Le groupe de renormalisation non perturbatif suit le programme, initialement propose par K. G. Wilson, consistant a etablir le flot de renormalisation d'un modele donne dans l'espace fonctionnel le plus general compatible avec ses symetries. Ce faisant, il permet a priori d'avoir acces aux proprietes universelles aussi bien que non universelles des systemes etudies. Le travail presente dans cette these contribue a preciser les possibilites de la methode dans chacun de ces deux domaines. Nous montrons, d'une part, qu'une adaptation naturelle du formalisme habituel du groupe de renormalisation non perturbatif permet de decrire conjointement les proprietes universelles, comme les exposants critiques, et non universelles, comme une temperature critique, des modeles definis sur reseau. La methode repose sur le choix d'une condition initiale locale pour le flot. D'autre part, fort du succes de la methode perturbative (non fonctionnelle) dans la determination des proprietes universelles, nous pouvons nous demander s'il est possible, dans ce domaine, de simplifier les equations de flot non perturbatives. Dans cette optique, nous montrons qu'une generalisation du developpement en 4-e de Wilson et Fisher au cas non perturbatif permet de passer outre l'etape usuelle de reglage fin d'un parametre critique. Ceci constitue un premier pas dans l'elaboration d'un schema de resolution minimal du comportement universel des equations de flot non perturbatives.
Le groupe de renormalisation non perturbatif suit le programme, initialement propose par K. G. Wilson, consistant a etablir le flot de renormalisation d'un modele donne dans l'espace fonctionnel le plus general compatible avec ses symetries. Ce faisant, il permet a priori d'avoir acces aux proprietes universelles aussi bien que non universelles des systemes etudies. Le travail presente dans cette these contribue a preciser les possibilites de la methode dans chacun de ces deux domaines. Nous montrons, d'une part, qu'une adaptation naturelle du formalisme habituel du groupe de renormalisation non perturbatif permet de decrire conjointement les proprietes universelles, comme les exposants critiques, et non universelles, comme une temperature critique, des modeles definis sur reseau. La methode repose sur le choix d'une condition initiale locale pour le flot. D'autre part, fort du succes de la methode perturbative (non fonctionnelle) dans la determination des proprietes universelles, nous pouvons nous demander s'il est possible, dans ce domaine, de simplifier les equations de flot non perturbatives. Dans cette optique, nous montrons qu'une generalisation du developpement en 4-e de Wilson et Fisher au cas non perturbatif permet de passer outre l'etape usuelle de reglage fin d'un parametre critique. Ceci constitue un premier pas dans l'elaboration d'un schema de resolution minimal du comportement universel des equations de flot non perturbatives.
En utilisant la théorie du Groupe de Renormalisation on peut prédire les valeurs de certaines quantités physiques (dites universelles) ; parmi elles on compte les exposants critiques des transitions de phase du deuxième ordre. Plusieurs méthodes théoriques peuvent être utilisées pour calculer des quantités universelles ; la méthode la plus précise est le développement perturbatif à dimension fixe (proposé par G. Parisi). Avec cette méthode, Nickel et al. ont calculé vers la fin des années '70 les exposants critiques jusqu'au niveau de six boucles (et, plus récemment, un sous-ensemble des contributions à sept boucles). Dans ce travail de thèse, nous montrons comment automatiser le calcul sur ordinateur; du fait de la complexité du développement perturbatif, on ne peut espérer paramétrer et calculer les exposants critiques au niveau de sept boucles complètes qu'avec l'ordinateur. En particulier, nous présentons une technique générale pour paramétrer le développement perturbatif à n'importe quel ordre (déjà testé avec succès au niveau sept boucles complètes); même si le travail n'a pas encore été complété, cette technique (utilisée conjointement avec des algorithmes pour l'intégration automatique multidimensionnelle) nous a déjà permis de reproduire un sous-ensemble important des calculs précédents.
Cette thèse propose une approche, par les méthodes du groupe de renormalisation non perturbatif, de phénomènes critiques dans des systèmes à l'équilibre. Ce travail se scinde en deux parties. La première présente des modèles où γ+ et γ-, les exposants de la susceptibilité dans les phases haute et basse température, sont génériquement différents. Dans ces modèles, les symétries continues sont explicitement brisées par des anisotropies discrètes qui sont inessentielles au sens du groupe de renormalisation. Nous calculons avec précision γ+ - γ- ainsi que le rapport ν/ν' des exposants des deux longueurs de corrélation présentes pour T≺Tc. La seconde partie est consacrée aux applications de l'approximation BMW, une approximation récente du groupe de renormalisation non perturbatif. D'une part, sont présentées les méthodes d'analyse numérique utilisées pour résoudre les équations intégro-différentielles non linéaires générées par l'approximation BMW. D'autre part, ces méthodes sont appliquées concrètement pour étudier le régime critique du modèle d'Ising bidimensionnel et ses états liés dans la phase basse température en dimension 2⩽d⩽4. Ces applications en différentes dimensions témoignent de la grande précision de l'approximation BMW, de la facilité à changer la dimension, qui n'est qu'un paramètre, et ouvrent la voie à de nombreuses applications.
Le groupe de renormalisation tensoriel, initialement concu comme un outil numerique, emerge comme un cadre analytique rigoureux pour l'etude des modeles sur reseau en physique statistique. Cette these contribue a cette ligne de recherche en introduisant une serie de nouvelles techniques qui ameliorent le controle a la fois numerique et analytique sur les transformations RG. Premierement, nous developpons une methode pour trouver les points fixes des transformations RG en utilisant la methode de Newton. Cela necessite de surmonter le defi des deformations marginales qui rendent le point fixe non isole et donc inaccessible a la methode de Newton. Nous relevons ce defi en incluant une rotation dans la transformation RG, qui inverse le signe des valeurs propres marginales problematiques et isole un point fixe unique de la famille de points fixes auparavant continue. Cela nous permet de trouver des tenseurs de point fixe avec une precision sans precedent. Nous demontrons la puissance de cette technique via des calculs explicites pour les modeles d'Ising 2D et de Potts a 3 etats dans le regime critique. En utilisant l'algorithme Gilt-TNR avec une dimension de lien de 30, nous trouvons les tenseurs de point fixe critique avec une precision de 1e-9, significativement superieure a ce qui avait ete accompli auparavant. Deuxiemement, nous etudions la sensibilite des donnees CFT obtenues a partir du tenseur de point fixe a la precision du point fixe. Pour deux methodes d'extraction des donnees CFT - la matrice de transfert et la methode de l'operateur de dilatation sur reseau - nous trouvons que l'erreur dans les dimensions d'echelle des operateurs de basse energie est notablement reduite lorsque le point fixe est trouve avec une plus grande precision. L'operateur de dilatation sur reseau montre une sensibilite legerement plus grande dans cette etude.Troisiemement, nous introduisons une nouvelle transformation de renormalisation sans troncature - la transformation 2x1 - ainsi qu'une nouvelle approche pour suivre les flots RG dans des espaces de dimension infinie, que nous appelons tenseurs-chapeaux. Le principal avantage de la transformation 2x1 est sa simplicite : elle peut etre exprimee a l'aide d'un nombre relativement restreint de diagrammes. L'approche des tenseurs-chapeaux consiste a definir une boite englobante de dimension finie pour chaque tenseur et a promouvoir une transformation RG en une fonction maitresse qui regit le flot RG des boites englobantes en suivant des regles de promotion simples. En iterant la fonction maitresse numeriquement, nous etablissons la convergence vers le point fixe a haute temperature pour les tenseurs se trouvant dans un voisinage quantifiable, une amelioration substantielle par rapport aux resultats anterieurs sur la stabilite a haute temperature. Notre theoreme principal montre que les tenseurs avec des ecarts bornes par 0.02 dans 63 secteurs orthogonaux convergent vers le point fixe. Nous appliquons egalement la methode a des modeles specifiques - les modeles d'Ising 2D et XY - en obtenant des bornes explicites sur leur phase a haute temperature.Enfin, nous faisons un pas vers un RG tensoriel rigoureux dans des dimensions superieures. Nous presentons une nouvelle transformation RG sans troncature pour les reseaux de tenseurs 3D dans un voisinage du point fixe a haute temperature, dont les iterations convergent de maniere prouvable vers celui-ci. Notamment, la construction fournit une version rigoureuse de l'algorithme Loop-TNR, s'ecartant des constructions 2D anterieures qui s'inspiraient de l'algorithme TNR. Cela represente une avancee significative, car les techniques anterieures ne se generalisent pas a la 3D.
Nous nous proposons d’etudier le modele de Luttinger en utilisant le groupe de renormalisation dans l’espace interne. Cette extension du groupe de renormalisation permet la construction de la fonctionnelle action effective en resommant les modes selon leur importance dans l’espace interne, caracteristique de l’amplitude des champs de la theorie. Elle s’effectue a l’ordre une boucle et semble indiquer clairement qu’au voisinage des points de Fermi, le systeme est fortement couple. Nous mettons aussi en evidence quelques problemes potentiels lies a la bosonisation du hamiltonien de Luttinger. L’etude des systemes dissipatifs est un autre probleme fondamental en physique. La description la plus simple de ces phenomenes consiste a faire l’hypothese que le systeme et son environnement une fois regroupes forment un systeme isole, et l’on procede alors a l’etude du systeme etendu. Nous nous evertuerons a construire une methode systematique qui permet de d’obtenir l’action effective, comme fonctionnelle de la densite, d’un tel systeme. Nous procedons a une etude classique qui montre alors l’apparition d’une derivee temporelle symetrisee, qui se traduit au niveau quantique par l’utilisation des fonctions de Green causales. Nous travaillons ensuite sur un modele de theorie des champs qui decrit la dynamique d’un systeme a deux niveaux en contact avec un bain d’oscillateurs harmoniques. Le developpement des structures de communication comme le reseau Internet revele que les reseaux complexes presentent de proprietes tres interessantes. Nous avons realise un modele susceptible de decrire ce comportement particulier comme une consequence de correlations subtiles entre les relations physiques qu’ont les individus de tels reseaux et un effet memoire a court-terme. Nous conduisons cette etude numeriquement et observons alors le comportement scale-free caracteristique de ces systemes.
L'approche du groupe de renormalisation tensoriel à la renormalisation des modèles sur réseau Le groupe de renormalisation tensoriel, initialement concu comme un outil numerique, emerge comme un cadre analytique rigoureux pour l'etude des modeles sur reseau en physique statistique. Cette these contribue a cette ligne de recherche en introduisant une serie de nouvelles techniques qui ameliorent le controle a la fois numerique et analytique sur les transformations RG. Premierement, nous developpons une methode pour trouver les points fixes des transformations RG en utilisant la methode de Newton. Cela necessite de surmonter le defi des deformations marginales qui rendent le point fixe non isole et donc inaccessible a la methode de Newton. Nous relevons ce defi en incluant une rotation dans la transformation RG, qui inverse le signe des valeurs propres marginales problematiques et isole un point fixe unique de la famille de points fixes auparavant continue. Cela nous permet de trouver des tenseurs de point fixe avec une precision sans precedent. Nous demontrons la puissance de cette technique via des calculs explicites pour les modeles d'Ising 2D et de Potts a 3 etats dans le regime critique. En utilisant l'algorithme Gilt-TNR avec une dimension de lien de 30, nous trouvons les tenseurs de point fixe critique avec une precision de 1e-9, significativement superieure a ce qui avait ete accompli auparavant. Deuxiemement, nous etudions la sensibilite des donnees CFT obtenues a partir du tenseur de point fixe a la precision du point fixe. Pour deux methodes d'extraction des donnees CFT - la matrice de transfert et la methode de l'operateur de dilatation sur reseau - nous trouvons que l'erreur dans les dimensions d'echelle des operateurs de basse energie est notablement reduite lorsque le point fixe est trouve avec une plus grande precision. L'operateur de dilatation sur reseau montre une sensibilite legerement plus grande dans cette etude.Troisiemement, nous introduisons une nouvelle transformation de renormalisation sans troncature - la transformation 2x1 - ainsi qu'une nouvelle approche pour suivre les flots RG dans des espaces de dimension infinie, que nous appelons tenseurs-chapeaux. Le principal avantage de la transformation 2x1 est sa simplicite : elle peut etre exprimee a l'aide d'un nombre relativement restreint de diagrammes. L'approche des tenseurs-chapeaux consiste a definir une boite englobante de dimension finie pour chaque tenseur et a promouvoir une transformation RG en une fonction maitresse qui regit le flot RG des boites englobantes en suivant des regles de promotion simples. En iterant la fonction maitresse numeriquement, nous etablissons la convergence vers le point fixe a haute temperature pour les tenseurs se trouvant dans un voisinage quantifiable, une amelioration substantielle par rapport aux resultats anterieurs sur la stabilite a haute temperature. Notre theoreme principal montre que les tenseurs avec des ecarts bornes par 0.02 dans 63 secteurs orthogonaux convergent vers le point fixe. Nous appliquons egalement la methode a des modeles specifiques - les modeles d'Ising 2D et XY - en obtenant des bornes explicites sur leur phase a haute temperature.Enfin, nous faisons un pas vers un RG tensoriel rigoureux dans des dimensions superieures. Nous presentons une nouvelle transformation RG sans troncature pour les reseaux de tenseurs 3D dans un voisinage du point fixe a haute temperature, dont les iterations convergent de maniere prouvable vers celui-ci. Notamment, la construction fournit une version rigoureuse de l'algorithme Loop-TNR, s'ecartant des constructions 2D anterieures qui s'inspiraient de l'algorithme TNR. Cela represente une avancee significative, car les techniques anterieures ne se generalisent pas a la 3D.
Fluctuations fortement non uniformes au sein du Groupe de Renormalisation Fonctionnelle Depuis son introduction, le Groupe de Renormalisation est devenu l'outil théorique de prédilection pour comprendre et décrire le comportement collectif caractérisé par une invariance d'échelle émergente à proximité d'une transition de phase continue. Il offre un cadre conceptuel puissant, mais les résultats exacts étant rares, la recherche de schémas d'approximation génériques et efficaces a été très active dès le départ. Une ligne de recherche récente part d'une formulation exacte du Groupe de Renormalisation, sous la forme d'un Groupe de Renormalisation Fonctionnelle (GRF) pour les fonctionnelles génératrices dépendantes d'échelle, et introduit des approximations potentiellement non perturbatives via des ansatzes pour la fonctionnelle génératrice dépendante d'échelle étudiée. La question que nous abordons est de savoir dans quelle mesure de tels schémas d'approximation génériques sont capables de décrire des problèmes spécifiques où le comportement à longue distance implique des configurations fortement non uniformes avec, par exemple, des excitations localisées. Un exemple d'un tel schéma d'approximation au sein du GRF est l'expansion dérivée de l'action moyenne effective (énergie libre de Gibbs moyenne à gros grain ("coarse-grained") dans le langage des systèmes magnétiques) qui consiste à tronquer la forme fonctionnelle de cette dernière en puissances des moments extérieurs ou, de manière équivalente, en gradients des champs. L'approximation par expansion dérivée se concentre sur les propriétés à grande longueur d'onde et, en termes de configurations "coarse-grained" du système, fonctionne comme une expansion autour de configurations uniformes. On peut donc se demander si un tel schéma est capable de saisir la physique associée à des configurations non uniformes contenant, par exemple, des parois de domaine, des ondes de spin ou des défauts localisés comme les créneaux et les anti-créneaux trouvés dans l'analyse des instantons du modèle d'Ising en 1 dimension. Dans ce travail, nous évaluons la capacité de l'expansion dérivée du GRF à décrire quantitativement la physique à longue distance d'un modèle sur toute la gamme des dimensions spatiales sans connaissance a priori des configurations "coarse-grained" pertinentes dans l'espace réel. Pour ce faire, nous examinons d'abord comment les ordres inférieurs de l'expansion dérivée décrivent l'approche de la dimension critique inférieure dlcdlc de la théorie scalaire de type Ising φ4 qui est censée être contrôlée par la prolifération d'excitations localisées (instantons). Nous montrons que la convergence du potentiel effectif du point fixe décrivant le point critique du modèle est non uniforme dans le champ lorsque la dimension dd s'approche de dlcdlc, avec l'émergence d'une couche limite autour du minimum du potentiel. Au niveau d'approximation non trivial le plus bas (connu sous le nom de LPA’), cela nous permet de faire des prédictions analytiques pour la valeur de la dimension critique inférieure dlcdlc et pour le comportement de la température critique à mesure que d→dlc, qui sont tous deux en assez bon accord avec les résultats exacts connus. Nous considérons également pour le même modèle scalaire de type Ising φ4 la phase ordonnée dans la limite où d→dlc. Nous nous concentrons sur la manière dont le potentiel effectif dans le GRF devient convexe à mesure que les fluctuations spatiales appropriées, qui impliquent maintenant des configurations non uniformes avec une paroi de domaine séparant deux phases, sont incluses dans le calcul.