Neste trabalho, buscamos uma interpretação física para o Efeito Aharonov-Bohm, um dos primeiros e mais famosos casos de fase geométrica na mecânica quântica. Para isso, fazemos uso do formalismo bohmiano da mecânica quântica, para podermos formular uma condição precisa (a saber, que a escala de variação espacial do potencial clássico seja muito maior do que a dimensão característica do pacote de onda) para o limite clássico e argumentarmos que o Efeito Aharonov-Bohm depende da violação dessa condição, o que é possível devido à topologia não simplesmente conexa do espaço base acessível ao elétron. Ademais, utilizamos a mecânica bohmiana para recuperar a mecânica quântica a partir da mecânica clássica via abordagem quasi-newtoniana, demonstrando que o potencial quântico, que é a origem da não-classicidade da mecânica quântica, está latente na estrutura da mecânica clássica. Apresentamos uma interpretação termodinâmica para o potencial quântico bohmiano e qual seria a origem machiana do potencial quântico na validade do Princípio de Mach, para compreendermos mais a fundo as bases da mecânica quântica.
Neste trabalho, buscamos uma interpretação física para o Efeito Aharonov-Bohm, um dos primeiros e mais famosos casos de fase geométrica na mecânica quântica. Para isso, fazemos uso do formalismo bohmiano da mecânica quântica, para podermos formular uma condição precisa (a saber, que a escala de variação espacial do potencial clássico seja muito maior do que a dimensão característica do pacote de onda) para o limite clássico e argumentarmos que o Efeito Aharonov-Bohm depende da violação dessa condição, o que é possível devido à topologia não simplesmente conexa do espaço base acessível ao elétron. Ademais, utilizamos a mecânica bohmiana para recuperar a mecânica quântica a partir da mecânica clássica via abordagem quasi-newtoniana, demonstrando que o potencial quântico, que é a origem da não-classicidade da mecânica quântica, está latente na estrutura da mecânica clássica. Apresentamos uma interpretação termodinâmica para o potencial quântico bohmiano e qual seria a origem machiana do potencial quântico na validade do Princípio de Mach, para compreendermos mais a fundo as bases da mecânica quântica.
Um seculo apos a sua descoberta, o eletron continua a ser um estranho dentro do eletromagnetismo classico. Varios foram os modelos propostos para descreve-lo. Pode-se dizer que a teoria mais bem sucedida foi formulada por Dirac em 1938, muito embora apresentando problemas tais como as pre-aceleracoes e solucoes auto-acelerantes. Uma alternativa a esta teoria foi proposta na decada de 50 pelo fisico italiano P. Caldirola, tendo por hipotese basica a existencia de um intervalo fundamental de tempo, o cronon. Com base nesta hipotese Caldirola propos uma descricao baseada em equacoes a diferencas finitas equivalentes a de Dirac mas livre dos problemas por ela apresentados. A extensao da hipotese do cronon a mecânica quântica nao-relativistica, resultando em formulacoes discretizadas da equacao de Schrodinger, produziu resultados relevantes como a derivacao da massa do muon e do tau a partir da massa do eletron.
Neste trabalho, analisamos as equacoes discretas com base no formalismo de Feynman e estudamos algumas de suas solucoes. Partindo dos operadores de evolucao associados as equacoes discretas, estendemos o procedimento a representacao de Heisenberg e encontramos uma representacao que, como no caso continuo, e equivalente a de Schrodinger .
Fazemos uma analise de compatibilidade entre as varias representacoes: Schrodinger, Heisenberg e operadores de densidade. Sao estudados alguns exemplos tipicos como, por exemplo, o oscilador harmonico simples. O formalismo de operadores de densidade e utilizado para analisar o problema da medida na mecânica quântica.
Finalmente, fazemos uma abordagem da equivalencia entre o formalismo discreto e a introducao de operadores nao-hermitianos na equacao de Schrodinger continua
Abstract
Este trabalho apresenta uma formulação geométrica da mecânica quântica baseada na estrutura de Kähler do espaço projetivo de Hilbert. Partindo dos fundamentos da geometria riemanniana e simplética, mostra-se que o espaço de estados quânticos pode ser interpretado como uma variedade de Kähler, na qual a métrica, a forma simplética e a estrutura complexa coexistem de modo compatível. Nessa perspectiva, a equação de Schrödinger é reinterpretada como um fluxo hamiltoniano no espaço projetivo, e as probabilidades de transição entre estados são descritas em termos de distâncias geodésicas. Além disso, o postulado de colapso e o princípio da incerteza de Heisenberg emergem naturalmente como propriedades diferenciais e métricas desse espaço. Essa abordagem unifica a mecânica quântica e a geometria diferencial em um mesmo formalismo, evidenciando que a quantização não é uma imposição externa à física clássica, mas o desdobramento natural de uma geometria intrinsecamente complexa e simplética. O formalismo desenvolvido oferece ainda uma base conceitual sólida para extensões em teorias de quantização geométrica, coerente e em campos quânticos sobre variedades curvas.
Resumo Considerando aspectos gerais do movimento, o conteúdo de simetrias de Lie é deduzido como uma estrutura central para as teorias mecânicas. Este aparato algébrico está relacionado ao princípio variacional de Schwinger, que por vez, associa-se à formulação de Feynman, como é bem conhecido. É neste âmbito de simetrias que diferentes representações da mecânica quântica não-relativística são abordadas. A primeira, e mais natural neste contexto, é a formulação de Liouville-von Neumann em termos da matriz de densidade. Procurando soluções da equação de Liouville-von Neumann, a representação que se estabelece na equação de Schrödinger é obtida como um teorema. Neste caso, enfatizamos o significado da álgebra de Heisenberg na construção dos geradores do grupo de Galilei. Este procedimento, baseado apenas em simetrias, traz uma outra perspectiva de se abordar um problema antigo, mas ainda não completamente resolvido: a relação de Heisenberg para o observável tempo e o gerador de translação no tempo (o Hamiltoniano). A partir da matriz de densidade, a representação da mecânica quântica no espaço de fase, proposta por Wigner, é discutida, o que leva a representação simplética da mecânica quântica. A apresentação mais geral da mecânica quântica é estruturada no espaço de Fock, que aqui é abordado nesse contexto de simetrias. Como consequência, para qualquer tipo de de representação, a mecânica quântica é basicamente uma teoria quântica de campos. Esta interpretação se estabelece por consistência e conduz a soluções de certos problemas iniciais da mecânica quântica, como a noção de onda-partícula e o princípio da complementaridade.
O problema de como descrever a dinâmica efetiva de partículas ou campos confinados a um espaço-tempo de baixa dimensão é de interesse em muitas áreas da física. Vários métodos foram propostos na literatura para atacar este problema. Recentemente, foram relatadas algumas evidências experimentais que são consistentes com a chamada abordagem de potencial confinante. À luz destes resultados, o objetivo desta tese é o de construir uma teoria quântica para partículas confinadas em uma subvariedade, imersa em um espaço-tempo plano, empregando o cenário conceitual da abordagem de potencial confinante. A tese está dividida em duas partes. A primeira parte é dedicada exclusivamente ao estudo da mecânica quântica em uma subvariedade. Para esta finalidade, deduzimos as equações efetivas de Schrödinger, Dirac e Klein-Gordon, em uma subvariedade curva, na presença de um campo electromagnético externo. Examinamos as características singulares estas equações e apresentamos algumas aplicações em física da matéria condensada. Na segunda parte, partimos da mecânica quântica na subvariedade e então formulamos a teoria quântica de campos (TQC) na subvariedade. Mostramos que a TQC \\"livre\\" em uma subvariedade pode ser representada esquematicamente como uma teoria de campos livres, em um fundo curvo, mais um potencial escalar e um campo externo SO(n - m) de Yang-Mills. Calculamos para essa teoria a ação efetiva em ordem de um laço para bósons e férmions a temperatura e potencial químico não nulos, em todas as ordens, usando a expansão de Seely-DeWitt. Para teorias com interações, demonstramos que a teoria conhecida como eletrodinâmica quântica reduzida (RQEDd?,de) pode ser recuperada a partir da abordagem de potencial confinante. Para uma teoria bidimensional, propomos uma grande classe de extensões do modelo de Schwinger, em que a interação entre férmions vai além do potencial linear. Demonstramos que, notavelmente, essas extensões são exatamente solúveis para férmions sem massa e que não há geração de massa dinâmica para os férmions. Além disso, construímos uma nova família de teorias que podem ser exatamente bosonizadas. Também mostramos que RQED4,2 tem as características necessárias para ser identificada como uma teoria de campo efetivo para fios de grafeno. Finalmente, estudamos o efeito da interação de campos magnéticos e pseudomagnéticos no grafeno. Para este sistema, calculamos o condensado fermiônico, a densidade de carga induzida de vácuo, a ação efetiva em ordem de um laço e a magnetização. Demonstramos que a presença de um campo pseudo-magnético diferente de zero torna possível observar experimentalmente uma densidade de carga induzida de vácuo. Além disso, vamos mostrar que é possível ter controle sobre a magnetização, bem como a massa dinâmica para cada vale no grafeno, quer seja por deformações ou variando o campo magnético aplicado.
A Mecânica Quântica trata-se de uma teoria não muito intuitiva. Seus conceitos dão novas interpretações sobre a matéria e seu comportamento, tornando mais difícil sua compreensão do que a Mecânica Clássica. Esta dissertação foi feita procurando ajudar na compreensão da Mecânica Quântica e sua intercessão com a Estatística. A dissertação visa alcançar uma formulação da Mecânica Quântica a partir dos postulados da Estatística acrescidos de postulados que são necessários para completar a descrição. Com isso pretende-se alcançar uma outra forma de visualização da Mecânica Quântica, assim como existe a abordagem pela Mecânica Ondulatória e pela Mecânica das Matrizes. Formulada a Mecânica Quântica conforme o formalismo convencional na Estatística, apresenta-se dois sistemas físicos com a finalidade de exemplificar alguns dos conceitos estudados: o oscilador harmônico simples formulado na Mecânica Quântica e um paralelo com o mesmo sistema formulado na Mecânica Clássica com aleatorização da variável tempo, e o átomo de hidrogênio.
A visão indeterminista inspirada pela Escola de Copenhague – proposta, em 1927, pelo físico dinamarquês Niels Bohr e que articula o princípio da incerteza de Werner Heisenberg e a equação de onda de Erwin Schrödinger – tornou-se a interpretação hegemônica da Mecânica Quântica (MQ). Albert Einstein adotou uma visão bastante crítica em relação a este modo de descrever os processos atinentes à intimidade da matéria, considerando a MQ uma teoria incompleta. Louis De Broglie, já em 1927, propõe uma concepção alternativa – interpretação da onda piloto –, na qual se considera a MQ uma teoria determinística. Vinte e cinco anos depois, David Bohm desenvolve, na mesma lógica, a Teoria do Potencial Quântico, não-relativística, cujas ideias de destaque incluem as variáveis ocultas e a não localidade. Com base nessas breves considerações, o presente artigo tem por objetivo (1) apresentar os aspectos essenciais da Interpretação de Copenhague da MQ, (2) criticar tal perspectiva do ponto de vista do paradoxo EPR (Einstein, Podolsky e Rosen) e do “Gato de Schrödinger” e (3) analisar a abordagem matemática e as consequências filosóficas da MQ de David Bohm (MQ-B).