Etudes Monte Carlo de liquides de spins de Dirac et liquides de spins chiraux Les liquides de spins quantiques (QSL) sont des états exotiques de la matière caractérisés par leur intrication quantique à N corps et leurs excitations fractionnaires émergentes, dont la physique des basses énergies est décrite à l'aide des théories de jauge. La réalisation expérimentale de QSL dans des matériaux cristallins et leur existence en tant qu'états fondamentaux stables dans des modèles de spins ont été des questions fondamentales et largement étudiées en physique de la matière condensée ces dernières années. Dans cette thèse, nous utilisons des simulations quantiques de Monte Carlo pour explorer deux questions sur les QSL en deux dimensions, l'une sur les liquides de spins avec et sans bande interdite. La première question concerne la question de savoir si les états de paires intriqués projetés (PEPS, un type de réseau tensoriel) peuvent représenter avec précision les liquides de spins chiraux (CSL). Des questions ont été soulevées en raison d'un théorème interdisant les représentations PEPS à fermions libres d'états chiraux sans interaction. Nous construisons des approximants PEPS fermioniques (fPEPS) des isolants Chern projetés par Gutzwiller (un type de CSL) et démontrons que les fPEPS (de dimension de liaison finie) peuvent capturer la dégénérescence topologique correcte de l'état fondamental du CSL. De plus, des fPEPS plus généraux sont optimisés pour décrire la phase CSL d'un antiferromagnétique Heisenberg frustré, et il est démontré que les modes de bord chiraux dans le spectre d'intrication suivent les prédictions de la théorie conforme des champs. Par conséquent, notre travail fournit des preuves supplémentaires démontrant que le PEPS peut représenter efficacement les phases CSL. La deuxième question concerne la nature des excitations à faible énergie des liquides de spin de Dirac sans bande interdite. Contrairement aux liquides de spin espacés, tels que certains liquides de spin Z2, dont les excitations à faible énergie (par exemple, les spinons et les visons) peuvent être comprises qualitativement grâce à la théorie du champ moyen, les liquides de spin de Dirac présentent des défis plus subtils. Il reste à déterminer si les descriptions en champ moyen des DSL peuvent résister aux effets des fluctuations de jauge. De plus, la stabilité des DSL en tant qu'états fondamentaux dans les antiferromagnétiques de Heisenberg frustrés reste une question ouverte. Dans ce travail, nous construisons des analyses variationnelles pour les excitations à faible énergie des DSL. Nos résultats indiquent que les modèles Heisenberg sur les réseaux triangulaires et Kagome prennent en charge des excitations monopôles et spinons sans interruption au-delà du niveau de champ moyen (après application de la projection de Gutzwiller). Nous démontrons en outre que le liquide de spin de Dirac est énergétiquement stable contre la formation d'états liquides de spin chiraux générés par de multiples insertions de monopôles. De plus, les impulsions monopôles calculées sont cohérentes avec les récentes prédictions de la théorie des champs. Enfin, grâce à une diagonalisation exacte, nous constatons que les fonctions d'onde monopôle et spinon projetées par Gutzwiller présentent un recouvrement significatif dans les amas finis, ce qui suggère que ces quasi-particules pourraient ne pas être entièrement indépendantes dans les petits systèmes.
Etudes Monte Carlo de liquides de spins de Dirac et liquides de spins chiraux Les liquides de spins quantiques (QSL) sont des états exotiques de la matière caractérisés par leur intrication quantique à N corps et leurs excitations fractionnaires émergentes, dont la physique des basses énergies est décrite à l'aide des théories de jauge. La réalisation expérimentale de QSL dans des matériaux cristallins et leur existence en tant qu'états fondamentaux stables dans des modèles de spins ont été des questions fondamentales et largement étudiées en physique de la matière condensée ces dernières années. Dans cette thèse, nous utilisons des simulations quantiques de Monte Carlo pour explorer deux questions sur les QSL en deux dimensions, l'une sur les liquides de spins avec et sans bande interdite. La première question concerne la question de savoir si les états de paires intriqués projetés (PEPS, un type de réseau tensoriel) peuvent représenter avec précision les liquides de spins chiraux (CSL). Des questions ont été soulevées en raison d'un théorème interdisant les représentations PEPS à fermions libres d'états chiraux sans interaction. Nous construisons des approximants PEPS fermioniques (fPEPS) des isolants Chern projetés par Gutzwiller (un type de CSL) et démontrons que les fPEPS (de dimension de liaison finie) peuvent capturer la dégénérescence topologique correcte de l'état fondamental du CSL. De plus, des fPEPS plus généraux sont optimisés pour décrire la phase CSL d'un antiferromagnétique Heisenberg frustré, et il est démontré que les modes de bord chiraux dans le spectre d'intrication suivent les prédictions de la théorie conforme des champs. Par conséquent, notre travail fournit des preuves supplémentaires démontrant que le PEPS peut représenter efficacement les phases CSL. La deuxième question concerne la nature des excitations à faible énergie des liquides de spin de Dirac sans bande interdite. Contrairement aux liquides de spin espacés, tels que certains liquides de spin Z2, dont les excitations à faible énergie (par exemple, les spinons et les visons) peuvent être comprises qualitativement grâce à la théorie du champ moyen, les liquides de spin de Dirac présentent des défis plus subtils. Il reste à déterminer si les descriptions en champ moyen des DSL peuvent résister aux effets des fluctuations de jauge. De plus, la stabilité des DSL en tant qu'états fondamentaux dans les antiferromagnétiques de Heisenberg frustrés reste une question ouverte. Dans ce travail, nous construisons des analyses variationnelles pour les excitations à faible énergie des DSL. Nos résultats indiquent que les modèles Heisenberg sur les réseaux triangulaires et Kagome prennent en charge des excitations monopôles et spinons sans interruption au-delà du niveau de champ moyen (après application de la projection de Gutzwiller). Nous démontrons en outre que le liquide de spin de Dirac est énergétiquement stable contre la formation d'états liquides de spin chiraux générés par de multiples insertions de monopôles. De plus, les impulsions monopôles calculées sont cohérentes avec les récentes prédictions de la théorie des champs. Enfin, grâce à une diagonalisation exacte, nous constatons que les fonctions d'onde monopôle et spinon projetées par Gutzwiller présentent un recouvrement significatif dans les amas finis, ce qui suggère que ces quasi-particules pourraient ne pas être entièrement indépendantes dans les petits systèmes.
La recherche de phases magnétiques exotiques de la matière qui fondent même à T=0 uniquement sous l'action des fluctuations quantiques a été long et ardu, à la fois théoriquement et expérimentalement. La percée est venue récemment avec la découverte de l'Herbertsmithite, un composé formant un réseau kagome parfait avec des moments magnétiques de spin-1/2. Des expériences pionnières, mêlant des mesures de NMR, MuSR et de diffusion de neutrons, ont montré une absence totale de gel ou d'ordre des moments magnétiques de spin, fournissant ainsi une forte signature d'une phase paramgnétique quantique. Théoriquement, l'Herbertsmithite est extrêmement bien modélisé par le modèle de Heisenberg quantique antiferromagnétique pour des spins-1/2 sur le réseau kagome, problème qui n'a pas été résolu jusqu'à présent. Plusieurs méthodes approximatives numériques et analytiques ont donné différents états fondamentaux, allant des liquides de spins Z2 gappés et un liquide de spins exotique algébrique U(1) de Dirac aux liquides de spins chiraux et les cristaux à liaisons de valence. Dans cette thèse, le problème est traité dans le cadre d'une approche particule-esclave fermionique, à savoir le formalisme des fermions de Schwinger SU(2). Il est conclu qu'un liquide de spins sans gap algébrique de Dirac a l'énergie variationnelle la plus basse et peut en fait constituer un vrai état fondamental physique de liquide de spins. Une implémentation sophistiquée de méthodes numériques de pointes comme le Monte-Carlo variationnel, le Monte-Carlo fonctions de Green et l'application de pas Lanczos dans un schéma variationnel ont été utilisés. Il est montré que contrairement à la croyance habituelle, le liquide de spins de Dirac U(1) projeté en "2+1" dimensions est remarquablement robuste par rapport à une large classe de perturbations, incluant les liquides de spins topologiques Z2 et les cristaux à liaisons de valence. De plus, l'application de deux pas Lanczos sur la fonction d'onde du liquide de spins de Dirac U(1) montre que son énergie est compétitive avec celles proposées pour les liquides de spins topologiques Z2. Ce résultat, combiné avec les indications expérimentales qui pointent vers un liquide de spins sans gap pour l'Herbertsmithite, appuie l'affirmation que le vrai état fondamental de ce modèle est en fait un liquide de spins algébrique de Dirac.
Le liquide de luttinger constitue le meilleur exemple de metal non-liquide de fermi connu. Il designe une classe d'universalite pour des systemes unidimensionnels caracterises par une dynamique purement collective sans quasi-particules de landau. Des realisations experimentales du liquide de luttinger existent, par exemple sur les bords d'un gaz d'electrons bidimensionnel sous champ magnetique tel que le fluide de hall fractionnaire. De nombreux modeles integrables exactement solubles font aussi partie de cette classe : la chaine d'heisenberg, le modele de hubbard de facon tres remarquable, les solutions exactes font apparaitre dans le spectre d'excitations des etats fractionnaires, qui ne portent plus les nombres quantiques de l'electron : par exemple le holon du modele de hubbard porte une charge unite mais n'a pas de spin. Cependant, aucune analyse detaillee de la theorie effective decrivant le liquide de luttinger qui ferait clairement apparaitre des etats fractionnaires dans le spectre n'existait. Dans cette these, nous avons montre explicitement que cette theorie effective admettait des excitations fractionnaires et avons decrit en detail leur construction. Nous avons pu ainsi obtenir toute une serie de resultats nouveaux sur les excitations fractionnaires, ce qui nous a conduit a faire un certain nombre de predictions. Nous avons trouve de facon tres remarquable qu'il n'y avait non plus une mais deux excitations elementaires correspondant au spinon des chaines de spin et une seconde qui est isomorphe a une quasi-particule de laughlin de l'effet hall fractionnaire. Cette derniere serait susceptible d'etre observee experimentalement. Les fonctions d'onde du fondamental et des excitations ont aussi ete calculees. Ces resultats ont ete ensuite generalises au liquide de luttinger avec spin : nous introduisons un formalisme qui nous permet de decrire de facon exhaustive le spectre fractionnaire dans des situations avec separation spin-charge ou meme sans separation spin-charge (comme par exemple pour des systemes sous champ magnetique comme le modele de hubbard sous champ).
Etude numérique des isolants topologiques fractionnaires Les isolants topologiques sont des isolants qui ne peuvent être différenciés des isolants atomiques que par une grandeur physique non locale appelée invariant topologique. L'effet Hall quantique et son équivalent sans champ magnétique l'isolant de Chern sont des exemples d'isolants topologiques. En présence d'interactions fortes, des excitations exotiques appelées anyons peuvent apparaître dans les isolants topologiques. L'effet Hall quantique fractionnaire (EHQF) est la seule réalisation expérimentale connue de ces phases. Dans ce manuscrit, nous étudions numériquement les conditions d'émergence de différents isolants topologiques fractionnaires. Nous nous concentrons d'abord sur l'étude de l'EHQF sur le tore. Nous introduisons une méthode de construction projective des états EHQF les plus exotiques complémentaire par rapport aux méthodes existantes. Nous étudions les excitations de basse énergie sur le tore de deux états EHQF, les états de Laughlin et de Moore-Read. Nous proposons des fonctions d'onde pour les décrire, et vérifions leur validité numériquement. Grâce à cette description, nous caractérisons les excitations de basse énergie de l'état de Laughlin dans les isolants de Chern. Nous démontrons également la stabilité d'autres états de l'EHQF dans les isolants de Chern, tels que les états de fermions composites, Halperin et NASS. Nous explorons ensuite des phases fractionnaires sans équivallent dans la physique de l'EHQF, d'abord en choisissant un modèle dont l'invariant topologique a une valeur plus élevée, puis en imposant au système la conservation de la symétrie par renversement du temps, ce qui modifie la nature de l'invariant topologique.
Les diagrammes sont omniprésents en physique et ont catalysé le progrès à de nombreuses reprises. Des réseaux tensoriels aux circuits quantiques en passant par les diagrammes de Feynman, rares sont les domaines de la physique qui ne font pas appel à un raisonnement informel par l'image. Ces diagrammes représentent les opérations mathématiques sous-jacentes et facilitent l'interprétation physique, mais ne peuvent généralement pas être calculés directement. Dans cette thèse, le ZXH-calcul, un langage graphique basé sur le ZX-calcul, est proposé comme prototype d'un outil de calcul diagrammatique formel pour la physique théorique impliquant le spin. Cela permet d'étendre le calcul ZXH (et plus largement la famille de calculs ZX à laquelle il appartient) au-delà de son domaine traditionnel qui a été largement dominé par l'informatique quantique. Pour ce faire, les réseaux de spin issus de la physique de la matière condensée sont étudiés. Il est également montré comment les réseaux de spins de la forme souvent considérée comme l'espace d'état de la gravité quantique à boucles (LQG) peuvent être diagrammatisés avec les opérateurs qui agissent sur eux.Pour y parvenir, une forme diagrammatique de la théorie des représentations SU(2) est exposée. Un certain nombre de résultats sont ensuite présentés dans la matière condensée. L'état 1D AKLT, un état topologique protégé par symétrie, est exprimé dans le calcul ZXH en développant une représentation des spins supérieurs à 1/2 dans le calcul. En exploitant le pouvoir de simplification des règles du calcul ZXH, on montre comment cette représentation permet de retrouver directement la représentation de l'état AKLT par produit de matrice, l'existence d'états de bord topologiquement protégés et la non-vanie d'un paramètre d'ordre de chaîne. Au-delà de ces propriétés connues, l'approche diagrammatique permet également de dériver analytiquement que la phase de Berry de toute chaîne AKLT 1D de longueur finie est π. En outre, une preuve alternative que l'état AKLT 2D sur un réseau hexagonal peut être réduit à un état de graphe, démontrant qu'il s'agit d'une ressource universelle de calcul quantique. En continuant sur le thème de la matière condensée, on montre ensuite comment on peut construire des phases topologiques d'ordre supérieur en 2D de manière schématique, ce qui est utilisé pour illustrer une transition de phase avec rupture de symétrie.En ce qui concerne la LQG, la première étape est l'analyse des diagrammes de Yutsis, un calcul graphique standard utilisé en chimie quantique et en gravité quantique, qui capture les principales caractéristiques de la théorie des représentations SU(2). Ensuite, on montre comment il s'intègre dans le calcul de binor de Penrose. Les deux sont ensuite subsumés et réécrits en diagrammes ZXH. Dans ce processus, nous montrons comment l'invariance SU(2) des symboles de Wigner peut être prouvée de manière triviale dans le calcul ZXH. En outre, nous montrons comment nous pouvons calculer explicitement les symboles 3jm, 4jm et 6j dans le diagramme. On pense depuis longtemps que la gravité quantique devrait être étroitement liée à la théorie de l'information quantique. Dans cet article, nous présentons une façon de rendre cette connexion exacte, en écrivant les réseaux de spin de la gravité quantique à boucles dans le langage ZX-diagrammatique du calcul quantique. Enfin, après avoir exposé les raisons de considérer les réseaux de spins comme la quantification de l'espace, nous discutons des opérateurs géométriques et, dans des cas spécifiques, nous fournissons des versions diagrammatiques des opérateurs. Plus généralement, ce qui est fait ici montre une voie par laquelle LQG peut être interprété en termes d'information quantique en réécrivant ses états cinématiques comme des réseaux de qubits dans ZXH.
Thermodynamique des bosons fortement interagissants : nouveaux résultats et approches numériques Les atomes froids dans les réseaux optiques permettent d'avoir un contrôle sans précédent des états a N-corps fortement corrélés. Pour cette raison, ils représentent un excellent outil pour l'implémentation d'un « simulateur quantique », utile pour réaliser de manière expérimentale de nombreux hamiltoniens de systèmes d'intérêt physique. En particulier, ils rendent possible la création de champs de jauge artificiels; ces derniers permettant d'accéder à la physique du magnétisme frustré. Dans ce travail, il s'agit de s'intéresser à la thermodynamique des atomes froids, en abordant ce sujet de manière théorique et numérique. A ce jour, le Monte Carlo quantique est la méthode la plus efficace dans ce domaine. Néanmoins, en raison de ce qu'on appelle le « problème du signe », elle ne peut s'appliquer qu'à une classe restreinte de systèmes, et dont par exemple les systèmes frustrés ne font pas partie. L'intérêt de cette thèse est de développer une nouvelle méthode approximée fondée sur une approche Monte Carlo. La première partie de cette thèse est consacrée à des considérations de nature théorique sur la structure spatiale des corrélations classiques et quantiques. Ces résultats nous permettent de développer, dans une deuxième partie, une approximation nommée « champ moyen quantique ». Celle-ci permet de proposer, dans une troisième partie, une méthode numérique qu'on appelle « Monte Carlo du champ auxiliaire » et qu'on applique à des cas d'intérêt physique, notamment au réseau triangulaire frustré.
Le domaine des problèmes quantiques à N-corps à l'équilibre et hors d'équilibre sont des sujets majeurs de la Physique et de la Physique de la matière condensée en particulier. Les propriétés d'équilibre de nombreux systèmes unidimensionnels en interaction sont bien comprises d'un point de vue théorique, des chaînes de spins aux théories quantiques des champs dans le continue. Ces progrès ont été rendus possibles par le développement de nombreuses techniques puissantes, comme, par exemple, l'ansatz de Bethe, le groupe de renormalisation, la bosonisation, les états produits de matrices ou la théorie des champs invariante conforme. Même si les propriétés à l'équilibre de nombreux modèles soient connues, ceci n'est en général pas suffisant pour décrire leurs comportements hors d'équilibre, et ces derniers restent moins explorés et beaucoup moins bien compris. Les modèles d'impuretés quantiques représentent certains des modèles à N-corps les plus simples. Mais malgré leur apparente simplicité ils peuvent capturer plusieurs phénomènes expérimentaux importants, de l'effet Kondo dans les métaux aux propriétés de transports dans les nanostructures, comme les points quantiques. Dans ce travail nous considérons un modèle d'impureté appelé "modèle de niveau résonnant en interaction" (IRLM). Ce modèle décrit des fermions sans spin se propageant dans deux fils semi-infinis qui sont couplés à un niveau résonant -- appelé point ou impureté quantique -- via un terme de saut et une répulsion Coulombienne. Nous nous intéressons aux situations hors d'équilibre où un courant de particules s'écoule à travers le point quantique, et étudions les propriétés de transport telles que le courant stationnaire (en fonction du voltage), la conductance différentielle, le courant réfléchi, le bruit du courant ou encore l'entropie d'intrication. Nous réalisons des simulations numériques de la dynamique du modèle avec la méthode du groupe de renormalisation de la matrice densité dépendent du temps (tDMRG), qui est basée sur une description des fonctions d'onde en terme d'états produits de matrices. Nous obtenons des résultats de grande précision concernant les courbes courant-voltage ou bruit-voltage de l'IRLM, dans un grand domaine de paramètres du modèle (voltage, force de l'interaction, amplitude de saut vers le dot, etc.). Ces résultats numériques sont analysés à la lumière de résultats exacts de théorie des champs hors d'équilibre qui ont été obtenus pour un modèle similaire à l'IRLM, le modèle de Sine-Gordon avec bord (BSG). Cette analyse est en particulier basée sur l'identification d'une échelle d'énergie Kondo et d'exposants décrivant les régimes de petit et grand voltage. Aux deux points particuliers où les modèles sont connus comme étant équivalents, nos résultats sont en accord parfait avec la solution exacte. En dehors de ces deux points particuliers nous trouvons que les courbes de transport de l'IRLM et du modèle BSG demeurent très proches, ce qui était inattendu et qui reste dans une certaine mesure inexpliqué.