A caminhada quântica é o análogo quântico da caminhada aleatória, e se divide em dois modelos: o de tempo discreto e o de tempo contínuo. Neste trabalho foi utilizado o modelo de tempo contínuo para analisar a probabilidade média de retorno e o seu valor médio ao longo do tempo nas redes de grafeno e fulereno. Essas quantidades são determinadas a partir dos autovalores e autovetores da matriz Laplaciano. Para as estruturas de grafeno, a medida que reduzimos o número de hexágonos ao longo da direção x, a eficiência do trasporte diminui. Além disso, essa perda também ocorre quando temos uma menor quantidade de vértices. Logo, a rede mais eficiente foi o grafeno com 17 faces hexagonais ao longo de x e 1 face hexagonal ao longo de y, e a mais ineficiente foi o fulereno C60.
A caminhada quântica é o análogo quântico da caminhada aleatória, e se divide em dois modelos: o de tempo discreto e o de tempo contínuo. Neste trabalho foi utilizado o modelo de tempo contínuo para analisar a probabilidade média de retorno e o seu valor médio ao longo do tempo nas redes de grafeno e fulereno. Essas quantidades são determinadas a partir dos autovalores e autovetores da matriz Laplaciano. Para as estruturas de grafeno, a medida que reduzimos o número de hexágonos ao longo da direção x, a eficiência do trasporte diminui. Além disso, essa perda também ocorre quando temos uma menor quantidade de vértices. Logo, a rede mais eficiente foi o grafeno com 17 faces hexagonais ao longo de x e 1 face hexagonal ao longo de y, e a mais ineficiente foi o fulereno C60.
Agradecimentos• A minha família.• Ao meu orientador.• Aos membros da banca.• Aos meus colegas de pós-graduação.• A CAPES pelo suporte financeiro.viResumo Nesta tese abordamos as caminhadas quânticas em tempo discreto no modelo de espalhamento (CQEs) na rede hexagonal.Primeiro faremos uma revisão das CQEs em uma dimensão, dando um enfoque mais de propagação em rede do que em computação e informação quântica, que é o usual na área.Em seguida apresentaremos um formalismo geral para a implementação das CQEs em redes regulares e daremos o simples exemplo concreto da rede quadrada.Na sequência do trabalho, implementaremos as CQEs para a rede hexagonal e analisaremos suas propriedade no espaço de momentum.Além disso, realizamos uma breve discussão comparando as estruturas de bandas de energia obtidas para uma CQEs, caracterizada pela matriz de Grover, com as do grafeno.De maneira qualitativa, observa-se que esses dois sistemas possuem características comuns.Finalmente, através destes formalismos exploramos a estrutura topológica da rede hexagonal para obter dez diferentes formulações, com características espaciais distintas.Além disso, exemplificamos a evolução temporal dessas diferentes formulações das CQEs considerando, por exemplo, as matrizes de espalhamento de Grover e da transformada discreta de Fourier.Nosso estudo ilustra que, combinações específicas dessas dez formulações com matrizes de espalhamento adequadas resultam em sistemas com as características fenomenológicas distintas, que podem ser uma possível forma de controle de processos quântico nas CQEs na rede hexagonal.
Estudamos o transporte quântico, via caminhadas quânticas de tempo contı́nuo (CTQWs), sobre diferentes redes complexas. Neste modelo, o transporte quântico pode ser completamente resolvido após determinados seus autovalores e autovetores associados à matriz de conectividade da rede. Para fins de comparação, também investigamos o transporte clássico através das caminhadas aleatórias de tempo contı́nuo (CTRWs). A técnica das caminhadas quânticas (QWs) é uma ferramenta poderosa na análise de fenômenos de transporte. Uma maneira de monitorar a eficiência do transporte quântico é através das probabilidades médias e exatas de retorno. Inicialmente, empregamos o modelo CTQW sobre estruturas multicamadas do tipo dendrímero (RMTDs). Para contornar efeitos de localização, decidimos empilhar várias redes dendrímero, umas sobre as outras, conectando-as através de ligações entre vértices vizinhos. Através do parâmetro de probabilidade p, adicionamos novas ligações (intraligações) entre vértices de mesma geração. Com probabilidade 1 − q, retiramos ligações (interligações) entre vértices de camadas vizinhas. O transporte quântico então é investigado através das combinações numéricas desses dois parâmetros. Para essas redes, uma escolha apropriada desses parâmetros fornece, em várias ordens de grandeza, uma eficiência maior. Encontramos algo interessante: a melhor eficiência do transporte é obtida para os seguintes valores: q ≈ 0.9 e p ≈ 0.9. Ou seja, o melhor transporte é obtido quando há a ausência de uma intra- e interligação. Na sequência, utilizamos o modelo CTQW sobre redes livres de escala generalizadas (GSFNs). Tais estruturas são uma mistura não trivial entre segmentos lineares e redes do tipo estrela. Enquanto ao transporte quântico sobre GSFNs, observamos uma alternância entre fortes efeitos de localização, devido aos segmentos de estrelas, e um bom espalhamento, devido aos segmentos lineares. Mostramos que o transporte quântico sobre GSFNs pode ser melhorado através da variação de dois parâmetros de modularidade: o grau máximo e o grau mı́nimo permitidos a todos os nós da rede. Identificamos a mesma eficiência quântica para diferentes combinações dos parâmetros de construção das redes, que estão relacionados à diferentes topologias.
Neste trabalho, apresentamos o uso de computadores quânticos para implementar, ini- cialmente, passeios quânticos em tempo discreto. Para esse propósito, empregamos o modelo de passeios quânticos escalonados (SQW, na sigla em inglês) em ciclos de 8 e 16 vértices, visando alcançar taxas com a maior fidelidade possível. Além disso, demonstramos resultados para um problema de busca espacial e para uma malha bidimensional. Exibimos resultados para passeios quânticos a tempo discreto. Ademais, a decomposição de portas multicontroladas em portas elementares de qubits demonstra uma estratégia pragmática para a mitigação de erros, contribuindo significativamente para a confiabilidade e reprodu- tibilidade de nossos resultados em computação quântica. Essa abordagem meticulosa é crucial, especialmente ao lidar com algoritmos quânticos complexos nos quais a precisão é fundamental. Utilizando metodologia semelhante, também implementamos passeios quânticos em tempo contínuo para três casos: grafo completo, grafo bipartido completo e hipercubo. Além disso, realizamos uma comparação entre os resultados obtidos pelo simulador quântico e pelo computador quântico em todos os casos. Nosso estudo não apenas contribui para o crescente corpo de pesquisa em algoritmos quânticos, mas também destaca a importância da otimização cuidadosa em nível de portas para a computação quântica prática. À medida que as tecnologias quânticas continuam a avançar, essas descobertas abrem caminho para o desenvolvimento de algoritmos quânticos mais robustos e eficientes com aplicações no mundo real.
Neste trabalho estudamos o comportamento da probabilidade de escape para caminhadas quânticas unidimensionais de tempo discreto com barreira absorvedora em diferentes posições da rede via método analítico e simulações numéricas. A partir de ambas as abordagens, observamos que a probabilidade de escape depende do estado interno inicial do caminhante (qubit) e da posição da barreira absorvedora. Em seguida, estudamos caminhadas quânticas desordenadas dinamicamente e estaticamente com uma barreira absorvedora, assumindo que para uma quantidade de passos de tempo muito grande, a probabilidade de escape média sobre várias caminhadas segue uma lei de potência com o tempo. Nesse contexto, obtemos que quando a barreira está muito próxima do caminhante, no geral, ele é totalmente absorvido pela barreira em taxas de tempo cada vez maiores na medida que o nível de desordem da caminhada aumenta, tornando-se muito semelhante ao comportamento clássico em alguns casos. Por outro lado, quando a barreira está bem afastada da origem, as taxas de absorção diminuem significativamente, ao ponto que a partícula escapa parcialmente ou totalmente da barreira absorvedora em alguns casos de desordem estática
Dado um grafo qualquer é possível definir um operador que representa a evolução de estados respeitando a localidade do grafo. A busca quântica, representada por uma pequena perturbação em alguns nós nesse operador de evolução para marcá-los, se baseia em evoluir o estado quântico por um determinado número de passos até que a probabilidade de encontrar um dos nós marcados seja máxima. Encontrar o número de passos e a probabilidade de sucesso final em grafos de interesse com um número qualquer de marcados é o principal objetivo deste trabalho. Para tal, desenvolvemos um método analítico que obtém uma expressão assintótica no número de nós para as quantidades desejadas a partir da análise de dois autovetores principais da matriz de evolução. O método foi desenvolvido para o caso de passeios discretos e contínuos, com exemplos na malha bidimensional e em grafos de Johnson, respectivamente e ambos com dois elementos marcados. Para um exemplo ainda mais geral é apresentada a análise de passeios contínuos em t-designs, uma abstração matemática que nos gera diferentes grafos bipartidos. Neste último caso obtemos expressões analíticas dependendo não apenas dos parâmetros do grafo, como também do número de marcados. Os exemplos estudados são casos onde não há uma teoria tão precisa a respeito da probabilidade de sucesso e tempo ótimo de passeios quânticos e também mostram o potencial do método desenvolvido para lidar com problemas mais gerais.
A dinâmica de passeios quânticos obedece às leis da mecânica quântica com uma restrição extra de localidade, a qual demanda que o operador de evolução seja local, no sentido que o caminhante deve visitar locais vizinhos antes de visitar locais distantes. Normalmente, o Hamiltoniano é obtido das matrizes de adjacência ou laplaciana do grafo e o caminhante pula de um vértice para vértices vizinhos. Neste trabalho, definimos uma versão do passeio quântico a tempo contínuo que permite o caminhante pular de vértice para aresta. Como uma aplicação, analisamos o algoritmo de busca espacial no grafo bipartido completo através de uma modificação na nova versão do Hamiltoniano com um termo extra que depende da localização do vértice marcado ou da aresta marcada, de forma similar ao que é feito no modelo de passeio quântico a tempo contínuo. Nós mostramos que o tempo de execução ótimo para achar ou um vértice, ou uma aresta é O(√Ne) com probabilidade de sucesso 1 − o(1), onde Ne é o número de arestas do grafo bipartido completo.