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Mecánica Computacional

Analogía Schrödinger–Fick: Marco Teórico Cuántico para el Coeficiente de Difusión D y la Barrera de Energía de Potencial U0

Raúl Pérez, Rodolfo Abel Dematte, Tatiana Lisbeth Morán Durán, Arles Victor Gil Rebaza, Josefina Huespe

Published Dec 3, 2025• 0 citations
Publisher

Abstract

La determinación precisa de los coeficientes de difusión, ya sean aparentes o relativos, exige la convergencia de mediciones experimentales, modelos teóricos sólidos y simulaciones numéricas avanzadas. La estrecha analogía formal entre la ecuación de Schrödinger en estado estacionario y la ecuación de Fick permite aprovechar el rico andamiaje matemático de la Mecánica Cuántica para describir procesos de transporte clásico. En este estudio teórico, partimos de esa semejanza para derivar expresiones analíticas del coeficiente de difusión (D) y la barra de energía potencial U0 que debe superarse para que una partícula penetre en el medio difusor. Mediante el tratamiento cuántico de la función de onda estacionaria- análogo al perfil de concentración en difusión- se obtiene una relación directa entre las soluciones de Schrödinger y las soluciones de la ecuación de difusión unidimensional de Fick, estableciendo así un puente riguroso entre ambos formalismos. Como complemento conceptual, el modelo de random walk en una red bidimensional ilustra el desplazamiento aleatorio de partículas, reforzando la pertinencia del formalismo exhibido.

DOI
10.70567/mc.v42.ocsid8311

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El objetivo de la tesis es el estudio de fenomenos disipativos en el ambito de la Mecanica Cuantica mediante modelos basados en Ecuaciones en Derivadas Parciales. Nos centramos en la formulacion de onda adaptada a este tipo de mecanismos, estudiando que terminos no lineales pueden tener cabida en una ecuacion de Schrodinger disipativa y analizando el buen planteamiento del problema de Cauchy asociado a algunas ecuaciones de Schrodinger que contienen dichos terminos. Prestamos especial atencion a los efectos de friccion y difusion, estudiando generalizaciones cuanticas de la ecuacion de Langevin para el movimiento browniano clasico. Este analisis esta estrechamente relacionado con el problema de la existencia de un argumento suficientemente regular para una funcion de onda dada, al que prestamos atencion especifica. El modelado de este tipo de procesos es un campo de gran interes en Fisica y en Ingenieria. A escalas en las que los efectos cuanticos son esenciales, el analisis de fenomenos disipativos constituye una cuestion de interes creciente por su gran aplicabilidad en multiples ramas como dinamica browniana, dispersion de iones pesados, optica cuantica, estudio del efecto tunel cuantico o diseno de dispositivos semiconductores.

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Phase-space propagation of the time independent schrödinger equation for one-dimensional potentials

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Las barreras y pozos de potencial cuánticos tienen múltiples aplicaciones para representar sistemas a escalas atómicas como semiconductores, materiales ópticos o enlaces químicos. Si bien estos sistemas se pueden resolver con la ecuación de Schrödinger de manera exacta o con aproximaciones numéricas y matemáticas, sus metodologías resultan ser complejas, poco intuitivas y muy particulares para cada caso que resulta difícil generalizarlo a otras formas de potencial. Para ello, se empleó el formalismo de espacio de fases para resolver la TISE en sistemas de pozos y barreras rectangulares 1D. Se encontró que la función de onda Ψ se puede obtener mediante transformaciones lineales de figuras geométricas (elipses o rectas) que dan a los estados cuánticos. Para el caso de la barrer, se obtuvo que la transmitancia se puede representar como una razón de integrales de superficie de las elipses. Para el caso del pozo, se encontró que los estados ligados están dados por una ecuación trascendental, cuya derivada da como resultado una ecuación diferencial. Se concluyó que los casos de barreras y pozos de potencial se pueden analizar como un mismo sistema y que los estados ligados y los estados resonantes corresponden al mismo estado conectado.

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Elementos matemáticos de la mecánica cuántica

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Resumen.En estas notas se exponen con detalle y de manera autocontenida las herramientas básicas de la teoría de los espacios de Hilbert complejos de dimensión infinita, que son necesarias para un primer estudio, matemáticamente riguroso, de la mecánica cuántica.En la última parte incluimos una introducción axiomática a la mecánica cuántica y una breve exposición del modelo del oscilador armónico y de la teoría de estados cuánticos Gaussianos. IntroducciónLa mecánica cuántica es la rama de la física que estudia los fenómenos físicos que ocurren en escalas de longitudes muy pequeñas.El calificativo "cuántico" surge de, en contraste con la mecánica clásica, considerar algunas cantidades que toman solamente valores discretos i.e., en "paquetes" o quantum-quanta en latín.Aún cuando hay muchas nociones de la mecánica cuántica que aún suscitan controversia, esta teoría se aplica exitosamente para describir el comportamiento de sistema físicos y sus predicciones son consistentes con los experimentos.Los sistemas físicos que estudia la mecánica cuántica, exhiben propiedades ondulatorias que se pueden describir mediante una ecuación de onda, por ejemplo, la bien conocida "ecuación de Schrödinger", que describe la evolución temporal de una partícula subatómica con masa, en el contexto no relativista.En estas notas trabajamos con el formalismo de matrices de densidad, que permite describir estados que son mezclas de estados puros.En consecuencia, este enfoque resulta ser una herramienta poderosa para describir sistemas cuánticos más generales, por ejemplo, acoplamientos (ensambles) de muchos sistemas cuánticos idénticos.El material que se presenta en este trabajo está dividido en cuatro secciones compuestas de la siguiente manera: la sección 1 contiene una selección de resultados de índole geométrico y analítico de la teoría de espacios de Hilbert: ortogonalidad y descomposición ortogonal, convexidad, operadores lineales, norma de operadores y funcionales lineales.La sección 2 se concentra en la clase de los operadores compactos, particularmente en los operadores de la clase de traza y de manera especial, en los operadores de Hilbert-Schmidt.Es relevante mencionar que los estados cuánticos se representan mediante operadores positivos de traza uno.La sección 3 se dedica al estudio de operadores no acotados que pueden no estar densamente definidos en un espacio de Hilbert.Abordamos también el estudio de operadores cerrados y cerrables, el adjunto de un operador y una introducción a la teoría espectral de operadores.Una parte esencial de esta sección son los operadores simétricos e isométricos, los cuales exhiben similitudes en sus propiedades geométricas y espectrales.Cabe señalar que las observables físicas se representan por operadores simétricos típicamente no acotados.Por último, en la sección 4 se discuten brevemente postulados de la mecánica cuántica en el marco del formalismo de matrices de densidad, se revisa el modelo del oscilador armónico cuántico y se ofrece una introducción a los estados cuánticos Gaussianos.Al final de cada sección incluimos una selección de problemas que sirven para complementar estas notas.El lector interesado puede profundizar en el estudio de resultados aquí expuestos, desde los más básicos hasta los más avanzados, en la literatura clásica de operadores lineales, por ejemplo en [1,2,3,4,13,20].

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La determinación precisa de los coeficientes de difusión, ya sean aparentes o relativos, exige la convergencia de mediciones experimentales, modelos teóricos sólidos y simulaciones numéricas avan- zadas. La estrecha analogía formal entre la ecuación de Schrödinger en estado estacionario y la ecuación de Fick permite aprovechar el rico andamiaje matemático de la Mecánica Cuántica para describir pro- cesos de transporte clásico. En este estudio teórico, partimos de esa semejanza para derivar expresiones analíticas del coeficiente de difusión (D) y la barrera de energía potencial U0 que debe superarse para que una partícula penetre en el medio difusor. Mediante el tratamiento cuántico de la función de onda estacionaria- análogo al perfil de concentración en difusión- se obtiene una relación directa entre las soluciones de Schrödinger y las soluciones de la ecuación de difusión unidimensional de Fick, estable- ciendo así un puente riguroso entre ambos formalismos. Como complemento conceptual, el modelo de random walk en una red bidimensional ilustra el desplazamiento aleatorio de partículas, reforzando la pertinencia del formalismo exhibido.
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