Ce cours est une introduction à la théorie du groupe de renormalisation en physique statistique et à ses relations avec les théorie quantique des champs. Après un rappel sur les phénomènes critiques et la théorie de Landau, l’accent est mis sur la formulation de Wilson du groupe de renormalisation, et le lien avec la théorie perturbative est illustré dans l’approximation du potentiel local.
Ce cours est une introduction à la théorie du groupe de renormalisation en physique statistique et à ses relations avec les théorie quantique des champs. Après un rappel sur les phénomènes critiques et la théorie de Landau, l’accent est mis sur la formulation de Wilson du groupe de renormalisation, et le lien avec la théorie perturbative est illustré dans l’approximation du potentiel local.
Les idées du groupe de renormalisation développées pour la physique statistique dans les années 1970, en grande partie par Kenneth Wilson (prix Nobel 1982), ont entièrement renouvelé ce que l’on appelait la théorie relativiste des champs quantiques, née dans les années 1930 et développée sous la forme de l’électrodynamique quantique dans les années 1950. Un résultat de ce renouvellement est la théorie statistique des champs, une boîte à outils de tout physicien théoricien, de la physique des hautes énergies à la physique statistique. Ce livre, qui repose sur un enseignement de plusieurs années, notamment dans le parcours « Physique théorique » du Master 2 «Concepts fondamentaux de la physique », à l’École normale supérieure, est une introduction pédagogique à cet ensemble incontournable de notions. Il est destiné aux étudiants et aux chercheurs. La théorie statistique des champs repose sur l’analogie entre les fluctuations quantiques d’un système quantique et les fluctuations thermiques d’un système classique relié. Le premier tome était consacré à l’aspect « quantique » de la théorie des champs. Ce deuxième tome est consacré au point de vue et aux applications « physique statistique » de la théorie quantique des champs. Après une introduction aux phénomènes critiques, le groupe de renormalisation de Wilson dans l’espace réel est présenté en détail, et ses relations avec le groupe de renormalisation perturbatif sont discutées de façon approfondie. Les applications du groupe de renormalisation au calcul des exposants critiques sont présentées pour un certain nombre de cas. Le livre aborde les modèles de spins et les modèles sigma non linéaires, le rôle des excitations topologiques(vortex), le modèle XY et la transition de Kosterlitz-Thouless. Il introduit également les modèles simples de polymères, les chaînes de spins quantiques, les phénomènes de mouillage, les membranes flexibles. Un chapitre introduit aux effets de taille finie dans les systèmes critiques. Enfin un dernier chapitre constitue une introduction à l’invariance d’échelle et à l’invariance conforme, en particulier en deux dimensions.
Les idées du groupe de renormalisation développées pour la physique statistique dans les années 1970, en grande partie grâce au prix Nobel de physique Kenneth Wilson, ont entièrement renouvelé ce que l’on appelait la théorie relativiste des champs quantiques, née dans les années 1930 et développée sous la forme de l’électrodynamique quantique dans les années 1950. Un résultat de ce renouvellement est la théorie statistique des champs, une boîte à outils de tout physicien théoricien, de la physique des hautes énergies à la physique statistique. Ce livre, qui repose sur un enseignement de plusieurs années, notamment dans le parcours « Physique théorique » du Master 2 « Concepts fondamentaux de la physique », à l’École normale supérieure, est une introduction pédagogique à cet ensemble incontournable de notions. Il est destiné aux étudiants et aux chercheurs. La théorie statistique des champs repose sur la profonde analogie entre les fluctuations quantiques d’un système quantique en dimension d’espace D et les fluctuations thermiques d’un système classique en équilibre à une température absolue T dans un espace de dimension (D + 1), la constante de Planck h jouant le rôle de la température T. Ce premier tome développe l’aspect « quantique » de la théorie. La première partie du livre est consacrée à l’intégrale de chemin, qui permet de mettre en évidence d’une façon particulièrement claire cette correspondance entre les deux types de fluctuations, sans négliger des aspects avancés (bosons et fermions, états cohérents, spin). Dans une deuxième partie, l’auteur utilise l’exemple typique de la théorie en φ4 pour un exposé détaillé de l’intégrale fonctionnelle, du développement perturbatif, des graphes de Feynman, de la renormalisation perturbative et du groupe de renormalisation en théorie des champs. Le deuxième tome sera consacré aux applications du groupe de renormalisation à la physique statistique, en particulier le calcul des exposants critiques. Seront aussi abordés des sujets reliés : modèle XY, polymères, chaînes de spin, mouillage et membranes, ainsi qu’une introduction à l’invariance conforme et à l’invariance d’échelle en taille finie.
Les idées du groupe de renormalisation développées pour la physique statistique dans les années 1970, en grande partie grâce au prix Nobel de physique Kenneth Wilson, ont entièrement renouvelé ce que l’on appelait la théorie relativiste des champs quantiques, née dans les années 1930 et développée sous la forme de l’électrodynamique quantique dans les années 1950. Un résultat de ce renouvellement est la théorie statistique des champs, une boîte à outils de tout physicien théoricien, de la physique des hautes énergies à la physique statistique. Ce livre, qui repose sur un enseignement de plusieurs années, notamment dans le parcours « Physique théorique » du Master 2 « Concepts fondamentaux de la physique », à l’École normale supérieure, est une introduction pédagogique à cet ensemble incontournable de notions. Il est destiné aux étudiants et aux chercheurs. La théorie statistique des champs repose sur la profonde analogie entre les fluctuations quantiques d’un système quantique en dimension d’espace D et les fluctuations thermiques d’un système classique en équilibre à une température absolue T dans un espace de dimension (D + 1), la constante de Planck h jouant le rôle de la température T. Ce premier tome développe l’aspect « quantique » de la théorie. La première partie du livre est consacrée à l’intégrale de chemin, qui permet de mettre en évidence d’une façon particulièrement claire cette correspondance entre les deux types de fluctuations, sans négliger des aspects avancés (bosons et fermions, états cohérents, spin). Dans une deuxième partie, l’auteur utilise l’exemple typique de la théorie en φ4 pour un exposé détaillé de l’intégrale fonctionnelle, du développement perturbatif, des graphes de Feynman, de la renormalisation perturbative et du groupe de renormalisation en théorie des champs. Le deuxième tome sera consacré aux applications du groupe de renormalisation à la physique statistique, en particulier le calcul des exposants critiques. Seront aussi abordés des sujets reliés : modèle XY, polymères, chaînes de spin, mouillage et membranes, ainsi qu’une introduction à l’invariance conforme et à l’invariance d’échelle en taille finie.
Le but de cet ouvrage est de familiariser le lecteur avec un concept, le groupe de renormalisation, qui fournit des outils essentiels pour la compréhension de phénomènes physiques aussi différents que la faiblesse de l'interaction entre quarks à très haute énergie en physique des particules, les comportements singuliers des quantités thermodynamiques dans la théorie des transitions de phase à l'échelle macroscopique, les propriétés statistiques des longues chaînes polymériques ou certaines propriétés des gaz quantiques. Plus généralement, le groupe de renormalisation permet d'expliquer les propriétés universelles de nombre de systèmes physiques ayant un très grand nombre de degrés de liberté locaux. Dans les cas les plus simples, il permet de comprendre l'apparition de lois gaussiennes asymptotiques, comme dans le cas du théorème de la limite centrale des probabilités. Cependant, il est surtout utile dans le cas où les interactions sont fortes et explique alors l'apparition de lois non gaussiennes. Enfin, dans un grand nombre de cas d'intérêt physique, il conduit naturellement à l'introduction de théories statistiques locales des champs (ou théories quantiques des champs en temps imaginaire).
Le but de cet ouvrage est de familiariser le lecteur avec un concept, le groupe de renormalisation, qui fournit des outils essentiels pour la compréhension de phénomènes physiques aussi différents que la faiblesse de l'interaction entre quarks à très haute énergie en physique des particules, les comportements singuliers des quantités thermodynamiques dans la théorie des transitions de phase à l'échelle macroscopique, les propriétés statistiques des longues chaînes polymériques ou certaines propriétés des gaz quantiques. Plus généralement, le groupe de renormalisation permet d'expliquer les propriétés universelles de nombre de systèmes physiques ayant un très grand nombre de degrés de liberté locaux. Dans les cas les plus simples, il permet de comprendre l'apparition de lois gaussiennes asymptotiques, comme dans le cas du théorème de la limite centrale des probabilités. Cependant, il est surtout utile dans le cas où les interactions sont fortes et explique alors l'apparition de lois non gaussiennes. Enfin, dans un grand nombre de cas d'intérêt physique, il conduit naturellement à l'introduction de théories statistiques locales des champs (ou théories quantiques des champs en temps imaginaire).
Le groupe de renormalisation non perturbatif suit le programme, initialement propose par K. G. Wilson, consistant a etablir le flot de renormalisation d'un modele donne dans l'espace fonctionnel le plus general compatible avec ses symetries. Ce faisant, il permet a priori d'avoir acces aux proprietes universelles aussi bien que non universelles des systemes etudies. Le travail presente dans cette these contribue a preciser les possibilites de la methode dans chacun de ces deux domaines. Nous montrons, d'une part, qu'une adaptation naturelle du formalisme habituel du groupe de renormalisation non perturbatif permet de decrire conjointement les proprietes universelles, comme les exposants critiques, et non universelles, comme une temperature critique, des modeles definis sur reseau. La methode repose sur le choix d'une condition initiale locale pour le flot. D'autre part, fort du succes de la methode perturbative (non fonctionnelle) dans la determination des proprietes universelles, nous pouvons nous demander s'il est possible, dans ce domaine, de simplifier les equations de flot non perturbatives. Dans cette optique, nous montrons qu'une generalisation du developpement en 4-e de Wilson et Fisher au cas non perturbatif permet de passer outre l'etape usuelle de reglage fin d'un parametre critique. Ceci constitue un premier pas dans l'elaboration d'un schema de resolution minimal du comportement universel des equations de flot non perturbatives.