El entrelazamiento cuántico es un fenómeno físico producido por la existencia de correlaciones entre los subsistemas que componen un sistema. Dos problemas surgen a la hora de tratar con este fenómeno. El primero consiste en ver cómo se comportan estas correlaciones, y el segundo se debe a que una vez estudiado el comportamiento de las correlaciones parece dejar abierta una posibilidad para realizar comunicación superluminal. El presente trabajo pretende establecer cuáles son las bases sobre las que aparecen dichos problemas para después argumentar cuál es la respuesta correcta. Con el fin de aclarar la notación matemática que se va a utilizar en este trabajo y su significado físico, se presenta un primer apartado para explicar el tratamiento de sistemas compuestos mediante la notación de Dirac. Una vez obtenidas las herramientas matemáticas necesarias, presentaremos un desarrollo histórico en el que se trata la problemática que aparece en la Mecánica Cuántica a la hora de tratar las correlaciones entre subsistemas comenzando con la denominada “Paradoja EPR” la cual hace la suposición de que el colapso de la función de onda no ocurre de forma instantánea en todo el espacio y con esta hipótesis se llega a la conclusión de que la Mecánica Cuántica no es una teoría completa. Siguiendo el desarrollo histórico, se presenta el llamado “Teorema de Bell” que explica las diferencias que se deben observar dependiendo de si la Mecánica Cuántica es la teoría correcta o si lo son las teorías que puedan surgir a partir de las conclusiones de la paradoja EPR. Se han realizado experimentos con el fin de ver cuál de los dos esquemas teóricos es el correcto y se ha obtenido que las teorías originadas a partir de la paradoja EPR entran en clara contradicción con los resultados experimentales, mientras que la suposición de la existencia de un colapso instantáneo de la función de onda está en perfecto acuerdo con los resultados, por lo que la Mecánica Cuántica se considera el esquema correcto. Dedicaremos un apartado para explicar algunos de estos experimentos y sus resultados. Finalmente, el tratamiento de la Mecánica Cuántica de los subsistemas correlacionados, teniendo en cuenta la existencia de un colapso instantáneo de la función de onda, parece dar lugar a la posibilidad de que se produzcan comunicaciones de velocidades superiores a la de la luz. Con el fin de presentar estas posibilidades y demostrar porque no son viables para comunicación superlumínica se presenta otro apartado.
El entrelazamiento cuántico es un fenómeno físico producido por la existencia de correlaciones entre los subsistemas que componen un sistema. Dos problemas surgen a la hora de tratar con este fenómeno. El primero consiste en ver cómo se comportan estas correlaciones, y el segundo se debe a que una vez estudiado el comportamiento de las correlaciones parece dejar abierta una posibilidad para realizar comunicación superluminal. El presente trabajo pretende establecer cuáles son las bases sobre las que aparecen dichos problemas para después argumentar cuál es la respuesta correcta. Con el fin de aclarar la notación matemática que se va a utilizar en este trabajo y su significado físico, se presenta un primer apartado para explicar el tratamiento de sistemas compuestos mediante la notación de Dirac. Una vez obtenidas las herramientas matemáticas necesarias, presentaremos un desarrollo histórico en el que se trata la problemática que aparece en la Mecánica Cuántica a la hora de tratar las correlaciones entre subsistemas comenzando con la denominada “Paradoja EPR” la cual hace la suposición de que el colapso de la función de onda no ocurre de forma instantánea en todo el espacio y con esta hipótesis se llega a la conclusión de que la Mecánica Cuántica no es una teoría completa. Siguiendo el desarrollo histórico, se presenta el llamado “Teorema de Bell” que explica las diferencias que se deben observar dependiendo de si la Mecánica Cuántica es la teoría correcta o si lo son las teorías que puedan surgir a partir de las conclusiones de la paradoja EPR. Se han realizado experimentos con el fin de ver cuál de los dos esquemas teóricos es el correcto y se ha obtenido que las teorías originadas a partir de la paradoja EPR entran en clara contradicción con los resultados experimentales, mientras que la suposición de la existencia de un colapso instantáneo de la función de onda está en perfecto acuerdo con los resultados, por lo que la Mecánica Cuántica se considera el esquema correcto. Dedicaremos un apartado para explicar algunos de estos experimentos y sus resultados. Finalmente, el tratamiento de la Mecánica Cuántica de los subsistemas correlacionados, teniendo en cuenta la existencia de un colapso instantáneo de la función de onda, parece dar lugar a la posibilidad de que se produzcan comunicaciones de velocidades superiores a la de la luz. Con el fin de presentar estas posibilidades y demostrar porque no son viables para comunicación superlumínica se presenta otro apartado.
En esta tesis se consideran problemas matematicos relacionados con dos de los fenomenos mas caracteristicos y significativos de la Mecanica Cuantica: el principio de incertidumbre de Heisenberg y el entrelazamiento. El hilo conductor lo constituyen las medidas matematicas de la incertidumbre asociada a distribuciones de probabilidad, que por un lado son indispensables para formular matematicamente este principio y cuantificar la incertidumbre asociada a los distintos sistemas cuanticos y por otro lado proporcionan una herramienta util para la caracterizacion del escurridizo fenomeno del entrelazamiento, paradigma central tanto dentro de los fundamentos de la Mecanica Cuantica como en las sorprendentes aplicaciones de la Teoria de la Informacion Cuantica. En esta memoria los dos primeros capitulos se han escrito a modo de introduccion y los siguientes contienen nuestras aportaciones originales a estos problemas. En el primer capitulo presentamos como se construyen de una forma rigurosa desde un punto de vista matematico medidas de la incertidumbre y mostramos como la entropia de Shannon ocupa un lugar preferente entre ellas. En el segundo, despues de introducir los postulados y la estructura matematica basica de la Mecanica Cuantica, analizamos en detalle el principio de incertidumbre y repasamos las distintas relaciones de incertidumbre desarrolladas hasta la fecha, asi como las argumentaciones que hacen a las relaciones de incertidumbre entropicas la formulacion mas rigurosa del principio. En este capitulo se analizara tambien el fenomeno del entrelazamiento, su significado y relevancia. Aunque el problema de su caracterizacion sigue abierto (problema de la separabilidad), se presentaran los criterios previos mas relevantes para su identificacion y se mostrara que las relaciones de incertidumbre juegan un papel util en esta tarea. Por ultimo, se dara una brevisima introduccion a la teoria de las medidas de entrelazamiento y su conexion con las medidas de incertidumbre. En el capitulo 3 se abordara el problema del calculo de entropias de polinomios ortogonales, directamente relacionado con la expresion de la incertidumbre en sistemas atomicos y moleculares; se utilizaran principalmente tecnicas analiticas, en particular de la teoria de funciones especiales. El capitulo 4 se relaciona con la derivacion de desigualdades optimas para la formulacion de relaciones de incertidumbre entropicas, apoyandonos sobre todo en tecnicas de optimizacion. A continuacion nos centraremos en el entrelazamiento y el problema de la separabilidad, para lo que principalmente utilizaremos algebra lineal y analisis matricial. En el capitulo 5 se estudiara este problema utilizando una formulacion particular del principio de incertidumbre. En el capitulo 6, motivados por la estructura interna de las condiciones de separabilidad expresadas a traves de relaciones de incertidumbre, obtendremos condiciones para la presencia de entrelazamiento a traves de medidas de la correlacion. Por ultimo, en el capitulo 7 estudiaremos como utilizar las condiciones del apartado anterior y las basadas en relaciones de incertidumbre para poder obtener informacion no solo cualitativa sino tambien cuantitativa acerca del entrelazamiento.
En un principio, la Teoría de la Información fue concebida en forma abstracta, en base a una formulación matemática. Sin embargo, la habilidad y eficiencia para procesar o transmitir información dependerá en última instancia del sistema físico elegido para codificar esa información. Es así que, al codificar la información en las propiedades físicas de sistemas cuyo comportamiento se describe por las leyes de la mecánica cuántica, se abren nuevas posibilidades que son irrealizables clásicamente. Entre ellas, la posibilidad de generar algoritmos cuánticos para ciertos cálculos que requieren un número de pasos significativamente menor que cualquier algoritmo clásico, reduciendo su complejidad. Entre las características fundamentales de la mecánica cuántica que posibilitan estos desarrollos, sobresalen el principio de superposición y el entrelazamiento cuántico. Una de las implementaciones más accesibles para la comunicación cuántica y el procesamiento cuántico de la información emplea fotones individuales como portadores de la información. Estos pueden viajar entre dos estaciones distantes siendo poco afectados por el ruido que introduce el entorno. Además, poseen varios grados de libertad en los cuales es posible codificar la información y pueden manipularse con un alto grado de control utilizando tecnología estándar. En este trabajo se describen algunas aplicaciones de la implementación fotónica, realizadas en colaboración con el Laboratorio de Procesado de Imágenes (LPI) del Depto. de Física de la UBA. En primer lugar, se describe la determinación experimental de medidas de correlaciones cuánticas en estados no puros de un par de fotones correlacionados en polarización, mediante técnicas de tomografía de estados cuánticos. Luego se describe la utilización de moduladores espaciales de luz programables para entrelazar la polarización con grados de libertad espaciales, y así poder simular los denominados estados historia de evoluciones temporales cuánticas. Se muestra que este último proveeun esquema eficientepara el cálculo de promedios temporales de observables del sistema.
Desde hace mas de tres cuartos de siglo, sabemos que la naturaleza esta regida por las leyes que determina una teoria fisica en muchos aspectos paradojica y contraintuitiva: la fisica cuantica. Sin apenas matematicas, situando aquello que se trata en un contexto historico, y utilizando unas atractivas ilustraciones que destacan las principales ideas que aparecen en el, este libro, La realidad cuantica, presenta los fundamentos de la mecanica cuantica. Su objetivo primero es explicar los desconcertantes conceptos de superposicion, colapso y entrelazamiento, que sostienen el edificio cuantico. Recurriendo a experimentos, los autores, dos destacados investigadores en esa rama de la fisica, van desvelando, de un modo intuitivo, esos conceptos, explicando, asimismo, resultados fundamentales como los producidos por John Bell, que precipitaron la caida del mundo determinista defendido por Einstein. Una vez establecida esa base teorico-experimental, y siguiendo el mismo procedimiento intuitivo, los autores presentan las modernas aplicaciones de esos conceptos cuantico: teleportacion, criptografia y ordenadores cuanticos. Todas ellas se enmarcan en la Teoria de la Informacion Cuantica, una disciplina tras la que se esconden importantes interrogantes que tambien se tratan aqui, tales como si la informacion es suficiente para interpretar correctamente la mecanica cuantica, o si el mundo se explicaria, en ultimo termino, como informacion.
ResumenEn la teoría cuántica de la medición existen dos problemas centrales: el problema de la lectura definida y el problema de la base preferida.El primer problema consiste en el hecho de que la teoría no puede dar cuenta de valores bien definidos registrados como resultados en la medición, puesto que predice que el estado final del sistema y aparato es una superposición sin valor definido.El segundo problema consiste en el hecho de que bajo ciertas circunstancias (referidas a la preparación del estado del sistema a medir) la teoría no puede dar cuenta, además, de una base bien definida de estados a la cual pertenece el resultado obtenido en la medición.Históricamente la pretendida resolución a estos problemas viene de la mano del formalismo de decoherencia, el cual se ha desarrollado como un intento de encontrar el limite clásico de la mecánica cuántica.El objetivo principal de esta tesis consiste en brindar una respuesta a los mencionados problemas sin apelar a decoherencia alguna.Respecto del problema de la base preferida presente en las correlaciones del estado final de la medición, mostraremos que, en lugar de resolverse apelando a una interacción posterior con el entorno, tal como en la teoría de la decoherencia, puede ser resuelto analizando el proceso previo a dicho estado final sin la necesidad del entorno.La esencia del procedimiento consiste en reconsiderar la medición, no como la mera correlación que se manifiesta en el estado final, sino como el proceso capaz de establecerla.Desde esta nueva perspectiva es posible diferenciar distintos procesos que conducen a distintas correlaciones, independientemente de que éstas puedan vincularse matemáticamente mediante un cambio de base.La eliminación de la ambigüedad de la base se logra al determinar qué proceso es caracterizado por el operador de evolución que conecta el estado inicial de la medición con el final.Estrictamente hablado, el problema no queda resuelto, sino más bien disuelto, al considerar que la medición involucra todo el proceso que desemboca en una correlación final, y ello sin la necesidad de agregar interacciones posteriores con sistemas como el entorno.Respecto del problema de la lectura definida nuestro objetivo es un poco más modesto.No vamos a resolver el problema estrictamente sino que, en el marco de ese problema, brindaremos una respuesta a la incompatibilidad que establece el postulado del colapso respecto de las evoluciones unitarias.La estrategia aquí es incorporar los aparatos de medición en el cálculo de las probabilidades condicionales establecidas para una secuencia de dos mediciones.Asumiendo valores definidos para la primera, demostramos que el postulado del colapso sobre el sistema puede ser derivado del propio formalismo de la teoría cuántica, aun cuando el sistema compuesto que incluye a los aparatos nunca abandona la evolución unitaria que predice la ecuación de Schrödinger
Es pensado que la Mecánica Cuántica es una de las teorías fundamentales en la física. Esta teoría no solo ha permitido el estudio detenido de las propiedades de la naturaleza a una escala atómica, sino que también ha logrado una asombrosa convergencia con gran parte de las teorías clásicas. Un rasgo distintivo de la Mecánica Cuántica es su naturaleza probabilística, lo que implica que no puede prever con absoluta certeza el resultado de un experimento, sino tan solo asignar una probabilidad específica a su ocurrencia. En virtud de esta característica, la Mecánica Cuántica introduce un contexto donde llevar a cabo una medición se convierte en un proceso intrínseco. A pesar de ello, ninguno de sus fundamentos aborda explícitamente la definición de lo que constituye una medición cuántica. Aunque este procedimiento evidencia tanto la naturaleza probabilística a pequeña escala como el carácter determinista del ámbito macroscópico, surge de manera pertinente la pregunta: ¿qué se entiende por medición? O, al menos, ¿cómo llevar a cabo una medición? Diversos esfuerzos han sido realizados con el fin de construir un marco conceptual riguroso que describa el proceso de medición cuántica. En este estudio, se examinará detenidamente el esquema de medición propuesto por von Neumann interpretado a partir de la interacción entre el sistema principal y su entorno, así como los posibles tipos de mediciones que pueden surgir en estos sistemas. Sin embargo, al adentrarnos en el ámbito de la Teoría Cuántica de Campos y buscar realizar mediciones en este contexto, es imperativo ampliar la noción de medición de acuerdo con los principios de localidad y causalidad. Por ende, al establecer un marco claramente definido para las mediciones, también se delinean ciertas operaciones que son físicamente permitidas. Este trabajo se propone examinar los protocolos de medición en campos relativistas con el objetivo de comprender el protocolo propuesto por Fewster y Verch como una generalización de la teoría de medición cuántica no relativista.
En la actualidad las caminatas aleatorias han sido empleadas como herramientas
para el desarrollo de numerosos algoritmos. Sin embargo, una carencia
importante para la solucion de problemas radica en la falta de algoritmos que
exploten a su favor los fenomenos que la naturaleza a escalas atomicas presenta.
En este trabajo de tesis se estudia el analogo cuantico que presenta un
caminante al azar, conocido como caminata cuantica. Desde su propuesta, el
paradigma de las caminatas cuanticas ha despertado un considerable interes en
su estudio durante los ultimos anos, ya que, debido a los fenomenos de superposicion,
este grupo de caminata al azar se propagan con mayor rapidez que una
caminata clasica y por lo tanto se puede dar un recorrido espacial en un menor
numero de iteraciones que su contraparte clasica. Por lo anterior, del estudio
de caminatas cuanticas se espera un desempeno superior para el desarrollo de
algoritmos mas veloces.
La hipotesis que en este trabajo se plantea es que a traves del cambio y la
manipulacion en el uso de operadores y los estados iniciales, se generaran cambios
radicales en las distribuciones de los caminantes. Se esperan que al realizar
estos cambios en la densidad probabilidad de un caminante tengan aplicaciones
algoritmica en futuras investigaciones.
Debido a lo anterior esta tesis plantea como objetivo central el analisis de las
caminatas cuanticas, mostrando los cambios radicales que presentan las caminata
cuanticas en sus distribuciones de probabilidad, ademas de presentar una
idea basica de las posible forma de implementacion algoritmica de estas distribuciones.
Ademas reportamos nuevos resultados, hasta donde hemos investigado, en
relacion a la evolucion de las caminatas cuanticas para monedas en altas dimensiones
considerando estados maximamente enlazados y el operador de Grover.
Otros objetivos que se establecen, es dar una motivacion para realizar estudios
en el sentido de la computacion cuantica. Ademas de explicar los fenomenos
que se presentan a escalas atomicas, que son los que ayudan a potencializar el
desempeno de los algoritmos y la caminata cuanticas.