Manipulation résiliente aux erreurs de l'information quantique avec des codes stabilisateurs LDPC Les codes stabilisateurs, et en particulier les codes quantiques LDPC, sont les principaux candidats qui permettraient la correction d'erreurs quantiques, nécessaire à moyen terme pour rendre l'ordinateur quantique utilisable. Trouver des codes stabilisateurs ayant de bons taux d'encodage n'est cependant pas suffisant puisqu'il est nécessaire d'être capable de leur appliquer un ensemble de portes quantiques universel ainsi que de pouvoir les décoder efficacement. Dans cette thèse, nous tentons de résoudre les difficultés soulevées par la conciliation de ces deux nécessités omise par l'état de l'art, via la formulation d'une nouvelle heuristique pour l'algorithme de décodage existant. Les dernières avancées matérielles pour la conception d'ordinateurs quantiques rendent cette question d'autant plus fondamentale. Armés de ce décodeur, nous simulons un ensemble de portes logiques de Clifford tolérantes aux fautes pour le code torique. Un protocole de simulation exploitant des états de Bell a dû être créé pour y parvenir. Nous espérons ainsi ouvrir la voie vers de nouvelles implémentations de portes logiques pour les codes stabilisateurs encodant plusieurs qubits logiques. Enfin, nous étendons nos résultats jusqu'à trouver de nouvelles implémentations de portes logiques pour le code couleur torique, en exploitant le lien intime le reliant aux codes de surface toriques. Nous définissons également une nouvelle classe de codes couleurs dont nous pensons qu'ils pourraient apporter certains avantages par rapport aux codes couleurs concaténés.
Manipulation résiliente aux erreurs de l'information quantique avec des codes stabilisateurs LDPC Les codes stabilisateurs, et en particulier les codes quantiques LDPC, sont les principaux candidats qui permettraient la correction d'erreurs quantiques, nécessaire à moyen terme pour rendre l'ordinateur quantique utilisable. Trouver des codes stabilisateurs ayant de bons taux d'encodage n'est cependant pas suffisant puisqu'il est nécessaire d'être capable de leur appliquer un ensemble de portes quantiques universel ainsi que de pouvoir les décoder efficacement. Dans cette thèse, nous tentons de résoudre les difficultés soulevées par la conciliation de ces deux nécessités omise par l'état de l'art, via la formulation d'une nouvelle heuristique pour l'algorithme de décodage existant. Les dernières avancées matérielles pour la conception d'ordinateurs quantiques rendent cette question d'autant plus fondamentale. Armés de ce décodeur, nous simulons un ensemble de portes logiques de Clifford tolérantes aux fautes pour le code torique. Un protocole de simulation exploitant des états de Bell a dû être créé pour y parvenir. Nous espérons ainsi ouvrir la voie vers de nouvelles implémentations de portes logiques pour les codes stabilisateurs encodant plusieurs qubits logiques. Enfin, nous étendons nos résultats jusqu'à trouver de nouvelles implémentations de portes logiques pour le code couleur torique, en exploitant le lien intime le reliant aux codes de surface toriques. Nous définissons également une nouvelle classe de codes couleurs dont nous pensons qu'ils pourraient apporter certains avantages par rapport aux codes couleurs concaténés.
Étude de codes LDPC quantiques et de leur décodage Les codes quantiques de type LDPC (Low-Density Parity-Check, à matrice de parité creuse) offrent une solution prometteuse pour protéger l’information quantique contre les erreurs et sont donc considérés comme une étape importante dans la réalisation à grande échelle d’un ordinateur quantique tolérant aux fautes. Dans cette thèse, nous étudions les codes LDPC quantiques selon trois approches différentes, en analysant le décodage par renormalisation du code torique de Kitaev, en établissant des limites sur la distance minimale des codes géométriquement locaux et en construisant de petits exemples de codes de Tanner quantiques. Le code torique de Kitaev est un code LDPC quantique remarquable et est actuellement le plus largement considéré pour une mise en œuvre expérimentale. Nous examinons les décodeurs par renormalisation probabiliste introduits par Duclos-Cianci et Poulin, une famille de décodeurs qui offrent l’un des meilleurs compromis entre précision et rapidité. Nous étudions la manière dont ils gèrent les erreurs adverses en introduisant un décodeur par renormalisation déterministe, n’utilisant pas les probabilités a priori du modèle d’erreur. Nous constatons que ce décodeur par renormalisation admet des motifs d’erreurs incorrigibles de type fractal et nous obtenons une borne inférieure sur le poids de ces erreurs. En raison de contraintes physiques, une grande attention a été accordée aux codes LDPC quantiques dont les stabilisateurs n’agissent que sur un nombre limité de qubits voisins. Nous étendons la fameuse borne de Bravyi-Terhal aux codes quantiques définis par des contraintes locales sur un quotient de réseau, fournissant ainsi un aperçu essentiel des limites des codes stabilisateurs géométriquement locaux. En guise d’application, nous fournissons des bornes supérieures sur la distance minimale de codes à deux blocs construits à l’aide d’une algèbre d’un groupe abélien, une famille de codes LDPC quantiques pour laquelle la distance minimale est actuellement inconnue. Ces dernières années, des codes LDPC quantiques asymptotiquement bons ont été construits, mais les résultats démontrables concernant leurs distances minimales ne s’appliquent qu’à des codes trop longs pour être utilisables. Dans le cadre des efforts visant à concevoir des codes pouvant être mis en œuvre à court terme, nous construisons des instances courtes de codes quantiques de Tanner à l’aide de complexes carrés obtenus à partir de produits liftés de graphes réguliers. Plusieurs instances explicites de ces codes présentent des distances minimales dépassant la racine carrée de la longueur du code.
Décodage efficace de codes quantiques LDPC par passage de messages Pour construire un ordinateur quantique, il est nécessaire de corriger au fur et a mesure les erreurs qui se produisent au cours du calcul, qui, si elles s’accumulent, risquent de biaiser le résultat. Ces erreurs s’accumulent pour deux raisons, premièrement car les technologies utilisées aujourd’hui et dans un futur proche sont encore immatures, et deuxièmement, a cause d’un principe fondamental de la physique quantique, le principe d’incertitude de Hilbert. A cause des contraintes liées aux lois de la physique quantique, les méthodes utilisées pour protéger l’information quantique du bruit sont différentes en quantique comparé au classique. Par exemple, il n’est pas possible de faire des “sauvegardes” régulières sur un ordinateur quantique, a cause du Théorème de non-clonage qui stipule qu’il est impossible de copier parfaitement un état quantique.Par chance, il s’avère que la théorie de la correction d’erreur, utilisée de manière classique surtout dans les communications et le stockage d’information, trouve ici une application pour le calcul tolérant aux fautes.Parmi les nombreux problèmes liés a l’utilisation de cette belle et riche théorie pour le calcul tolérant aux fautes en quantique, dans la suite, nous nous intéresserons seulement à la question du décodage par passage de messages des codes LDPC. Dans la suite, je discuterai d’abord les limitations théoriques et pratique d’un certain type de décodeur par passage de message, le Min-Sum appliqué au code torique, un code pressenti pour être utilisé dans la première génération d’ordinateurs quantiques. Ensuite, je montrerai comment les performances pratiques des décodeurs par passage de message peuvent être grandement améliorées en utilisant des post-processings spécifiques aux codes quantiques.
Contrôler des systèmes quantiques avec une précision arbitraire semble être un défi insurmontable en raison de l'influence de l'environnement se manifestant sous forme d'erreurs dans les algorithmes quantiques. Cependant, il existe des protocoles de tolérance aux fautes qui résolvent ce problème en stockant l'information quantique de manière redondante dans un état à plusieurs qubits. Il est crucial d'optimiser ces protocoles, en les adaptant aux processus de génération du bruit, dans le but de minimiser l'ajout d'espace et de temps aux calculs quantiques. Les méthodes actuelles se basent sur un cycle d'optimisation comprenant la caractérisation du matériel, la modélisation du bruit et des simulations numériques. Pour la majorité des études sur la tolérance aux fautes, le bruit est modélisé comme l'application stochastique de matrices de Pauli. Cette approche, communément appelé le modèle d'erreurs de Pauli est l'exemple typique de décohérence induite par l'environnement. Les probabilités associées à chacune des matrices de Pauli définissent le taux d'erreurs. Même si ce modèle d'erreurs est utilisé pour réaliser des preuves analytiques et effectuer des simulations classiques, le niveau de précision de ce dernier dépend de la nature quantique de la source d'erreurs. Toutefois, un dispositif quantique réaliste est affecté par un processus bruyant qui n'est pas très bien approximé par le modèle d'erreurs de Pauli. Un exemple extrême étant les erreurs cohérentes causées par rotation excessive d'un qubit. De plus, un modèle général de bruit quantique illustre beaucoup plus de caractéristiques que le modèle simplifié de Pauli. La notion de taux d'erreurs est alors moins bien définie dans ces cas. Ainsi, nous avons besoin d'une mesure appropriée pour quantifier l'effet du bruit qui s'intègre bien aux preuves de tolérance aux fautes. Pour ce faire, il existe plusieurs options dont la fidélité et la norme diamant. Les simulations numériques ont été centrales au développement des protocoles de tolérance aux fautes. Généralement, des simulations impliquant des modèles de bruits spécifiques sont utilisées pour évaluer l'efficacité de ces méthodes. Dans le cas du modèle simplifié d'erreurs de Pauli, la source du bruit est simulée par un algorithme classique appliquant une matrice de Pauli tirée selon une distribution prédéterminée. Cependant, il n'est généralement pas nécessaire d'assumer que le bruit est généré de façon stochastique. Par exemple, il est possible de décrire le bruit comme une évolution temporelle du système. Malgré cela, il existe des techniques pour mesurer numériquement la performance d'un protocole de tolérance aux fautes. Dans la présente thèse, nous faisons une étude critique des méthodes actuelles d'optimisation des protocoles de tolérances aux fautes et nous appuyons nos analyses sur des observations provenant de simulations numériques. D'abord, nous montrons que les protocoles de tolérance aux fautes sont sensibles à certains détails du modèle bruits qui ne sont pas bien décrits pas les métriques standards. Alors que la valeur d'une métrique peut être la même pour deux processus bruyants, nous observons que la performance d'un protocole de tolérance aux fautes peut différer grandement pour ces deux processus. Ainsi, nous avons défini de nouvelles métriques ne reposant pas sur les méthodes standards. Ces métriques s'appuient plutôt sur des méthodes d'apprentissage automatique qui considèrent les propriétés importantes des processus bruyants et qui permettent de prédire avec plus de précision la performance d'un protocole de tolérance aux fautes. Par la suite, nous argumentons que la présence d'événements rares détériore la précision des simulations numériques. En d'autres termes, les événements bruyants qui affectent significativement la performance d'un protocole de tolérances aux fautes sont rarement observés, ce qui engendre une grande erreur statistique dans les estimations numériques. Pour pallier partiellement à ce problème, nous présentons des méthodes d'échantillonnages préférentielles. Toutefois, la recherche de meilleures méthodes demeure ouverte. Finalement, la mauvaise qualité des précisions des métriques et la difficulté des simulations numériques nous amènent à conclure que la portée des méthodes actuelles d'optimisation des protocoles de tolérances aux fautes est très limitée. Nous supposons qu'une caractérisation expérimentale d'un tel protocole sur un ordinateur quantique de taille modeste permettrait de surmonter ces difficultés. Cela pourrait paver le chemin à la réalisation d'un ordinateur quantique tolérant les fautes.
On sait depuis vingt ans maintenant qu'un ordinateur quantique permettrait de résoudre en temps polynomial plusieurs problèmes considérés comme difficiles dans le modèle classique de calcul, comme la factorisation ou le logarithme discret. Entre autres, un tel ordinateur mettrait à mal tous les systèmes de chiffrement à clé publique actuellement utilisés en pratique, mais sa réalisation se heurte, entre autres, aux phénomènes de décohérence qui viennent entacher l'état des qubits qui le constituent. Pour protéger ces qubits, on utilise des codes correcteurs quantiques, qui doivent non seulement être performants mais aussi munis d'un décodage très rapide, sous peine de voir s'accumuler les erreurs plus vite qu'on ne peut les corriger. Une solution très prometteuse est fournie par des équivalents quantiques des codes LDPC (Low Density Parity Check, à matrice de parité creuse). Ces codes classiques offrent beaucoup d'avantages : ils sont faciles à générer, rapides à décoder (grâce à un algorithme de décodage itératif) et performants. Mais leur version quantique se heurte (entre autres) à deux problèmes. On peut voir un code quantique comme une paire de codes classiques, dont les matrices de parité sont orthogonales entre elles. Le premier problème consiste alors à construire deux « bons » codes qui vérifient cette propriété. L'autre vient du décodage : chaque ligne de la matrice de parité d'un des codes fournit un mot de code de poids faible pour le second code. En réalité, dans un code quantique, les erreurs correspondantes sont bénignes et n'affectent pas le système, mais il est difficile d'en tenir compte avec l'algorithme de décodage itératif usuel. On étudie dans un premier temps une construction existante, basée sur un produit de deux codes classiques. Cette construction, qui possède de bonnes propriétés théoriques (dimension et distance minimale), s'est avérée décevante dans les performances pratiques, qui s'expliquent par la structure particulière du code produit. Nous proposons ensuite plusieurs variantes de cette construction, possédant potentiellement de bonnes propriétés de correction. Ensuite, on étudie des codes dits q-Aires~: ce type de construction, inspiré des codes classiques, consiste à agrandir un code LDPC existant en augmentant la taille de son alphabet. Cette construction, qui s'applique à n'importe quel code quantique 2-Régulier (c'est-À-Dire dont les matrices de parité possèdent exactement deux 1 par colonne), a donné de très bonnes performances dans le cas particulier du code torique. Ce code bien connu se décode usuellement très bien avec un algorithme spécifique, mais mal avec l'algorithme usuel de propagation de croyances. Enfin, un équivalent quantique des codes spatialement couplés est proposé. Cette idée vient également du monde classique, où elle améliore de façon spectaculaire les performances des codes LDPC : le décodage s'effectue en temps quasi-Linéaire et atteint, de manière prouvée, la capacité des canaux symétriques à entrées binaires. Si dans le cas quantique, la preuve éventuelle reste encore à faire, certaines constructions spatialement couplées ont abouti à d'excellentes performances, bien au-Delà de toutes les autres constructions de codes LDPC quantiques proposées jusqu'à présent.
On sait depuis vingt ans maintenant qu'un ordinateur quantique permettrait de résoudre en temps polynomial plusieurs problèmes considérés comme difficiles dans le modèle classique de calcul, comme la factorisation ou le logarithme discret. Entre autres, un tel ordinateur mettrait à mal tous les systèmes de chiffrement à clé publique actuellement utilisés en pratique, mais sa réalisation se heurte, entre autres, aux phénomènes de décohérence qui viennent entacher l'état des qubits qui le constituent. Pour protéger ces qubits, on utilise des codes correcteurs quantiques, qui doivent non seulement être performants mais aussi munis d'un décodage très rapide, sous peine de voir s'accumuler les erreurs plus vite qu'on ne peut les corriger. Une solution très prometteuse est fournie par des équivalents quantiques des codes LDPC (Low Density Parity Check, à matrice de parité creuse). Ces codes classiques offrent beaucoup d'avantages : ils sont faciles à générer, rapides à décoder (grâce à un algorithme de décodage itératif) et performants. Mais leur version quantique se heurte (entre autres) à deux problèmes. On peut voir un code quantique comme une paire de codes classiques, dont les matrices de parité sont orthogonales entre elles. Le premier problème consiste alors à construire deux « bons » codes qui vérifient cette propriété. L'autre vient du décodage : chaque ligne de la matrice de parité d'un des codes fournit un mot de code de poids faible pour le second code. En réalité, dans un code quantique, les erreurs correspondantes sont bénignes et n'affectent pas le système, mais il est difficile d'en tenir compte avec l'algorithme de décodage itératif usuel. On étudie dans un premier temps une construction existante, basée sur un produit de deux codes classiques. Cette construction, qui possède de bonnes propriétés théoriques (dimension et distance minimale), s'est avérée décevante dans les performances pratiques, qui s'expliquent par la structure particulière du code produit. Nous proposons ensuite plusieurs variantes de cette construction, possédant potentiellement de bonnes propriétés de correction. Ensuite, on étudie des codes dits q-Aires~: ce type de construction, inspiré des codes classiques, consiste à agrandir un code LDPC existant en augmentant la taille de son alphabet. Cette construction, qui s'applique à n'importe quel code quantique 2-Régulier (c'est-À-Dire dont les matrices de parité possèdent exactement deux 1 par colonne), a donné de très bonnes performances dans le cas particulier du code torique. Ce code bien connu se décode usuellement très bien avec un algorithme spécifique, mais mal avec l'algorithme usuel de propagation de croyances. Enfin, un équivalent quantique des codes spatialement couplés est proposé. Cette idée vient également du monde classique, où elle améliore de façon spectaculaire les performances des codes LDPC : le décodage s'effectue en temps quasi-Linéaire et atteint, de manière prouvée, la capacité des canaux symétriques à entrées binaires. Si dans le cas quantique, la preuve éventuelle reste encore à faire, certaines constructions spatialement couplées ont abouti à d'excellentes performances, bien au-Delà de toutes les autres constructions de codes LDPC quantiques proposées jusqu'à présent.
Décodage des codes expanseurs quantiques et application au calcul quantique tolérant aux fautes Le calcul quantique tolérant aux fautes est un ensemble de techniques dont le but est d'effectuer des calculs quantiques de manière fiable en utilisant des composants bruités. Dans ce contexte, l'utilisation de codes correcteurs quantiques maintient le nombre d'erreurs présentes dans le système en dessous d'un seuil tolérable. L'un des principaux problèmes de ce domaine est d'évaluer le coût minimum (en mémoire et en temps) nécessaire pour transformer un calcul quantique idéal en un calcul tolérant aux fautes. Dans cette thèse, nous montrons que la famille des codes expanseurs quantiques associée à l'algorithme de décodage small-set-flip peut être utilisée dans la construction de ref. [arXiv:1310.2984] pour réaliser du calcul quantique tolérant aux fautes avec coût constant en mémoire. La famille de codes correcteurs ainsi que le décodeur que nous étudions ont été introduits dans ref. [arXiv:1504.00822] où un modèle de bruit adverse est considéré. En nous appuyant sur les résultats de cet article, nous analysons le comportement des codes expanseurs quantiques face à un modèle de bruit stochastique qui est pertinent dans le cadre du calcul tolérant aux fautes [arXiv:1711.08351], [arXiv:1808.03821]. De plus, nous montrons que l'algorithme de décodage peut être parallélisé pour fonctionner en temps constant. Cette propriété est essentielle pour éviter que les erreurs ne s'accumulent pendant que l'algorithme est exécuté. Au-delà des résultats théoriques décrits ci-dessus, nous avons effectué une analyse numérique des codes expanseurs quantiques dans le but d'évaluer leurs performances en pratique [arXiv:1810.03681]. Le modèle de bruit choisi pour ces simulations consiste à générer des erreurs de types X et Z de manière indépendante et identiquement distribuée sur les qubits. Les résultats obtenus pour ces codes de rendement constant sont prometteurs puisque nos simulations montrent que leur seuil est décent et que leurs performances à taille finie sont bonnes.