Séparation des variables et nouveaux systèmes intégrables quantiques avec bords Les principaux outils pour la compréhension du comportement macroscopique desystèmes quantiques à partir de leur description microscopique sont la déterminationdu spectre du Hamiltonien associé et le calcul des fonctions de corrélation. Cettethèse se place dans le cadre du développement d’un tel programme de recherche afind’étudier des systèmes intégrables quantiques avec des conditions aux bordsintégrables générales, le but à long terme étant la description exacte d’une physiquequantique hors équilibre.Plus spécifiquement, nous avons analysé la classe des systèmes intégrablesquantiques sur réseau associés aux représentations cycliques de l’algèbre de réflexionà 6-vertex, avec comme exemples les modèles de sine Gordon et de Potts chiral avecconditions aux bords intégrables.Une large partie du travail a été consacrée au développement de la méthode deséparation quantique des variables pour résoudre le problème spectral de la matricede transfert de ces modèles avec conditions de bords intégrables les plus générales,en étendant l’idée des transformations de jauge de Baxter à ces algèbres de réflexion.Nous avons caractérisé complètement le spectre de la matrice de transfert (valeurspropres et vecteurs propres) en termes des solutions d’un système discret d’équationspolynomiales et d’une façon équivalente en termes des solutions, dans une certaineclasse de fonctions, d’une équation de type Baxter fonctionnelle. Cela permet de fairele lien dans certains cas particuliers avec la méthode de l’anstaz de Bethe algébriquequi ne permet pas d’étudier ces modèles en toute généralité.Nous avons ensuite construit des familles de nouveaux Hamiltoniens locaux avecconditions aux bords intégrables qui commutent avec la matrice de transfert. Pour cefaire nous avons défini une hiérarchie de nouvelles équations de réflexion mélangeantdifférentes représentations de l’algèbre quantique à 6-vertex et utilisant entre autres,la matrice R fondamentale cyclique.
Séparation des variables et nouveaux systèmes intégrables quantiques avec bords Les principaux outils pour la compréhension du comportement macroscopique desystèmes quantiques à partir de leur description microscopique sont la déterminationdu spectre du Hamiltonien associé et le calcul des fonctions de corrélation. Cettethèse se place dans le cadre du développement d’un tel programme de recherche afind’étudier des systèmes intégrables quantiques avec des conditions aux bordsintégrables générales, le but à long terme étant la description exacte d’une physiquequantique hors équilibre.Plus spécifiquement, nous avons analysé la classe des systèmes intégrablesquantiques sur réseau associés aux représentations cycliques de l’algèbre de réflexionà 6-vertex, avec comme exemples les modèles de sine Gordon et de Potts chiral avecconditions aux bords intégrables.Une large partie du travail a été consacrée au développement de la méthode deséparation quantique des variables pour résoudre le problème spectral de la matricede transfert de ces modèles avec conditions de bords intégrables les plus générales,en étendant l’idée des transformations de jauge de Baxter à ces algèbres de réflexion.Nous avons caractérisé complètement le spectre de la matrice de transfert (valeurspropres et vecteurs propres) en termes des solutions d’un système discret d’équationspolynomiales et d’une façon équivalente en termes des solutions, dans une certaineclasse de fonctions, d’une équation de type Baxter fonctionnelle. Cela permet de fairele lien dans certains cas particuliers avec la méthode de l’anstaz de Bethe algébriquequi ne permet pas d’étudier ces modèles en toute généralité.Nous avons ensuite construit des familles de nouveaux Hamiltoniens locaux avecconditions aux bords intégrables qui commutent avec la matrice de transfert. Pour cefaire nous avons défini une hiérarchie de nouvelles équations de réflexion mélangeantdifférentes représentations de l’algèbre quantique à 6-vertex et utilisant entre autres,la matrice R fondamentale cyclique.
Les principaux outils pour la compréhension du comportement macroscopique desystèmes quantiques à partir de leur description microscopique sont la déterminationdu spectre du Hamiltonien associé et le calcul des fonctions de corrélation. Cettethèse se place dans le cadre du développement d’un tel programme de recherche afind’étudier des systèmes intégrables quantiques avec des conditions aux bordsintégrables générales, le but à long terme étant la description exacte d’une physiquequantique hors équilibre.Plus spécifiquement, nous avons analysé la classe des systèmes intégrablesquantiques sur réseau associés aux représentations cycliques de l’algèbre de réflexionà 6-vertex, avec comme exemples les modèles de sine Gordon et de Potts chiral avecconditions aux bords intégrables.Une large partie du travail a été consacrée au développement de la méthode deséparation quantique des variables pour résoudre le problème spectral de la matricede transfert de ces modèles avec conditions de bords intégrables les plus générales,en étendant l’idée des transformations de jauge de Baxter à ces algèbres de réflexion.Nous avons caractérisé complètement le spectre de la matrice de transfert (valeurspropres et vecteurs propres) en termes des solutions d’un système discret d’équationspolynomiales et d’une façon équivalente en termes des solutions, dans une certaineclasse de fonctions, d’une équation de type Baxter fonctionnelle. Cela permet de fairele lien dans certains cas particuliers avec la méthode de l’anstaz de Bethe algébriquequi ne permet pas d’étudier ces modèles en toute généralité.Nous avons ensuite construit des familles de nouveaux Hamiltoniens locaux avecconditions aux bords intégrables qui commutent avec la matrice de transfert. Pour cefaire nous avons défini une hiérarchie de nouvelles équations de réflexion mélangeantdifférentes représentations de l’algèbre quantique à 6-vertex et utilisant entre autres,la matrice R fondamentale cyclique.
Le travail de cette thèse se situe dans le cadre de l’étude des modèles intégrables quantiques unidimensionnels sur réseau. Il est consacré au développement d’une nouvelle méthode de séparation de variables quantiques pour ces modèles. Cette approche vise à caractériser le spectre de la matrice de transfert qui contient l’ensemble des quantités conservées responsables de l’intégrabilité de tels modèles en construisant une base dite séparée de l’espace de Hilbert du système, permettant de réduire son problème spectral à N variables couplées, N grand voire infini, en N problèmes spectraux indépendants à une variable. Les fonctions d’ondes des états propres sont alors des produits de N fonctions d’onde à une variable. Une avancée récente a été la construction de telles bases à partir de la matrice de transfert elle-même, et la caractérisation du spectre via des équations de fusion découlant de la théorie des représentations de l’algèbre quantique de symétrie sous-jacente. Nous avons obtenu cette construction pour des modèles intégrables super-symétriques gl(m|n). Pour le cas gl(1|2) avec certaines conditions aux bords quasi-périodiques, cela nous a permis de caractériser complètement le spectre en termes de solutions d’un système discret d’équations cubiques aux différences finies, ainsi que de façon équivalente par une équation fonctionnelle appelée courbe spectrale quantique. Nous avons ensuite calculé des produits scalaires entre états séparés dans les modèles intégrables de plus haut rang, ce qui détermine la mesure associée aux bases séparées. Pour le modèle gl(3), cette mesure est pseudo-orthogonale et nous l’avons caractérisée complètement. Nous avons aussi proposé une famille de quantités conservées construisant une base et sa duale, toutes deux séparées et orthogonales l’une de l’autre, simplifiant ainsi les produits scalaires entre états séparées. Cela ouvre la voie au calcul des facteurs de forme et des fonctions de corrélation de ces systèmes.
Séparation de variables quantiques pour les modèles intégrables de plus haut rangs et supersymétriques Le travail de cette thèse se situe dans le cadre de l’étude des modèles intégrables quantiques unidimensionnels sur réseau. Il est consacré au développement d’une nouvelle méthode de séparation de variables quantiques pour ces modèles. Cette approche vise à caractériser le spectre de la matrice de transfert qui contient l’ensemble des quantités conservées responsables de l’intégrabilité de tels modèles en construisant une base dite séparée de l’espace de Hilbert du système, permettant de réduire son problème spectral à N variables couplées, N grand voire infini, en N problèmes spectraux indépendants à une variable. Les fonctions d’ondes des états propres sont alors des produits de N fonctions d’onde à une variable. Une avancée récente a été la construction de telles bases à partir de la matrice de transfert elle-même, et la caractérisation du spectre via des équations de fusion découlant de la théorie des représentations de l’algèbre quantique de symétrie sous-jacente. Nous avons obtenu cette construction pour des modèles intégrables super-symétriques gl(m|n). Pour le cas gl(1|2) avec certaines conditions aux bords quasi-périodiques, cela nous a permis de caractériser complètement le spectre en termes de solutions d’un système discret d’équations cubiques aux différences finies, ainsi que de façon équivalente par une équation fonctionnelle appelée courbe spectrale quantique. Nous avons ensuite calculé des produits scalaires entre états séparés dans les modèles intégrables de plus haut rang, ce qui détermine la mesure associée aux bases séparées. Pour le modèle gl(3), cette mesure est pseudo-orthogonale et nous l’avons caractérisée complètement. Nous avons aussi proposé une famille de quantités conservées construisant une base et sa duale, toutes deux séparées et orthogonales l’une de l’autre, simplifiant ainsi les produits scalaires entre états séparées. Cela ouvre la voie au calcul des facteurs de forme et des fonctions de corrélation de ces systèmes.
Les facteurs de forme et les fonctions de corrélation déterminent les quantités dynamiques mesurables associées aux modèles de théorie des champs et de mécanique statistique. Dans le cas de modèles intégrables en dimension 2, au-delà des propriétés du spectre ou de la fonction de partition, un des grands défis actuels concerne le calcul exact des facteurs de forme et des fonctions de corrélation.Le but de cette thèse est de développer une approche permettant de résoudre ce problème dans le cadre de la méthode de séparation des variables quantique de Skyanin. Cette méthode généralise au cas quantique et pour des systèmes avec un grand nombre de degrés de liberté la méthode de Hamilton-Jacobi en mécanique analytique. Le Hamiltonien est exprimé avec des opérateurs séparés, son spectre et ses états propres caractérisés par un système d'équations de Baxter résultant des structures algébriques de Yang-Baxter, caractéristiques de l'intégrabilité de ces modèles.Cette thèse a permis, pour les modèles de sine-Gordon (théorie des champs quantique) et de Potts chiral (modèle de physique statistique), le calcul des produits scalaires entre états propres du Hamiltonien, la résolution du problème inverse, i. e. l'expression des opérateurs du modèle en termes des variables séparées, ainsi que le calcul en termes de déterminants des facteurs de forme, i. e. des éléments de matrice des opérateurs locaux du modèle dans la base propre du Hamiltonien, ce qui constitue un pas important vers le calcul des fonctions de corrélation de ces modèles.
Les facteurs de forme et les fonctions de corrélation déterminent les quantités dynamiques mesurables associées aux modèles de théorie des champs et de mécanique statistique. Dans le cas de modèles intégrables en dimension 2, au-delà des propriétés du spectre ou de la fonction de partition, un des grands défis actuels concerne le calcul exact des facteurs de forme et des fonctions de corrélation.Le but de cette thèse est de développer une approche permettant de résoudre ce problème dans le cadre de la méthode de séparation des variables quantique de Skyanin. Cette méthode généralise au cas quantique et pour des systèmes avec un grand nombre de degrés de liberté la méthode de Hamilton-Jacobi en mécanique analytique. Le Hamiltonien est exprimé avec des opérateurs séparés, son spectre et ses états propres caractérisés par un système d'équations de Baxter résultant des structures algébriques de Yang-Baxter, caractéristiques de l'intégrabilité de ces modèles.Cette thèse a permis, pour les modèles de sine-Gordon (théorie des champs quantique) et de Potts chiral (modèle de physique statistique), le calcul des produits scalaires entre états propres du Hamiltonien, la résolution du problème inverse, i. e. l'expression des opérateurs du modèle en termes des variables séparées, ainsi que le calcul en termes de déterminants des facteurs de forme, i. e. des éléments de matrice des opérateurs locaux du modèle dans la base propre du Hamiltonien, ce qui constitue un pas important vers le calcul des fonctions de corrélation de ces modèles.
Cette thèse s’inscrit dans le cadre général de la théorie des systèmes intégrables avec bords et le développement des structures algébriques associées.D’une part, nous nous attaquons au problème de la diagonalisation de l’hamiltonien du modèle XXZ avec bords non diagonaux. Nous exhibons les deux ensembles d’états propres et valeurs propres du modèle si les paramètres de bords satisfont deux conditions.D’autre part, nous introduisons un modèle de physique statistique que nous appelons le modèle face avec un bord réfléchissant. Nous calculons exactement sa fonction de partition et nous montrons que cette dernière se représente simplement sous la forme d’un unique déterminant matriciel.Nous montrons que ces deux problèmes sont reliés par la transformation vertex-face et exhibent une structure algébrique commune, l’algèbre de réflexion dynamique. Nous nous intéressons aux aspects mathématiques de cette algèbre dans le cas elliptique général,et nous introduisons deux classes de ces représentations, la représentation de co-module d’évaluation et sa duale. Nous pensons que cette algèbre est la structure clef pour l’analyse des modèles faces avec bords. En particulier, nous montrons à l’aide de twists de Drinfel’d que leur fonction de partition se représente simplement dans le cas général. Enfin, nous tentons une ’dynamisation’ du modèle à vertex ’Half-Turn-Symmetric’,et nous décrivons sa fonction de partition en termes de représentation d’évaluation de l’algèbre de Yang-Baxter dynamique, et trouvons un ensemble de conditions la déterminantunivoquement.