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Schrödinger-Fick analogy: quantum theoretical framework for the diffusion coefficient and potential barrier Uo

Pérez, Raúl, Rodolfo Abel Dematte, Tatiana Duran, Arles Víctor Gil Rebaza, Josefina Huespe

Published Jan 1, 2025• 0 citations
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Abstract

La determinación precisa de los coeficientes de difusión, ya sean aparentes o relativos, exige la convergencia de mediciones experimentales, modelos teóricos sólidos y simulaciones numéricas avan- zadas. La estrecha analogía formal entre la ecuación de Schrödinger en estado estacionario y la ecuación de Fick permite aprovechar el rico andamiaje matemático de la Mecánica Cuántica para describir pro- cesos de transporte clásico. En este estudio teórico, partimos de esa semejanza para derivar expresiones analíticas del coeficiente de difusión (D) y la barrera de energía potencial U0 que debe superarse para que una partícula penetre en el medio difusor. Mediante el tratamiento cuántico de la función de onda estacionaria- análogo al perfil de concentración en difusión- se obtiene una relación directa entre las soluciones de Schrödinger y las soluciones de la ecuación de difusión unidimensional de Fick, estable- ciendo así un puente riguroso entre ambos formalismos. Como complemento conceptual, el modelo de random walk en una red bidimensional ilustra el desplazamiento aleatorio de partículas, reforzando la pertinencia del formalismo exhibido.

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Las barreras y pozos de potencial cuánticos tienen múltiples aplicaciones para representar sistemas a escalas atómicas como semiconductores, materiales ópticos o enlaces químicos. Si bien estos sistemas se pueden resolver con la ecuación de Schrödinger de manera exacta o con aproximaciones numéricas y matemáticas, sus metodologías resultan ser complejas, poco intuitivas y muy particulares para cada caso que resulta difícil generalizarlo a otras formas de potencial. Para ello, se empleó el formalismo de espacio de fases para resolver la TISE en sistemas de pozos y barreras rectangulares 1D. Se encontró que la función de onda Ψ se puede obtener mediante transformaciones lineales de figuras geométricas (elipses o rectas) que dan a los estados cuánticos. Para el caso de la barrer, se obtuvo que la transmitancia se puede representar como una razón de integrales de superficie de las elipses. Para el caso del pozo, se encontró que los estados ligados están dados por una ecuación trascendental, cuya derivada da como resultado una ecuación diferencial. Se concluyó que los casos de barreras y pozos de potencial se pueden analizar como un mismo sistema y que los estados ligados y los estados resonantes corresponden al mismo estado conectado.

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