L’étude non perturbative des théories quantiques des champs (QFT) relativistes constitue un défi majeur de la physique théorique. Les approches conventionnelles se heurtent souvent à la complexité numérique, au problème de signe ou aux limitations inhérentes à la discrétisation sur réseau. Cette thèse développe et applique un cadre variationnel fondé sur les Relativistic Continuous Matrix Product States (RCMPS) pour la simulation des QFT en 1 + 1 dimensions, opérant directement dans le continuum et à la limite thermodynamique.L’ansatz RCMPS est conçu pour satisfaire aux critères de Feynman pour une simulation viable des QFT. Il intègre le comportement à courte distance requis en incorporant la loi d’échelle universelle de l’intrication ultraviolette (divergente) des théories libres en 1 + 1 dimensions. Ce cadre garantit l'extensivité du système et permet une évaluation efficace des observables. Nous détaillons le formalisme numérique de l’ansatz : les valeurs moyennes des opérateurs locaux y sont ramenées à une hiérarchie d’équations différentielles ordinaires (EDO), tandis que les états fondamentaux sont déterminés par optimisation riemannienne sur la variété RCMPS.La pertinence de la méthode est d’abord éprouvée sur la théorie φ⁴ à une composante, pour laquelle nous obtenons des résultats de référence concernant l’énergie de l’état fondamental. Nous étendons ensuite le formalisme aux théories à plusieurs composantes en développant une nouvelle méthode de projection de gradient. Celleci permet de traiter les contraintes géométriques imposées par les conditions de régularité multiespèces, nous permettant ainsi d'explorer le diagramme de phases d’un modèle scalaire couplé présentant une symétrie D4.Ce cadre est ensuite généralisé aux systèmes fermioniques (fRCMPS). Nous formulons le modèle de Schwinger massif et identifions les conditions de régularité UV et IR cruciales pour assurer un problème variationnel bien posé. Enfin, nous démontrons la polyvalence des RCMPS en étendant le calcul à une classe d’observables non locales, ouvrant la voie à l’étude des défauts de ligne dans le modèle φ⁴. Ce travail établit le RCMPS comme un outil systématiquement améliorable et numériquement performant pour une vaste classe de QFT en 1 + 1 dimensions.
L’étude non perturbative des théories quantiques des champs (QFT) relativistes constitue un défi majeur de la physique théorique. Les approches conventionnelles se heurtent souvent à la complexité numérique, au problème de signe ou aux limitations inhérentes à la discrétisation sur réseau. Cette thèse développe et applique un cadre variationnel fondé sur les Relativistic Continuous Matrix Product States (RCMPS) pour la simulation des QFT en 1 + 1 dimensions, opérant directement dans le continuum et à la limite thermodynamique.L’ansatz RCMPS est conçu pour satisfaire aux critères de Feynman pour une simulation viable des QFT. Il intègre le comportement à courte distance requis en incorporant la loi d’échelle universelle de l’intrication ultraviolette (divergente) des théories libres en 1 + 1 dimensions. Ce cadre garantit l'extensivité du système et permet une évaluation efficace des observables. Nous détaillons le formalisme numérique de l’ansatz : les valeurs moyennes des opérateurs locaux y sont ramenées à une hiérarchie d’équations différentielles ordinaires (EDO), tandis que les états fondamentaux sont déterminés par optimisation riemannienne sur la variété RCMPS.La pertinence de la méthode est d’abord éprouvée sur la théorie φ⁴ à une composante, pour laquelle nous obtenons des résultats de référence concernant l’énergie de l’état fondamental. Nous étendons ensuite le formalisme aux théories à plusieurs composantes en développant une nouvelle méthode de projection de gradient. Celleci permet de traiter les contraintes géométriques imposées par les conditions de régularité multiespèces, nous permettant ainsi d'explorer le diagramme de phases d’un modèle scalaire couplé présentant une symétrie D4.Ce cadre est ensuite généralisé aux systèmes fermioniques (fRCMPS). Nous formulons le modèle de Schwinger massif et identifions les conditions de régularité UV et IR cruciales pour assurer un problème variationnel bien posé. Enfin, nous démontrons la polyvalence des RCMPS en étendant le calcul à une classe d’observables non locales, ouvrant la voie à l’étude des défauts de ligne dans le modèle φ⁴. Ce travail établit le RCMPS comme un outil systématiquement améliorable et numériquement performant pour une vaste classe de QFT en 1 + 1 dimensions.
Théories quantiques des champs utilisant les RCMPS L’étude non perturbative des théories quantiques des champs (QFT) relativistes constitue un défi majeur de la physique théorique. Les approches conventionnelles se heurtent souvent à la complexité numérique, au problème de signe ou aux limitations inhérentes à la discrétisation sur réseau. Cette thèse développe et applique un cadre variationnel fondé sur les Relativistic Continuous Matrix Product States (RCMPS) pour la simulation des QFT en 1 + 1 dimensions, opérant directement dans le continuum et à la limite thermodynamique.L’ansatz RCMPS est conçu pour satisfaire aux critères de Feynman pour une simulation viable des QFT. Il intègre le comportement à courte distance requis en incorporant la loi d’échelle universelle de l’intrication ultraviolette (divergente) des théories libres en 1 + 1 dimensions. Ce cadre garantit l'extensivité du système et permet une évaluation efficace des observables. Nous détaillons le formalisme numérique de l’ansatz : les valeurs moyennes des opérateurs locaux y sont ramenées à une hiérarchie d’équations différentielles ordinaires (EDO), tandis que les états fondamentaux sont déterminés par optimisation riemannienne sur la variété RCMPS.La pertinence de la méthode est d’abord éprouvée sur la théorie φ⁴ à une composante, pour laquelle nous obtenons des résultats de référence concernant l’énergie de l’état fondamental. Nous étendons ensuite le formalisme aux théories à plusieurs composantes en développant une nouvelle méthode de projection de gradient. Celleci permet de traiter les contraintes géométriques imposées par les conditions de régularité multiespèces, nous permettant ainsi d'explorer le diagramme de phases d’un modèle scalaire couplé présentant une symétrie D4.Ce cadre est ensuite généralisé aux systèmes fermioniques (fRCMPS). Nous formulons le modèle de Schwinger massif et identifions les conditions de régularité UV et IR cruciales pour assurer un problème variationnel bien posé. Enfin, nous démontrons la polyvalence des RCMPS en étendant le calcul à une classe d’observables non locales, ouvrant la voie à l’étude des défauts de ligne dans le modèle φ⁴. Ce travail établit le RCMPS comme un outil systématiquement améliorable et numériquement performant pour une vaste classe de QFT en 1 + 1 dimensions.
L’étude de l’intrication quantique est devenue un domaine de recherche important en physique théorique des hautes énergies et de la matière condensée. Initialement motivée par la physique des trous noirs et le principe holographique, elle s'est révélée être un outil puissant pour sonder les phénomènes quantiques à N corps. Cette thèse s'intéresse principalement à l'intrication dans des systèmes critiques 1D avec des bords ouverts via des quantificateurs l'intrication comme l'entropie de Rényi (ER) et l'entropie de Von Neumann. Cela se fait en employant le formalisme des répliques et des "opérateurs de twist", ce qui permet de réduire le calcul des ER dans les systèmes critiques à celui de corrélateurs dans un orbifold cyclique d'une théorie conforme des champs (BCFT) en deux dimensions. Dans ce cadre, nous établissons d'abord un résultat général pour la deuxième ER d’un intervalle dans l'intérieur du système. Ensuite, nous nous spécialisons dans les modèles quantiques unidimensionnels critiques décrits par la BCFT d'un boson compact avec conditions de bords Dirichlet et Neumann, pour lesquels nous pouvons calculer l'ensemble des ER d'un intervalle. Nous obtenons également des résultats pour les entropies des systèmes décrits par un la BCFT d'un boson non-compact. La thèse explore aussi le calcul des ER pour les conditions de bords mixtes, auquel cas, il faut utiliser le formalisme des opérateurs de changement de conditions aux limites (BCCO). Les résultats de ces investigations sont comparés aux simulations numériques sur réseau, et nous obtenons un bon accord. De plus, un cadre algébrique est présenté pour les orbifold cycliques, offrant une description de leur contenu d'opérateurs et des règles de fusion, ce qui complète les approches plus physiques et géométriques des précédentes études.
Méthodes de réduction de modèles pour la physique et la chimie quantiques Cette thèse de doctorat porte sur l'analyse numérique et le test de nouvelles méthodes pour le calcul de l'état fondamental en théorie de la structure électronique. Nous nous concentrons sur des méthodes variationnelles basées sur la théorie des fonction d'ondes (WFT) et la théorie de la fonctionnelle de la densité (DFT), pour lesquelles le problème de l'état fondamental consiste en la minimisation d'une fonctionnelle d'énergie sur des familles orthonormées de fonctions carrées intégrables, dites orbitales moléculaires. La première partie de notre travail est consacrée aux systèmes moléculaires. Dans le chapitre 1, nous étudions des algorithmes de minimisation directe pour les modèles de Hartree-Fock restreint à couche ouverte (ROHF) et de champ auto-cohérent de l'espace actif complet (CASSCF), deux modèles standard de fonction d'onde pour les systèmes à espace actif non vide (l'espace fonctionnel lié à la présence d'électrons non appairés dans le système). En utilisant les outils de l'optimisation Riemannienne sur des variétés quotient matricielles, nous exprimons dans un cadre commun les algorithmes de minimisation directe pour ROHF et CASSCF existants dans la littérature chimique, et proposons de nouveaux algorithmes dont nous testons les performances. Dans le deuxième chapitre, ce même formalisme nous permet d'expliquer l'instabilité inhérente aux algorithmes de champ auto-cohérent pour ROHF, qui sont les plus couramment utilisés pour ce modèle. Nous proposons ensuite un nouveau type de méthode de point fixe qui est plus robuste et sans paramètre, qui rivalisent avec les méthodes classiques les plus performantes. Le troisième chapitre aborde l'optimisation des bases d'orbitales atomiques pour les systèmes moléculaires. Nous introduisons un cadre mathématique général pour ce problème et comparons la précision des bases optimisées pour certains critères d'optimisation utilisés dans la littérature sur un modèle jouet unidimensionnel. La deuxième partie de cette thèse se concentre sur les matériaux cristallins. Le chapitre 4 est consacré à la correction de certaines erreurs de discrétisation liées à l'utilisation de bases d'ondes planes tronquées dans les calculs de DFT. Dans ce chapitre, nous introduisons une méthode de Galerkin basée sur l'introduction d'un opérateur cinétique modifié. Nous dérivons une estimation de l'erreur d'approximation pour les énergies obtenues et prouvons des estimées optimales sur la régularité des diagrammes de bandes associés, en fonction d'un paramètre défini par l'utilisateur. Enfin, le chapitre 5 détaille deux contributions numériques liées à la structure électronique du graphène bicouche twisté (TBG). Tout d'abord, nous posons les bases d'un code de simulation du TBG en langage Julia, conçu pour être facilement utilisable et modifiable. En second lieu, nous appliquons une méthode de compression, présente dans la littérature, pour développer les fonctions de Wannier correspondant aux deux bandes de valence les plus basses du graphène, dans une base d'orbitales atomiques adaptée à la symétrie. Ces fonctions compressées devraient permettre d'effectuer de grands calculs de type liaisons fortes pour le TBG, l'un des outils principaux pour décrire la physique nouvelle observée sur ce matériau moiré.
Algorithmes quantiques pour les équations aux dérivées partielles : circuits quantiques et applications physiques Les simulations classiques actuelles des phénomènes physiques présentent de nombreuses limitations, en particulier lorsqu'il s'agit de systèmes complexes tels que les fluides turbulents, les plasmas ou les matériaux quantiques fortement corrélés. Ces simulations rencontrent souvent des difficultés liées à des coûts de calculs élevés, une mise à l'échelle limitée à travers plusieurs dimensions ou échelles temporelles, ainsi qu'à la complexité de capturer des dynamiques intrinsèquement non-linéaires ou chaotiques. Même avec l'accès à des ressources de calcul haute performance (HPC), la résolution précise des dynamiques à fine échelle ou des évolutions sur de longues périodes reste un défi majeur. Le développement de nouvelles méthodes numériques est donc essentiel, tant pour la recherche académique que pour les applications industrielles. Les ordinateurs quantiques émergent comme de nouveaux outils numériques pour l'étude de tels systèmes et la résolution des équations aux dérivées partielles qui les modélisent. Grâce aux propriétés de superposition et d'intrication des qubits, les calculs numériques peuvent être réalisés de manière inédite, offrant des avantages théoriques prometteurs pour certains problèmes. Dans ce contexte, cette thèse contribue au développement et à la compréhension des algorithmes quantiques, allant de la conception de circuits quantiques à la résolution numérique d'équations différentielles partielles et ordinaires. Dans une première partie, des circuits quantiques efficaces sont présentés pour l'implémentation de routines couramment utilisées dans les algorithmes quantiques (opérations multi-contrôlées, préparation d'états quantiques, opérations diagonales), ainsi que pour une nouvelle routine : la transformée de Laplace quantique. Ces routines limitaient l'efficacité des algorithmes quantiques en raison d'implémentations génériques dont la complexité croissait de manière exponentielle avec le nombre de qubits. Désormais, ces tâches peuvent être réalisées à l'aide de circuits quantiques adaptés qui exploitent la structure des problèmes physiques. Dans une seconde partie, des schémas numériques quantiques sont introduits pour résoudre des équations de transport anisotropes et des équations différentielles ordinaires hamiltoniennes non linéaires. Ces schémas se composent de trois étapes (initialisation, évolution et mesure) et reposent sur des approximations en différences finies d'ordre élevé et des formules de Trotterisation. Des protocoles efficaces pour mesurer des grandeurs d'intérêt sont présentés, et une nouvelle analyse numérique, basée sur la norme vectorielle plutôt que sur la norme d'opérateur générique, est introduite. Cette approche permet d'atteindre une précision donnée tout en réduisant le nombre de pas de temps par un facteur qui croît de manière exponentielle avec le nombre de qubits. De plus, une étude de différentes transformations de Madelung non linéaires est présentée afin de résoudre certaines équations fluides sur ordinateur quantique. Les différents résultats de cette thèse sont illustrés par des simulations classiques des algorithmes quantiques ainsi que par des simulations sur des processeurs quantiques actuels. Ce travail pose les bases de la simulation pratique de systèmes physiques classiques, aussi bien sur les dispositifs quantiques actuels de type NISQ (noisy intermediate-scale quantum) que sur les futurs ordinateurs quantiques tolérants aux erreurs.
Étude numérique des systèmes à N corps contraints Cette thèse présente une étude numérique de trois modèles de physique à N corps soumis à des contraintes directes ou indirectes. La présence de contraintes dans un système complexe à plusieurs corps requiert des algorithmes numériques non triviaux pour les étudier. Les deux premiers modèles comportent une forme directe de contrainte locale et sont le modèle de Dimères Quantiques (QDM) de Rokhsar-Kivelson et un modèle de mécanique statistique classique de boucles sans croisement avec des interactions attractives, tous les deux étudiés sur un réseau carré. L'étude de tels modèles contraints a connu un regain d'intérêt récemment avec leur réalisations directes sur des simulateurs quantiques de réseaux d'atomes de Rydberg. Les simulations du modèle classique utilisent l'algorithme Monte Carlo de boucles dirigées (Directed loop algorithm) tandis que le QDM nécessite un nouveau schéma de Monte Carlo quantique basé sur le cadre des expansions en séries stochastiques appelé Sweeping Cluster Algorithm (SCA). Nous présentons une modification du SCA pour rendre les simulations ergodiques à température finie. Notre étude numérique montre l'existence d'une phase critique dans les deux modèles séparée par une transition de phase à température finie vers une phase ordonnée de dimères ou de boucles qui brise spontanément certaines symétries du réseau. Nous montrons que dans le cas où les interactions sont attractives, cette transition de phase est de type Kosterlitz-Thouless et peut être comprise en construisant une théorie des champs de hauteurs. Le diagramme de phase à température finie du QDM présente quant à lui une ré-entrance inhabituelle dans la phase critique. La partie finale de cette thèse traite du rôle des symétries non-abéliennes dans les processus de thermalisation des systèmes quantiques. Nous étudions les états propres de haute énergies d'une chaîne de spins désordonnée avec une symétrie SU(3). Le modèle n'a pas directement de contraintes mais nous effectuons une diagonalisation exacte dans une base contrainte de tableaux de Young en utilisant la symétrie SU(3) complète de ce modèle. En examinant les sondes couramment utilisées pour la thermalisation (statistiques spectrales, distribution des observables locales et entropie d'intrication), nous montrons que le modèle présente un régime non ergodique sur une grande plage de tailles de système pour un désordre fort, contrastant avec la thermalisation rapide observée à faible désordre.
Algorithmes quantiques pour la chimie quantique ab initio : une approche à plusieurs échelles L'équation de Schrödinger polyélectronique régit l'évolution non relativiste des systèmes quantiques tels que les électrons, atomes et molécules. La chimie quantique ab initio consiste à trouver des solutions approximées de cette équation afin de prédire des propriétés moléculaires comme les longueurs de liaison, les spectres vibrationnels et les mécanismes réactionnels. Malgré les immenses progrès de la puissance de calcul, atteindre la précision chimique (une erreur d'énergie inférieure à 1 kcal/mol) reste exponentiellement coûteux pour les algorithmes classiques lorsque la taille du système augmente. Cette limite a conduit à envisager l'informatique quantique comme alternative pour la simulation moléculaire, les ordinateurs quantiques obéissant aux mêmes principes physiques que les systèmes simulés. Il a été établi que, sous certaines conditions, l'équation de Schrödinger moléculaire pouvait être résolue en temps polynomial sur un ordinateur quantique, permettant en principe une accélération exponentielle par rapport aux méthodes classiques. La concrétisation de cet avantage reste un problème ouvert et requiert des avancées tant matérielles (stabilité des processeurs) que algorithmiques (consommation de ressources). Ce dernier aspect constitue l'objectif principal de cette thèse. Trois défis fondamentaux sont identifiés: établir une correspondance et une discrétisation efficace entre le problème de structure électronique et les qubits; concevoir des algorithmes pour préparer de bonnes approximations de l'état fondamental ; décomposer les opérations quantiques en circuits implémentables à coût minimal. La première partie traite du court terme, où le faible nombre de qubits et le bruit limitent les opérations exécutables. Dans ce contexte, le Variational Quantum Eigensolver (VQE) et son extension adaptative ADAPT-VQE sont des références établies. Nous proposons plusieurs améliorations pour la construction adaptative d'ansätze. L'algorithme Greedy Gradient-Free Adaptive VQE simplifie le processus d'optimisation, réduisant considérablement la consommation de ressources et permettant même une démonstration sur un processeur de 25 qubits. La méthode Overlap-ADAPT-VQE introduit un schéma de compactification variationnelle qui reconstruit des approximations d'états quantiques cibles, permettant en chimie quantique d'accélérer significativement la convergence du VQE pour divers niveaux de corrélation électronique. Nous développons ensuite une stratégie d'initialisation des registres quantiques à partir de fonctions d'onde corrélées issues de calculs classiques, pour combiner calcul haute performance et post-traitement quantique. La seconde partie adopte une perspective de long terme centrée sur le comportement asymptotique des algorithmes. Nous présentons une décomposition de la porte NOT multi-contrôlée avec une profondeur de circuit polylogarithmique en nombre de qubits de contrôle, offrant une amélioration exponentielle sur les approches linéaires existantes. Enfin, nous proposons une méthode de chimie quantique en espace réel, compatible avec les algorithmes quantiques d'extraction de valeurs propres. L'objectif étant d'améliorer la convergence spatiale en remplaçant les discrétisations uniformes, utilisées dans la plupart des approches en première quantification, par des grilles non uniformes, adaptées à la molécule, qui concentrent les points de discrétisation dans les zones de forte densité électronique. Nous étendons cette stratégie aux hamiltoniens transcorrélés : des opérateurs qui régularisent les singularités du potentiel coulombien, et dont les fonctions propres sont lisses dans l'espace. Notre approche est plurielle, explorant tous les niveaux d'abstraction, de la théorie à l'implémentation, et couvrant des algorithmes exploitables sur des machines actuelles, et d'autres destinés aux architectures de long terme. Ces contributions renforcent les fondements des algorithmes quantiques pour la simulation moléculaire.