O objetivo principal deste trabalho é o de investigar relações entre mapeamentos de modelos de spin em modelos de percolação e a existência de algoritmos de cluster capazes de simular de forma eficiente o modelo. Apresentamos um mapeamento do modelo de Blume-Capel em um modelo de percolação que permite reobter um algoritmo proposto anteriormente por nós através de uma prova de balanço detalhado, o que abre a possibilidade de descrevermos todo o diagrama de fases do modelo em termos de propriedades dos clusters formados. Isto é particularmente interessante, já que o modelo possui um ponto tricrítico, nunca antes analisado em termos de propriedades de percolação. Encontramos também um mapeamento para o modelo de Ashkin-Teller, e através dos algoritmos de cluster resultantes investigamos a possibilidade de existência de uma fase de Baxter Assimétrica. Analisamos também questões relacionadas ao comportamento de tamanho finito de sistemas que apresentam transições de fase de primeira ordem assimétricas. Finalmente, o algoritmo de cluster desenvolvido para o modelo de Blume-CapeI é também generalizado: de forma a podermos aplicá-lo ao estudo do modelo de Blume-Emery-Griffiths.
O objetivo principal deste trabalho é o de investigar relações entre mapeamentos de modelos de spin em modelos de percolação e a existência de algoritmos de cluster capazes de simular de forma eficiente o modelo. Apresentamos um mapeamento do modelo de Blume-Capel em um modelo de percolação que permite reobter um algoritmo proposto anteriormente por nós através de uma prova de balanço detalhado, o que abre a possibilidade de descrevermos todo o diagrama de fases do modelo em termos de propriedades dos clusters formados. Isto é particularmente interessante, já que o modelo possui um ponto tricrítico, nunca antes analisado em termos de propriedades de percolação. Encontramos também um mapeamento para o modelo de Ashkin-Teller, e através dos algoritmos de cluster resultantes investigamos a possibilidade de existência de uma fase de Baxter Assimétrica. Analisamos também questões relacionadas ao comportamento de tamanho finito de sistemas que apresentam transições de fase de primeira ordem assimétricas. Finalmente, o algoritmo de cluster desenvolvido para o modelo de Blume-CapeI é também generalizado: de forma a podermos aplicá-lo ao estudo do modelo de Blume-Emery-Griffiths.
Através da nova técnica de Busca Automática de parâmetros de ordem e propriedades críticas, estudamos vários sistemas físicos conhecidos, com o intuito de testar a eficiência desta técnica, a fim de aplicá-la para. sistemas complexos em geral.\nO Método de Busca Automática (MBA) é desenvolvido em combinação com o Método de Simulação de Monte Carlo e este por sua vez se utiliza de uma determinada dinâmica para. fazer o sistema evoluir com o tempo. Nos problemas que tratamos, utilizamos as dinâmicas de Metropolis e de Gláuber, que produzem resultados essencialmente equiva¬lentes.\nFazemos uma breve revisão das transições de fase e fenômenos críticos. Descrevemos o MBA e comentamos alguns trabalhos onde a. aplicação deste método já obteve sucesso.\nAplicamos o MBA para o modelo de Ising ferromagnético. Calculamos as fronteiras críticas e o expoente fl da magnetização em várias redes geométricas e várias dimensões espaciais.\nAplicamos também o MBA para o modelo de Ising ferromagnético em uma rede quadrada com diluição de sítios. Calculamos as fronteiras críticas, o expoente 0 e o expoente 7 da susceptibilidade. O MBA calcula simultaneamente os expoentes (5 e 7. Verificamos que a. classe de universalidade do sistema não é alterada quando se introduz diluição.\nEstudamos o problema, da. percolação de ligações de longo alcance na cadeia linear diluída. Discutimos questões de extensividade e não extensividade inerentes à sistemas com interações de longo alcance.\nFinalmente, apresentamos nossas conclusões e possíveis extensões deste trabalho
Nesta tese estudamos vários tópicos ligados a simulações Monte Carlo de sistemas clássicos de spin em rede. Estamos interessados mais nos métodos do que nos resultados de aplicações com grande precisão numérica, devido a limitações computacionais. A ênfase é dada principalmente ao método de Grupo de Renormalização via Monte Carlo. Em primeiro lugar levamos a cabo um estudo detalhado do truncamento no espaço de Hamiltonianas para poder controlar numericamente os efeitos de operadores marginais. Um estudo detalhado do modelo Ashkin Teller N= 2 em duas dimensões é apresentado. Procuramos, a seguir, entender melhor o método de Ferrenberg e Swendsen de histogramas estudando-o para poder calcular, em uma só simulação, valores de expoentes não universais. Apresentamos resultados do modelo de Ising com defeito em 2d. Este método é aplicado ao problema da determinação da ordem de transições. Exemplos de modelos de Ising com interação de multispin são apresentados. Mostramos a seguir uma nova e poderosa técnica de investigar transições de fase que é obtida da combinação de idéias do Grupo de Renormalização via Monte Carlo e do método de histograma. Estes métodos são finalmente usados para estudar o modelo Ashkin Teller N= 3 anisotrópico em duas dimensões
Neste trabalho nós estudamos alguns sistemas de spins e vértices exatamente solúveis em duas dimensões. A solubilidade exata está ligada ao fato de existirem soluções não triviais das equações de fatorização, o que nos permite obter a energia livre no limite termodinâmico. Introduzimos e resolvemos pelo método de espalhamento inverso, um modelo de dez vértices assimétrico com dois e três estados nas ligações. Obtemos o diagrama de fases e mostramos que o sistema exibe uma transição de fase de primeira ordem. Analisamos um modelo de oito vértices de férmions livres e propomos uma nova relação funcional que nos permite calcular a energia livre por vértice. Mostramos que este sistema de vértices corresponde ao modelo de Ising na rede Union Jack. Apresentamos um método de solução de modelos de spin em redes triangulares a partir da solução do mesmo modelo na rede quadrada. O método se aplica sempre que o modelo de spins envolver interação de primeiros vizinhos e satisfizer a relação triângulo-estrela. Estendemos para a rede triangular, as soluções autoduais de Fateev e Zamolodchikov para a rede quadrada, de modelos de spin com simetria Z(N). Analisamos as conjecturas existentes sobre a criticalidade do modelo de Potts definido na rede de Kagomé. Baseados na simetria e nas degenerescências dessa rede conjecturamos uma expressão para a sua linha crítica.
Neste trabalho nós estudamos alguns sistemas de spins e vértices exatamente solúveis em duas dimensões. A solubilidade exata está ligada ao fato de existirem soluções não triviais das equações de fatorização, o que nos permite obter a energia livre no limite termodinâmico. Introduzimos e resolvemos pelo método de espalhamento inverso, um modelo de dez vértices assimétrico com dois e três estados nas ligações. Obtemos o diagrama de fases e mostramos que o sistema exibe uma transição de fase de primeira ordem. Analisamos um modelo de oito vértices de férmions livres e propomos uma nova relação funcional que nos permite calcular a energia livre por vértice. Mostramos que este sistema de vértices corresponde ao modelo de Ising na rede Union Jack. Apresentamos um método de solução de modelos de spin em redes triangulares a partir da solução do mesmo modelo na rede quadrada. O método se aplica sempre que o modelo de spins envolver interação de primeiros vizinhos e satisfizer a relação triângulo-estrela. Estendemos para a rede triangular, as soluções autoduais de Fateev e Zamolodchikov para a rede quadrada, de modelos de spin com simetria Z(N). Analisamos as conjecturas existentes sobre a criticalidade do modelo de Potts definido na rede de Kagomé. Baseados na simetria e nas degenerescências dessa rede conjecturamos uma expressão para a sua linha crítica.
Sistemas unidimensionais desordenados destacam-se por apresentar fenomenos sem analogos nos casos sem desordem ou em dimensoes maiores. Fenomenos inerentes a sistemas com desordem incluem antiferromagneticas de sistemas de spins, onde o estado fundamental e formado por colecoes de singletos de pares de spins, e localizacao de Anderson, onde a funcao de onda apresenta decaimento exponencial. Nesta Tese, estudamos alguns casos onde a fisica de baixas energias e dramaticamente alterada quando o sistema e desordenado, incluindo os exemplos citados anteriormente. Alem de sistemas que apresentam as propriedades fisicas anteriores, elucidamos ainda um mecanismo generico que leva ao aumento de simetria de baixas energias em sistemas de spins desordenados, um tema nao explorado previamente. Investigamos os efeitos de desordem em cadeias de spin genericos em uma dimensao, sendo as interacoes invariantes por rotacao do sistema de coordenadas e por reversao temporal. Para tanto, consideramos todos os termos possiveis que preservam estas simetrias. Tais termos vao alem do habitual termo de Heisenberg, em cadeias de spin S>1/2. Em cadeias de spin 1, encontramos distintas antiferromagneticas onde o estado fundamental e composto de uma colecao de singletos de spins cujas posicoes sao aleatorias. Em baixas energias, a desordem efetiva nestas cresce sem limites; tais sao chamadas, portanto, de fases de desordem infinita. Mais surpreendentemente, verificamos que nas antiferromagneticas a simetria de baixas energias e aumentada, de SU(2) para SU(3). Tal verificacao e feita a partir do mapeamento de operadores de spin monopolares, dipolares e quadrupolares para geradores de representacoes de SU(3), e a posterior constatacao de que a fisica de baixas energias e invariante por rotacoes com tal grupo de geradores. Em analogia com a fisica de particulas, uma das e do tipo barionica, onde o estado fundamental e composto de singletos de colecoes de tres spins (ou quarks formando um singleto de cor, pela analogia com altas energias), enquanto outra fase e do tipo mesonica, sendo o estado fundamental uma sopa de pares de spins (ou pares quark-antiquark, pela analogia). Alem das antiferromagneticas, mapeamos o diagrama de completo da cadeia de spin 1 bilinear e biquadratica (nos operadores de spin) no regime de desordem finita, incluindo ferromagneticas e de spin alto. Nestas, o ferromagnetismo e o antiferomagnetismo competem, o que se reflete no crescimento de spin efetivos, que sao os graus de liberdade efetivos em baixas energias, ser mais lento que no caso ferromagnetico. Ao contrario das antiferromagneticas, nestas de spin alto, a desordem efetiva satura em um valor finito. Estendemos o estudo para spins S>1 atraves do uso de tensores esfericos irredutiveis, que se mostram a linguagem natural para construcao das regras de dizimacao e analise do fluxo do grupo de renormalizacao para desordem forte. Novamente, incluimos todos os termos possiveis que respeitam invariância por rotacao SU(2) e reversao temporal. Descobrimos que ha tambem simetria aumentada nas antiferromagneticas em baixas energias, agora para o grupo SU(2S+1), simetria esta herdada de um ponto no espaco de parâmetros onde o mapeamento para SU(2S+1) e exato em todas as escalas de energia. Esta e uma generalizacao da fase mesonica SU(3) de cadeias de spin 1. Nos tambem discutimos o porque da fase barionica ser muito mais restritiva e, portanto, especial da cadeia de spins 1. Outro objeto de nosso estudo foram sistemas de fermions nao-interagentes em uma dimensao. Os hoppings de longo alcance sao escolhidos tendo um desvio padrao com decaimento em funcao da distância entre sitios, em forma de lei de potencia. Para tal estudo, estendemos o metodo de Equacoes de Fluxo, pioneiramente proposto por Wegner, para sistemas desordenados. Acoplado a esta extensao do metodo, propusemos uma tecnica de grupo de renormalizacao. A combinacao do uso direto das Equacoes de Fluxo, mais o metodo de grupo de renormalizacao, permitiu o mapeamento completo do diagrama de fases, com uma fase estendida (nao-localizada) para expoentes de decaimento menores que um, e uma fase localizada para expoentes maiores que um. O carater localizado ou delocalizado de determinada fase e determinado tanto pela evolucao da distribuicao de acoplamentos, quanto pelos autovalores do Hamiltoniano, atraves da medida de sua repulsao mutua entre niveis
Ab
A física enfrenta constantemente o desafio de estudar sistemas complexos, caracterizados pela interação entre seus elementos e pela imprevisibilidade de seu comportamento, o que torna o tratamento matemático desses sistemas bastante complicado. Em resposta a esses desafios, surge a teoria do campo médio, um ramo da física estatística que reúne métodos aproximativos para lidar com sistemas complexos ainda sem solução exata. Um desses métodos é o método variacional de Bogoliubov, que se destaca pelo rigor matemático e conduz à desigualdade de Bogoliubov, permitindo, a partir dela, determinar grandezas termodinâmicas relevantes para um sistema físico específico por meio da minimização da energia livre de Helmholtz, construída com base em um Hamiltoniano tentativa. Além do tratamento matemático, sistemas complexos podem ser estudados por modelagem numérica adequada. Um exemplo relevante são os sistemas magnéticos, que podem ser mapeados por modelos teóricos como o Modelo de Ising e o Modelo de Blume-Capel. Neste trabalho, propomos o estudo, utilizando o método variacional de Bogoliubov, do modelo de Ising com spin meio, campo magnético externo e interação de troca ferromagnética, com o objetivo de obter as propriedades termodinâmicas dos sistemas magnéticos e os diagramas de fase, possibilitando também o estudo qualitativo dos materiais magnéticos. O estudo realizado aqui é uma ferramenta bem estabelecida na literatura e de grande importância para o entendimento e modelagem de vários sistemas naturais. Os autores agradecem à Pró-Reitoria de Pesquisa e Pós-graduação – PPG e ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico pelo financiamento deste trabalho.