La mereología se ocupa del estudio de las relaciones entre el todo y las partes. En estetrabajo, discutimos diferentes desarrollos y problemas abiertos relacionados con la formulaciónde una mereología cuántica. En particular, discutiremos diferentes avances en el desarrollode sistemas formales destinados a describir la relación todo-partes en el contexto de la teoríacuántica. Dado que se supone que los sistemas físicos macroscópicos están compuestos pormuchos sistemas cuánticos, comprender los desafíos asociados al desarrollo de una mereologíacuántica es relevante para el problema de explicar el surgimiento de una realidad clásicamacroscópica a partir de un reino cuántico microscópico. Se aborda esta cuestión desde laperspectiva de dos teorías de conjuntos inspiradas en la ontología cuántica, las teorías decasi-conjuntos sin átomos Q−y la de quasets QST, y también desde un formalismos mereológicomotivado por los entes del micromundo (ZF∗). Todos estos sistemas se caracterizan, a diferenciade ZF, por cierto grado de no extensionalidad. Para nosotros, la no extensionalidad es unacaracterística indispensable de los formalismos que quieran dar cuenta de las peculiaridades delos entes cuánticos. Se relacionan estos formalismo y dejan algunas cuestiones abiertas, quepueden marcar nuevos rumbos en el desarrollo de futuras merelogías para la Mecánica cuántica
La mereología se ocupa del estudio de las relaciones entre el todo y las partes. En estetrabajo, discutimos diferentes desarrollos y problemas abiertos relacionados con la formulaciónde una mereología cuántica. En particular, discutiremos diferentes avances en el desarrollode sistemas formales destinados a describir la relación todo-partes en el contexto de la teoríacuántica. Dado que se supone que los sistemas físicos macroscópicos están compuestos pormuchos sistemas cuánticos, comprender los desafíos asociados al desarrollo de una mereologíacuántica es relevante para el problema de explicar el surgimiento de una realidad clásicamacroscópica a partir de un reino cuántico microscópico. Se aborda esta cuestión desde laperspectiva de dos teorías de conjuntos inspiradas en la ontología cuántica, las teorías decasi-conjuntos sin átomos Q−y la de quasets QST, y también desde un formalismos mereológicomotivado por los entes del micromundo (ZF∗). Todos estos sistemas se caracterizan, a diferenciade ZF, por cierto grado de no extensionalidad. Para nosotros, la no extensionalidad es unacaracterística indispensable de los formalismos que quieran dar cuenta de las peculiaridades delos entes cuánticos. Se relacionan estos formalismo y dejan algunas cuestiones abiertas, quepueden marcar nuevos rumbos en el desarrollo de futuras merelogías para la Mecánica cuántica
El análisis de los vínculos que pueden ser establecidos entre la lógica cuántica, las semánticas no deterministas de Nmatrices y las teorías de cuasiconjuntos es el núcleo central de este trabajo. La necesidad de tal análisis ha surgido de forma natural luego de que la relación entre Nmatrices y lógica cuántica quedó explicitada en un trabajo previo: los estados cuánticos, entendidos como medida de probabilidad, pueden ser interpretados como valuaciones de una cierta Nmatriz para el retículo cuántico de proyectores. El Teorema de Kochen-Specker priva a la lógica cuántica de veritativo funcionalidad, pero no de admitir una semántica no determinista Nmatricial. Esto es, la semántica de Nmatrices es compatible con los requerimientos semánticos y algebraicos del retículo de proyectores cuánticos. Si tenemos en cuenta que las teorías de cuasiconjuntos (Quasi-sets y Quasets) han surgido motivadas por la ontología cuántica, que las teorías de conjuntos están fuertemente vinculadas con la lógica y que originalmente uno de los objetivos de la teoría de quasets QST era brindar una semántica para los entes cuánticos, entonces el puente establecido entre la lógica cuántica y las semánticas no deterministas puede ser visto como el detonador que inicia la búsqueda de vínculos entre estas teorías. Por un lado, la lógica cuántica de Birkhoff y von Neumann está comprometida con la representación de espacios de Hilbert de la Mecánica cuántica. Por otro lado, esta representación (como quedará claro más adelante) está comprometida con una ontología de individuos. Por lo tanto, la lógica cuántica y la ontología están vinculadas a través del formalismo de espacios de Hilbert. Como dijimos, las teorías de cuasiconjuntos han surgido motivadas por la ontología de los entes del micromundo. Esto implica que los cuasiconjuntos y la lógica cuántica mantendrían de forma indirecta cierta relación.
El entrelazamiento cuántico es un fenómeno físico producido por la existencia de correlaciones entre los subsistemas que componen un sistema. Dos problemas surgen a la hora de tratar con este fenómeno. El primero consiste en ver cómo se comportan estas correlaciones, y el segundo se debe a que una vez estudiado el comportamiento de las correlaciones parece dejar abierta una posibilidad para realizar comunicación superluminal. El presente trabajo pretende establecer cuáles son las bases sobre las que aparecen dichos problemas para después argumentar cuál es la respuesta correcta. Con el fin de aclarar la notación matemática que se va a utilizar en este trabajo y su significado físico, se presenta un primer apartado para explicar el tratamiento de sistemas compuestos mediante la notación de Dirac. Una vez obtenidas las herramientas matemáticas necesarias, presentaremos un desarrollo histórico en el que se trata la problemática que aparece en la Mecánica Cuántica a la hora de tratar las correlaciones entre subsistemas comenzando con la denominada “Paradoja EPR” la cual hace la suposición de que el colapso de la función de onda no ocurre de forma instantánea en todo el espacio y con esta hipótesis se llega a la conclusión de que la Mecánica Cuántica no es una teoría completa. Siguiendo el desarrollo histórico, se presenta el llamado “Teorema de Bell” que explica las diferencias que se deben observar dependiendo de si la Mecánica Cuántica es la teoría correcta o si lo son las teorías que puedan surgir a partir de las conclusiones de la paradoja EPR. Se han realizado experimentos con el fin de ver cuál de los dos esquemas teóricos es el correcto y se ha obtenido que las teorías originadas a partir de la paradoja EPR entran en clara contradicción con los resultados experimentales, mientras que la suposición de la existencia de un colapso instantáneo de la función de onda está en perfecto acuerdo con los resultados, por lo que la Mecánica Cuántica se considera el esquema correcto. Dedicaremos un apartado para explicar algunos de estos experimentos y sus resultados. Finalmente, el tratamiento de la Mecánica Cuántica de los subsistemas correlacionados, teniendo en cuenta la existencia de un colapso instantáneo de la función de onda, parece dar lugar a la posibilidad de que se produzcan comunicaciones de velocidades superiores a la de la luz. Con el fin de presentar estas posibilidades y demostrar porque no son viables para comunicación superlumínica se presenta otro apartado.
Es pensado que la Mecánica Cuántica es una de las teorías fundamentales en la física. Esta teoría no solo ha permitido el estudio detenido de las propiedades de la naturaleza a una escala atómica, sino que también ha logrado una asombrosa convergencia con gran parte de las teorías clásicas. Un rasgo distintivo de la Mecánica Cuántica es su naturaleza probabilística, lo que implica que no puede prever con absoluta certeza el resultado de un experimento, sino tan solo asignar una probabilidad específica a su ocurrencia. En virtud de esta característica, la Mecánica Cuántica introduce un contexto donde llevar a cabo una medición se convierte en un proceso intrínseco. A pesar de ello, ninguno de sus fundamentos aborda explícitamente la definición de lo que constituye una medición cuántica. Aunque este procedimiento evidencia tanto la naturaleza probabilística a pequeña escala como el carácter determinista del ámbito macroscópico, surge de manera pertinente la pregunta: ¿qué se entiende por medición? O, al menos, ¿cómo llevar a cabo una medición? Diversos esfuerzos han sido realizados con el fin de construir un marco conceptual riguroso que describa el proceso de medición cuántica. En este estudio, se examinará detenidamente el esquema de medición propuesto por von Neumann interpretado a partir de la interacción entre el sistema principal y su entorno, así como los posibles tipos de mediciones que pueden surgir en estos sistemas. Sin embargo, al adentrarnos en el ámbito de la Teoría Cuántica de Campos y buscar realizar mediciones en este contexto, es imperativo ampliar la noción de medición de acuerdo con los principios de localidad y causalidad. Por ende, al establecer un marco claramente definido para las mediciones, también se delinean ciertas operaciones que son físicamente permitidas. Este trabajo se propone examinar los protocolos de medición en campos relativistas con el objetivo de comprender el protocolo propuesto por Fewster y Verch como una generalización de la teoría de medición cuántica no relativista.
Resumen.En estas notas se exponen con detalle y de manera autocontenida las herramientas básicas de la teoría de los espacios de Hilbert complejos de dimensión infinita, que son necesarias para un primer estudio, matemáticamente riguroso, de la mecánica cuántica.En la última parte incluimos una introducción axiomática a la mecánica cuántica y una breve exposición del modelo del oscilador armónico y de la teoría de estados cuánticos Gaussianos. IntroducciónLa mecánica cuántica es la rama de la física que estudia los fenómenos físicos que ocurren en escalas de longitudes muy pequeñas.El calificativo "cuántico" surge de, en contraste con la mecánica clásica, considerar algunas cantidades que toman solamente valores discretos i.e., en "paquetes" o quantum-quanta en latín.Aún cuando hay muchas nociones de la mecánica cuántica que aún suscitan controversia, esta teoría se aplica exitosamente para describir el comportamiento de sistema físicos y sus predicciones son consistentes con los experimentos.Los sistemas físicos que estudia la mecánica cuántica, exhiben propiedades ondulatorias que se pueden describir mediante una ecuación de onda, por ejemplo, la bien conocida "ecuación de Schrödinger", que describe la evolución temporal de una partícula subatómica con masa, en el contexto no relativista.En estas notas trabajamos con el formalismo de matrices de densidad, que permite describir estados que son mezclas de estados puros.En consecuencia, este enfoque resulta ser una herramienta poderosa para describir sistemas cuánticos más generales, por ejemplo, acoplamientos (ensambles) de muchos sistemas cuánticos idénticos.El material que se presenta en este trabajo está dividido en cuatro secciones compuestas de la siguiente manera: la sección 1 contiene una selección de resultados de índole geométrico y analítico de la teoría de espacios de Hilbert: ortogonalidad y descomposición ortogonal, convexidad, operadores lineales, norma de operadores y funcionales lineales.La sección 2 se concentra en la clase de los operadores compactos, particularmente en los operadores de la clase de traza y de manera especial, en los operadores de Hilbert-Schmidt.Es relevante mencionar que los estados cuánticos se representan mediante operadores positivos de traza uno.La sección 3 se dedica al estudio de operadores no acotados que pueden no estar densamente definidos en un espacio de Hilbert.Abordamos también el estudio de operadores cerrados y cerrables, el adjunto de un operador y una introducción a la teoría espectral de operadores.Una parte esencial de esta sección son los operadores simétricos e isométricos, los cuales exhiben similitudes en sus propiedades geométricas y espectrales.Cabe señalar que las observables físicas se representan por operadores simétricos típicamente no acotados.Por último, en la sección 4 se discuten brevemente postulados de la mecánica cuántica en el marco del formalismo de matrices de densidad, se revisa el modelo del oscilador armónico cuántico y se ofrece una introducción a los estados cuánticos Gaussianos.Al final de cada sección incluimos una selección de problemas que sirven para complementar estas notas.El lector interesado puede profundizar en el estudio de resultados aquí expuestos, desde los más básicos hasta los más avanzados, en la literatura clásica de operadores lineales, por ejemplo en [1,2,3,4,13,20].
En este trabajo de tesis se apunta a desarrollar herramientas que posibiliten la descripción de sistemas físicos de interés en información cuántica. El marco teórico de las investigaciones está dado por la teoría de la información, la mecánica cuántica y la geometría diferencial. Las investigaciones propuestas están principalmente vinculadas al interés en la naturaleza de los objetos y procesos coherentes en física, en particular focalizado en la noción de coherencia cuántica. La coherencia cuántica en sistema de muchos cuerpos representa la esencia del entrelazamiento y es un ingrediente indispensable para una multitud de fenómenos físicos en óptica cuántica, información cuántica, física de estado sólido y termodinámica a bajas temperaturas. Los estados entrelazados y el fenómeno de coherencia juegan un rol central en las ciencias de la información cuántica, cuyo desarrollo en los últimos años ha alcanzado gran relevancia a nivel global y constituye uno de los temas prioritarios de estudio en centros de investigación destacados de todo el mundo. En escenarios realistas, tales como sistemas cuánticos abiertos, la coherencia es afectada por el ruido ambiente, de acuerdo al fenómeno de decoherencia; la descripción de procesos físicos de decoherencia es un área de estudio muy activa. Para el estudio de procesos coherentes en sistemas cuánticos resulta fundamental contar con medidas apropiadas que permitan cuantificar el grado de coherencia. Se han establecido algunas propiedades que tales medidas deberían satisfacer, notando que la caracterización cuantitativa de coherencia necesita aún atención y un análisis más exhaustivo y amplio. Los objetivos específicos son explorar cuantificadores alternativos de coherencia utilizando medidas de información, lograr caracterizarla en el marco de la teoría de recursos mediante la propiedad de mayorización y avanzar sobre formulaciones geométricas y entrópicas del principio de incerteza desarrolladas por el grupo, estudiando su conexión con la coherencia cuántica.
ResumenEn la teoría cuántica de la medición existen dos problemas centrales: el problema de la lectura definida y el problema de la base preferida.El primer problema consiste en el hecho de que la teoría no puede dar cuenta de valores bien definidos registrados como resultados en la medición, puesto que predice que el estado final del sistema y aparato es una superposición sin valor definido.El segundo problema consiste en el hecho de que bajo ciertas circunstancias (referidas a la preparación del estado del sistema a medir) la teoría no puede dar cuenta, además, de una base bien definida de estados a la cual pertenece el resultado obtenido en la medición.Históricamente la pretendida resolución a estos problemas viene de la mano del formalismo de decoherencia, el cual se ha desarrollado como un intento de encontrar el limite clásico de la mecánica cuántica.El objetivo principal de esta tesis consiste en brindar una respuesta a los mencionados problemas sin apelar a decoherencia alguna.Respecto del problema de la base preferida presente en las correlaciones del estado final de la medición, mostraremos que, en lugar de resolverse apelando a una interacción posterior con el entorno, tal como en la teoría de la decoherencia, puede ser resuelto analizando el proceso previo a dicho estado final sin la necesidad del entorno.La esencia del procedimiento consiste en reconsiderar la medición, no como la mera correlación que se manifiesta en el estado final, sino como el proceso capaz de establecerla.Desde esta nueva perspectiva es posible diferenciar distintos procesos que conducen a distintas correlaciones, independientemente de que éstas puedan vincularse matemáticamente mediante un cambio de base.La eliminación de la ambigüedad de la base se logra al determinar qué proceso es caracterizado por el operador de evolución que conecta el estado inicial de la medición con el final.Estrictamente hablado, el problema no queda resuelto, sino más bien disuelto, al considerar que la medición involucra todo el proceso que desemboca en una correlación final, y ello sin la necesidad de agregar interacciones posteriores con sistemas como el entorno.Respecto del problema de la lectura definida nuestro objetivo es un poco más modesto.No vamos a resolver el problema estrictamente sino que, en el marco de ese problema, brindaremos una respuesta a la incompatibilidad que establece el postulado del colapso respecto de las evoluciones unitarias.La estrategia aquí es incorporar los aparatos de medición en el cálculo de las probabilidades condicionales establecidas para una secuencia de dos mediciones.Asumiendo valores definidos para la primera, demostramos que el postulado del colapso sobre el sistema puede ser derivado del propio formalismo de la teoría cuántica, aun cuando el sistema compuesto que incluye a los aparatos nunca abandona la evolución unitaria que predice la ecuación de Schrödinger