègre à la fois l'interférence et la coopération, le canal à relais et interférence ou IRC (Interference Relay Channel). Notre objectif est de caractériser dans un nombre fixe de bits la région de capacité du IRC gaussien. À cette fin, nous dérivons une nouvelle limite supérieure de la capacité et deux stratégies de transmission. La limite supérieure est notamment obtenue grâce à une extension non triviale que nous proposons, de la classe de canaux semi-déterministe et injective à l'origine dérivée par Telatar et Tse pour le canal à interférence.Dans la seconde partie, nous étudions le canal avec espion et rétroaction généralisée ou WCGF (Wiretap Channel with Generalized Feedback). Notre objectif est de développer une stratégie de transmission générale qui englobe les résultats existants pour les différents modèles de rétroaction trouvés dans la littérature. À cette fin, nous proposons deux stratégies de transmission différentes sur la capacité du WCGF sans mémoire. Nous dérivons d'abord une stratégie qui est basée sur le codage source-canal conjoint. Nous introduisons ensuite une seconde stratégie où le signal de rétroaction est utilisé pour générer une clé secrète qui permet de chiffrer le message partiellement ou totalement.