La théorie de l'information multipartite étudie les problèmes de communication avec plusieurs émetteurs, plusieurs récepteurs et des stations relais. L'objectif de cette thèse est d'étendre les idées centrales de la théorie de l'information classique à l'étude des canaux quantiques. Nous allons nous intéresser aux scénarios de communication suivants: les canaux quantiques à accès multiples, les canaux quantiques à interférence, les canaux quantiques de diffusion et les canaux quantiques à relais. Dans chacun des ces scénarios de communication, nous caractérisons les taux de communication réalisables pour l'envoi d'information classique sur ces canaux quantiques. La modélisation quantique des canaux de communication est importante car elle fournit une représentation plus précise de la capacité du canal à transmettre l'information. En utilisant des modèles physiquement réalistes pour les sorties du canal et la procédure de détection, nous obtenons de meilleurs taux de communication que ceux obtenus dans un modèle classique. En effet, l'utilisation de mesures quantiques collectives sur l'ensemble des systèmes physiques en sortie du canal permet une meilleure extraction d'information que des mesures indépendantes sur chaque sous-système. Nous avons choisi d'étudier les canaux à entrée classique et sortie quantique qui constituent une abstraction utile pour l'étude de canaux quantiques généraux où l'encodage est restreint au domaine classique.Nous étudions le régime asymptotique où de nombreuses copies de du canal sont utilisées en parallèle, et les utilisations sont indépendantes. Dans ce contexte, il est possible de caractériser les limites absolues sur la transmission d'information d'un canal, si on connait les statistiques du bruit sur ce canal. Ces résultats théoriques peuvent être utilisées comme un point de repère pour évaluer la performance des protocoles de communication pratiques. Nous considérons surtout les canaux où les sorties sont des systèmes quantiques de dimension finie, analogues aux canaux classiques discrets. Le dernier chapitre présente des applications pratiques de nos résultats à la communication optique, où systèmes physiques auront des degrés de liberté continus. Ce contexte est analogue aux canaux classiques avec bruit gaussien.
La théorie de l'information multipartite étudie les problèmes de communication avec plusieurs émetteurs, plusieurs récepteurs et des stations relais. L'objectif de cette thèse est d'étendre les idées centrales de la théorie de l'information classique à l'étude des canaux quantiques. Nous allons nous intéresser aux scénarios de communication suivants: les canaux quantiques à accès multiples, les canaux quantiques à interférence, les canaux quantiques de diffusion et les canaux quantiques à relais. Dans chacun des ces scénarios de communication, nous caractérisons les taux de communication réalisables pour l'envoi d'information classique sur ces canaux quantiques. La modélisation quantique des canaux de communication est importante car elle fournit une représentation plus précise de la capacité du canal à transmettre l'information. En utilisant des modèles physiquement réalistes pour les sorties du canal et la procédure de détection, nous obtenons de meilleurs taux de communication que ceux obtenus dans un modèle classique. En effet, l'utilisation de mesures quantiques collectives sur l'ensemble des systèmes physiques en sortie du canal permet une meilleure extraction d'information que des mesures indépendantes sur chaque sous-système. Nous avons choisi d'étudier les canaux à entrée classique et sortie quantique qui constituent une abstraction utile pour l'étude de canaux quantiques généraux où l'encodage est restreint au domaine classique.Nous étudions le régime asymptotique où de nombreuses copies de du canal sont utilisées en parallèle, et les utilisations sont indépendantes. Dans ce contexte, il est possible de caractériser les limites absolues sur la transmission d'information d'un canal, si on connait les statistiques du bruit sur ce canal. Ces résultats théoriques peuvent être utilisées comme un point de repère pour évaluer la performance des protocoles de communication pratiques. Nous considérons surtout les canaux où les sorties sont des systèmes quantiques de dimension finie, analogues aux canaux classiques discrets. Le dernier chapitre présente des applications pratiques de nos résultats à la communication optique, où systèmes physiques auront des degrés de liberté continus. Ce contexte est analogue aux canaux classiques avec bruit gaussien.
La théorie de l'information quantique s'est développée à une vitesse fulgurante au cours des vingt dernières années, avec des analogues et extensions des théorèmes de codage de source et de codage sur canal bruité pour la communication unidirectionnelle. Pour la communication interactive, un analogue quantique de la complexité de la communication a été développé, pour lequel les protocoles quantiques peuvent performer exponentiellement mieux que les meilleurs protocoles classiques pour certaines tâches classiques. Cependant, l'information quantique est beaucoup plus sensible au bruit que l'information classique. Il est donc impératif d'utiliser les ressources quantiques à leur plein potentiel. Dans cette thèse, nous étudions les protocoles quantiques interactifs du point de vue de la théorie de l'information et étudions les analogues du codage de source et du codage sur canal bruité. Le cadre considéré est celui de la complexité de la communication: Alice et Bob veulent faire un calcul quantique biparti tout en minimisant la quantité de communication échangée, sans égard au coût des calculs locaux. Nos résultats sont séparés en trois chapitres distincts, qui sont organisés de sorte à ce que chacun puisse être lu indépendamment. Étant donné le rôle central qu'elle occupe dans le contexte de la compression interactive, un chapitre est dédié à l'étude de la tâche de la redistribution d'état quantique. Nous prouvons des bornes inférieures sur les coûts de communication nécessaires dans un contexte interactif. Nous prouvons également des bornes atteignables avec un seul message, dans un contexte d'usage unique. Dans un chapitre subséquent, nous définissons une nouvelle notion de complexité de l'information quantique. Celle-ci caractérise la quantité d'information, plutôt que de communication, qu'Alice et Bob doivent échanger pour calculer une tâche bipartie. Nous prouvons beaucoup de propriétés structurelles pour cette quantité, et nous lui donnons une interprétation opérationnelle en tant que complexité de la communication quantique amortie. Dans le cas particulier d'entrées classiques, nous donnons une autre caractérisation permettant de quantifier le coût encouru par un protocole quantique qui oublie de l'information classique. Deux applications sont présentées: le premier résultat général de somme directe pour la complexité de la communication quantique à plus d'une ronde, ainsi qu'une borne optimale, à un terme polylogarithmique près, pour la complexité de la communication quantique avec un nombre de rondes limité pour la fonction « ensembles disjoints ». Dans un chapitre final, nous initions l'étude de la capacité interactive quantique pour les canaux bruités. Étant donné que les techniques pour distribuer de l'intrication sont bien étudiées, nous nous concentrons sur un modèle avec intrication préalable parfaite et communication classique bruitée. Nous démontrons que dans le cadre plus ardu des erreurs adversarielles, nous pouvons tolérer un taux d'erreur maximal de une demie moins epsilon, avec epsilon plus grand que zéro arbitrairement petit, et ce avec un taux de communication positif. Il s'ensuit que les canaux avec bruit aléatoire ayant une capacité positive pour la transmission unidirectionnelle ont une capacité positive pour la communication interactive quantique. Nous concluons avec une discussion de nos résultats et des directions futures pour ce programme de recherche sur une théorie de l'information quantique interactive.
Bruit et capacité d'apprentissage en apprentissage automatique quantique Cette thèse est consacrée à l'exploration de l'interface entre l'informatique quantique et l'apprentissage automatique, en mettant l'accent sur les effets du bruit et de la décohérence. Dans la première partie, nous étudions l'utilisation de systèmes quantiques ouverts pour la réalisation de tâches classiques de reconnaissance des formes. En particulier, nous nous intéressons à l'impact du bruit sur les machines à noyau quantique dans une configuration de calcul à réservoir. Les modèles que nous considérons sont basés sur l'utilisation d'un système quantique de grande taille et non contrôlé, un réservoir, qui est excité par un signal d'entrée à traiter. Des mesures sont ensuite effectuées sur le système et une combinaison linéaire des résultats est optimisée afin de réaliser la tâche souhaitée. Dans le cadre théorique associé aux méthodes à noyau, nous analysons l'effet de la dissipation sur l'expressivité de ces modèles. Nous montrons que le bruit affectant le réservoir peut agir comme une régularisation implicite qui aide à prévenir l'ajustement excessif. Ces résultats sont accompagnés d'une étude numérique d'un ensemble de machines à noyaux bruitées basées sur des chaînes de spins quantiques sujets à de la décohérence, et dont l'évolution markovienne est décrite par une équation maîtresse de type Lindblad. Dans la deuxième partie de la thèse, nous nous concentrons sur les algorithmes quantiques variationnels. Nous y présentons un schéma de simulation classique efficace pour estimer des quantités moyennées à la sortie d'un circuit quantique paramétré dont les paramètres de rotation sont choisis aléatoirement. Nous étudions d'abord les canaux quantiques associés aux moyennes de rotations aléatoires d'un et de deux qubits autour d'un axe Z. Sous certaines hypothèses, nous montrons que ces canaux peuvent être décomposés en sommes convexes de canaux associés à des transformations unitaires de Clifford. Ce résultat peut être interprété comme un effet de décohérence artificiel induit par le choix aléatoire des angles de rotation. Il nous permet construire un schéma de simulation efficace basé sur le célèbre théorème de Gottesman-Knill. Cette méthode permet notamment d'estimer efficacement l'amplitude moyenne du gradient de la fonction de coût par des simulations classiques avec une complexité polynomiale en le nombre de qubits. Elle peut donc être utilisée pour explorer des stratégies de conception de circuits variationnels quantiques permettant d'éviter les difficultés d'entrainement due à une disparition du gradient.
Capacités des canaux quantiques : bruit markovien et aspects computationnels Cette thèse étudie les capacités des canaux quantiques sous une évolution bruitée répétée, en mettant l'accent sur le comportement à long terme de la transmission d'information classique et quantique. L'objectif principal est de comprendre quelle quantité d'information peut encore être préservée ou récupérée lorsqu'un canal quantique est appliqué de nombreuses fois, et de développer des outils structurels, analytiques et algorithmiques pour caractériser ces capacités.Les résultats principaux sont présentés au Chapitre 2. Tout d'abord, la thèse examine le régime à temps infini et montre que les capacités asymptotiques des canaux quantiques sont déterminées par la structure de leur sous-espace périphérique. Cela conduit à des caractérisations explicites de la capacité classique à temps infini ainsi qu'à des bornes sur la capacité quantique à temps infini, accompagnées de résultats sur l'additivité et d'extensions à des cadres plus généraux. La thèse étudie ensuite le comportement à temps fini pour les canaux GNS-symétriques et établit des bornes explicites de convergence exponentielle, montrant que les capacités atteignent rapidement leurs valeurs à temps infini. De plus, des méthodes algorithmiques sont développées pour calculer efficacement la structure périphérique et les quantités de capacité associées.Le Chapitre 3 explore une direction connexe fondée sur l'optimisation, motivée par les méthodes Sum-of-Squares et la programmation semi-définie. En s'appuyant sur des idées inspirées de la séparabilité et des hiérarchies SDP, cette partie examine si la découverte d'ansatz assistée par apprentissage automatique peut aider à construire des certificats SOS plus efficaces. Bien que cette approche ne soit pas encore complète dans le cadre spécifique des capacités, elle fournit des résultats intermédiaires prometteurs et suggère de nouvelles approches computationnelles pour des problèmes connexes en théorie de l'information quantique.
Cette thèse se trouve à l'intersection de la théorie des matrices aléatoires, des probabilités libres et de la théorie de l'information quantique. La plus grande partie des travaux présentés se concentrent sur les aspects probabilistes de l'information quantique et, en particulier, sur l'usage des matrices aléatoires dans différents modèles en théorie quantique. Une autre partie de cette thèse est dédiée à la théorie des probabilités libres et à ses liens avec les matrices aléatoires et l'information quantique. En théorie quantique de l'information, il existe différents modèles de matrices densités aléatoires. On s'intéresse, dans l'esprit de la théorie des matrices aléatoires, au comportement asymptotique des matrices densités, dans la limite où la taille du système converge vers l'infini. Le point de vue pris dans cette thèse est celui des systèmes quantiques ouverts, où l'espace qui nous intéresse est couplé avec l'environnement et le système composé se trouve dans un état pur uniforme. En prenant la trace partielle sur l'environnement, on obtient des matrices densités aléatoires que l'on étudie dans deux régimes asymptotiques. En exploitant des liens avec l'ensemble des matrices aléatoires dites de Wishart, on obtient les densités spectrales limites et les fluctuations des valeurs propres extrémales. En collaboration avec Clément Pellegrini, on étudie des interactions répétées entre un système quantique et une chaîne de systèmes auxiliaires. Nous avons introduit des éléments aléatoires dans ce modèle, soit en considérant que les états de la chaîne sont des variables indépendantes et identiquement distribuées, soit en choisissant, à chaque interaction, une matrice unitaire d'interaction aléatoire uniforme. On s'intéresse aux propriétés asymptotiques des matrices, après un grand nombre d'interactions. Au passage, on introduit un nouveau modèle de matrices densités aléatoires que l'on compare avec les modèles existants dans la littérature. Un problème qui occupe une place centrale dans cette thèse est la conjecture de Nielsen sur la catalyse en théorie quantique de l'information. En collaboration avec Guillaume Aubrun, nous avons progressé vers la preuve de cette conjecture et nous l'avons par la suite généralisée dans différentes directions. L'outil principal utilisé dans ces travaux nous vient de la théorie des probabilités : la théorie des grandes déviations nous permet de comparer stochastiquement des puissances de convolution des mesures de probabilités. Les techniques introduites et le lien avec la théorie des grandes déviations nous ont permis de voir ce problème sous un autre angle et de donner aux théoriciens de l'information quantique un outil de travail puissant. Enfin, toujours en lien avec les matrices aléatoires, cette thèse a donné lieu à deux travaux en probabilités libres. Les ensembles de matrices aléatoires sont des exemples importants et simples où l'on peut observer l'indépendance libre; il est donc naturel de se demander s'il est possible d'obtenir la notion de liberté avec des matrices déterministes. Une telle construction a été proposée par Philippe Biane, en utilisant des sommes de transpositions dans l'algèbre du groupe symétrique. Avec Florent Benaych-Georges, on a pu généraliser les résultats de P. Biane à des cycles quelconques. Notre approche est combinatoire ce qui nous a permis d'aboutir à des formules explicites pour les moments et les cumulants libres des variables à la limite. Grâce à cette même approche nous avons élaboré un modèle analogue en probabilités classiques en remplaçant le groupe symétrique par le groupe abélien des parties d'un ensemble fini, muni de l'opération de différence symétrique. En collaboration avec Stéphane Attal, nous avons construit une approximation de l'espace de Fock libre (qui joue un rôle central en théorie des probabilités non-commutatives) par un produit libre dénombrable d'espaces discrets. Cette idée généralise au cas libre une construction similaire pour l'espace de Fock symétrique, introduite et étudié par S. Attal. En même temps nous avons obtenu une approximation des opérateurs fondamentaux de création, d'annihilation et de jauge par des opérateurs construits à partir des matrices de taille 2. En utilisant ces constructions sont ensuite utilisées pour retrouver quelques approximations connues du mouvement brownien libre et du processus de Poisson libre. Tous ces résultats se généralisent au cas des espaces de Fock de multiplicité supérieure, qui permettent d'approcher des processus multidimensionnels. En conclusion, l'ensemble des travaux scientifiques présentés dans cette thèse se situe à l'intersection de trois grandes directions: les matrices aléatoires, les probabilités libres et la théorie quantique de l'information, l'accent étant mis sur les interactions et sur les liens entre ces domaines.
Communications multipartites sur réseaux quantiques Le domaine des réseaux quantiques est actuellement un champ d'investigation majeur dans les technologies quantiques. Des recherches sont en cours à tous les niveaux. L'un des actes les plus simples de la communication quantique, la distribution d'un état unique bipartite intriqué, a été très étudié car il s'agit d'un problème simple à caractériser, simuler et mettre en œuvre. Il est également utile pour une application importante des réseaux quantiques : la distribution sécurisée d'une clé cryptographique. Cependant, l'utilisation des réseaux quantiques va bien au-delà, dans le domaine multipartite. Dans ce manuscrit, nous étudions d'abord le recyclage de ressources précédemment distribuées dans le régime asymptotique par l'utilisation du peignage d'intrication et de la fusion d'états quantiques. Ensuite, nous caractérisons la distribution des états quantiques en utilisant le formalisme du réseau tensoriel. Nous caractérisons également une large classe de protocoles de distribution classiques et utilisons cette similitude pour comparer la distribution des corrélations classiques sur les réseaux classiques à la distribution des états quantiques sur les réseaux quantiques. Enfin, nous mettons en œuvre les protocoles précédents dans un cadre plus réaliste et participons à l'élaboration de fonctionnalités multipartites pour un simulateur de réseau quantique : QuISP. Nous avons également cherché à vulgariser et à diffuser les notions d'information quantique auprès d'un large public. Nous rendons compte de la création d'un jeu vidéo basé sur l'optique quantique, s'ajoutant à la vulgarisation ludographique existante.
Relations causales multipartites en théorie quantique Ces dernières années, une grande attention a été portée à l'étude des relations causales en théorie quantique. Plus particulièrement, il a été montré qu'il est possible de concevoir des scénarios dans lesquelles des parties réalisent des opérations qui sont compatibles avec la théorie quantique, mais qui ne peuvent pas être intégrées dans une structure causale globale. De tels ordres causaux indéfinis sont intéressants d'un point de vue fondamental, mais aussi sous l'angle de l'informatique quantique, étant donné qu'ils sortent du paradigme habituel des circuits quantiques, dans lequel on présuppose un ordre causal bien défini. L'objectif principal de cette thèse est d'étudier des relations causales indéfinies dans des scénarios comportant plus de deux parties. Comparées au cas bipartite, les situations multipartites font apparaître des aspects et problèmes nouveaux qui nécessitent d’être clarifiés afin de comprendre fondamentalement les structures causales quantiques indéfinies, et de mettre en évidence leurs implications et leur utilité potentielle pour l’informatique quantique.Une approche particulière pour étudier des relations causales quantiques est le formalisme des matrices de processus. Dans ce formalisme, le concept de la non-séparabilité causale a été introduit afin de qualifier des scénarios qui ne sont pas compatibles avec un ordre causal. Dans le chapitre 2, nous étudions comment généraliser ce concept au cas multipartite, comment caractériser des processus multipartites causalement (non)-séparables, et comment certifier la non-séparabilité causale multipartite. Un autre sujet important est de déterminer quels scénarios quantiques avec un ordre causal indéfini sont physiquement réalisables, et comment ils peuvent être réalisés concrètement. Dans le chapitre 3, nous introduisons deux nouvelles classes de processus quantiques multipartites qui sont réalisables en pratique et nous caractérisons les matrices de processus correspondantes. En particulier, nous définissons la classe des circuits quantiques avec un ordre causal contrôlé de manière quantique. L'exemple le plus simple d'un tel circuit est le quantum switch : un protocole dans lequel l'ordre entre deux opérations est contrôlé par un qubit dans un état de superposition, et qui définit un processus causalement non-séparable. La classe que nous introduisons contient des exemples plus généraux de processus causalement non-séparables avec de nouvelles propriétés. Nous montrons ensuite comment la caractérisation des processus de cette classe nous permet d'étudier de nouvelles applications de la non-séparabilité causale. Dans le chapitre 4, nous étudions un effet particulier de communication quantique dans un scénario avec un contrôle cohérent entre deux canaux quantiques. Ceci nous conduit à une analyse plus générale de la notion de canal quantique contrôlé de façon cohérente, qui implique certaines subtilités. Dans le chapitre 5, nous abordons un autre problème inhérent aux scénarios multipartites, qui est de savoir si un phénomène donné est véritablement multipartite (<< genuinely multipartite >>) ou non. Plus particulièrement, nous étudions des corrélations (non)-causales << véritablement multipartites >>. Dans le chapitre 6, nous mettons en évidence que des valeurs faibles anormales sont possibles sans post-sélection. Enfin, dans le chapitre 7, nous montrons qu'une certaine classe de matrices de processus tripartites, à savoir celles qui sont unitairement extensibles, ont une réalisation sur des sous-systèmes dits temporellement délocalisés, c'est-à-dire des sous-systèmes quantiques qui ne sont pas associés à un temps bien défini. Cette classe est plus grande que la classe des circuits quantiques avec un ordre causal contrôlé de manière quantique. Un point intéressant est qu'elle contient des processus qui violent des inégalités causales.