統計力学の可解模型と数理物理学の最近の発展 : DNAなど高分子の結び目、量子XXZ鎖の異常な準位縮退とループ代数(基研研究会 確率モデルの統計力学,研究会報告)

哲生 出口

哲生 出口

e r l e y -L i e b代数が重要であることを説明す る｡DNAの結び 目は高分子物理の トピック であ り､一方､後者 は量子力学の基礎 の話題 であ り､全 く分野は異なっている｡前提 となる知識 も相 当に異なる.しか し数理物理の視点では､両方 とも T e mp e r l e y -L i e b代数 ( 以下､TL代数 またはTLJ代数 と略称)の応用 と深 く関係す る研究なのである｡ 最近十数年の間に､環状のDNAな ど環状高分子か ら結び 目をつ くることが可能 とな り､実験 と理論の両方か ら研究 されている [ 1 -6 1 ｡特 に､環状高分子の統計力学 における結び 目の効果が活 発 に研究 されている [ 7 -1 3 ] ｡環状高分子鎖の全ての空間配置の中には様 々な結び 目が含 まれてお り､一定の結び 目の配置のみを取 り出す ことは全 く自明ではない｡結び 目一定の条件は排除体積効 果 と同様な効果 を導 くであろ う､ とd e sCl o i z e a l Ⅸ ( 1 9 8 1 )は予想 した 【 1 4 ] .これは最近のシ ミュ レーションで部分的には裏付 け られた とも言 えるが､現在 も研究が続 く興味深い問題 である｡ 結び 目高分子の統計力学的研究において､新 しい トポ ロジー不変量が非常に重要な役割を果た している 【 7 , 8 1 ｡実は J o n e s多項式のある部分を うま く使 うことによっては じめて本格的な結び 目 高分子の統計力学的研 究が可能 になった.一方､最近の新しい トポ ロジー不変量は J o n e s多項式 の発見に大きく刺激 された結果は じめて導かれたものである｡そ して J o n e s多項式 を理解す る上 で､統計力学模型の TL代数 の知識 は非常に便利 で重要である 【 1 5 -2 1 ] ｡ 最近､量子 XXZ鎖 とい う可解量子ス ピン系を代表す る模型 において､異常な準位縮退の存在 が明 らかにされた 【 2 2 ] ｡ XXZ異方性変数がある離散的特殊値の とき､XXZ鎖の対称性は非常 に拡大 してループ代数 とい う無限次元の対称性 となる [ 2 2 , 2 3 ] ｡そ して縮退度が格子サイズの指数 関数で増大す る異常な準位縮退が出現す る 【 2 4 ] ｡He i l ma n n -L i e bの視点では､これ は準位非交差 則に対す る驚異的I t f 反例である 【 2 5 -2 8 ] .TL代数はこの縮退現象 を説明す る上で非常に役立つ｡ TL代数

明男 西川

隆史 岡

Takashi Oka

明男 西川, 昌己 萩谷