Fonctions de distribution de paires d’un gaz superfluide de fermions de spin 1/2 en interaction de contact dans la théorie BCS dépendant du temps linéarisée
Nous montrons que la théorie de champ moyen minimale à utiliser pour le calcul des fonctions de distribution de paires g σ σ ′ ( r , r ′ ) d’un gaz superfluide de fermions de spin 1/2 spatialement homogène non polarisé n’est pas la théorie BCS statique ordinaire, mais la théorie BCS dépendant du temps linéarisée, mise en œuvre par le truchement du théorème de fluctuation-dissipation. En effet, la première ignore totalement la branche d’excitation acoustique — les phonons — du superfluide, alors que la seconde en tient compte explicitement, ainsi que des fluctuations quantiques induites par le continuum de paires brisées. Contrairement à la première, la seconde théorie (i) répercute l’effet de ces excitations collectives sur l’équation d’état du système, y compris à température nulle, (ii) permet à la fonction g ↑ ↓ ( r , r ′ ) de descendre à distance assez grande strictement en dessous de sa valeur asymptotique ( ρ / 2 ) 2 où ρ est la densité du gaz, comme il se doit d’après l’hydrodynamique quantique de Landau et Khalatnikov à basse température, et (iii) prédit dans la fonction g ↑ ↑ ( r , r ′ ) à courte distance des contributions sous-dominantes en | r - r ′ | 2 ln | r - r ′ | à 3D et en | r - r ′ | 2 ln - ln | r - r ′ | à 2D, à côté des contributions dominantes en | r - r ′ | à 3D et en | r - r ′ | 2 ln | r - r ′ | à 2D déjà présentes dans la théorie BCS statique mais avec un coefficient plus faible. Cette discussion est pertinente pour les travaux théoriques récents d’Obeso-Jureidini et de Romero-Rochín, et pour les expériences en cours sur les gaz d’atomes froids à l’ENS et au MIT.
Nous montrons que la théorie de champ moyen minimale à utiliser pour le calcul des fonctions de distribution de paires g σ σ ′ ( r , r ′ ) d’un gaz superfluide de fermions de spin 1/2 spatialement homogène non polarisé n’est pas la théorie BCS statique ordinaire, mais la théorie BCS dépendant du temps linéarisée, mise en œuvre par le truchement du théorème de fluctuation-dissipation. En effet, la première ignore totalement la branche d’excitation acoustique — les phonons — du superfluide, alors que la seconde en tient compte explicitement, ainsi que des fluctuations quantiques induites par le continuum de paires brisées. Contrairement à la première, la seconde théorie (i) répercute l’effet de ces excitations collectives sur l’équation d’état du système, y compris à température nulle, (ii) permet à la fonction g ↑ ↓ ( r , r ′ ) de descendre à distance assez grande strictement en dessous de sa valeur asymptotique ( ρ / 2 ) 2 où ρ est la densité du gaz, comme il se doit d’après l’hydrodynamique quantique de Landau et Khalatnikov à basse température, et (iii) prédit dans la fonction g ↑ ↑ ( r , r ′ ) à courte distance des contributions sous-dominantes en | r - r ′ | 2 ln | r - r ′ | à 3D et en | r - r ′ | 2 ln - ln | r - r ′ | à 2D, à côté des contributions dominantes en | r - r ′ | à 3D et en | r - r ′ | 2 ln | r - r ′ | à 2D déjà présentes dans la théorie BCS statique mais avec un coefficient plus faible. Cette discussion est pertinente pour les travaux théoriques récents d’Obeso-Jureidini et de Romero-Rochín, et pour les expériences en cours sur les gaz d’atomes froids à l’ENS et au MIT.
Les gaz de fermions de spin 1 / 2 non polarisés condensés par paires présentent une branche d’excitation collective dans leur continuum de paire brisée (V.A. Andrianov, V.N. Popov, 1976). Nous en effectuons une étude poussée à température nulle, à partir de l’équation aux énergies propres déduite de la théorie BCS dépendant du temps linéarisée, puis prolongée analytiquement au demi-plan complexe inférieur à travers sa ligne de coupure, en calculant à la fois la relation de dispersion et les poids spectraux (résidus de quasi-particule) de la branche. Dans le cas des supraconducteurs dits BCS où l’effet du réseau cristallin est remplacé par une interaction attractive à courte portée, mais où l’interaction de Coulomb doit pouvoir être prise en compte, nous nous restreignons à la limite de couplage faible Δ / μ → 0 + ( Δ est le paramètre d’ordre, μ le potentiel chimique) et aux nombres d’onde q = O ( 1 / ξ ) où ξ est la taille d’une paire ; quand l’énergie complexe z q est exprimée en unités de Δ et q en unités de 1 / ξ , la branche suit une loi universelle que nous déterminons, insensible à l’interaction de Coulomb. Dans le cas des atomes froids dans le raccordement CBE-BCS, il ne reste qu’une interaction de contact mais le couplage Δ / μ peut prendre des valeurs arbitraires, et nous étudions la branche à tout nombre d’onde. En couplage faible, nous prédisons trois échelles, celle déjà mentionnée q ≈ 1 / ξ , celle q ≈ ( Δ / μ ) - 1 / 3 / ξ où la partie réelle de la relation de dispersion admet un minimum et celle q ≈ ( μ / Δ ) / ξ ≈ k F ( k F est le nombre d’onde de Fermi) où la branche atteint le bord de son domaine d’existence. Près du point d’annulation du potentiel chimique du côté BCS, μ / Δ → 0 + , où ξ ≈ k F , nous trouvons les deux échelles q ≈ ( μ / Δ ) 1 / 2 / ξ et q ≈ 1 / ξ . Dans tous les cas, la branche est de limite
Un condensat de paires dans un gaz tridimensionnel de fermions de spin 1/2 isolé, homogène, non polarisé, de taille finie et de température extrêmement basse, mais non nulle, subit au cours du temps un changement de phase θ ˆ ( t ) − θ ˆ ( 0 ) avec une composante aléatoire, ne serait-ce que par couplage aux phonons thermiques du gaz. À l'aide de la seconde relation de Josephson quantique reliant d θ ˆ / d t aux opérateurs nombres d'occupation des modes de phonons et d'équations cinétiques linéarisées donnant l'évolution des fluctuations des nombres d'occupation, nous accédons au comportement de la variance Var [ θ ˆ ( t ) − θ ˆ ( 0 ) ] de ce déphasage aux temps longs devant le temps de collision des phonons. Le cas où la branche de phonons est de départ convexe ressemble à celui du gaz de bosons : les processus collisionnels dominants sont ceux à trois phonons de Beliaev–Landau, si bien que la variance est la somme d'un terme balistique C t 2 et d'un terme diffusif avec retard 2 D ( t − t 0 ) , dont nous donnons les expressions analytiques à la limite thermodynamique. Le cas concave est beaucoup plus exotique. Nous l'analysons aux échelles de temps courtes devant T − 9 , ce qui permet de garder comme seuls processus collisionnels ceux 2 phonons → 2 phonons de Landau–Khalatnikov aux petits angles. Le nombre total de phonons est conservé et les nombres moyens d'occupation des phonons à l'équilibre peuvent admettre un potentiel chimique μ ϕ < 0 supposé isotrope. La variance du déphasage est alors la somme d'un terme balistique C t 2 , d'un terme diffusif 2 D t , de termes sous-sous-dominants exotiques 2 A ( π t ) 1 / 2 + 2 B ln ( t 1 / 2 ) et d'un terme constant. Nous obtenons analytiquement l'expression des coefficients C , A et B , ainsi que le comportement dominant divergent de D et du terme constant lorsque μ
Les progrès techniques réalisés dans le cadre des expériences sur les gaz de fermions ultrafroids ont engendré une émulation particulièrement importante ces dernières années. En effet, ces dispositifs expérimentaux permettent de produire des systèmes gazeux ≪ à la carte ≫, notamment grâce au phénomène de résonances de Feshbach qui permet de contrôler le signe de la longueur de diffusion a par application d'un champ magnétique extérieur. Il est alors possible de générer aussi bien une interaction attractive (a < 0) que répulsive (a > 0). La résonance de Feshbach en elle-même se trouve en a → ±∞, cette limite correspondant à un régime de fortes corrélations entre les particules. De plus, dans la région où a est positive, des états lies moléculaires (bosoniques car formés de deux fermions) peuvent se former. En-dessous d'une certaine température, une phase superfluide peut alors apparaitre, et une transition de phase continue entre l'état bosonique et l'état fermionique peut être observée (BEC-BCS crossover). En fonction de la position dans le diagramme de phases, les modes collectifs possèderont des caractéristiques (fréquence, amortissement) différentes. En ce sens, ils constituent une sonde de l'état de la matière et une connaissance précise de ces modes est par conséquent très importante. Le travail présenté dans cette thèse comporte une caractérisation détaillée de plusieurs modes collectifs dans la phase normale du système atomique. L'étude repose principalement sur l'équation de Boltzmann, que nous résolvons de deux façons différentes. La première consiste à utiliser une méthode des moments ≪ améliorée ≫ (c'est-à-dire d'ordre supérieur). La seconde est numérique et a nécessité l'écriture d'un programme de simulation permettant l'incorporation de tous les effets de milieu (potentiel de champ moyen et section efficace). Une attention toute particulière a été apportée à la mise en place des simulations afin de reproduire le plus fidèlement possible les conditions expérimentales. Les techniques expérimentales permettent également désormais la création de gaz polarisés. Nous présenterons donc dans ce travail une étude de ces gaz utilisant notre programme de simulation (mise en évidence des différents régimes de collision), puis une étude plus théorique ayant pour principal objectif d'établir le diagramme de phase encore méconnu de ces gaz particuliers, et enfin de proposer une méthode de calcul des effets de milieu, les techniques habituelles utilisées pour les gaz non polarisés n'étant plus valables
Nous décrivons une approche théorique nouvelle pour étudier des gaz dilués-dégénérés, le formalisme des opérateurs d'Ursell. Nous déterminons la fonction de partition d'un gaz quantique en deux étapes. Dans un premier temps les interactions sont traitées pour un système auxiliaire de particules discernables dans une approximation de faible densité (le rapport entre portée du potentiel et distance moyenne entre particules étant beaucoup plus petit que l'unité). En second lieu la statistique quantique est introduite; aucune approximation n'est nécessaire pendant cette étape ce qui permet le traitement des gaz dégénérés. Il nous est possible de déduire des expressions des opérateurs densité réduits à partir du potentiel thermodynamique. Nous sommes alors en mesure d'étudier des systèmes macroscopiques à l'échelle microscopique. Nous aboutissons à une expression de la fonction de corrélation d'un système de sphères dures qui reproduit les « bonnes » propriétés physiques même à courte distance, un grand avantage par rapport au méthodes habituelles du type de champ moyen. Nous déterminons des expressions des quantités macroscopiques diverses dans une approximation valable pour des systèmes à faible densité (formule de Beth-Uhlenbeck généralisée). Le potentiel d'interaction y intervient par l'intermédiaire d'un nouveau paramètre, la longueur d'Ursell. Une comparaison de nos resultats avec ceux de la théorie des pseudopotentiels démontre que cette dernière donne une image acceptable des phénomènes pour des bosons. En revanche, pour des fermions, nous trouvons une différence importante: à température suffisamment basse, même des potentiels entièrement repulsives donnent lieu à une attraction effective. Nous effectuons également une étude numérique sur la dépendance de la température critique de condensation de Bose-Einstein d'un gaz de sphère dures bosoniques en fonction de la densité. Notre calcul des intégrales de chemin par une méthode Monte Carlo montre que cette température augmente par rapport à celle du gaz parfait à basse densité (maximal d'un facteur 1.07).
La matière de neutrons de basse densité (telle qu'elle existe dans la croûte des étoiles à neutrons) représente un système fermionique fortement corrélé, similaire aux gaz de Fermi ultra-froids. On sait que ces systèmes deviennent superfluides à très basse température, mais la température de transition n'est pas bien comprise théoriquement, pourtant elle est très importante pour la modélisation des étoiles à neutrons. Tandis que pour la matière de neutrons on dépend entièrement des prédictions théoriques, l'avantage des gaz de Fermi est que leurs propriétés peuvent être mesurées expérimentalement avec une bonne précision, et partiellement ceci a déjà été fait (surtout pour le gaz de Fermi dans la limite unitaire), permettant ainsi de tester la qualité des approximations utilisées dans la théorie. Dans le régime fortement couplé (près du crossover BCS-BEC), la théorie BCS standard (champ moyen) n'est pas applicable. Une théorie mieux adaptée à ce régime est la théorie de Nozières et Schmitt-Rink (NSR). Elle est basée sur la matrice T dans le milieu et permet d'inclure des corrélations d'appariement au-dessus de la température critique dans le calcul. Mais la matrice T elle-même est calculée pour un système non-corrélé, ce qui mène à une sur-estimation de la température critique. La première partie de cette thèse se consacre à la mise en place à l’étude des corrélations dans la matière fermionique. On s’intéresse d’abord aux gaz de Fermi polarisé à température nulle où la polarisation joue un effet similaire à la température en rendant l’appariement moins favorable. Pour traiter les corrélations dans ces gaz, on applique une théorie appelée RPA renormalisée basée sur des nombres d’occupation auto-cohérent. La polarisation critique calculée avec cette théorie se trouve en bon accord avec d’autres résultats théoriques. On obtient également des résultats concernant l’apparition de la phase FFLO où les paires ont une impulsion totale non nulle. On traite ensuite les corrélations dans la matière à neutrons à température finie. On y compare différents moyens de calcul au-delà de la théorie de NSR, et on discute l'effet des corrélations sur la température critique ainsi que l'apparition d'un "pseudo-gap". On expose également les faiblesses des différentes approches. La deuxième partie de cette thèse se focalise sur la croûte interne des étoiles à neutrons dans la phase superfluide. On construit une théorie effective qui prend comme paramètres la phase du gap d’appariement des neutrons superfluides ainsi que le champ de déplacement des particules normales. Le Lagrangien associé à cette théorie contient le couplage des particules superfluides avec les particules normales, le gaz d’électrons qui assure la neutralité électrique et enfin les déformations élastiques des phases cristallines, spaghetti et lasagnes. De là, le calcul des modes propres de vibrations nous donne accès à la chaleur spécifique de la croûte.
La matière de neutrons de basse densité (telle qu'elle existe dans la croûte des étoiles à neutrons) représente un système fermionique fortement corrélé, similaire aux gaz de Fermi ultra-froids. On sait que ces systèmes deviennent superfluides à très basse température, mais la température de transition n'est pas bien comprise théoriquement, pourtant elle est très importante pour la modélisation des étoiles à neutrons. Tandis que pour la matière de neutrons on dépend entièrement des prédictions théoriques, l'avantage des gaz de Fermi est que leurs propriétés peuvent être mesurées expérimentalement avec une bonne précision, et partiellement ceci a déjà été fait (surtout pour le gaz de Fermi dans la limite unitaire), permettant ainsi de tester la qualité des approximations utilisées dans la théorie. Dans le régime fortement couplé (près du crossover BCS-BEC), la théorie BCS standard (champ moyen) n'est pas applicable. Une théorie mieux adaptée à ce régime est la théorie de Nozières et Schmitt-Rink (NSR). Elle est basée sur la matrice T dans le milieu et permet d'inclure des corrélations d'appariement au-dessus de la température critique dans le calcul. Mais la matrice T elle-même est calculée pour un système non-corrélé, ce qui mène à une sur-estimation de la température critique. La première partie de cette thèse se consacre à la mise en place à l’étude des corrélations dans la matière fermionique. On s’intéresse d’abord aux gaz de Fermi polarisé à température nulle où la polarisation joue un effet similaire à la température en rendant l’appariement moins favorable. Pour traiter les corrélations dans ces gaz, on applique une théorie appelée RPA renormalisée basée sur des nombres d’occupation auto-cohérent. La polarisation critique calculée avec cette théorie se trouve en bon accord avec d’autres résultats théoriques. On obtient également des résultats concernant l’apparition de la phase FFLO où les paires ont une impulsion totale non nulle. On traite ensuite les corrélations dans la matière à neutrons à température finie. On y compare différents moyens de calcul au-delà de la théorie de NSR, et on discute l'effet des corrélations sur la température critique ainsi que l'apparition d'un "pseudo-gap". On expose également les faiblesses des différentes approches. La deuxième partie de cette thèse se focalise sur la croûte interne des étoiles à neutrons dans la phase superfluide. On construit une théorie effective qui prend comme paramètres la phase du gap d’appariement des neutrons superfluides ainsi que le champ de déplacement des particules normales. Le Lagrangien associé à cette théorie contient le couplage des particules superfluides avec les particules normales, le gaz d’électrons qui assure la neutralité électrique et enfin les déformations élastiques des phases cristallines, spaghetti et lasagnes. De là, le calcul des modes propres de vibrations nous donne accès à la chaleur spécifique de la croûte.