Le clonage asymétrique en théorie quantique de l’information Cette thèse étudie le clonage quantique et des problèmes relatifs d'intrication quantique en utilisant les concepts fondamentaux de la théorie des représentations, en particulier ceux associés au groupe symétrique. La recherche explore la dualité de Schur-Weyl et ses extensions, qui permettent une représentation et une manipulation efficaces des systèmes quantiques, constituant un outil précieux pour la théorie de l'information quantique. Une application principale de la dualité de Schur-Weyl est le problème du clonage quantique, qui est étudié à la fois pour les cas 1 → 2 et pour les cas plus généraux 1 → N, apportant de nouvelles perspectives sur les contraintes imposées par le théorème du non-clonage. L'étude s'étend ensuite à un problème d'intrication quantique plus général sur un graphe complet. La thèse est organisée en chapitres sur la dualité de Schur-Weyl, les fondations mathématiques de la mécanique quantique, les problèmes de clonage quantique et les problèmes d'intrication quantique, avec une annexe fournissant un aperçu de la théorie des représentations.
Le clonage asymétrique en théorie quantique de l’information Cette thèse étudie le clonage quantique et des problèmes relatifs d'intrication quantique en utilisant les concepts fondamentaux de la théorie des représentations, en particulier ceux associés au groupe symétrique. La recherche explore la dualité de Schur-Weyl et ses extensions, qui permettent une représentation et une manipulation efficaces des systèmes quantiques, constituant un outil précieux pour la théorie de l'information quantique. Une application principale de la dualité de Schur-Weyl est le problème du clonage quantique, qui est étudié à la fois pour les cas 1 → 2 et pour les cas plus généraux 1 → N, apportant de nouvelles perspectives sur les contraintes imposées par le théorème du non-clonage. L'étude s'étend ensuite à un problème d'intrication quantique plus général sur un graphe complet. La thèse est organisée en chapitres sur la dualité de Schur-Weyl, les fondations mathématiques de la mécanique quantique, les problèmes de clonage quantique et les problèmes d'intrication quantique, avec une annexe fournissant un aperçu de la théorie des représentations.
La théorie de l'information quantique s'est développée à une vitesse fulgurante au cours des vingt dernières années, avec des analogues et extensions des théorèmes de codage de source et de codage sur canal bruité pour la communication unidirectionnelle. Pour la communication interactive, un analogue quantique de la complexité de la communication a été développé, pour lequel les protocoles quantiques peuvent performer exponentiellement mieux que les meilleurs protocoles classiques pour certaines tâches classiques. Cependant, l'information quantique est beaucoup plus sensible au bruit que l'information classique. Il est donc impératif d'utiliser les ressources quantiques à leur plein potentiel. Dans cette thèse, nous étudions les protocoles quantiques interactifs du point de vue de la théorie de l'information et étudions les analogues du codage de source et du codage sur canal bruité. Le cadre considéré est celui de la complexité de la communication: Alice et Bob veulent faire un calcul quantique biparti tout en minimisant la quantité de communication échangée, sans égard au coût des calculs locaux. Nos résultats sont séparés en trois chapitres distincts, qui sont organisés de sorte à ce que chacun puisse être lu indépendamment. Étant donné le rôle central qu'elle occupe dans le contexte de la compression interactive, un chapitre est dédié à l'étude de la tâche de la redistribution d'état quantique. Nous prouvons des bornes inférieures sur les coûts de communication nécessaires dans un contexte interactif. Nous prouvons également des bornes atteignables avec un seul message, dans un contexte d'usage unique. Dans un chapitre subséquent, nous définissons une nouvelle notion de complexité de l'information quantique. Celle-ci caractérise la quantité d'information, plutôt que de communication, qu'Alice et Bob doivent échanger pour calculer une tâche bipartie. Nous prouvons beaucoup de propriétés structurelles pour cette quantité, et nous lui donnons une interprétation opérationnelle en tant que complexité de la communication quantique amortie. Dans le cas particulier d'entrées classiques, nous donnons une autre caractérisation permettant de quantifier le coût encouru par un protocole quantique qui oublie de l'information classique. Deux applications sont présentées: le premier résultat général de somme directe pour la complexité de la communication quantique à plus d'une ronde, ainsi qu'une borne optimale, à un terme polylogarithmique près, pour la complexité de la communication quantique avec un nombre de rondes limité pour la fonction « ensembles disjoints ». Dans un chapitre final, nous initions l'étude de la capacité interactive quantique pour les canaux bruités. Étant donné que les techniques pour distribuer de l'intrication sont bien étudiées, nous nous concentrons sur un modèle avec intrication préalable parfaite et communication classique bruitée. Nous démontrons que dans le cadre plus ardu des erreurs adversarielles, nous pouvons tolérer un taux d'erreur maximal de une demie moins epsilon, avec epsilon plus grand que zéro arbitrairement petit, et ce avec un taux de communication positif. Il s'ensuit que les canaux avec bruit aléatoire ayant une capacité positive pour la transmission unidirectionnelle ont une capacité positive pour la communication interactive quantique. Nous concluons avec une discussion de nos résultats et des directions futures pour ce programme de recherche sur une théorie de l'information quantique interactive.
Démonstration expérimentale d'avantage quantique pour des applications en calcul et en communication Les caractéristiques distinctives et souvent contre-intuitives de la mécanique quantique, telles que la superposition, l'absence de clonage et l'intrication, ont ouvert de nouvelles voies dans le domaine des sciences de l'information. Les chercheurs ont utilisé ces caractéristiques pour trouver des solutions efficaces à des problèmes de calcul difficiles et pour établir de nouveaux concepts de sécurité inviolables dans diverses tâches de communication. Cette thèse couvre un large éventail de sujets. Nous commençons par démontrer expérimentalement la quantité réduite de transfert d'informations nécessaire pour résoudre un problème spécifique. Ensuite, nous mettons en œuvre une technique cryptographique pour le jeu de pile ou face, en soulignant l'amélioration de la sensibilité à la tricherie offerte par le cadre quantique. En outre, dans le domaine de la cryptographie, nous avons étudié les moyens de rendre plus réalisable dans la pratique une fonctionnalité essentielle connue sous le nom de transfert oblivieux, qui s'appuie sur les ressources quantiques pour la sécurité du calcul. Ensuite, nous nous concentrons sur le problème de l'échantillonnage du boson, qui s'est avéré extrêmement difficile à l'aide de simulations classiques mais réalisable grâce à l'optique quantique ; nous avons cherché à mettre en œuvre un protocole de vérification pour cette tâche bien connue. Le système physique quantique qui sous-tend nos projets ultérieurs est entièrement basé sur l'optique quantique. Enfin, sur un plan plus théorique, nous avons cherché à approfondir le domaine des corrélations quantiques en développant des outils numériques pour caractériser la direction quantique au sein d'un réseau donné.
Cette thèse se trouve à l'intersection de la théorie des matrices aléatoires, des probabilités libres et de la théorie de l'information quantique. La plus grande partie des travaux présentés se concentrent sur les aspects probabilistes de l'information quantique et, en particulier, sur l'usage des matrices aléatoires dans différents modèles en théorie quantique. Une autre partie de cette thèse est dédiée à la théorie des probabilités libres et à ses liens avec les matrices aléatoires et l'information quantique. En théorie quantique de l'information, il existe différents modèles de matrices densités aléatoires. On s'intéresse, dans l'esprit de la théorie des matrices aléatoires, au comportement asymptotique des matrices densités, dans la limite où la taille du système converge vers l'infini. Le point de vue pris dans cette thèse est celui des systèmes quantiques ouverts, où l'espace qui nous intéresse est couplé avec l'environnement et le système composé se trouve dans un état pur uniforme. En prenant la trace partielle sur l'environnement, on obtient des matrices densités aléatoires que l'on étudie dans deux régimes asymptotiques. En exploitant des liens avec l'ensemble des matrices aléatoires dites de Wishart, on obtient les densités spectrales limites et les fluctuations des valeurs propres extrémales. En collaboration avec Clément Pellegrini, on étudie des interactions répétées entre un système quantique et une chaîne de systèmes auxiliaires. Nous avons introduit des éléments aléatoires dans ce modèle, soit en considérant que les états de la chaîne sont des variables indépendantes et identiquement distribuées, soit en choisissant, à chaque interaction, une matrice unitaire d'interaction aléatoire uniforme. On s'intéresse aux propriétés asymptotiques des matrices, après un grand nombre d'interactions. Au passage, on introduit un nouveau modèle de matrices densités aléatoires que l'on compare avec les modèles existants dans la littérature. Un problème qui occupe une place centrale dans cette thèse est la conjecture de Nielsen sur la catalyse en théorie quantique de l'information. En collaboration avec Guillaume Aubrun, nous avons progressé vers la preuve de cette conjecture et nous l'avons par la suite généralisée dans différentes directions. L'outil principal utilisé dans ces travaux nous vient de la théorie des probabilités : la théorie des grandes déviations nous permet de comparer stochastiquement des puissances de convolution des mesures de probabilités. Les techniques introduites et le lien avec la théorie des grandes déviations nous ont permis de voir ce problème sous un autre angle et de donner aux théoriciens de l'information quantique un outil de travail puissant. Enfin, toujours en lien avec les matrices aléatoires, cette thèse a donné lieu à deux travaux en probabilités libres. Les ensembles de matrices aléatoires sont des exemples importants et simples où l'on peut observer l'indépendance libre; il est donc naturel de se demander s'il est possible d'obtenir la notion de liberté avec des matrices déterministes. Une telle construction a été proposée par Philippe Biane, en utilisant des sommes de transpositions dans l'algèbre du groupe symétrique. Avec Florent Benaych-Georges, on a pu généraliser les résultats de P. Biane à des cycles quelconques. Notre approche est combinatoire ce qui nous a permis d'aboutir à des formules explicites pour les moments et les cumulants libres des variables à la limite. Grâce à cette même approche nous avons élaboré un modèle analogue en probabilités classiques en remplaçant le groupe symétrique par le groupe abélien des parties d'un ensemble fini, muni de l'opération de différence symétrique. En collaboration avec Stéphane Attal, nous avons construit une approximation de l'espace de Fock libre (qui joue un rôle central en théorie des probabilités non-commutatives) par un produit libre dénombrable d'espaces discrets. Cette idée généralise au cas libre une construction similaire pour l'espace de Fock symétrique, introduite et étudié par S. Attal. En même temps nous avons obtenu une approximation des opérateurs fondamentaux de création, d'annihilation et de jauge par des opérateurs construits à partir des matrices de taille 2. En utilisant ces constructions sont ensuite utilisées pour retrouver quelques approximations connues du mouvement brownien libre et du processus de Poisson libre. Tous ces résultats se généralisent au cas des espaces de Fock de multiplicité supérieure, qui permettent d'approcher des processus multidimensionnels. En conclusion, l'ensemble des travaux scientifiques présentés dans cette thèse se situe à l'intersection de trois grandes directions: les matrices aléatoires, les probabilités libres et la théorie quantique de l'information, l'accent étant mis sur les interactions et sur les liens entre ces domaines.
Aujourd'hui, une large communauté de scientifiques travaille en vue de la réalisation d'un ordinateur quantique, une machine dont il est montré qu'elle peut offrir, au moins en théorie, et en particulier pour les problèmes dont la complexité croît exponentiellement avec la taille du système, des performances inaccessibles à ses homologues classiques. Cette thèse s'intéresse à la possibilité de réaliser une approche semi-classique de l'information quantique dans deux domaines d'intérêt : celui du clonage approché d'un qubit, et celui de l'amplification de spins dans des chaînes de spins. Dans la première partie de cette thèse est étudié le rôle de l'interférence dans les cloneurs quantiques. Nous étudions en particulier le cas de cloneurs sans interférence (au sens définit dans la thèse) qui se révèle être un cas intermédiaire (que l'on peut qualifier de semi-classique) entre les cloneurs purement quantiques (qui propagent cohérences et probabilités des matrices densités) et les cloneurs classiques (qui ne propagent que les probabilités). Dans la seconde partie, on s'intéresse au phénomène d'amplification de spin qui permet d'amplifier l'état d'un spin unique comme état de polarisation de la chaîne toute entière, problème pour lequel l'approche semi-classique (valable en raison du grand nombre de spins) est utilisée pour montrer l'importance inattendue jouée par les effets de bords dans de tels systèmes.
La théorie de l'information multipartite étudie les problèmes de communication avec plusieurs émetteurs, plusieurs récepteurs et des stations relais. L'objectif de cette thèse est d'étendre les idées centrales de la théorie de l'information classique à l'étude des canaux quantiques. Nous allons nous intéresser aux scénarios de communication suivants: les canaux quantiques à accès multiples, les canaux quantiques à interférence, les canaux quantiques de diffusion et les canaux quantiques à relais. Dans chacun des ces scénarios de communication, nous caractérisons les taux de communication réalisables pour l'envoi d'information classique sur ces canaux quantiques. La modélisation quantique des canaux de communication est importante car elle fournit une représentation plus précise de la capacité du canal à transmettre l'information. En utilisant des modèles physiquement réalistes pour les sorties du canal et la procédure de détection, nous obtenons de meilleurs taux de communication que ceux obtenus dans un modèle classique. En effet, l'utilisation de mesures quantiques collectives sur l'ensemble des systèmes physiques en sortie du canal permet une meilleure extraction d'information que des mesures indépendantes sur chaque sous-système. Nous avons choisi d'étudier les canaux à entrée classique et sortie quantique qui constituent une abstraction utile pour l'étude de canaux quantiques généraux où l'encodage est restreint au domaine classique.Nous étudions le régime asymptotique où de nombreuses copies de du canal sont utilisées en parallèle, et les utilisations sont indépendantes. Dans ce contexte, il est possible de caractériser les limites absolues sur la transmission d'information d'un canal, si on connait les statistiques du bruit sur ce canal. Ces résultats théoriques peuvent être utilisées comme un point de repère pour évaluer la performance des protocoles de communication pratiques. Nous considérons surtout les canaux où les sorties sont des systèmes quantiques de dimension finie, analogues aux canaux classiques discrets. Le dernier chapitre présente des applications pratiques de nos résultats à la communication optique, où systèmes physiques auront des degrés de liberté continus. Ce contexte est analogue aux canaux classiques avec bruit gaussien.
Dynamique hors-équilibre des systèmes quantiques ouverts et fermés Cette thèse est consacrée à l'étude de la dynamique de hors-équilibre dans les systèmes quantiques fermés et ouverts. La question de l'obtention d'équations dynamiques numériquement efficaces pour simuler de tels systèmes, qui souffrent d'une malédiction de dimensionnalité lorsqu'ils sont de grande taille est au centre de la thèse, ainsi que les divers nouveaux résultats physiques qui peuvent être obtenus grâce à ces équations efficaces. La question de l'obtention de représentations efficaces des états quantiques est également centrale, à travers la construction d'Ansatz. En particulier, nous présentons la méthode du sous-espace dynamique, une nouvelle méthode numérique pour la simulation de l'évolution temporelle de systèmes quantiques ouverts avec une entropie modérée. En représentant la matrice densité par un sous-espace constitué de M états purs, la complexité de l'intégration de l'équation maîtresse de Lindblad est considérablement réduite, et l'algorithme obtenu est entièrement déterministe. Nous appliquons ensuite cette méthode pour modéliser des algorithmes quantiques bruités, en simulant un algorithme quantique bruité de transformation de Fourier qui est au centre de l'algorithme de Shor pour la factorisation de nombre premiers. Nous trouvons une loi d'échelle pour l'erreur en fonction du taux de dissipation, et le comportement de l'infidélité par rapport au circuit idéal est modélisé en fonction des états initiaux qui sont fournis en entrée à l'algorithme. Ensuite, l'application des méthodes d'apprentissage automatique à la mécanique quantique est présentée, à travers la classe d'Ansatz des états quantiques neuronaux (NQS). La construction générale des NQS est introduite, ainsi que sa relation avec d'autres Ansatz tels que les réseaux tensoriels. Ensuite, le problème de la simulation de la dynamique des systèmes fermés avec NQS est étudié, ainsi que les problèmes courants liés à la géométrie de l'espace des paramètres qui peuvent survenir. Un schéma alternatif est introduit et appliqué aux quenches dépendantes du temps dans les systèmes critiques, où le mécanisme de Kibble-Zurek peut être étudié. Enfin, différentes constructions d'Ansatz pour les systèmes ouverts sont présentées, notamment la combinaison de la méthode du sous-espace dynamique avec un Ansatz neuronal. Enfin, nous étudions théoriquement la propagation de l'intrication dans les systèmes photoniques dissipatifs à forte interaction, motivés par la réalisation expérimentale récente de telles plateformes. Nos résultats montrent qu'en dépit du caractère dissipatif du système étudié, la propagation de l'intrication est ballistique avec une vitesse en accord avec l'image de quasiparticules impliquées dans la dynamique, des doublons et des holons photoniques. Notre analyse révèle que la dissipation est fortement asymétrique dans les deux cas étudiés de l'injection d'un doublon ou de son extraction, avec une influence plus forte dans le cas de l'extraction.