Challenges
Datasets
Workspaces
Papers
Discussions
Leaderboard
Log inSign up
Challenges
Datasets
Workspaces
Papers
Discussions
Leaderboard
Blog
Job Board
Q3AS

© 2026 Aqora Quantum S.A.S.

TermsPrivacyLegal Notice

Voiko kvanttiteoria kuvata itsensä käyttöä?

Eero Juntti

Published Jan 1, 2025• 0 citations
OpenAlex

Abstract

Tässä tutkielmassa tutkin, voiko kvanttiteoria johdonmukaisesti kuvata itsensä käyttöä Daniela Frauchigerin ja Renato Rennerin esittämässä ajatuskokeessa (FR-koe). FR-kokeessa on neljä tutkijaa, jotka tekevät kvanttimekaanisia mittauksia neljässä vaiheessa, ja he myös mallintavat toisiaan kvanttimekaanisina systeemeinä. Käy ilmi, että jos oletamme kvanttiteorian yleispätevyyden, yksimaailmaisuuden ja johdonmukaisuuden, oppikirjakvanttimekaniikan sääntöjä käyttämällä eri tutkijat voivat johtaa ristiriitaisia tuloksia kokeen kulusta. Ristiriidat kumpuavat epäjohdonmukaisesta romahduspostulaatin käytöstä, minkä mahdollistaa kyseisen postulaatin epäselvyys. Pilottiaaltoteoriassa ristiriitoja ei synny, kunhan otetaan huomioon kokeessa esiintyvät tyhjät aallot. Analysoin koetta myös johdonmukaisten historioiden näkökulmasta, ja sain selville, että järkeviä yksimaailmaisia johdonmukaisia viitekehyksiä ei tälle ajatuskokeelle ole olemassa.

Related papers

Kvanttimekaaniset heikot arvot

Tuomo Rentto

Tutkielmassa käsitellään tapoja tutkia kvanttimekaanisia systeemejä ilman tilan romahdusta. Tarkoituksena on tutustua heikkoihin kvanttimittauksiin, josta voidaan johtaa kvanttimekaaniset heikot arvot. Perehdytään tarkemmin heikkojen arvojen erikoisiin ominaisuuksiin ja käydään läpi erilaisia tapoja mitata heikkoja arvoja. Lopuksi tutustutaan kirjallisuuden pohjalta erilaisiin heikkojen arvojen tulkintoihin. Kvanttimittaukset kuvataan systeemin ja mittalaitteen välisenä vuorovaikutuksena. Pienentämällä vuorovaikutuksen voimakkuutta voidaan mitata systeemin suureita häiritsemällä systeemin tilaa minimaalisesti. Vuorovaikutuksen heikentäminen johtaa kuitenkin siihen, että yksittäisen mittauksen epätarkkuus on niin suuri, ettei mittaus anna yhtään informaatiota systeemin tilasta. Suorittamalla monta identtistä mittausta voidaan mittausjoukon tarkkuus saadaan mielivaltaisen suureksi. Heikot arvot ovat heikkojen mittausten lopputuloksia. Nämä ovat erikoisia systeemiä kuvaavia suureita, koska ne voivat saada kompleksiarvoisia lopputuloksia, sekä ne voivat olla paljon ominaisarvoja suurempia. Tilan minimaalisen häiriön sekä heikkojen arvojen kompleksisen luonteen ansiosta heikoilla mittauksilla on mahdollista mitata systeemin ei-kommutoivia suureita. Voidaan siis suorittaa useampi heikko mittaus peräkkäin samalle systeemille. Näillä mittauksilla voidaan suorittaa kvanttisysteemin tilaa kuvaavan aaltofunktion tomografia tai mitata yksittäisen fotonin ei-kommutoivien polarisaatio-observaabelien arvoja. Erikoisen luonteensa ansiosta heikoille arvoille ei ole yksikäsitteistä tulkintaa. Tutkielmassa tutustutaan erilaisiin tulkintoihin. Odotusarvotulkinnan mukaan heikot arvot kuvaavat tietynlaista idealisoitua odotusarvoa systeemin suureille. Tilastollisessa tulkinnassa ehdotetaan heikkojen arvojen syntyvän mittausdatan ulkoisesta häiriöstä ja tilastollisesta manipuloinnista, jolloin sen kvanttimekaaninen luonne katoaa. Heikkojen arvojen voidaan myös niiden käyttäytymisen mukaan ajatella kuvaavan kahden amplitudin välistä suhdetta.

•Apr 1, 2025•0 citations

Avoimet kvanttisysteemit

Meero Orte

Tutkielmassa käsitellään avoimia kvanttisysteemejä ja niiden kehitystä, lisäksi tutkielman lopussa simuloidaan tiettyä kvanttisysteemiä. Avoimien kvanttisysteemeiden vuorovaikuttaessa ympäristön kanssa, kvanttisysteemi kokee dekoherenssia, menettäen informaatiota ympäristöönsä. Dekoherenssi on keskeinen osa avoimen kvanttisysteemin kehittymistä. Avoimen kvanttisysteemin kehitystä ei voida kuvata unitaarioperaattoreilla, toisin kuin suljetulle systeemille. Kehitystä saadaan, kuitenkin mallinnettua masteryhtälöiden avulla. Kehitys voi olla Markovista, milloin kvanttisysteemi vain vuotaa informaatiota ympäristöönsä. On myös mahdollista, että ympäristö vuotaa informaatiota takaisin kvanttisysteemin, milloin kvanttisysteemin kehityksessä täytyy huomioida ympäristön muisti. Todellisuudessa kaikki kvanttisysteemit ovat avoimia, sillä mitään systeemiä ei voida eristää täysin ympäristöstään. On myös hyvä huomata, että masteryhtälöt ovat approksimaatioita systeemin kehityksestä, jotka pohjautuvat yksinkertaistuksiin ja oletuksiin.

•Mar 9, 2026•0 citations

Tietoturva ja kvanttiturvalliset toteutukset ajoneuvoissa

Oiva Kupila

Kvanttilaskennan yleistyminen tuo ongelmia ajoneuvojen tietoturvallisuuteen, sillä kvanttilaskennalla on mahdollista murtaa ajoneuvojen nykyisin käyttämät salausprotokollat. Kvanttilaskentaa ei toistaiseksi ole tarjolla kaupallisilla markkinoilla, mutta kiihtyvän kehityksen takia on vain ajan kysymys milloin kvanttilaskentaa voidaan myydä kuluttajille ja alkaa hyödyntäämään myös laittomiin aikeisiin. Tutkielmassa käsitellään millaista vaaraa kvanttilaskennan yleistymisestä syntyy erilaisille ajoneuvoille ja mikä olisi toimiva keino paikata kvanttilaskennan tuomia tietoturva-aukkoja käyttäen kvanttiturvallisia protokollia. Tutkielmassa pohditaan myös kuinka ajoneuvovalmistajat ovat varautuneet kvanttilaskennan tuomiin uhkiin ja kuinka valmiita ne ovat siirtymään käyttämään kvanttiturvallisia menetelmiä. Tutkielma on toteutettu kirjallisuuskatsauksena. Tulokset näyttävät, että kvanttilaskennan yleistyminen vaarantaa koko tietyn ikäisen ajoneuvokannan. Kävi myös ilmi, että hilarakenteiseen kryptografiaan pohjautuvat ratkaisut ovat suosituimpia kehitteillä olevia salausprotokollia ja ajoneuvoteollisuus on valmis siirtymään kvanttiturvallisiin protokolliin standradoinnin valmistuessa.

•Sep 14, 2026•0 citations

Interferenssikuvion muodostuminen kaksoisrakokokeessa

Hanna Erkkilä

Tässä tutkielmassa käydään läpi, miten interferenssikuvio muodostuu kaksoisrakokokeessa ja miten kuvio muuttuu, kun määritetään hiukkasen kulkema reitti. Tutkielmassa esitellään kaksoisrakokokeen koeasetelma sekä johdetaan kvanttimekaniikan avulla interferenssikuviota vastaavan intensiteettijakauman yhtälö, mikä matemaattisesti selittää interferenssikuvion syntymisen. Interferenssikuvion muuttumiselle esitetään kaksi tapaa, jotka eivät kuitenkaan ole toisiaan poissulkevia. Kun hiukkaset kulkevat kohti kahta rakoa, niiden tilaa kuvaavat aaltofunktiot diffraktoituvat raoissa kahteen osaan. Osat interferoivat toistensa kanssa vahvistaen ja heikentäen toisiaan, mikä lopulta näkyy interferenssikuviona varjostimella. Mitattaessa ilmaisimella, kummasta raosta hiukkanen kulkee, ilmaisin ja hiukkanen lomittuvat, mikä estää hiukkasen aaltofunktioiden välisen interferenssin. Tällöin interferenssikuviota ei synny, vaan varjostimella näkyy kaksi juovaa rakojen kohdilla. Toisen tulkinnan mukaan lomittumisessa osa hiukkasista saa liikemääräpotkun, jolloin niiden hiukkasten interferenssikuvio on eri vaiheessa toisten hiukkasten kuvioon verrattuna. Tällöin kuviot kumoavat toisensa ja varjostimella nähdään kaksi juovaa.

•Jan 1, 2026•0 citations

Kvanttisalaus : Turvaprotokollat ja käytännön sovellukset

Taisto Tammilehto

Tämän kandidaattitutkielman tavoitteena on antaa yleiskatsaus kvanttisalauksesta. Tutkielmasta tekee merkittävän suomenkielisen kirjallisuuden puute kvanttimekaniikan sovelluksista, kvanttilaskennasta ja etenkin kvanttisalauksesta. Kvanttilaskennan yleistyessä klassiset salausmenetelmät joutuvat kohtaamaan uudenlaisia hyökkäysriskejä. Tutkielma osoittaa lukijalle miksi klassiset kryptografiset menetelmät eivät ole tehokkaita kvanttilaskennallisia menetelmiä vastaan. Tutkielmassa korostuu kvanttisalauksen tärkeys yhteiskunnassa tulevaisuuden tietoturvan takaamiseksi. Tämä kirjallisuuskatsaus tutkii kvanttisalausta yleisestä näkökulmasta ja pyrkii antamaan lukijalle kattavan kuvauksen kvanttisalauksesta syventymättä aiheen matemaattiseen perustaan. Kvanttisalaus on kansainvälisesti laajasti tutkittu aihe, josta on olemassa runsas englanninkielinen kirjallisuus. Tässä tutkielmassa kootaan yhteen kvanttisalausta käsittelevää kirjallisuutta ja vertaillaan kahta eri turvaprotokollaa. Tutkielmassa osoitetaan, kuinka kvanttimekaniikka on kytköksissä kvanttilaskentaan ja kvanttisalaukseen. Kvanttisalaukseen syvennytään tarkastelemalla kvanttikanavien toteutusta kvanttisalausjärjestelmässä. Turvaprotokollia vertaillaan keskenään ja lopuksi tarkastellaan BB84-turvaprotokollan implementointia kvanttisalausjärjestelmässä. Kvanttisalauksen toteutusta tutkimalla tämä kirjallisuuskatsaus antaa selkeän kuvan kvantti-salausjärjestelmistä ja niiden käytännön sovelluksista. Kvanttilaskentaa on tutkittu pitkään ja useat läpimurrot kuten Shorin ja Groverin algoritmit julkaistiin jo 1900-luvun loppupuolella. Kirjallisuuskatsauksessa tutkitaan tämän vuoksi niin vanhoja kuin uusiakin julkaisuja. Tutkielman tulokset osoittavat kvanttisalauksen olevan lupaava teknologia, joka voi mullistaa kryptografian alan tulevaisuudessa. Kvanttitietokoneiden mahdollinen vaikutus nykyiseen kryptografiseen infrastruktuuriin on vakava huolenaihe, joka ansaitsee laajaa huomiota. Viimeaikaiset hyökkäykset kuten psykoterapiakeskus Vastaamoon ja Helsingin kaupunkiin kohdistuneet tietomurrot osoittavat, että vihamielisistä tekijöistä ei ole puutetta. Tutkielman tulokset ilmaisevat tarvetta luoda selkeä suunnitelma nykyisen yhteiskunnan tietoturvajärjestelmien vahvistamiseksi kvanttilaskennan mahdollistamia hyökkäyksiä vastaan

•Jan 1, 2024•0 citations

Konveksit rakenteet ja ääripisteet kvanttimekaniikassa

Erkka Haapasalo

Tässä tutkielmassa tarkastellaan joidenkin kvanttimekaniikan perusjoukkojen, tila-, efekti- ja etenkin suurejoukon, konveksia rakennetta ja ääripisteitä. Myös operaatioja instrumenttijoukkojen rakennetta käsitellään lyhyesti. Näiden konveksien rakenteiden ja niiden ääripisteiden fysikaalista merkitystä on pyritty valottamaan. Erityisesti tutkielma keskittyy kovarianttien suureiden problematiikkaan ja kovarianssirakenteiden ääripisteiden karakterisointiin. Keskeiset tulokset liittyvät lokaalisti kompaktien Abelin ryhmien määräämien kovarianssirakenteiden analyysiin ja ääripisteisiin. Tästä käsitellään esimerkkeinä kovariantteja paikka- ja vaihesuureita ja paikkaerosuureita. Tila- ja efektijoukkojen ääripisteet on tunnettu jo pitkään, mutta äärisuureiden problematiikka on yleisellä tasolla ollut vielä viime aikoihin asti hämärän peitossa. Äärioperaatioiden ja -instrumenttien tyhjentävää karakterisointia ei vielä ole, mutta tutkielmassa esitellään joitakin erityistuloksia tästäkin aiheesta.

•Feb 8, 2011•0 citations
Tässä tutkielmassa tutkin, voiko kvanttiteoria johdonmukaisesti kuvata itsensä käyttöä Daniela Frauchigerin ja Renato Rennerin esittämässä ajatuskokeessa (FR-koe). FR-kokeessa on neljä tutkijaa, jotka tekevät kvanttimekaanisia mittauksia neljässä vaiheessa, ja he myös mallintavat toisiaan kvanttimekaanisina systeemeinä. Käy ilmi, että jos oletamme kvanttiteorian yleispätevyyden, yksimaailmaisuuden ja johdonmukaisuuden, oppikirjakvanttimekaniikan sääntöjä käyttämällä eri tutkijat voivat johtaa ristiriitaisia tuloksia kokeen kulusta. Ristiriidat kumpuavat epäjohdonmukaisesta romahduspostulaatin käytöstä, minkä mahdollistaa kyseisen postulaatin epäselvyys. Pilottiaaltoteoriassa ristiriitoja ei synny, kunhan otetaan huomioon kokeessa esiintyvät tyhjät aallot. Analysoin koetta myös johdonmukaisten historioiden näkökulmasta, ja sain selville, että järkeviä yksimaailmaisia johdonmukaisia viitekehyksiä ei tälle ajatuskokeelle ole olemassa.
Tutkielmassa käsitellään tapoja tutkia kvanttimekaanisia systeemejä ilman tilan romahdusta. Tarkoituksena on tutustua heikkoihin kvanttimittauksiin, josta voidaan johtaa kvanttimekaaniset heikot arvot. Perehdytään tarkemmin heikkojen arvojen erikoisiin ominaisuuksiin ja käydään läpi erilaisia tapoja mitata heikkoja arvoja. Lopuksi tutustutaan kirjallisuuden pohjalta erilaisiin heikkojen arvojen tulkintoihin. Kvanttimittaukset kuvataan systeemin ja mittalaitteen välisenä vuorovaikutuksena. Pienentämällä vuorovaikutuksen voimakkuutta voidaan mitata systeemin suureita häiritsemällä systeemin tilaa minimaalisesti. Vuorovaikutuksen heikentäminen johtaa kuitenkin siihen, että yksittäisen mittauksen epätarkkuus on niin suuri, ettei mittaus anna yhtään informaatiota systeemin tilasta. Suorittamalla monta identtistä mittausta voidaan mittausjoukon tarkkuus saadaan mielivaltaisen suureksi. Heikot arvot ovat heikkojen mittausten lopputuloksia. Nämä ovat erikoisia systeemiä kuvaavia suureita, koska ne voivat saada kompleksiarvoisia lopputuloksia, sekä ne voivat olla paljon ominaisarvoja suurempia. Tilan minimaalisen häiriön sekä heikkojen arvojen kompleksisen luonteen ansiosta heikoilla mittauksilla on mahdollista mitata systeemin ei-kommutoivia suureita. Voidaan siis suorittaa useampi heikko mittaus peräkkäin samalle systeemille. Näillä mittauksilla voidaan suorittaa kvanttisysteemin tilaa kuvaavan aaltofunktion tomografia tai mitata yksittäisen fotonin ei-kommutoivien polarisaatio-observaabelien arvoja. Erikoisen luonteensa ansiosta heikoille arvoille ei ole yksikäsitteistä tulkintaa. Tutkielmassa tutustutaan erilaisiin tulkintoihin. Odotusarvotulkinnan mukaan heikot arvot kuvaavat tietynlaista idealisoitua odotusarvoa systeemin suureille. Tilastollisessa tulkinnassa ehdotetaan heikkojen arvojen syntyvän mittausdatan ulkoisesta häiriöstä ja tilastollisesta manipuloinnista, jolloin sen kvanttimekaaninen luonne katoaa. Heikkojen arvojen voidaan myös niiden käyttäytymisen mukaan ajatella kuvaavan kahden amplitudin välistä suhdetta.
Tutkielmassa käsitellään avoimia kvanttisysteemejä ja niiden kehitystä, lisäksi tutkielman lopussa simuloidaan tiettyä kvanttisysteemiä. Avoimien kvanttisysteemeiden vuorovaikuttaessa ympäristön kanssa, kvanttisysteemi kokee dekoherenssia, menettäen informaatiota ympäristöönsä. Dekoherenssi on keskeinen osa avoimen kvanttisysteemin kehittymistä. Avoimen kvanttisysteemin kehitystä ei voida kuvata unitaarioperaattoreilla, toisin kuin suljetulle systeemille. Kehitystä saadaan, kuitenkin mallinnettua masteryhtälöiden avulla. Kehitys voi olla Markovista, milloin kvanttisysteemi vain vuotaa informaatiota ympäristöönsä. On myös mahdollista, että ympäristö vuotaa informaatiota takaisin kvanttisysteemin, milloin kvanttisysteemin kehityksessä täytyy huomioida ympäristön muisti. Todellisuudessa kaikki kvanttisysteemit ovat avoimia, sillä mitään systeemiä ei voida eristää täysin ympäristöstään. On myös hyvä huomata, että masteryhtälöt ovat approksimaatioita systeemin kehityksestä, jotka pohjautuvat yksinkertaistuksiin ja oletuksiin.
Kvanttilaskennan yleistyminen tuo ongelmia ajoneuvojen tietoturvallisuuteen, sillä kvanttilaskennalla on mahdollista murtaa ajoneuvojen nykyisin käyttämät salausprotokollat. Kvanttilaskentaa ei toistaiseksi ole tarjolla kaupallisilla markkinoilla, mutta kiihtyvän kehityksen takia on vain ajan kysymys milloin kvanttilaskentaa voidaan myydä kuluttajille ja alkaa hyödyntäämään myös laittomiin aikeisiin. Tutkielmassa käsitellään millaista vaaraa kvanttilaskennan yleistymisestä syntyy erilaisille ajoneuvoille ja mikä olisi toimiva keino paikata kvanttilaskennan tuomia tietoturva-aukkoja käyttäen kvanttiturvallisia protokollia. Tutkielmassa pohditaan myös kuinka ajoneuvovalmistajat ovat varautuneet kvanttilaskennan tuomiin uhkiin ja kuinka valmiita ne ovat siirtymään käyttämään kvanttiturvallisia menetelmiä. Tutkielma on toteutettu kirjallisuuskatsauksena. Tulokset näyttävät, että kvanttilaskennan yleistyminen vaarantaa koko tietyn ikäisen ajoneuvokannan. Kävi myös ilmi, että hilarakenteiseen kryptografiaan pohjautuvat ratkaisut ovat suosituimpia kehitteillä olevia salausprotokollia ja ajoneuvoteollisuus on valmis siirtymään kvanttiturvallisiin protokolliin standradoinnin valmistuessa.
Tässä tutkielmassa käydään läpi, miten interferenssikuvio muodostuu kaksoisrakokokeessa ja miten kuvio muuttuu, kun määritetään hiukkasen kulkema reitti. Tutkielmassa esitellään kaksoisrakokokeen koeasetelma sekä johdetaan kvanttimekaniikan avulla interferenssikuviota vastaavan intensiteettijakauman yhtälö, mikä matemaattisesti selittää interferenssikuvion syntymisen. Interferenssikuvion muuttumiselle esitetään kaksi tapaa, jotka eivät kuitenkaan ole toisiaan poissulkevia. Kun hiukkaset kulkevat kohti kahta rakoa, niiden tilaa kuvaavat aaltofunktiot diffraktoituvat raoissa kahteen osaan. Osat interferoivat toistensa kanssa vahvistaen ja heikentäen toisiaan, mikä lopulta näkyy interferenssikuviona varjostimella. Mitattaessa ilmaisimella, kummasta raosta hiukkanen kulkee, ilmaisin ja hiukkanen lomittuvat, mikä estää hiukkasen aaltofunktioiden välisen interferenssin. Tällöin interferenssikuviota ei synny, vaan varjostimella näkyy kaksi juovaa rakojen kohdilla. Toisen tulkinnan mukaan lomittumisessa osa hiukkasista saa liikemääräpotkun, jolloin niiden hiukkasten interferenssikuvio on eri vaiheessa toisten hiukkasten kuvioon verrattuna. Tällöin kuviot kumoavat toisensa ja varjostimella nähdään kaksi juovaa.
Tämän kandidaattitutkielman tavoitteena on antaa yleiskatsaus kvanttisalauksesta. Tutkielmasta tekee merkittävän suomenkielisen kirjallisuuden puute kvanttimekaniikan sovelluksista, kvanttilaskennasta ja etenkin kvanttisalauksesta. Kvanttilaskennan yleistyessä klassiset salausmenetelmät joutuvat kohtaamaan uudenlaisia hyökkäysriskejä. Tutkielma osoittaa lukijalle miksi klassiset kryptografiset menetelmät eivät ole tehokkaita kvanttilaskennallisia menetelmiä vastaan. Tutkielmassa korostuu kvanttisalauksen tärkeys yhteiskunnassa tulevaisuuden tietoturvan takaamiseksi. Tämä kirjallisuuskatsaus tutkii kvanttisalausta yleisestä näkökulmasta ja pyrkii antamaan lukijalle kattavan kuvauksen kvanttisalauksesta syventymättä aiheen matemaattiseen perustaan. Kvanttisalaus on kansainvälisesti laajasti tutkittu aihe, josta on olemassa runsas englanninkielinen kirjallisuus. Tässä tutkielmassa kootaan yhteen kvanttisalausta käsittelevää kirjallisuutta ja vertaillaan kahta eri turvaprotokollaa. Tutkielmassa osoitetaan, kuinka kvanttimekaniikka on kytköksissä kvanttilaskentaan ja kvanttisalaukseen. Kvanttisalaukseen syvennytään tarkastelemalla kvanttikanavien toteutusta kvanttisalausjärjestelmässä. Turvaprotokollia vertaillaan keskenään ja lopuksi tarkastellaan BB84-turvaprotokollan implementointia kvanttisalausjärjestelmässä. Kvanttisalauksen toteutusta tutkimalla tämä kirjallisuuskatsaus antaa selkeän kuvan kvantti-salausjärjestelmistä ja niiden käytännön sovelluksista. Kvanttilaskentaa on tutkittu pitkään ja useat läpimurrot kuten Shorin ja Groverin algoritmit julkaistiin jo 1900-luvun loppupuolella. Kirjallisuuskatsauksessa tutkitaan tämän vuoksi niin vanhoja kuin uusiakin julkaisuja. Tutkielman tulokset osoittavat kvanttisalauksen olevan lupaava teknologia, joka voi mullistaa kryptografian alan tulevaisuudessa. Kvanttitietokoneiden mahdollinen vaikutus nykyiseen kryptografiseen infrastruktuuriin on vakava huolenaihe, joka ansaitsee laajaa huomiota. Viimeaikaiset hyökkäykset kuten psykoterapiakeskus Vastaamoon ja Helsingin kaupunkiin kohdistuneet tietomurrot osoittavat, että vihamielisistä tekijöistä ei ole puutetta. Tutkielman tulokset ilmaisevat tarvetta luoda selkeä suunnitelma nykyisen yhteiskunnan tietoturvajärjestelmien vahvistamiseksi kvanttilaskennan mahdollistamia hyökkäyksiä vastaan
Tässä tutkielmassa tarkastellaan joidenkin kvanttimekaniikan perusjoukkojen, tila-, efekti- ja etenkin suurejoukon, konveksia rakennetta ja ääripisteitä. Myös operaatioja instrumenttijoukkojen rakennetta käsitellään lyhyesti. Näiden konveksien rakenteiden ja niiden ääripisteiden fysikaalista merkitystä on pyritty valottamaan. Erityisesti tutkielma keskittyy kovarianttien suureiden problematiikkaan ja kovarianssirakenteiden ääripisteiden karakterisointiin. Keskeiset tulokset liittyvät lokaalisti kompaktien Abelin ryhmien määräämien kovarianssirakenteiden analyysiin ja ääripisteisiin. Tästä käsitellään esimerkkeinä kovariantteja paikka- ja vaihesuureita ja paikkaerosuureita. Tila- ja efektijoukkojen ääripisteet on tunnettu jo pitkään, mutta äärisuureiden problematiikka on yleisellä tasolla ollut vielä viime aikoihin asti hämärän peitossa. Äärioperaatioiden ja -instrumenttien tyhjentävää karakterisointia ei vielä ole, mutta tutkielmassa esitellään joitakin erityistuloksia tästäkin aiheesta.