Géométrie, topologie et dynamique des systèmes à N corps : perspectives quantiques et classiques Dans la présente thèse, nous étudions diverses instances de systèmes à N corps, tant quantiques et classiques, en adoptant une perspective géométrique et topologique. Les systèmes comportant un grand nombre de degrés de liberté peuvent présenter une grande variété de phénomènes émergents, allant de la métastabilité aux transition de phase, et leurs propriétés complexes échappent souvent à notre compréhension complète. Grâce à une inspection minutieuse des structures géométriques sous-jacentes à ces objets complexes et à l'aide de divers outils mathématiques, dont certains sont empruntés au domaine de la géométrie et de la topologie riemanniennes, nous tentons de caractériser leurs aspects les plus importants.La première partie de cette thèse se concentre sur le domaine de l'information quantique, explorant notamment les notions d'intrication quantique et de corrélations dans les systèmes quantiques discrets, d'abord dans des états purs, puis dans des états mixtes.Nous proposons une nouvelle mesure de l'intrication pour les états quantiques purs, l'entanglement distance, la discutons et la testons sur divers exemples.Nous étudions ensuite les états purs maximalement intriqués, révélant en partie leurs structures internes, en utilisant les notion intuitive de corrélation et de mesure projective. Ce faisant, nous sommes en mesure de montrer des relations simples entre les corrélations pré-mesure et les valeurs moyennes post-mesure, et de fournir une limite supérieure à la persistance d'intrication de tels états.Nous démontrons en outre comment les propriétés de connectivité d'un modèle paradigmatique de l'informatique quantique, le graph state, peuvent être sondées grâce à l'utilisation appropriée de corrélateurs quantiques.Notre étude est ensuite étendue au cadre des états quantiques mixtes. Nous déduisons de l'entanglement distance définie sur les états purs, les mesures induites de la corrélations quantique d'une part, et de l'intrication des états mixtes d'autre part. Nous soulignons les forces et les limites de cette dernière mesure, en particulier la lourde procédure d'optimisation qu'elle implique, et pour laquelle nous proposons une solution de contournement. Enfin, nous étudions la transition superradiante présente dans le modèle de Tavis-Cummings et révélons qu'elle s'accompagne d'un saut dans la corrélation quantique et l'intrication entre les atomes.Dans la deuxième partie de notre travail, nous abordons deux modèles classiques, tous deux possédant des comportements non ergodiques et fortement non-linéaires.Nous présentons d’abord une étude complète, à la fois numérique et analytique, d’un modèle jouet, exemple prototypique de modèle fortement non-additif à interaction à longue portée : l'Hamiltonien de champ moyen (HMF). À basse énergie dans l’ensemble microcanonique, un état métastable peut apparaître, appelé bicluster. En inspectant la dynamique d'une quantité macroscopique, la magnétisation, et en observant l'apparition de deux échelles de temps distinctes dans le système, nous proposons un scénario assez intuitif et cohérent expliquant la grande stabilité des biclusters, qui se maintiennent pendant de très longues durées.Nous introduisons enfin les résultats d'une étude numérique approfondie, appliquant la théorie topologique des transitions de phase à un modèle de verre. De tels systèmes sont notoirement difficiles à simuler et à équilibrer, en raison de leur dynamique très lente, caractéristique de la phase vitreuse, et de leur tendance à rester coincée dans de petites régions de l'espace des phases. Dans un cadre microcanonique, un complexe algorithme de Monte Carlo a été développé. Nos résultats, bien que préliminaires, sont encourageants : la chaleur spécifique présente des pics clairs pour deux valeurs de l'énergie, indiquant une transition du second ordre en deux étapes, en correspondance avec les changements topologiques des ensembles de niveaux équipotentiels sur lesquels le système est confiné.
Géométrie, topologie et dynamique des systèmes à N corps : perspectives quantiques et classiques Dans la présente thèse, nous étudions diverses instances de systèmes à N corps, tant quantiques et classiques, en adoptant une perspective géométrique et topologique. Les systèmes comportant un grand nombre de degrés de liberté peuvent présenter une grande variété de phénomènes émergents, allant de la métastabilité aux transition de phase, et leurs propriétés complexes échappent souvent à notre compréhension complète. Grâce à une inspection minutieuse des structures géométriques sous-jacentes à ces objets complexes et à l'aide de divers outils mathématiques, dont certains sont empruntés au domaine de la géométrie et de la topologie riemanniennes, nous tentons de caractériser leurs aspects les plus importants.La première partie de cette thèse se concentre sur le domaine de l'information quantique, explorant notamment les notions d'intrication quantique et de corrélations dans les systèmes quantiques discrets, d'abord dans des états purs, puis dans des états mixtes.Nous proposons une nouvelle mesure de l'intrication pour les états quantiques purs, l'entanglement distance, la discutons et la testons sur divers exemples.Nous étudions ensuite les états purs maximalement intriqués, révélant en partie leurs structures internes, en utilisant les notion intuitive de corrélation et de mesure projective. Ce faisant, nous sommes en mesure de montrer des relations simples entre les corrélations pré-mesure et les valeurs moyennes post-mesure, et de fournir une limite supérieure à la persistance d'intrication de tels états.Nous démontrons en outre comment les propriétés de connectivité d'un modèle paradigmatique de l'informatique quantique, le graph state, peuvent être sondées grâce à l'utilisation appropriée de corrélateurs quantiques.Notre étude est ensuite étendue au cadre des états quantiques mixtes. Nous déduisons de l'entanglement distance définie sur les états purs, les mesures induites de la corrélations quantique d'une part, et de l'intrication des états mixtes d'autre part. Nous soulignons les forces et les limites de cette dernière mesure, en particulier la lourde procédure d'optimisation qu'elle implique, et pour laquelle nous proposons une solution de contournement. Enfin, nous étudions la transition superradiante présente dans le modèle de Tavis-Cummings et révélons qu'elle s'accompagne d'un saut dans la corrélation quantique et l'intrication entre les atomes.Dans la deuxième partie de notre travail, nous abordons deux modèles classiques, tous deux possédant des comportements non ergodiques et fortement non-linéaires.Nous présentons d’abord une étude complète, à la fois numérique et analytique, d’un modèle jouet, exemple prototypique de modèle fortement non-additif à interaction à longue portée : l'Hamiltonien de champ moyen (HMF). À basse énergie dans l’ensemble microcanonique, un état métastable peut apparaître, appelé bicluster. En inspectant la dynamique d'une quantité macroscopique, la magnétisation, et en observant l'apparition de deux échelles de temps distinctes dans le système, nous proposons un scénario assez intuitif et cohérent expliquant la grande stabilité des biclusters, qui se maintiennent pendant de très longues durées.Nous introduisons enfin les résultats d'une étude numérique approfondie, appliquant la théorie topologique des transitions de phase à un modèle de verre. De tels systèmes sont notoirement difficiles à simuler et à équilibrer, en raison de leur dynamique très lente, caractéristique de la phase vitreuse, et de leur tendance à rester coincée dans de petites régions de l'espace des phases. Dans un cadre microcanonique, un complexe algorithme de Monte Carlo a été développé. Nos résultats, bien que préliminaires, sont encourageants : la chaleur spécifique présente des pics clairs pour deux valeurs de l'énergie, indiquant une transition du second ordre en deux étapes, en correspondance avec les changements topologiques des ensembles de niveaux équipotentiels sur lesquels le système est confiné.
Exploring quantum dynamics : from hydrodynamics to measurement induced phase transition Dans cette thèse, nous plongeons dans le monde de la dynamique quantique, dans le but de comprendre les comportements complexes qui se manifestent dans les systèmes quantiques à plusieurs corps et l'émergence des comportements hydrodynamiques. À travers les chapitres, nous simplifions les concepts clés essentiels à la compréhension du fonctionnement des systèmes quantiques. Le Chapitre 1 présente un aperçu des concepts fondamentaux sur les phénomènes émergents dans les systèmes quantiques intégrables et l'hydrodynamique généralisée, qui est essentiel pour comprendre les complexités de la dynamique quantique. De plus, nous proposons une introduction approfondie aux États de Produit de Matrice, qui sont un outil précieux pour simuler efficacement la dynamique quantique dans les systèmes 1D. Dans le Chapitre 2, nous développons un modèle pour décrire la relaxation des hélices de spin en utilisant le cadre de la dynamique hydrodynamique généralisée avec des corrections diffusives et une version modifiée de l'approximation de la densité locale. Notre analyse démontre que ce cadre hydrodynamique reproduit avec précision les dynamiques de relaxation observées expérimentalement. De plus, il prédit le comportement de relaxation à long terme, qui dépasse les échelles de temps accessibles expérimentalement. Notre cadre théorique élucide l'apparition de régimes temporels présentant une diffusion apparemment anormale et met en évidence l'asymétrie entre les régimes d'anisotropie positifs et négatifs à court et à moyen terme. Le Chapitre 3 explore les phénomènes intrigants observés dans le régime de l'axe facile |Δ| ≥ 1, où les états initiaux sans fluctuations magnétiques se relaxent localement vers un état d'équilibre exotique que nous appellerons ensemble généralisé de Gibbs compressé. Au point isotrope, nous avons trouvé un comportement inhabituel qui dépend explicitement de l'état initial. En particulier, pour l'état de Néel, nous avons trouvé des fluctuations étendues et un exposant dynamique super-diffusif compatible avec l'universalité de Kardar-Parisi-Zhang. Pour un autre état initial sans fluctuations, par exemple, l'état produit de singulets de spin, nous avons trouvé une mise à l'échelle diffusive. Dans le Chapitre 4, nous étudions l'évolution temporelle de chaînes de spin quantiques étendues sous surveillance continue en utilisant des états de produit de matrice avec une dimension de liaison fixe, en employant l'algorithme du Principe Variationnel Dépendant du Temps. Cet algorithme produit une évolution non linéaire classique efficace avec une charge conservée, offrant une approximation de l'évolution quantique réelle avec une certaine erreur. Nous constatons que le taux d'erreur présente une transition de phase lorsque la force de la surveillance varie, et cette transition peut être identifiée avec précision grâce à une analyse de mise à l'échelle avec des dimensions de liaison relativement petites. Notre approche permet une détermination numérique efficace des paramètres critiques associés aux transitions de phase induites par la mesure dans les systèmes quantiques à plusieurs corps. De plus, en présence d'une charge de spin globale U(1), nous observons une transition distincte d'affinement de la charge, qui se produit indépendamment de la transition d'entrelacement. Cette transition est identifiée en analysant les fluctuations de charge dans un sous-ensemble local du système sur des périodes de temps étendues. Nos découvertes mettent en évidence l'efficacité de l'évolution temporelle TDVP comme moyen de détecter les transitions de phase induites par la mesure dans des systèmes de dimensions et de tailles variables.Enfin, le dernier chapitre offre un résumé conclusif des résultats et discute des pistes potentielles pour la recherche future.
De nombreux phénomènes de physique quantique ne peuvent être compris que par l'analyse des systèmes ouverts. Un appareil de mesure, par exemple, est un système macroscopique en contact avec un système quantique. Ainsi, tout modèle d'expérience doit prendre en compte les dynamiques propres aux systèmes ouverts. Ces dynamiques peuvent être complexes : l'interaction du système avec son environnement peut modifier ses propriétés, l'interaction peu créer des effets de mémoire dans l'évolution du système, . . . Ces dynamiques sont particulièrement importantes dans l'étude des expériences d'optique quantique. Nous sommes aujourd'hui capables de manipuler individuellement des particules. Pour cela la compréhension et le contrôle de l'influence de l'environnement est crucial. Dans cette thèse nous étudions d'un point de vue théorique quelques procédures communément utilisées en optique quantique. Avant la présentation de nos résultats, nous introduisons et motivons l'utilisation de la description markovienne des systèmes quantiques ouverts. Nous présentons a la fois les équations maîtresses et le calcul stochastique quantique. Nous introduisons ensuite la notion de trajectoire quantique pour la description des mesures indirectes continues. C'est dans ce contexte que l'on présente les résultats obtenus au cours de cette thèse. Dans un premier temps, nous étudions la convergence des mesures non destructives. Nous montrons qu'elles reproduisent la réduction du paquet d'onde du système mesuré. Nous montrons que cette convergence est exponentielle avec un taux fixe. Nous bornons le temps moyen de convergence. Dans ce cadre, en utilisant les techniques de changement de mesure par martingale, nous obtenons la limite continue des trajectoires quantiques discrètes. Dans un second temps, nous étudions l'influence de l'enregistrement des résultats de mesure sur la préparation d'état par ingénierie de réservoir. Nous montrons que l'enregistrement des résultats de mesure n'a pas d'influence sur la convergence proprement dite. Cependant, nous trouvons que l'enregistrement des résultats de mesure modifie le comportement du système avant la convergence. Nous retrouvons une convergence exponentielle avec un taux équivalent au taux sans enregistrement. Mais nous trouvons aussi un nouveau taux de convergence correspondant a une stabilité asymptotique. Ce dernier taux est interprété comme une mesure non destructive ajoutée. Ainsi l'état du système ne converge qu'après un temps aléatoire. A partir de ce temps la convergence peut être bien plus rapide. Nous obtenons aussi une borne sur le temps moyen de convergence.
Systèmes quantiques ouverts et processus stochastiques quantiques De nombreux phénomènes de physique quantique ne peuvent être compris que par l'analyse des systèmes ouverts. Un appareil de mesure, par exemple, est un système macroscopique en contact avec un système quantique. Ainsi, tout modèle d'expérience doit prendre en compte les dynamiques propres aux systèmes ouverts. Ces dynamiques peuvent être complexes : l'interaction du système avec son environnement peut modifier ses propriétés, l'interaction peu créer des effets de mémoire dans l'évolution du système, . . . Ces dynamiques sont particulièrement importantes dans l'étude des expériences d'optique quantique. Nous sommes aujourd'hui capables de manipuler individuellement des particules. Pour cela la compréhension et le contrôle de l'influence de l'environnement est crucial. Dans cette thèse nous étudions d'un point de vue théorique quelques procédures communément utilisées en optique quantique. Avant la présentation de nos résultats, nous introduisons et motivons l'utilisation de la description markovienne des systèmes quantiques ouverts. Nous présentons a la fois les équations maîtresses et le calcul stochastique quantique. Nous introduisons ensuite la notion de trajectoire quantique pour la description des mesures indirectes continues. C'est dans ce contexte que l'on présente les résultats obtenus au cours de cette thèse. Dans un premier temps, nous étudions la convergence des mesures non destructives. Nous montrons qu'elles reproduisent la réduction du paquet d'onde du système mesuré. Nous montrons que cette convergence est exponentielle avec un taux fixe. Nous bornons le temps moyen de convergence. Dans ce cadre, en utilisant les techniques de changement de mesure par martingale, nous obtenons la limite continue des trajectoires quantiques discrètes. Dans un second temps, nous étudions l'influence de l'enregistrement des résultats de mesure sur la préparation d'état par ingénierie de réservoir. Nous montrons que l'enregistrement des résultats de mesure n'a pas d'influence sur la convergence proprement dite. Cependant, nous trouvons que l'enregistrement des résultats de mesure modifie le comportement du système avant la convergence. Nous retrouvons une convergence exponentielle avec un taux équivalent au taux sans enregistrement. Mais nous trouvons aussi un nouveau taux de convergence correspondant a une stabilité asymptotique. Ce dernier taux est interprété comme une mesure non destructive ajoutée. Ainsi l'état du système ne converge qu'après un temps aléatoire. A partir de ce temps la convergence peut être bien plus rapide. Nous obtenons aussi une borne sur le temps moyen de convergence.
Dynamiques quantiques sur réseaux Le domaine de l’informatique quantique a connu ces dernières années un fort développement. Un nouveau phénomène a récemment été découvert sur atomes de Rydberg, le scarring, qui s’est révélé être un nouveau mécanisme de brisure d’ergodicité: certains états initiaux n’explorent pas l’entièreté de l’espace de Hilbert mais restent localisés. Ce type de mécanisme a un potentiel intérêt pour encoder de l’information dans des systèmes quantiques.Dans cette thèse, on étudie des dynamiques discrètes en espace temps, qui sont des modèles quantiques simples à plusieurs corps. Des exemples de ces dynamiques discrètes sont les marches quantiques et les automates cellulaires quantiques. Elles sont écrites en termes de portes quantiques, ce qui les rend adaptées aux plateformes expérimentales.Dans la première partie de la thèse, on s’est intéressé à ces dynamiques discrètes dans le but de simuler un système physique. Plus précisément, nous proposons un automate cellulaire quantique et montrons sa convergence vers une théorie quantique des champs, le modèle de Schwinger en 1+1 dimensions.Dans la seconde partie de la thèse, nous investiguons ces dynamiques quantiques hors équilibre et étudions leurs propriétés de thermalisation sous le point de vue de l’information quantique.Nous proposons une généralisation de la marche quantique telle qu’elle interagit avec des spins situés sur les liens d’un réseau, et nous étudions les propriétés de propagation de l’aimantation et de l’intrication.Nous étudions ensuite un automate cellulaire quantique et découvrons que parmi les états chaotiques générés par la dynamique une hiérarchie peut émerger.
Contextualité quantique, géométries finies & informatique quantique Le développement de machines quantiques de tailles modestes accessibles en ligne permet aujourd'hui de réaliser des expériences sur des calculateurs à distance. L'avantage de l'informatique quantique repose sur des phénomènes strictement non classiques, tels que la superposition et l'intrication, qui sont des ressources maintenant bien connues. Le phénomène non-classique de la contextualité est peut-être moins bien établi bien qu'il ouvre aussi des perspectives très intéressntes à travers de nombreuses applications telles que la cryptographie quantique, les codes d'accès aléatoires, les codes correcteurs d'erreurs et l'avantage du coût de la mémoire pour la simulation des mesures quantiques. L'objectif de cette thèse est triple : développer de nouveaux tests résistants au bruit pour démontrer la contextualité avec des ordinateurs quantiques bruités d'échelle intermédiaire ; concevoir des algorithmes quantiques pour calculer les limites classiques de ces tests, avec une meilleure complexité par rapport aux algorithmes existants ; interpreter les invariants algébriques, utilisés pour distinguer les classes d'intrication, en termes d'observables à base d'opérateurs de Pauli. À ces fins, l'utilisation de configurations géométriques telles que les espaces polaires symplectiques et leurs sous-géométries est largement exploitée, permettant d'établir un lien solide entre le domaine, relativement ancien des géométries finies, et les concepts plus récents de la théorie de l'information quantique. Pour le premier objectif, nous utilisons l'apport de la géométrie pour fournir des tests de contextualité qui violent largement les limites classiques sur tous les ordinateurs quantiques IBM. Ces tests démontrent empiriquement l'absence de modèles à variables cachées non contextuelles décrivant le système sous-jacent. C'est un résultat d'intérêt ontologique. Plus précisément, il s'agit de la première violation connue du jeu de pseudotélépathie de Mermin sur de telles machines, et des plus grandes violations du test de Rio Negro. Concernant le deuxième objectif, nous nous appuyons sur les symétries de nos géométries pour construire un algorithme quantique basé sur l'algorithme de recherche de Grover. Cet algorithme identifie une affectation optimale de variables cachées classiques avec une complexité comparable à l'algorithme de Grover. Un tel avantage algorithmique est intéressant dans une grande famille de problèmes, connus sous le nom de Max Lin 2, où plusieurs contraintes sur un ensemble de données ne peuvent pas être satisfaites simultanément. Ainsi, l'étude de la contextualité - qui peut être vue comme une limitation de la satisfaction logique pour décrire les systèmes physiques - peut apporter de nouvelles perspectives à des problèmes où la satisfaction d'instruction logique simultanée n'est pas viable. Enfin, pour le troisième objectif, nous proposons de nombreuses connexions entre les géométries finies et les invariants algébriques, en commençant par des liens entre les quadrangles généralisés et les invariants cubiques de Cartan, puis en montrant comment les géométries maximalement mixtes permettent de reconstruire les polynômes de Mermin, et finalement en décrivant les sous-ensembles minimaux d'opérateurs de Pauli qui permettent de calculer les hyperdéterminants. On peut ainsi, grâce à ces invariants, identifier la classe d'intrication de systèmes de qubits N=2,3,4 par des mesures sans avoir besoin d'une tomographie complète du système. En résumé dans cette thèse, nous abordons une grande variété de questions à l'intersection de la géométrie finie et de l'informatique quantique - de la conception de tests de contextualité à l'étude de la non-localité à travers des invariants algébriques en passant par le calcul quantique de bornes classiques. Les idées proposées dans ce travail pourront être utiles à la fois pour l'étude des fondements de la mécanique quantique et pour son application à l'informatique quantique.
Le développement de machines quantiques de tailles modestes accessibles en ligne permet aujourd'hui de réaliser des expériences sur des calculateurs à distance. L'avantage de l'informatique quantique repose sur des phénomènes strictement non classiques, tels que la superposition et l'intrication, qui sont des ressources maintenant bien connues. Le phénomène non-classique de la contextualité est peut-être moins bien établi bien qu'il ouvre aussi des perspectives très intéressntes à travers de nombreuses applications telles que la cryptographie quantique, les codes d'accès aléatoires, les codes correcteurs d'erreurs et l'avantage du coût de la mémoire pour la simulation des mesures quantiques. L'objectif de cette thèse est triple : développer de nouveaux tests résistants au bruit pour démontrer la contextualité avec des ordinateurs quantiques bruités d'échelle intermédiaire ; concevoir des algorithmes quantiques pour calculer les limites classiques de ces tests, avec une meilleure complexité par rapport aux algorithmes existants ; interpreter les invariants algébriques, utilisés pour distinguer les classes d'intrication, en termes d'observables à base d'opérateurs de Pauli. À ces fins, l'utilisation de configurations géométriques telles que les espaces polaires symplectiques et leurs sous-géométries est largement exploitée, permettant d'établir un lien solide entre le domaine, relativement ancien des géométries finies, et les concepts plus récents de la théorie de l'information quantique. Pour le premier objectif, nous utilisons l'apport de la géométrie pour fournir des tests de contextualité qui violent largement les limites classiques sur tous les ordinateurs quantiques IBM. Ces tests démontrent empiriquement l'absence de modèles à variables cachées non contextuelles décrivant le système sous-jacent. C'est un résultat d'intérêt ontologique. Plus précisément, il s'agit de la première violation connue du jeu de pseudotélépathie de Mermin sur de telles machines, et des plus grandes violations du test de Rio Negro. Concernant le deuxième objectif, nous nous appuyons sur les symétries de nos géométries pour construire un algorithme quantique basé sur l'algorithme de recherche de Grover. Cet algorithme identifie une affectation optimale de variables cachées classiques avec une complexité comparable à l'algorithme de Grover. Un tel avantage algorithmique est intéressant dans une grande famille de problèmes, connus sous le nom de Max Lin 2, où plusieurs contraintes sur un ensemble de données ne peuvent pas être satisfaites simultanément. Ainsi, l'étude de la contextualité - qui peut être vue comme une limitation de la satisfaction logique pour décrire les systèmes physiques - peut apporter de nouvelles perspectives à des problèmes où la satisfaction d'instruction logique simultanée n'est pas viable. Enfin, pour le troisième objectif, nous proposons de nombreuses connexions entre les géométries finies et les invariants algébriques, en commençant par des liens entre les quadrangles généralisés et les invariants cubiques de Cartan, puis en montrant comment les géométries maximalement mixtes permettent de reconstruire les polynômes de Mermin, et finalement en décrivant les sous-ensembles minimaux d'opérateurs de Pauli qui permettent de calculer les hyperdéterminants. On peut ainsi, grâce à ces invariants, identifier la classe d'intrication de systèmes de qubits N=2,3,4 par des mesures sans avoir besoin d'une tomographie complète du système. En résumé dans cette thèse, nous abordons une grande variété de questions à l'intersection de la géométrie finie et de l'informatique quantique - de la conception de tests de contextualité à l'étude de la non-localité à travers des invariants algébriques en passant par le calcul quantique de bornes classiques. Les idées proposées dans ce travail pourront être utiles à la fois pour l'étude des fondements de la mécanique quantique et pour son application à l'informatique quantique.