Diese Doktorarbeit befasst sich mit den Grundlagen von Funktionaltheorien und der Geometrie reduzierter Dichtematrizen mit einem Schwerpunkt auf der Ein-Teilchen-Ebene.Funktionaltheorien, wie die Dichtefunktionaltheorie, spielen eine zentrale Rolle in der modernen Elektronenstrukturtheorie, doch bestehende Dichtefunktionalnäherungen erfassen starke Elektronenkorrelationen nur unzureichend.Eine vielversprechende Alternative zur Beschreibung des Grundzustands stark korrelierter Systeme ist die reduzierte Dichtematrix-Funktionaltheorie (RDMFT), die die vollständige Ein-Teilchen reduzierte Dichtematrix (1RDM) als natürliche Variable verwendet.Um die theoretischen Grundlagen von Funktionaltheorien weiterzuentwickeln, präzisieren wir zentrale Konzepte und entwickeln ein umfassendes Rahmenwerk zur Berücksichtigung von Symmetrien.Aufgrund der Relevanz des Elektronenspins zur Beschreibung von Vielteilchensystemen wenden wir diese Konzepte speziell auf Spin-Symmetrien in der RDMFT an.Dabei zeigen wir, wie sich die natürliche Variable systematisch von der vollständigen 1RDM auf symmetrieangepasste Größen wie die Orbitale-1RDM und die Spin-1RDM reduzieren lässt.Durch die Kombination von Methoden der konvexen Analysis, diskreten Geometrie und Darstellungstheorie lösen wir das symmetrieangepasste Ein-Teilchen 𝑁 -Repräsentierbarkeitsproblem für verschiedene Spin-Quantenzahlen und Wahlmöglichkeiten der natürlichen Variablen.Dies führt letztendlich zur Herleitung von symmetrieadaptierten Paulischen Ausschlussprinzipien, die linear von der Teilchenzahl 𝑁 und dem Gesamtspin 𝑆 abhängen.Darüber hinaus entwickeln wir ein Instrumentarium zur Untersuchung und Anwendung spin-adaptierter verallgemeinerter Paulischer Ausschlussprinzipien (GPCs) in Quantensystemen mit geringer Teilchenzahl.Schließlich diskutieren wir die physikalische Bedeutung des sogenannten (Quasi-)Pinnings, das Sitationen beschreibt, in denen die GPCs (annähernd) saturiert sind.Des Weiteren führen wir spin-adaptierte Kumulanten als in der Systemgröße extensive Komponenten spin-adaptierter reduzierter Dichtematrizen für Anwendungen in Theorien reduzierter Dichtematrizen ein.Anschließend entwickeln wir eine Ensemble-RDMFT für angeregte Zustände, die eine gezielte Beschreibung niederenergetischer angeregter Zustände innerhalb einzelner Symmetriesektoren ermöglicht.Zur Charakterisierung des Definitionsbereichs des zugehörigen universellen Funktionals definieren und lösen wir das zugrunde liegende spin-adaptierte Ein-Teilchen 𝑁 -Repräsentierbarkeitsproblem, wobei die potenzielle Gemischtheit des 𝑁 -Fermionen-Quantenzustands berücksichtigt wird.Zudem diskutieren wir Anpassungen für den Fall, dass zusätzliche lokale Informationen über das Ensemble der 1RDMs verfügbar sind.Angesichts der weitreichenden Bedeutung der Hartree-Fock-Theorie in der Vielteilchenphysik und Quantenchemie erweitern wir schließlich Liebs wegweisendes Variationsprinzip auf angeregte Zustände und etablieren damit eine Ensemble-Mean-Field-Methode für deren Behandlung.
Diese Doktorarbeit befasst sich mit den Grundlagen von Funktionaltheorien und der Geometrie reduzierter Dichtematrizen mit einem Schwerpunkt auf der Ein-Teilchen-Ebene.Funktionaltheorien, wie die Dichtefunktionaltheorie, spielen eine zentrale Rolle in der modernen Elektronenstrukturtheorie, doch bestehende Dichtefunktionalnäherungen erfassen starke Elektronenkorrelationen nur unzureichend.Eine vielversprechende Alternative zur Beschreibung des Grundzustands stark korrelierter Systeme ist die reduzierte Dichtematrix-Funktionaltheorie (RDMFT), die die vollständige Ein-Teilchen reduzierte Dichtematrix (1RDM) als natürliche Variable verwendet.Um die theoretischen Grundlagen von Funktionaltheorien weiterzuentwickeln, präzisieren wir zentrale Konzepte und entwickeln ein umfassendes Rahmenwerk zur Berücksichtigung von Symmetrien.Aufgrund der Relevanz des Elektronenspins zur Beschreibung von Vielteilchensystemen wenden wir diese Konzepte speziell auf Spin-Symmetrien in der RDMFT an.Dabei zeigen wir, wie sich die natürliche Variable systematisch von der vollständigen 1RDM auf symmetrieangepasste Größen wie die Orbitale-1RDM und die Spin-1RDM reduzieren lässt.Durch die Kombination von Methoden der konvexen Analysis, diskreten Geometrie und Darstellungstheorie lösen wir das symmetrieangepasste Ein-Teilchen 𝑁 -Repräsentierbarkeitsproblem für verschiedene Spin-Quantenzahlen und Wahlmöglichkeiten der natürlichen Variablen.Dies führt letztendlich zur Herleitung von symmetrieadaptierten Paulischen Ausschlussprinzipien, die linear von der Teilchenzahl 𝑁 und dem Gesamtspin 𝑆 abhängen.Darüber hinaus entwickeln wir ein Instrumentarium zur Untersuchung und Anwendung spin-adaptierter verallgemeinerter Paulischer Ausschlussprinzipien (GPCs) in Quantensystemen mit geringer Teilchenzahl.Schließlich diskutieren wir die physikalische Bedeutung des sogenannten (Quasi-)Pinnings, das Sitationen beschreibt, in denen die GPCs (annähernd) saturiert sind.Des Weiteren führen wir spin-adaptierte Kumulanten als in der Systemgröße extensive Komponenten spin-adaptierter reduzierter Dichtematrizen für Anwendungen in Theorien reduzierter Dichtematrizen ein.Anschließend entwickeln wir eine Ensemble-RDMFT für angeregte Zustände, die eine gezielte Beschreibung niederenergetischer angeregter Zustände innerhalb einzelner Symmetriesektoren ermöglicht.Zur Charakterisierung des Definitionsbereichs des zugehörigen universellen Funktionals definieren und lösen wir das zugrunde liegende spin-adaptierte Ein-Teilchen 𝑁 -Repräsentierbarkeitsproblem, wobei die potenzielle Gemischtheit des 𝑁 -Fermionen-Quantenzustands berücksichtigt wird.Zudem diskutieren wir Anpassungen für den Fall, dass zusätzliche lokale Informationen über das Ensemble der 1RDMs verfügbar sind.Angesichts der weitreichenden Bedeutung der Hartree-Fock-Theorie in der Vielteilchenphysik und Quantenchemie erweitern wir schließlich Liebs wegweisendes Variationsprinzip auf angeregte Zustände und etablieren damit eine Ensemble-Mean-Field-Methode für deren Behandlung.
Die Bohrs che Theorie, die uns eine Vorstellung vom Bau des Atoms gegeben hat, und die mit ihr aufs engste verknüpfte Quantenlehre, die dieser Theorie zugrunde liegt, sind nicht nur in fast alle Gebiete der Physik eingedrungen, sondern haben auch in der Chemie eine gewaltige, beständig wachsende Bedeutung erlangt. Diese Wissenschaft befaßt sich vor allem mit Atomen und Molekülen, und daher ist es von vornherein klar, daß eine Lehre, die so viel Neues über diese Atome gebracht hat, auch für die Chemie als eine Art Offenbarung erscheinen, ihr einen Zufluß von neuen Ideen geben, neue weite Horizonte eröffnen und zur Entwicklung sowie Vertiefung der theoretischen Grundlagen beitragen mußte, mit denen diese Wissenschaft das von ihr erlangte, fast unübersehbare Versuchsmaterial zusammengefaßt und synthesiert. Es ist ohne weiteres klar, daß wir der Anwendung der neuen Lehre auf die Chemie nur wenig Platz einräumen können und nur bei den Fragen verweilen werden, die für die Physik von Interesse sind. Ohne auf Einzelheiten einzugehen, und sich in jedem speziellen Falle auf ein oder zwei Beispiele beschränkend, werden wir unser Hauptaugenmerk auf die leitenden Grundgedanken und Tatsachen richten, durch die die Anwendungen der neuen, auf dem Boden der Physik entstandenen und zur Blüte gelangten Ideen auf die Chemie charakterisiert werden.
Der Drehimpuls hat in der Physik die gleiche fundamentale Bedeutung wie der lineare Impuls und die Energie. Ebenso wie jene Größen ist er bereits in der klassischen Mechanik durch einen Erhaltungssatz ausgezeichnet, und zwar dann, wenn das entsprechende physikalische Problem rotationssymmetrisch ist. Für den atomaren Bereich gilt das gleiche. Jedoch müssen wir den Drehimpuls mit quantenmechanischen Methoden behandeln. Wir unterscheiden hierbei zwischen dem Bahndrehimpuls, der die Bahnbewegung eines Teilchens um eine feste Achse beschreibt, und einem inneren Drehimpuls, den viele Teilchen besitzen und den man Spin nennt. Der Spin eines Teilchens läßt sich von der Vorstellung her als eine Art Eigenrotation des Teilchens deuten. Es ist jedoch nicht möglich, ihn mit klassischen Methoden zu beschreiben, wie etwa die Eigenrotation der Erde. Im Rahmen der nichtrelativistischen Quantenmechanik muß er zusätzlich eingeführt werden, wie in den nachfolgenden Abschnitten gezeigt wird. Erst in der relativistischen Quantenmechanik folgt er zwanglos aus deren Formalismus. Wir werden in Kap.5 sehen, daß der Spin des Elektrons für die Erklärung einer ganzen Reihe von Erscheinungen beim Wasserstoffatom eine entscheidende Roll spielt. Dasselbe gilt für die Mehrelektronenatome in Kap. 6.
Im ersten Abschnitt dieser Arbeit versuchen wir, die algebraische Struktur, welche im Rahmen der dissipativen Quantenmechanik unter Verwendung des Influenzfunktionals auftritt, herauszuarbeiten. Dies erlaubt uns einen tieferen Einblick in ansonsten unübersichtliche und langwierige Rechenschritte, speziell im Realzeitformalismus, und ermöglicht uns eine leichtere Identifikation der dabei auftretenden Terme und deren Ursprung aus dem zugrunde liegenden Modell als auch deren physikalische Bedeutung. Die verwendeten Methoden haben wir soweit als möglich in konsistenter und anschaulicher Form eingeführt, so dass diese Arbeit ohne spezielle Kenntnis des Gebietes der dissipativen Quantenmechanik gelesen werden kann. Besonderen Wert haben wir auf den Übergang von der quantenmechanischen auf die klassische Beschreibung von dissipativen Vorgängen gelegt, da ein Verständnis dieses Übergangs eine tiefere Einsicht in den Messprozess liefert. In der selben Weise ist damit auch der Übergang von der mikroskopischen - durch die Quantenmechanik beschriebenen - Welt in die makroskopische Welt verbunden, welche den Gesetzen der klassischen Mechanik folgt. Zusätzlich zeigen wir, wie die Resultate der Influenzfunktionalmethode stochastisch interpretiert werden können, was einen leichteren Vergleich mit der bekannten quantenmechanischen Zeitentwicklung durch die Schrödingergleichung erlaubt. Im weiteren betrachten wir die sogenannte Tight-Binding Näherung von Modellen, bei welchen sich der Hamiltonraum für die Systembeschreibung im wesentlichen durch diskrete Eigenzustände des Ortsoperators ausdrücken lässt und Übergänge zwischen diesen Zuständen unterdrückt sind, wodurch eine Propagation entweder durch ein Tunneln oder durch thermische Anregung erfolgt. Im Rahmen der dissipativen Quantenmechanik bringt diese Methode eine immense Vereinfachung in der effektiven Beschreibung des Systems, da Anstelle einer ganzen Historie von Systempfaden nur noch die Übergangszeiten mit den entsprechenden Übergängen berücksichtigt werden müssen. Im Bild des Pfadintegralformalismus bedeutet dies, dass Anstelle des Integrals über alle Systempfade ein Produkt von Integrationen über alle möglichen Sprungzeiten mit Sprunggewichten entsprechend des Übergangs rückt, welches analytisch als auch numerisch wesentlich einfacher handzuhaben ist. Innerhalb dieser Näherung wurden dadurch in der Vergangenheit viele beeindruckende analytische Resultate abgeleitet. Darüber hinaus beschäftigen wir uns mit der Abbildung und dem Zusammenhang von dissipativen Modellen mit Feldmodellen aus der Quantenfeldtheorie und im besonderen der Feldtheorie statistischer Systeme. Der Reiz dieser Abbildungen liegt besonders darin, dass in den letztgenannten Gebieten schon seit Jahrzehnten sehr intensiv die grundlegenden Modelle bearbeitet wurden und vor allem auch nach neuen Methoden gesucht und Forschung dafür betrieben wurde und noch immer Gegenstand der aktuellen Forschung darstellt. Als Beispiel sei in zwei Dimensionen die Invarianz unter konformen Abbildungen genannt, welche immer dann Anwendung findet, wenn Systeme nur lokal wechselwirken und eine Invarianz unter lokaler Umskalierung der Felder zeigen. Bei statistischen Systemen mit lokaler Wechselwirkung zeigt sich dieses Verhalten immer beim Erreichen eines kritischen Punktes, da hier per Definition keine Längenskala ausgezeichnet ist. In zwei Dimensionen führt dies zu einer immensen Einschränkung der möglichen Form von Korrelationsfunktionen und hat zu dem eigenständigen Gebiet der Konformen Feldtheorie geführt, da konforme Abbildungen per Definition die lokale Struktur erhalten (Winkeltreue) und lokal nur zu einer Unskalierung führen. Während in D>2 Dimensionen nur endlich viele Generatoren für konforme Abbildungen existieren, ist deren Anzahl in 2 Dimensionen unendlich. Dies resultiert in einer unendlichen Anzahl von lokalen Erhaltungsgrößen mit den entsprechenden Folgen. Während solche Techniken sehr schnell unanschaulich werden, erlaubt die Abbildung auf dissipative Modelle hier oftmals eine sehr anschauliche Interpretation.
Charakteristische quantenmechanische Phänomene wie die Verschränkung werden oft als starker Bruch mit der klassischen Physik angesehen. Viele dieser scheinbaren Besonderheiten kommen jedoch nicht durch die zugrunde liegende physikalische Theorie zustande, sondern durch die Art, wie sie mathematisch beschrieben werden. In dieser Arbeit benutzen wir den Wigner–Weyl Formalismus, um sowohl die klassische Physik in der Sprache der Quantenphysik auszudrücken, als auch der Quantenmechanik eine klassische Beschreibung zuzuschreiben. Das erlaubt es uns, Artefakte, die rein aus der gewählten Beschreibung entspringen, von den zugrundeliegenden robusten Unterschieden zu trennen. Nach einer Darstellung der Dualität zwischen Phasenraum– und Hilbertraum–Beschreibung sowie einer Einführung in gaußsche kontinuierliche Variablen Systeme untersuchen wir, wie klassische Korrelationen im Phasenraum bei der Abbildung auf Operatoren scheinbare „Verschränkung“ erzeugen können. Daraus ergibt sich dann eine Hierarchie operativer Grenzen: Die Positivität des zugeordneten Operators trennt physikalisch zulässige Quantenzustände von nicht physikalischen, rein repräsentationsbedingten Artefakten. Innerhalb dieser positiven Zustände markiert die Negativität der Wigner–Funktion eine zweite Grenze zwischen klassisch reproduzierbaren und genuin nichtklassischen Zuständen. In diesem Kontext definieren wir repräsentative Verschränkung (Nichtseparierbarkeit trotz fehlender Positivität), hybride Verschränkung (echte Quantenkorrelationen, die jedoch klassisch imitiert werden können) und genuine Verschränkung jenseits dieses Bereichs. Ein zentrales Ergebnis ist, dass kovarianzbasierte (Verschränkungs–) Zeugen außerhalb des gaußschen Regimes ohne zusätzliche Positivitätsprüfungen irreführend sein können. Abschließend werden wir dieses System auf zeitliche Entwicklung in Protokollen zur „gravitationsvermittelten Verschränkung“ anwenden und dabei klassische und quantenmechanische Dynamik vergleichen. Dabei wird sichtbar gemacht, ab welcher Ordnung der Potenzialentwicklung relevante Unterschiede auftreten, und wie das Auftreten von Negativität in der klassischen Hilbertraum–Evolution als dynamischer Ursprung repräsentativer Verschränkung interpretiert werden kann.
Das Ziel dieser Doktorarbeit ist die Untersuchung der unbestimmten Kausalstrukturen, die mit der Quantenmechanik kompatibel sind, mithilfe eines auf Quanteninformation basierendem Ansatzes. Es ist zu erwarten, dass in Bereichen wo Quantenmechanik und die allgemeine Relativitatstheorie relevant sind, die kausale Beziehung zwischen Ereignisse unbestimmt wird. Ein Beispiel fur solch unbestimmte Kausalstrukturen ist der sogenannte gravitative Quantenswitch, wo die kausale Abfolge zweier Ereignisse durch die raumliche superposition eines massiven Gegenstandes kontrolliert wird. Der Prozessmatrizenformalismus ist ein allgemeines Modell zur Beschreibung von Situationen, in denen die kausale Ordnung zwischen Quantenereignisse unbestimmt ist. Dieser Formalismus enthalt Prozesse, die bisher keine physikalische Interpretation haben und die, wenn sie existierten, sogenannte kausale Ungleichungen verletzen konnten.
Ein Aspekt dieser Arbeit ist die Untersuchung der informationstheorischen Eigenschaften von Prozessen mit unbestimmter Kausalitat, vor allem der Quantenkontrolle von kausaler Ordnung — wie es beim Quantenswitch der Fall ist. Wir zeigen wie, im Kontex von verteilter Berechnung, der Quantenswitch Vorteile im Vergleich zu einfachgerichteter Quantenkommunikation mit bestimmter kausaler Ordnung erbringen kann.
Genauer gesagt, wir definieren eine dreigeteilte Kommunikationsaufgabe fur welche die Quantenswitch exponentielle Reduktion an benotigten Qubits aufweist. Auserdem untersuchen wir Behauptungen, dass der Quantenswitch verbesserte Kommunikation durch verrauschten Kanalen ermoglicht. Wir stellen fest, dass diese Verbesserung jedoch nicht auf die unbestimmte kausale Ordnung zuruckzufuhren ist, sondern auf die Fahigkeit die Anwendung der Kanale koharent zu kontrollieren.
Der zweite Teil dieser Arbeit befasst sich mit der Frage nach der Realisierbarkeit von Prozessen mit unbestimmter Kausalitat. Angetrieben durch den Mangel an physikalischer Interpretation fur viele interessante Prozesse, entwickeln wir das Konzept des kausalen Bezugsystems. Dadurch konnen wir eine bestimmte Klasse von Prozessen — reine Prozesse — vom Standpunk eines der beteiligten Beobachter beschreiben. Dabei stellt sich heraus, dass fur einen in Ereignis A lokalisierten Beobachter, das Ereignis eines anderen Beobachters B generell zeitlich delokalisiert erscheint. Wir untersuchen die kausalen Bezugsysteme interessanter Prozessen mit unbestimmten Kausalstruktur, und machen dadurch einige Fortschritte auf dem Wege zum Verstandnis vom Unterschied zwischen solchen Prozessen und dem besser verstandenen Quantenswitch. Ein letzter Aspekt, den wir in dieser Arbeit betrachten, ist wie man aus bekannten Prozessen neuen machen kann — Kompositionsregeln. Wir beweisen, dass es keine parallele Kompositionsregel fur allgemeine Prozessmatrizen gibt, die einige vernunftig anmutende Axiome erfullt.
Die Quantenmechanik ist eine der wichtigsten Theorien der modernen Physik.Mit ihr lassen sich nicht nur grundlegende Phänomene wie z.B. das Emissionsspektrum von Atomen oder die Stabilität von Materie erklären, sondern sie steckt auch in vielen technischen Anwendungen vom MP3-Player bis zum Tunnelmikroskop, und in Zukunft werden wir vermutlich Technologien wie Quantenkryptographie oder Quantencomputer mit großer Selbstverständlichkeit einsetzen.Die Kenntnis der Quantenmechanik ist daher nicht nur ein Schlüssel für das Verständnis unserer Welt, sondern unabdingbar für die Entwicklung moderner Technologien.Folgerichtig wird die Quantenmechanik heute oft schon in der Schule gelehrt; in jedem Fall jedoch an Universitäten, wo sie in den meisten Naturwissenschaften und auch in vielen Ingenieurwissenschaften zum Curriculum gehört.Eine große Hürde bei der Vermittlung und damit auch auf dem Weg zum Verständnis der Quantenmechanik ist nun nicht, wie man etwa vermuten könnte, die Mathematik, auch wenn diese an der einen oder anderen Stelle sicherlich einige Herausforderungen beinhaltet, sondern die Sprache.Der Grund dafür liegt darin, dass Sprache kein gegebenes Konstrukt ist, welches unabhängig vom Menschen und dessen Wissen über die Welt existiert, sondern sich vielmehr im Laufe der Menschheitsgeschichte durch die Auseinandersetzung des Menschen mit seiner Umwelt entwickelt hat.Sprache ist damit auch immer ein Abbild der Welt, so wie sie der Mensch wahrnimmt.Und dass diese Wahrnehmung gelegentlich trügt, wissen wir spätestens seit Einstein, der uns gezeigt hat, dass unsere Vorstellung von Raum und Zeit nicht der physikalischen Wirklichkeit entspricht.Die Quantenmechanik führt uns nun, mehr noch als die Relativitätstheorie, weg von den uns vertrauten Vorstellungen von der physikalischen Wirklichkeit.Damit verliert aber auch die Sprache ihre Legitimation als ein Werkzeug zur Beschreibung der Quantenmechanik.Streng genommen verbleibt als einzig legitimer Zugang zur Quantenmechanik daher die Mathematik.Mit ihr lassen sich, aufbauend auf einer Handvoll Axiome, alle Gesetze der Quantenmechanik ableiten und damit alle physikalischen Beobachtungen korrekt und widerspruchsfrei beschreiben.Allerdings sind diese Axiome, im Gegensatz zu z.B. denen der Newton'schen Mechanik, alles andere als unmittelbar einsichtig.Um daher auch solchen Leserinnen und Lesern den Zugang zur Quantenmechanik zu ermöglichen, welche die Quantenmechanik nicht als Teildisziplin der Mathematik oder der theoretischen Physik betreiben wollen, werden wir in diesem Buch trotz aller Gefahren den Weg der Sprache und der Bilder beschreiten.Dabei gehen wir von wenigen einfachen Schlüsselexperimenten aus, mit denen sich die Grundgleichungen der Quantenmechanik anschaulich begründen lassen.Im Gegensatz zu vielen anderen Lehrbüchern greifen wir jedoch nicht auf das berühmte Doppelspaltexperiment mit Elektronen oder das Experiment von Stern-Gerlach zurück, sondern wir arbeiten in den ersten Kapiteln ausschließlich mit einem Interferometer und Polarisationsfiltern