Nesta dissertação, mostramos as primeiras aplicações do recém criado Anstz do Produto Matricial [8] na solução exata das matrizes de transferência associadas a modelos de vértices. A integrabilidade dos modelos é obtida diagonalizando-se a matriz de transferência diagonal-para-diagonal. Foram estudados duas classes de modelos. Na primeira delas introduzimos novos modelos de vértices, que denominamos de modelos de 5 vértices interagentes. Nestes modelos os vértices além das interações usuais de vizinhos próximos, dadas pela regra do gelo, possuem também interações de natureza repulsiva ao longo da diagonal. O famoso modelo de 6 vértices é obtido num limite particular deste novo modelo. O espectro da matriz de transferência, analogamente ao que acontece no ansatz de Bethe tradicional é dado em termos de solução de equações não lineares. Um estudo analítico e numérico destas equações foi feito para o modelo de 6 vértices que está contido nesta primeira classes de modelos. Tais resultados, juntamente com as idéias de invariância conforme, nos permitiram estudar o modelo em seu regime crítico. A segunda classe de modelos que estudamos foram os modelos de 10 vértices que satisfazem às regras do gelo. Obtivemos todos os possíveis modelos exatamente integráveis desta classe, reobtendo resultados da literatura bem como novos resultados.
Nesta dissertação, mostramos as primeiras aplicações do recém criado Anstz do Produto Matricial [8] na solução exata das matrizes de transferência associadas a modelos de vértices. A integrabilidade dos modelos é obtida diagonalizando-se a matriz de transferência diagonal-para-diagonal. Foram estudados duas classes de modelos. Na primeira delas introduzimos novos modelos de vértices, que denominamos de modelos de 5 vértices interagentes. Nestes modelos os vértices além das interações usuais de vizinhos próximos, dadas pela regra do gelo, possuem também interações de natureza repulsiva ao longo da diagonal. O famoso modelo de 6 vértices é obtido num limite particular deste novo modelo. O espectro da matriz de transferência, analogamente ao que acontece no ansatz de Bethe tradicional é dado em termos de solução de equações não lineares. Um estudo analítico e numérico destas equações foi feito para o modelo de 6 vértices que está contido nesta primeira classes de modelos. Tais resultados, juntamente com as idéias de invariância conforme, nos permitiram estudar o modelo em seu regime crítico. A segunda classe de modelos que estudamos foram os modelos de 10 vértices que satisfazem às regras do gelo. Obtivemos todos os possíveis modelos exatamente integráveis desta classe, reobtendo resultados da literatura bem como novos resultados.
amigo Justino, que me deram muita força nos momentos difíceis de minha vida.• Ao meu Amigo Matheus, pelas longas conversas sobre Física e Matemática.iii R e s u m o Nesta dissertação, mostramos as primeiras aplicações do recém criado Ansatz do Produto Matricial [8℄ na solução exata das matrizes de transferência associadas a modelos de vértices.A integrabilidade dos modelos é obtida diagonalizando-se a matriz de transferência diagonal-para-diagonal.Foram estudados duas classes de modelos.Na primeira delas introduzimos novos modelos de vértices, que denominamos de modelos de 5 vértices interagentes.Nestes modelos os vértices além das interações usuais de vizinhos próximos, dadas pela regra do gelo, possuem também interações de natureza repulsiva ao longo da diagonal.O famoso modelo de 6 vértices é obtido num limite particular deste novo modelo.O espectro da matriz de transferência, analogamente ao que acontece no ansatz de Bethe tradicional é dado em termos da solução de equações não lineares.Um estudo analítico e numérico destas equações foi feito para o modelo de 6 vértices que está contido nesta primeira classe de modelos.Tais resultados, juntamente com as idéias de invariância conforme, nos permitiram estudar o modelo em seu regime crítico.A segunda classe de modelos que estudamos foram os modelos de 10 vértices que satisfazem às regras do gelo.Obtivemos todos os possíveis modelos exatamente integráveis desta classe, reobtendo resultados da literatura bem como novos resultados.
Neste trabalho mostramos que uma grande variedade de modelos exatamente solúveis através do ansatz de Bethe coordenadas podem também ser resolvidos através de um ansatz do produto matricial. Estes modelos são descritos no caso unidimensional por cadeias quânticas, e por matrizes de transferência no caso de sistemas clássicos bi-dimensionais. Diferentemente do ansatz de Bethe, em que as auto-funções do modelo são escritas como uma combinação de ondas planas, no nosso ansatz do produto matricial elas são dadas por produtos de matrizes, onde as matrizes obedecem a uma álgebra associativa apropriada. Estas relações algébricas são obtidas impondo-se que as auto-funções escritas em termos do ansatz satisfaçam à equação de auto-valor do operador Hamiltoniano ou da matriz de transferência. A consistência das relações de comutatividade entre os elementos da álgebra implicam na exata integrabilidade do modelo. Além disso, o ansatz que propomos permite uma formulação simples e unificada para vários Hamiltonianos quânticos exatamente solúveis. Apresentamos nesta tese a formulação do nosso ansatz do produto matricial para uma grande família de redes quânticas, como os modelos anisotrópico de Heisenberg, Fateev-Zamolodchikov, Izergin-Korepin, Sutherland, t-J, Hubbard etc. Mais ainda, formulamos nosso ansatz para processos estocásticos de partículas com tamanhos e classes diferentes difundindo assimetricamente na rede. Por fim, com o objetivo de dar suporte a nossa conjectura de que todos os modelos exatamente solúveis através do ansatz de Bethe coordenadas, associados a Hamiltonianos quânticos unidimensionais ou matrizes de transferência bidimensionais, também podem ser resolvidos através de um ansatz do produto matricial, apresentamos a formulação do nosso ansatz para a matriz de transferência do modelo de seis-vértices com condição de contorno toroidal
Neste trabalho mostramos que uma grande variedade de modelos exatamente solúveis através do ansatz de Bethe coordenadas podem também ser resolvidos através de um ansatz do produto matricial. Estes modelos são descritos no caso unidimensional por cadeias quânticas, e por matrizes de transferência no caso de sistemas clássicos bi-dimensionais. Diferentemente do ansatz de Bethe, em que as auto-funções do modelo são escritas como uma combinação de ondas planas, no nosso ansatz do produto matricial elas são dadas por produtos de matrizes, onde as matrizes obedecem a uma álgebra associativa apropriada. Estas relações algébricas são obtidas impondo-se que as auto-funções escritas em termos do ansatz satisfaçam à equação de auto-valor do operador Hamiltoniano ou da matriz de transferência. A consistência das relações de comutatividade entre os elementos da álgebra implicam na exata integrabilidade do modelo. Além disso, o ansatz que propomos permite uma formulação simples e unificada para vários Hamiltonianos quânticos exatamente solúveis. Apresentamos nesta tese a formulação do nosso ansatz do produto matricial para uma grande família de redes quânticas, como os modelos anisotrópico de Heisenberg, Fateev-Zamolodchikov, Izergin-Korepin, Sutherland, t-J, Hubbard etc. Mais ainda, formulamos nosso ansatz para processos estocásticos de partículas com tamanhos e classes diferentes difundindo assimetricamente na rede. Por fim, com o objetivo de dar suporte a nossa conjectura de que todos os modelos exatamente solúveis através do ansatz de Bethe coordenadas, associados a Hamiltonianos quânticos unidimensionais ou matrizes de transferência bidimensionais, também podem ser resolvidos através de um ansatz do produto matricial, apresentamos a formulação do nosso ansatz para a matriz de transferência do modelo de seis-vértices com condição de contorno toroidal
Nesta tese desenvolvemos as ferramentas essenciais utilizadas na solução algébrica do ansatz de Bethe para modelos de vértices integráveis invariantes por uma única simetria de carga U(1). O formalismo aqui apresentado tem como principal aspecto ser válido para pesos estatísticos arbitrários com N graus de liberdade. Demonstramos que as regras de comutação fundamentais entre os elementos da matriz de monodromia são obtidas por meio de determinados sistemas lineares. Os autovetores da matriz de transferência são determinados em termos de novas relações de recorrência descritas em termos de N - 1 tipos de campos de criação. A ação da matriz de transferência nos autovetores é determinada explicitamente em termos de pesos estatísticos arbitrários. Aplicamos nossa formulação no caso de modelos de vértices derivados de representações de trancas associadas a algebra Uq[SU(2)] para valores não genéricos do parâmetro q. Isto proporcionou uma oportunidade para empregarmos nosso formalismo em sistemas cujas respectivas matrizes R são aditivas ou não aditivas em relação ao parâmetro espectral.
Nesta dissertação estudamos as possíveis soluções da equação de Yang-Baxter para modelos de dezenove vértices invariantes por simetria de paridade e reversão temporal do ponto de vista da geometria algébrica.Determinamos a forma das curvas algébricas que vinculam os respectivos pesos de Boltzmann e descobrimos que suas estruturas são universais.Com tal observação foi possível classificar, de uma maneira unificada, as variedades algébricas integráveis em quatro diferentes famílias, três delas já conhecidas e uma delas correspondendo a um novo modelo de dezenove vértices.A introdução de um parâmetro espectral nos pesos de Boltzmann é feita através da parametrização da curva algébrica fundamental, que é uma cônica.A diagonalização da matriz de transferência do novo modelo de vértices bem como suas propriedades no limite termodinâmico são discutidas.Mencionamos ainda uma curiosa conexão entre a forma da curva principal e a natureza das excitações das Hamiltonianas de spin-1 associadas aos modelos de vértices.
Introdução o interesse em se estudar modelos com interaçÕe8 mais gerais do que interações de dois corpos surgiu com as evidências de efeitos importantes de atrações de muitos corpos em teorias de ligas (1), problemas de superfície (2,3), estrutura do 3He sólido (.), etc.Os primeiros modelos que surgiram focalizando o problema de interações de multispin foram os modelos de Ashkin-Teller (5) e o modelo de oito vértices (6), ambos em duas dimensões.Em seguida Baxter e Wu (7) resolveram exatamente o modelo de lsing com interações de três corpos numa rede triangular, observando que na transição de fase os expoentes diferiam daqueles do modelo de Ising com interação de vizinhos próximos (Onsager).Na década de 70 o estudo dos fenômenos críticos vivia uma época efervescente com a introdução das idéias de invariância de escala que levaram K. Wilson ( 8) a int.oduzir a técnica do grupo de renormalização.Tal técnica revelou-se um método eficiente na explicação dos valores dos expoentes críticos obtidos experimentalmente.Por outro lado, também se iniciou neste período a investigação sobre o comportamento de sistemas finitos ao redor do ponto crítico do sistema infinito.Como as singub'ridad',s a~""Zecem-'penas nos sistemas infinitos estudou-se de que forma essas singularidades apareceriam à medida que o tamanho do sistema fosse aumentando.O primeiro trabalho que abordou a teoria de escala para sistemas finitos (finite size scaling) foi de Fisher e Barber (9), discutindo sistematicamente os efeitos de ta.ma.nho finito.A união de conceitos advindos da teoria do Grupo de Renormalização e da teoria de finite size scaling possibilitou um avanço considerável no estudo dos fenômenos críticos.Na linguagem de Grupo de Renormalização o inverso do comprimento do sistema (L-1) é um parâmetro relevante da mesma forma que o campo magnético e a temperatura.O próximo passo foi dado por Nightingale que formulou o chamado "grupo de renormalização fenomenológico" possibilitando um desenvolvimento computacional enorme, ideal para o tratamento de Hamiltonianas quânticas.Utilizando tais técnicas de finite size scaling Penson et al (11) e Debierre e Turban (12) voltaram a estudar modelos com interaçÕe8 de multispin.No entanto as investigações não foram conclusivas e o comportamento crítico permaneceu sujeito a várias 2 ~---.".._--~---