Vortex quantiques, statistiques de la circulation de la vitesse et excitations dans la turbulence superfluide La superfluidité est un état fascinant de la matière caractérisé par l'absence de viscosité et la présence de défauts topologiques avec une circulation de vitesse quantifiée. Ces structures fondamentales de l'écoulement, également appelées vortex quantiques, peuvent interagir et se reconnecter suivant une dynamique très complexe. Le mouvement chaotique et désordonné de ces structures est connu sous le nom de turbulence quantique. Ces structures présentent une physique multi-échelle riche et certaines similitudes avec la turbulence classique, tel que la présence d'une cascade d'énergie de type Kolmogorov à grande échelle. Quelques exemples typiques de superfluides sont les condensats de Bose-Einstein et l'hélium superfluide à très basse température.Dans cette Thèse, nous étudions numériquement et analytiquement les propriétés statistiques de la turbulence quantique. Nous introduisons une équation de Gross-Pitaevskii généralisée qui prend en compte des interactions fortes et non locales entre les bosons. En particulier, ce modèle permet de considérer le minimum des rotons dans le spectre d'excitation observé dans l'hélium superfluide. En effectuant des simulations numériques directes, nous abordons deux problèmes spécifiques dans ce modèle : l'étude des propriétés de turbulence quantique de l'écoulement d'une part, et le processus de nucléation de vortex et d'émission des rotons dans le sillage d'un obstacle se déplaçant à différentes vitesses d'autre part.La Thèse traite principalement de l'étude des statistiques de la circulation de la vitesse. Cette quantité, définie par l'intégrale de lignes du champ de vitesse autour d'une boucle fermée, mesure la rotation locale dans l'écoulement à une échelle donnée. L'objectif est de caractériser la nature intermittente des statistiques de circulation dans la turbulence quantique, de fournir une comparaison avec la turbulence classique et de développer des modèles analytiques pour décrire les deux systèmes. Pour ce faire, nous analysons les données de simulations numériques directes à haute résolution de trois modèles : l'équation de Gross-Pitaevskii pour les fluides quantiques à basse température, les équations de Navier-Stokes pour les fluides classiques incompressibles et un modèle à deux fluides pour les superfluides à température finie. Nous analysons également des données expérimentales obtenues avec de l'hélium superfluide. Enfin, nous présentons quelques études préliminaires sur la circulation des vitesses dans la turbulence quantique bidimensionnelle.
Vortex quantiques, statistiques de la circulation de la vitesse et excitations dans la turbulence superfluide La superfluidité est un état fascinant de la matière caractérisé par l'absence de viscosité et la présence de défauts topologiques avec une circulation de vitesse quantifiée. Ces structures fondamentales de l'écoulement, également appelées vortex quantiques, peuvent interagir et se reconnecter suivant une dynamique très complexe. Le mouvement chaotique et désordonné de ces structures est connu sous le nom de turbulence quantique. Ces structures présentent une physique multi-échelle riche et certaines similitudes avec la turbulence classique, tel que la présence d'une cascade d'énergie de type Kolmogorov à grande échelle. Quelques exemples typiques de superfluides sont les condensats de Bose-Einstein et l'hélium superfluide à très basse température.Dans cette Thèse, nous étudions numériquement et analytiquement les propriétés statistiques de la turbulence quantique. Nous introduisons une équation de Gross-Pitaevskii généralisée qui prend en compte des interactions fortes et non locales entre les bosons. En particulier, ce modèle permet de considérer le minimum des rotons dans le spectre d'excitation observé dans l'hélium superfluide. En effectuant des simulations numériques directes, nous abordons deux problèmes spécifiques dans ce modèle : l'étude des propriétés de turbulence quantique de l'écoulement d'une part, et le processus de nucléation de vortex et d'émission des rotons dans le sillage d'un obstacle se déplaçant à différentes vitesses d'autre part.La Thèse traite principalement de l'étude des statistiques de la circulation de la vitesse. Cette quantité, définie par l'intégrale de lignes du champ de vitesse autour d'une boucle fermée, mesure la rotation locale dans l'écoulement à une échelle donnée. L'objectif est de caractériser la nature intermittente des statistiques de circulation dans la turbulence quantique, de fournir une comparaison avec la turbulence classique et de développer des modèles analytiques pour décrire les deux systèmes. Pour ce faire, nous analysons les données de simulations numériques directes à haute résolution de trois modèles : l'équation de Gross-Pitaevskii pour les fluides quantiques à basse température, les équations de Navier-Stokes pour les fluides classiques incompressibles et un modèle à deux fluides pour les superfluides à température finie. Nous analysons également des données expérimentales obtenues avec de l'hélium superfluide. Enfin, nous présentons quelques études préliminaires sur la circulation des vitesses dans la turbulence quantique bidimensionnelle.
Dynamique des particules actives dans les superfluides et leur interaction avec les vortex quantiques Les superfluides sont des fluides non visqueux dans lesquels la vorticité se concentre sur des filaments ayant une circulation quantifiée. Ces objets, appelés vortex quantiques, possèdent un comportement hydrodynamique. Expérimentalement, la dynamique des superfluides est souvent étudiée en utilisant des particules. Les particules sont aujourd’hui devenues l’outil principal pour visualiser les vortex quantiques. Dans cette thèse, nous étudions numériquement et analytiquement la dynamique des particules actives et de taille finie dans les superfluides. Le superfluide est modélisé avec l’équation Gross–Pitaevskii, tandis que les particules sont implémentées comme des potentiels répulsifs mobiles couplés avec la fonction d’onde macroscopique décrivant le superfluide. Le modèle est utilisé pour étudier l’interaction entre les particules et les tourbillons quantiques à très basse température. Cette première partie vise à donner un contexte théorique aux expériences actuelles dans lesquelles des particules macroscopiques sont utilisées pour échantillonner les vortex superfluides et la turbulence quantique. Plus précisément, nous abordons les problèmes suivants : la capture d’une particule par un vortex quantique, les reconnexions des filaments de vortex et la propagation des ondes Kelvin en présence de particules piégées, ainsi que la dynamique des particules dans la turbulence quantique en déclin. Dans la dernière partie du manuscrit, les effets de température finis sont étudiés dans le modèle Gross–Pitaevskii avec une troncature spectrale. L’objectif est de caractériser la dynamique des impuretés immergées dans un bain thermal et comment leur présence modifie les propriétés statistiques du fluide. En particulier, le mouvement aléatoire des impuretés et la dépendance en température du coefficient de frottement sont étudiés. Enfin, le clustering des impuretés et son effet sur les transitions de phase du condensat sont examinés.
Depuis la description de la condensation d'un gaz de boson refroidit à 0K par Bose puis Einstein au début du XXe siècle, de nombreux travaux mathématiques, physiques et numériques ont été dédiés à l'étude des condensats de Bose-Einstein, et plus généralement de la superfluidité. Nous proposons dans cette étude des outils numériques dédiés à l'étude des excitations dans les condensats, ainsi qu'un modèle de la friction mutuelle dans l'hélium-II. Le modèle de Gross-Pitaevskii, consistant en une équation de Schrödinger non-linéaire, est utilisé pour décrire les superfluides. Des algorithmes basés sur les éléments finis, accompagnées d'une implémentation via le logiciel FreeFem++, sont proposées pour identifier les vortex dans des simulations numériques 2D et 3D ainsi que dans des images expérimentales. Diverses propriétés des vortex identifiés sont calculées: rayon des vortex, spectre de Kelvin, courbure, etc. Le problème aux valeurs propres de Bogoliubov-de Gennes, décrivant la stabilité d'un état stationnaire grâce à une linéarisation de l'équation de Gross-Pitaevskii autour de cet état, est ensuite étudié en couplant une méthode de Newton pour la recherche de l'état stationnaire et une bibliothèque de calcul de valeurs propres (ARPACK ou SLEPc) pour la résolution de l'équation de Bogoliubov-de Gennes. Deux codes FreeFem++ utilisant l'adaptation de maillage, l'un séquentiel, l'autre parallèlisé avec PETSc, sont proposés. Leur fonctionnement est validé sur des cas tests issus de la littérature pour des condensats à une et deux composantes. En ce qui concerne la friction mutuelle dans l'hélium-II, un modèle phénoménologique couplant les équations de Navier-Stokes et de Gross-Pitaevskii est proposé. Ce modèle est implémenté dans un code pseudo-spectral Fortran parallélisé et testé en deux et trois dimensions sur des exemples où des résultats analytiques dans le cas d'un couplage dans une seule direction permettent la détermination des paramètres numériques. Des résultats connus sont retrouvés pour valider le travail de modélisation effectué et des simulations de structures formées de trois anneaux de vortex et de reconnection de lignes de vortex sont réalisées.
Depuis la description de la condensation d'un gaz de boson refroidit à 0K par Bose puis Einstein au début du XXe siècle, de nombreux travaux mathématiques, physiques et numériques ont été dédiés à l'étude des condensats de Bose-Einstein, et plus généralement de la superfluidité. Nous proposons dans cette étude des outils numériques dédiés à l'étude des excitations dans les condensats, ainsi qu'un modèle de la friction mutuelle dans l'hélium-II. Le modèle de Gross-Pitaevskii, consistant en une équation de Schrödinger non-linéaire, est utilisé pour décrire les superfluides. Des algorithmes basés sur les éléments finis, accompagnées d'une implémentation via le logiciel FreeFem++, sont proposées pour identifier les vortex dans des simulations numériques 2D et 3D ainsi que dans des images expérimentales. Diverses propriétés des vortex identifiés sont calculées: rayon des vortex, spectre de Kelvin, courbure, etc. Le problème aux valeurs propres de Bogoliubov-de Gennes, décrivant la stabilité d'un état stationnaire grâce à une linéarisation de l'équation de Gross-Pitaevskii autour de cet état, est ensuite étudié en couplant une méthode de Newton pour la recherche de l'état stationnaire et une bibliothèque de calcul de valeurs propres (ARPACK ou SLEPc) pour la résolution de l'équation de Bogoliubov-de Gennes. Deux codes FreeFem++ utilisant l'adaptation de maillage, l'un séquentiel, l'autre parallèlisé avec PETSc, sont proposés. Leur fonctionnement est validé sur des cas tests issus de la littérature pour des condensats à une et deux composantes. En ce qui concerne la friction mutuelle dans l'hélium-II, un modèle phénoménologique couplant les équations de Navier-Stokes et de Gross-Pitaevskii est proposé. Ce modèle est implémenté dans un code pseudo-spectral Fortran parallélisé et testé en deux et trois dimensions sur des exemples où des résultats analytiques dans le cas d'un couplage dans une seule direction permettent la détermination des paramètres numériques. Des résultats connus sont retrouvés pour valider le travail de modélisation effectué et des simulations de structures formées de trois anneaux de vortex et de reconnection de lignes de vortex sont réalisées.
L étude des vortex trouve sa justification dans le rôle que ces derniers jouent dans la turbulence quantique. L équation de Gross-Pitaevskii ne peut pas nous permettre de modéliser convenablement l Hélium superfluide, mais on peut l utiliser pour obtenir le paramètre d'ordre d un superfluide modèle, ayant le maximum de propriétés en commun avec l Hélium, notamment une courbe de dispersion identique, par la modification du terme d interactions.En supposant que le minimum roton influence l essentiel de la physique, on détermine la forme du paramètre d ordre loin de la perturbation créée par le vortex rectilinéaire axisymétrique par deux approches différentes - il apparaît alors que seuls deux paramètres sont nécessaires pour caractériser entièrement le profil.Le modèle proposé par Pomeau-Rica, qui offre la possibilité d étudier le superfluide près de la cristallisation, met en lumière l impact de la profondeur du minimum roton sur l amplitude des oscillations. Par comparaison avec les résultats obtenus ab initio par Reatto, les résultats donnés par le modèle de Berloff-Roberts exhibent un déphasage marqué, qui semble être une conséquence non-physique de la forme du spectre d excitation. Les calculs énergétiques laissent à penser que les oscillations portent une faible fraction de l énergie du vortex, l'énergie cinétique dominant.Le calcul du paramètre d ordre est effectué pour un anneau de grande taille par rapport à la distance interatomique, à vitesse nulle et à vitesse non-nulle. La détermination des énergies potentielle et cinétique permet d accéder à la vitesse maximale atteinte par l anneau en fonction de son rayon et de la comparer à la vitesse critique de Landau.
Cette etude se situe dans le domaine de l'helium-4 superfluide ultra-pur a temperature proche du zero absolu, et concerne la dissipation produite par l'apparition, au-dela d'une vitesse de nucleation, de tourbillons quantifies (vortex) aux bords d'un micro-orifice faisant partie d'un resonateur de helmholtz hydrodynamique. Apres la traversee des lignes de courant par les filaments de vortex, la phase superfluide enregistre des sauts quantifies qui se traduisent par une chute de debit et par une circulation piegee par quanta, cette derniere etant detectee par la dissymetrie induite dans l'ecoulement. L'analyse des generations de tourbillons en cascade revele deux regimes domines dans l'un par des sauts multiples (a haute pression) qui peuvent eteindre l'ecoulement et dans l'autre par des sauts simples (a basse pression), nettement differenties par le parametre critique relevant qu'est la vitesse de nucleation. A basse pression existe une autre categorie de sauts en cascade (rares) qui necessitent la liberation prealable de vorticite et se produisent a des vitesses sous-critiques. Une modelisation de trajectoires indique comment des vortex peuvent renverser l'ecoulement et se deplacer en groupe sur des trajectoires moyennes, engendrant des sauts de phase multiples. Enfin, les bases du couplage d'une rotation des parois au superfluide sont posees en terme de surface de couplage. Cet effet permet de prevoir une mesure du champ de rotation terrestre avec une grande precision et un controle futur des courants pieges
Transport stationnaire dans des fluides quantiques de basse dimensionnalité Les fluides quantiques, tels que les condensats de Bose-Einstein ou les superfluides de lumière - deux systèmes d'intérêt dans ce manuscrit - offrent des plateformes fascinantes pour explorer des phénomènes physiques fondamentaux sous des conditions extrêmes. L'un des aspects cruciaux de ces systèmes est leur comportement face à des perturbations, pouvant entraîner des transitions entre différents régimes de transport pour des vitesses critiques bien définies. L'objet de notre étude est donc d'examiner un fluide quantique s'écoulant à une vitesse donnée et rencontrant un obstacle aux paramètres arbitraires. Nous avons développé des modèles intégrant le potentiel non-linéaire d'interaction, permettant de traiter divers systèmes tels que les atomes froids ou les fluides de lumière, et d'aller au-delà des résultats bien connus dans la communauté. Nous avons commencé par explorer les systèmes unidimensionnels, cherchant à établir une carte complète des régimes de transport stationnaires possibles. Notre attention s'est d'abord portée sur le régime superfluide, avec une étude analytique et numérique approfondie de la vitesse critique de superfluidité, montrant une dépendance non-triviale des paramètres du problème. Ce travail a ensuite été étendu aux superfluides de lumière en incluant un traitement systématique des pertes, montrant qu'elles ne modifient pas fondamentalement nos résultats tant qu'elles restent linéaires et homogènes. S'ensuit l'étude d'un autre régime de transport stationnaire à une dimension, à des vitesses supersoniques. Grâce à des méthodes similaires, nous avons mis en lumière une autre vitesse critique, la séparatrice supersonique, et l'avons étudiée analytiquement et numériquement en fonction des paramètres du problème. Cette étude a révélé l'existence d'états ayant une dynamique similaire à celle du régime superfluide, mais à des vitesses supersoniques. Enfin, nous avons exploré la superfluidité dans des systèmes bidimensionnels. Afin d'aller au-delà des résultats préexistants, nous avons développé un modèle tenant compte de la compressibilité du fluide, la non-linéarité du système, et la pénétrabilité de l'obstacle. L'analyse conjointe de notre modèle et des simulations a mis en évidence deux mécanismes distincts pour briser la superfluidité, dépendant de l'amplitude de l'obstacle. Nous avons ensuite réalisé diverses simulations numériques afin d'avoir une vision plus concrète de ces phénomènes, et avons entamé une étude préliminaire sur l'éjection des vortex dans le fluide quantique. En accord qualitatif avec des résultats expérimentaux récents obtenus pour d'autres types d'obstacles, notre modèle simplifié constitue un pas en avant dans l'étude de la superfluidité, avec des implications potentielles pour d'autres plateformes expérimentales, au-delà des atomes froids.