Neste trabalho nós estudamos alguns sistemas de spins e vértices exatamente solúveis em duas dimensões. A solubilidade exata está ligada ao fato de existirem soluções não triviais das equações de fatorização, o que nos permite obter a energia livre no limite termodinâmico. Introduzimos e resolvemos pelo método de espalhamento inverso, um modelo de dez vértices assimétrico com dois e três estados nas ligações. Obtemos o diagrama de fases e mostramos que o sistema exibe uma transição de fase de primeira ordem. Analisamos um modelo de oito vértices de férmions livres e propomos uma nova relação funcional que nos permite calcular a energia livre por vértice. Mostramos que este sistema de vértices corresponde ao modelo de Ising na rede Union Jack. Apresentamos um método de solução de modelos de spin em redes triangulares a partir da solução do mesmo modelo na rede quadrada. O método se aplica sempre que o modelo de spins envolver interação de primeiros vizinhos e satisfizer a relação triângulo-estrela. Estendemos para a rede triangular, as soluções autoduais de Fateev e Zamolodchikov para a rede quadrada, de modelos de spin com simetria Z(N). Analisamos as conjecturas existentes sobre a criticalidade do modelo de Potts definido na rede de Kagomé. Baseados na simetria e nas degenerescências dessa rede conjecturamos uma expressão para a sua linha crítica.
Neste trabalho nós estudamos alguns sistemas de spins e vértices exatamente solúveis em duas dimensões. A solubilidade exata está ligada ao fato de existirem soluções não triviais das equações de fatorização, o que nos permite obter a energia livre no limite termodinâmico. Introduzimos e resolvemos pelo método de espalhamento inverso, um modelo de dez vértices assimétrico com dois e três estados nas ligações. Obtemos o diagrama de fases e mostramos que o sistema exibe uma transição de fase de primeira ordem. Analisamos um modelo de oito vértices de férmions livres e propomos uma nova relação funcional que nos permite calcular a energia livre por vértice. Mostramos que este sistema de vértices corresponde ao modelo de Ising na rede Union Jack. Apresentamos um método de solução de modelos de spin em redes triangulares a partir da solução do mesmo modelo na rede quadrada. O método se aplica sempre que o modelo de spins envolver interação de primeiros vizinhos e satisfizer a relação triângulo-estrela. Estendemos para a rede triangular, as soluções autoduais de Fateev e Zamolodchikov para a rede quadrada, de modelos de spin com simetria Z(N). Analisamos as conjecturas existentes sobre a criticalidade do modelo de Potts definido na rede de Kagomé. Baseados na simetria e nas degenerescências dessa rede conjecturamos uma expressão para a sua linha crítica.
Neste trabalho nós estudamos alguns sistemas de spins e vértices exatamente solúveis em duas dimensões. A solubilidade exata está ligada ao fato de existirem soluções não triviais das equações de fatorização, o que nos permite obter a energia livre no limite termodinâmico. Introduzimos e resolvemos pelo método de espalhamento inverso, um modelo de dez vértices assimétrico com dois e três estados nas ligações. Obtemos o diagrama de fases e mostramos que o sistema exibe uma transição de fase de primeira ordem. Analisamos um modelo de oito vértices de férmions livres e propomos uma nova relação funcional que nos permite calcular a energia livre por vértice. Mostramos que este sistema de vértices corresponde ao modelo de Ising na rede Union Jack. Apresentamos um método de solução de modelos de spin em redes triangulares a partir da solução do mesmo modelo na rede quadrada. O método se aplica sempre que o modelo de spins envolver interação de primeiros vizinhos e satisfizer a relação triângulo-estrela. Estendemos para a rede triangular, as soluções autoduais de Fateev e Zamolodchikov para a rede quadrada, de modelos de spin com simetria Z(N). Analisamos as conjecturas existentes sobre a criticalidade do modelo de Potts definido na rede de Kagomé. Baseados na simetria e nas degenerescências dessa rede conjecturamos uma expressão para a sua linha crítica.
O objetivo deste trabalho é analisar o comportamento dos expoentes críticos do modelo de Oito Vértices através de cotas superior e inferior para sua função de partição na vizinhança de modelos solúveis. O método é ilustrado pelo modelo de Heisenberg quântico unidimensional também denominado modelo XYZh. Aplica-se igualmente ao modelo de Ising bidimensional (com interação quártica e segundos vizinhos). Assim, propomos um modo alternativo de abordar universalidade nos modelos de Heisenberg unidimensional quântico e Ising bidimensional clássico por desigualdades satisfeitas por suas funções de partição. Dentre os métodos que utilizamos para a obtenção das cotas destacam-se: a interação Gaussiana nas variáveis reais e nas variáveis de Grassmann; o mapeamento de um modelo unidimensional em um bidimensional através do auxílio da fórmula Trotter; a representação da função de partição pelo Pfaffiano de uma matriz; e, para a obtenção da cota superior, a técnica de positividade por reflexão, estendida ao acaso de variáveis que anti-comutam.
Sistemas unidimensionais desordenados destacam-se por apresentar fenomenos sem analogos nos casos sem desordem ou em dimensoes maiores. Fenomenos inerentes a sistemas com desordem incluem antiferromagneticas de sistemas de spins, onde o estado fundamental e formado por colecoes de singletos de pares de spins, e localizacao de Anderson, onde a funcao de onda apresenta decaimento exponencial. Nesta Tese, estudamos alguns casos onde a fisica de baixas energias e dramaticamente alterada quando o sistema e desordenado, incluindo os exemplos citados anteriormente. Alem de sistemas que apresentam as propriedades fisicas anteriores, elucidamos ainda um mecanismo generico que leva ao aumento de simetria de baixas energias em sistemas de spins desordenados, um tema nao explorado previamente. Investigamos os efeitos de desordem em cadeias de spin genericos em uma dimensao, sendo as interacoes invariantes por rotacao do sistema de coordenadas e por reversao temporal. Para tanto, consideramos todos os termos possiveis que preservam estas simetrias. Tais termos vao alem do habitual termo de Heisenberg, em cadeias de spin S>1/2. Em cadeias de spin 1, encontramos distintas antiferromagneticas onde o estado fundamental e composto de uma colecao de singletos de spins cujas posicoes sao aleatorias. Em baixas energias, a desordem efetiva nestas cresce sem limites; tais sao chamadas, portanto, de fases de desordem infinita. Mais surpreendentemente, verificamos que nas antiferromagneticas a simetria de baixas energias e aumentada, de SU(2) para SU(3). Tal verificacao e feita a partir do mapeamento de operadores de spin monopolares, dipolares e quadrupolares para geradores de representacoes de SU(3), e a posterior constatacao de que a fisica de baixas energias e invariante por rotacoes com tal grupo de geradores. Em analogia com a fisica de particulas, uma das e do tipo barionica, onde o estado fundamental e composto de singletos de colecoes de tres spins (ou quarks formando um singleto de cor, pela analogia com altas energias), enquanto outra fase e do tipo mesonica, sendo o estado fundamental uma sopa de pares de spins (ou pares quark-antiquark, pela analogia). Alem das antiferromagneticas, mapeamos o diagrama de completo da cadeia de spin 1 bilinear e biquadratica (nos operadores de spin) no regime de desordem finita, incluindo ferromagneticas e de spin alto. Nestas, o ferromagnetismo e o antiferomagnetismo competem, o que se reflete no crescimento de spin efetivos, que sao os graus de liberdade efetivos em baixas energias, ser mais lento que no caso ferromagnetico. Ao contrario das antiferromagneticas, nestas de spin alto, a desordem efetiva satura em um valor finito. Estendemos o estudo para spins S>1 atraves do uso de tensores esfericos irredutiveis, que se mostram a linguagem natural para construcao das regras de dizimacao e analise do fluxo do grupo de renormalizacao para desordem forte. Novamente, incluimos todos os termos possiveis que respeitam invariância por rotacao SU(2) e reversao temporal. Descobrimos que ha tambem simetria aumentada nas antiferromagneticas em baixas energias, agora para o grupo SU(2S+1), simetria esta herdada de um ponto no espaco de parâmetros onde o mapeamento para SU(2S+1) e exato em todas as escalas de energia. Esta e uma generalizacao da fase mesonica SU(3) de cadeias de spin 1. Nos tambem discutimos o porque da fase barionica ser muito mais restritiva e, portanto, especial da cadeia de spins 1. Outro objeto de nosso estudo foram sistemas de fermions nao-interagentes em uma dimensao. Os hoppings de longo alcance sao escolhidos tendo um desvio padrao com decaimento em funcao da distância entre sitios, em forma de lei de potencia. Para tal estudo, estendemos o metodo de Equacoes de Fluxo, pioneiramente proposto por Wegner, para sistemas desordenados. Acoplado a esta extensao do metodo, propusemos uma tecnica de grupo de renormalizacao. A combinacao do uso direto das Equacoes de Fluxo, mais o metodo de grupo de renormalizacao, permitiu o mapeamento completo do diagrama de fases, com uma fase estendida (nao-localizada) para expoentes de decaimento menores que um, e uma fase localizada para expoentes maiores que um. O carater localizado ou delocalizado de determinada fase e determinado tanto pela evolucao da distribuicao de acoplamentos, quanto pelos autovalores do Hamiltoniano, atraves da medida de sua repulsao mutua entre niveis
Ab
Nesta tese abordamos o tema das transi c~oes de fases qu^anticas no contexto de l quidos de spins usando dois modelos e duas abordagens te oricas diferentes. A area das transi c~oes de fases qu^anticas e bastante vasta e, por esse motivo, escolhemos dois exemplos espec cos, que tem solu c~ao exata. O primeiro exemplo e descrito por excita c~oes elementares denominadas modos de majorana de energia zero que est~ao relacionadas as propriedades topol ogicas, enquanto que o segundo exemplo e descrito por spinons livres que obedecem a estat sticas fracion arias. Nos dois casos, estas excita c~oes elementares v^em da sistemas interagentes de muitos corpos, as quais s~ao fundamentalmente diferentes dos f ermions e b osons. Portanto, as regras de segunda quantiza c~ao usuais n~ao est~ao dispon veis para esses sistemas, abrindo espa co para desenvolver novas teorias e t ecnicas. Nesta tese temos a oportunidade, em termos gerais, de reunir aspectos b asicos das propriedades topol ogicas de sistemas de baixa dimensionalidade, por um lado, e colocar em opera c~ao alguns detalhes da estrutura da ^algebra Yangiana para lidar com a f sica de spinons livres, por outro lado. Primeiramente come camos por estudar o efeito da inomogeneidade espacial na cadeia de Kitaev. Este modelo unidimensional descreve um supercondutor de onda p caracterizado por fases topol ogicas/n~ao-topol ogicas. Usando o m etodo de c elula unit aria ampliada, estudamos um invariante topol ogico apropriado para descrever os efeitos das modula c~oes espaciais nos par^ametros do modelo Encontramos o surgimento de regi~oes n~ao-topol ogicas compactas, as que chamamos de bolhas, as quais s~ao descritas por estados topol ogicos protegidos no caso homog^eneo. Para caracterizar estas fases, desenvolvemos uma descri c~ao polinomial do invariante topol ogico, o que nos levou a uma explica c~ao do surgimento destas bolhas na regi~ao topol ogica, assim como a identi car uma estrutura interna do invariante topol ogico, tendo este um comportamento notoriamente semelhante a fun c~ao de correla c~ao de spins do modelo XY de spin-1=2. Ambos modelos exibem a mesma regi~ao de oscila c~oes nos seus diagramas de fase. Isto e um efeito da dualidade, j a que ambos modelos est~ao ligados por uma transforma c~ao de Jordan-Wigner. Como uma aplica c~ao do nosso m etodo, utilizamos ele para caracterizar um modelo efetivo correspondente a um modelo de ligaduras-fortes de f ermions sem spin, com uma intera c~ao de carga a primeiros vizinhos que e modulada periodicamente. Usando o formalismo de Floquet, achamos um Hamiltoniano efetivo o qual e levado a cadeia de Kitaev inomog^enea descrita por um emparelhamento a primeiros vizinhos dimerizado e um emparelhamento a segundos vizinhos. Aplicando o nosso formalismo, conseguimos descrever os efeitos da depend^encia temporal deste modelo efetivo. Na segunda parte da tese, estudamos o modelo unidimensional de Haldane- Shastry, mais uma intera c~ao quiral dada pelo componente-z do operador de rapidez O modelo de Haldane-Shastry consiste numa cadeia homog^enea com condi c~oes de borda peri odicas de spins 1=2, com uma intera c~ao de troca entre os spins que decai com o inverso da dist^ancia ao quadrado. Este modelo e integr avel, exatamente sol uvel atrav es da ^algebra Yangiana, e as suas simetrias descrevem as excita c~oes elementares, dadas por spinons livres que satisfazem estat sticas fracion arias. Uma vez que a intera c~ao quiral e tomada como o operador de rapidez, da Yangiana, a simetria do novo modelo n~ao muda, o que nos permite utilizar o formalismo das Tabelas de Young Modi cadas para descrever seus autoestados. Descobrimos que o espectro do modelo original e separado quando a intera c~ao quiral e ligada. A ^algebra Yangiana e respons avel por esta separa c~ao, resultando em regras de quantiza c~ao n~aotriviais que foram estudadas pela teoria de representa c~ao da ^algebra. Ap os nossa descri c~ao num erica para sistemas nitos, ampliamos nossos resultados para o limite termodin^amico, achando uma descri c~ao geral das transi c~oes do estado fundamental para baixas energias, que e v alida at e para a cadeia in nita. Para nalizar, e como uma aplica c~ao, utilizamos o modelo de Haldane-Shastry com intera c~ao quiral para introduzir uma fam lia de modelos de spins com intera c~oes a mais vizinhos, cujas constantes de acoplamento s~ao extra das deste modelo. Descrevemos como a solu c~ao desses modelos pode ser achada por meio da nossa abordagem, o que nos permite formular a quest~ao sobre o v nculo que t^em entre eles.
Estudamos modelos de materiais magnéticos não uniformes, ou seja, sem simetria translacional. Esta simetria pode ser quebrada pela bordas do sistema, e pela presença de impurezas ou defeitos, ou reduzida por modulações periódicas nas ligações. Como ferramenta nessas investigações utilizamos a formulação da Teoria do Funcional da Densidade para o modelo de Heisenberg. Baseados nos conceitos dessa formulação, propomos a aproximação de ligação local. com o intuito de prover uma forma viável para calcular a energia do estado fundamental de uma cadeia de spins com defeitos ou com modulações nas ligações. Submetemos os funcionais gerados pela aproximação de ligação local a testes de verificação, variando as condições de contorno. a dimensionalidade. e as parametrizações do sistema homogêneo. Com auxílio da aproximação proposta foi possível estudar como a energia do estado fundamental se comporta diante de hordas. e de defeitos locais ferromagnéticos e antiferromagnéticos. Verificamos a existência de urna lei de escala nas cadeias alternadas, e analisamos a dimerização de urna cadeia com modulações FM-AFM. Por Último, estudamos o comportamento crítico de uma cadeia alternada AFM-AFM no limite em que se torna homogênea, com o intuito de verificar conjecturas sobre este comportamento apresentadas recentemente na literatura
Neste trabalho mostramos que uma grande variedade de modelos exatamente solúveis através do ansatz de Bethe coordenadas podem também ser resolvidos através de um ansatz do produto matricial. Estes modelos são descritos no caso unidimensional por cadeias quânticas, e por matrizes de transferência no caso de sistemas clássicos bi-dimensionais. Diferentemente do ansatz de Bethe, em que as auto-funções do modelo são escritas como uma combinação de ondas planas, no nosso ansatz do produto matricial elas são dadas por produtos de matrizes, onde as matrizes obedecem a uma álgebra associativa apropriada. Estas relações algébricas são obtidas impondo-se que as auto-funções escritas em termos do ansatz satisfaçam à equação de auto-valor do operador Hamiltoniano ou da matriz de transferência. A consistência das relações de comutatividade entre os elementos da álgebra implicam na exata integrabilidade do modelo. Além disso, o ansatz que propomos permite uma formulação simples e unificada para vários Hamiltonianos quânticos exatamente solúveis. Apresentamos nesta tese a formulação do nosso ansatz do produto matricial para uma grande família de redes quânticas, como os modelos anisotrópico de Heisenberg, Fateev-Zamolodchikov, Izergin-Korepin, Sutherland, t-J, Hubbard etc. Mais ainda, formulamos nosso ansatz para processos estocásticos de partículas com tamanhos e classes diferentes difundindo assimetricamente na rede. Por fim, com o objetivo de dar suporte a nossa conjectura de que todos os modelos exatamente solúveis através do ansatz de Bethe coordenadas, associados a Hamiltonianos quânticos unidimensionais ou matrizes de transferência bidimensionais, também podem ser resolvidos através de um ansatz do produto matricial, apresentamos a formulação do nosso ansatz para a matriz de transferência do modelo de seis-vértices com condição de contorno toroidal