Este trabalho investiga fenômenos associados à condensação de Bose-Einstein (BEC) e à di- nâmica de fluidos quânticos com correções de Lee-Huang-Yang (LHY), explorando aspectos teóricos relevantes em regimes além do campo médio. Inicialmente, são analisadas as proprie- dades de condensados confinados e homogêneos, considerando suas descrições no contexto do campo médio e das correções LHY, que incorporam efeitos quânticos de flutuação. A formula- ção considera sistemas ideais para explorar a dinâmica de vórtices e o comportamento do fluido frente a potenciais externos. A pesquisa concentra-se na interação do condensado com um potencial Gaussiano em mo- vimento, utilizado como ferramenta para a produção de vórtices. São calculadas as velocidades críticas associadas à nucleação de vórtices, bem como a força de arrasto exercida pelo potencial ao longo do tempo. O estudo é realizado tanto para sistemas confinados quanto homogêneos, sendo a análise principal desenvolvida para o regime homogêneo nas aproximações de campo médio e com correções LHY. Além disso, são investigados os valores médios da força de arrasto em ambos os sistemas durante a passagem do potencial Gaussiano. Essa análise busca compreender como o arrasto médio é afetado pelas propriedades do fluido quântico e pela presença de correções além do campo médio. As simulações utilizam métodos numéricos avançados, como o método Split- Step, para resolver as equações de Gross-Pitaevskii e suas variantes modificadas. Os resultados obtidos oferecem uma visão das diferenças no comportamento dinâmico de fluidos quânticos em regimes de campo médio e com correções de LHY. Este estudo não apenas amplia o conhecimento teórico sobre a produção de vórtices e o arrasto em sistemas de BEC, como também fornece subsídios importantes para a realização de experimentos futuros em sis- temas ultra-frios, promovendo avanços na compreensão de fluidos quânticos em contextos além do campo médio.
Este trabalho investiga fenômenos associados à condensação de Bose-Einstein (BEC) e à di- nâmica de fluidos quânticos com correções de Lee-Huang-Yang (LHY), explorando aspectos teóricos relevantes em regimes além do campo médio. Inicialmente, são analisadas as proprie- dades de condensados confinados e homogêneos, considerando suas descrições no contexto do campo médio e das correções LHY, que incorporam efeitos quânticos de flutuação. A formula- ção considera sistemas ideais para explorar a dinâmica de vórtices e o comportamento do fluido frente a potenciais externos. A pesquisa concentra-se na interação do condensado com um potencial Gaussiano em mo- vimento, utilizado como ferramenta para a produção de vórtices. São calculadas as velocidades críticas associadas à nucleação de vórtices, bem como a força de arrasto exercida pelo potencial ao longo do tempo. O estudo é realizado tanto para sistemas confinados quanto homogêneos, sendo a análise principal desenvolvida para o regime homogêneo nas aproximações de campo médio e com correções LHY. Além disso, são investigados os valores médios da força de arrasto em ambos os sistemas durante a passagem do potencial Gaussiano. Essa análise busca compreender como o arrasto médio é afetado pelas propriedades do fluido quântico e pela presença de correções além do campo médio. As simulações utilizam métodos numéricos avançados, como o método Split- Step, para resolver as equações de Gross-Pitaevskii e suas variantes modificadas. Os resultados obtidos oferecem uma visão das diferenças no comportamento dinâmico de fluidos quânticos em regimes de campo médio e com correções de LHY. Este estudo não apenas amplia o conhecimento teórico sobre a produção de vórtices e o arrasto em sistemas de BEC, como também fornece subsídios importantes para a realização de experimentos futuros em sis- temas ultra-frios, promovendo avanços na compreensão de fluidos quânticos em contextos além do campo médio.
A equação de Gross-Pitaevskii é uma forma não linear da equação de Schrödinger que descreve sistemas de muitos bósons no campo médio. A não linearidade torna essa equa- ção extremamente complexa de resolver de forma analítica, sendo necessário recorrer a ferramentas numéricas. Um condensado de Bose-Einstein possui a propriedade de ser um superfluido e por- tanto apresenta várias características e fenômenos análogos aos observados em fluidos clássicos. Uma dessas características é uma excitação topológica de vórtice quântico, cuja diferença para a contraparte clássica é a quantização da carga do vórtice. Vórtices que se unem e formam uma linha de vórtices são conhecidos como filamentos de vórtice. Um filamento de vórtice que se feche em si mesmo recebe o nome de anel de vórtice. Anéis de vórtice clássicos e quânticos tem a possibilidade de executar um movimento conhecido como leapfrogging. Dados dois anéis de vórtice coaxiais que andam na mesma direção, o anel que tem um raio maior se propaga com uma velocidade maior que o de raio menor. Naturalmente, conforme os anéis se propagam, o que está na frente vai tendo seu raio aumentado e o de trás o raio reduzido, dessa forma a velocidade do que está atrás aumenta e esse ultrapassa o primeiro. Este movimento tem a tendência de ir se realizando repetidamente. O foco desse trabalho é compreender o fenômeno de leapfrogging, a princípio com uma abordagem clássica e depois com uma abordagem quântica, para depois estudar a esta- bilidade de anéis de vórtice que realizam este movimento. Para isso é necessário primeiro entender os fundamentos da condensação de Bose-Einstein e de sua abordagem em campo médio, tal como as equações clássicas que descrevem o movimento de vórtices. Também é necessário o desenvolvimento de ferramentas numéricas para abordar problemas que não possuem solução conhecida ou são impossíveis de se resolver de forma analítica.
Neste texto será apresentada uma introdução ao condensado de Bose-Einstein 1–3 em armadilhas com simetria esférica, também conhecida como \"bubble trap\", que consiste da caixa e casca esféricas 4, 5, seguido de um estudo sobre a estabilidade e dinâmica de vórtices nessa configuração do condensado. Para averiguarmos a ocorrência da condensação nessa geometria, calculamos o cumulante e a densidade de estados, usando cálculo numérico 6 e aproximação analítica (semi-clássica) 7, 8. A diferença nos resultados de ambos os métodos, quando aplicados nas diferentes configurações de armadilha, revelou como as condições de contorno afetam os auto-estados do problema quântico, e consequentemente o valor da temperatura crítica de condensação. Na segunda parte do trabalho determinamos a dinâmica de vórtices em filme superfluido na casca esférica fina (duas dimensões), respeitando o vínculo da superfície fechada 9 quanto à neutralidade total das cargas 10, 11, isto é, considerando apenas configurações com pares de vórtices de circulação oposta. Derivamos o campo de velocidade na superfície da esfera com cálculo do potencial de fluxo 12, aplicando a transformação conforme e projeção estereográfica 13: após calcular o potencial de um par de vórtices no plano complexo 12, determinamos como seria esse mesmo potencial na superfície da esfera com a transformação de coordenadas relativa à projeção estereográfica13, 14. Determinamos também a energia total do sistema, obtendo uma expressão simplificada da energia de interação entre os vórtices em termos do potencial de fluxo. Verificamos a instabilidade dos pares, e a ocorrência da aniquilação dos vórtices na presença de dissipação. Por fim, utilizamos a aproximação de dipolo para derivar a energia de interação entre os dipolos, a qual varia como função do alinhamento dos dipolos. Através dessa energia pudemos analisar a estabilidade e prever a dinâmica dos dipolos na superfície da esfera.
Neste texto será apresentada uma introdução ao condensado de Bose-Einstein 1-3 em armadilhas com simetria esférica, também conhecida como "bubble trap", que consiste da caixa e casca esféricas 4, 5 , seguido de um estudo sobre a estabilidade e dinâmica de vórtices nessa configuração do condensado.Para averiguarmos a ocorrência da condensação nessa geometria, calculamos o cumulante e a densidade de estados, usando cálculo numérico 6 e aproximação analítica (semi-clássica) 7,8 .A diferença nos resultados de ambos os métodos, quando aplicados nas diferentes configurações de armadilha, revelou como as condições de contorno afetam os auto-estados do problema quântico, e consequentemente o valor da temperatura crítica de condensação.Na segunda parte do trabalho determinamos a dinâmica de vórtices em filme superfluido na casca esférica fina (duas dimensões), respeitando o vínculo da superfície fechada 9 quanto à neutralidade total das cargas 10, 11 , isto é, considerando apenas configurações com pares de vórtices de circulação oposta.Derivamos o campo de velocidade na superfície da esfera com cálculo do potencial de fluxo 12 , aplicando a transformação conforme e projeção estereográfica 13 : após calcular o potencial de um par de vórtices no plano complexo 12 , determinamos como seria esse mesmo potencial na superfície da esfera com a transformação de coordenadas relativa à projeção estereográfica 13,14 .Determinamos também a energia total do sistema, obtendo uma expressão simplificada da energia de interação entre os vórtices em termos do potencial de fluxo.Verificamos a instabilidade dos pares, e a ocorrência da aniquilação dos vórtices na presença de dissipação.Por fim, utilizamos a aproximação de dipolo para derivar a energia de interação entre os dipolos, a qual varia como função do alinhamento dos dipolos.Através dessa energia pudemos analisar a estabilidade e prever a dinâmica dos dipolos na superfície da esfera.
A extensão dos fenômenos quânticos em escala macroscópica é responsável por toda uma classe de efeitos como a supercondutividade, superfluidez, e condensação de Bose-Einstein, as quais desempenham um papel central na física ao longo do século passado. A produção dos primeiros condensados de Bose-Einstein tornou possível a realização de experimentos envolvendo fenômenos quânticos macroscópicos com um nível sem precedentes de controle dos parâmetros externos. As correntes persistentes em condensados estão intimamente relacionados com a nucleação de vórtices quantificados, que são defeitos topológicos como resposta à transferência de quanta de momento angular. Um método convencional para geração de tais defeitos consiste em confinar a nuvem atômica condensada em uma armadilha com rotação. Acontece que, para velocidades angulares acima de um valor crítico, estados de vórtice se tornam energeticamente favoráveis, induzindo assim a criação de vórtices quânticos. Realizações experimentais de condensados de átomos de metais alcalinos confinados por potenciais dependentes do tempo permitiram a observação não só de redes de vórtices, mas também de turbulência quântica. Uma vez que a turbulência quântica é caracterizada pela presença de um emaranhado de vórtices quânticos interagindo entre si, uma correta compreensão da dinâmica, formação e estabilidade de vórtices tem se mostrado de grande importância sendo objeto de muitos trabalhos teóricos. Em particular, o papel das excitações acústicas geradas pelo decaimento de vórtices de multipla carga no desenvolvimento de turbulência ainda é uma questão em aberto. Este trabalho tem como objetivo fornecer um conjunto de ferramentas que ajude a identificar a presença, como também a carga de vórtices em nuvens (não turbulentas) observadas utilizando imagens de tempo-de-voo. Temos feito um estudo detalhado de condensados contendo vórtices carga múltipla colocados no seu centro, onde a dinâmica do tempo-de-voo é apenas de nossos pontos de interesse. Devido ao controle que este sistema fornece experimentalmente, os modos coletivos tornam-se uma descrição importante, uma vez que podem ser excitadas usando métodos experimentais bem estabelecido tal como a modulação do comprimento de espalhamento de ondas-s, e que também pode ser responsável pelo decaimento do vórtice. Para tais fins, temos utilizado o método variacional (semi-analítico), e o cálculo totalmente numérico da equação de Gross-Pitaevskii. Assim, descrevemos os modos coletivos que acoplam a dinâmica do vórtice com as oscilações das componentes externas do condensado, bem como os efeitos em tempo-de-voo. O momento angular atua aumentando a energia cinética em torno do núcleo de vórtice, que implica em um aumento mais rápido da direção perpendicular a este. Esta situação desloca as freqüências de oscilações coletivas de um estado livre de vórtice, e gera modos coletivos mais ricos devido ao acoplamento. Agora, existem quatro modos possíveis, sendo dois tipos de modo monopolar e dois tipos de modos de quadrupolo. A diferença dentre tais modos é a fase de oscilação do vórtice. Quando se considera flutuações sem simetria polar, seus modos coletivos resultam no decaimento do vórtice. A fim de controlar e prevenir estes processos propusemos três mecanismos dinâmicos, tais como a modulação de comprimento de espalhamento, a modulação das frequências da armadilha harmônica e modulação da amplitude do potencial de Laguerre-Gauss. O último tem provado ser mais eficaz.
Esta dissertacao tem como objetivo apresentar um estudo critico dos condensados atomicos de Bose-Einstein (BEC). Tomando como ponto de partida a fisica do gas livre, estudamos o efeito de potenciais fracamente confinantes. Dois casos foram estudados em detalhe: i) um gas atomico em um poco de potencial quadrado finito com poucos estados ligados; e ii) um sistema confinado em duas dimensoes por um potencial oscilador harmonico isotropico, sendo fracamente confinado na terceira dimensao. Para o primeiro exemplo, estudamos as propriedades termodinâmicas, comparândo-as com a transicao de fase do gas livre, Interacoes entre bosons sao introduzidas segundo a teoria de Bogoliubov para tratar interacoes elasticas de dois corpos. Dentro da aproximacao de campo medio, as propriedades do condensado sao descritas por uma funcao de onda macroscopica, que satisfaz a equacao de Gross-Pitaevskii (GP). Analisamos os efeitos de comprimentos de espalhamento de onda 5, atrativos e negativos, para BEC aprisionados no poco de potencial finito, onde o sistema suporta excitacoes quânticas coerentes nao-lineares. Solucoes numericas, para a equacao GP independente do tempo, foram encontradas para a funcao de onda do estado condensado a temperatura zero, bem como para as suas excitacoes elementares nao lineares. Para analisar os resultados, usamos valores realistas de parâmetros para os gases atomicos atualmente estudados experimentalmente. Para o segundo caso mencionado acima, desenvolvemos um programa destinado ao estudo de nao-linearidades mais gerais. A fisica nao e restrita so ao BEC, alguns sistemas de interesse sao modelados por familias de equacoes de Schrodinger nao-lineares, sendo a equacao GP um caso particular. Para um potencial harmonico, apesar da nao-linearidade, uma vez que uma solucao e conhecida, muitas outras solucoes podem ser construidas por uma translacao espacial do centro do pacote de onda. O metodo e testado analiticamente no limite da equacao de Schrodinger linear com um potencial de oscilador harmonico em duas dimensoes. As solucoes sao obtidas atraves de uma superposicao de solucoes estacionarias construidas por deslocamentos espaciais de uma solucao exata. O metodo pode ser estendido para o regime de nao-linearidades fracas, e tem uma aplicacao direta na geracao de estados vortice em BEC
Abstract
Condensados de Bose-Einstein (BEC) são sistemas macroscópicos excelentes para a observação do comportamento quântico da matéria. Desde sua obtenção experimental em gases atômicos alcalinos diluídos aprisionados por campos magnéticos, há importantes aspectos relacionados a esse sistema que foram intensamente explorados, como os modos coletivos do BEC harmonicamente aprisionado, seu tunelamento através de barreiras de potencial e os estados excitados desse sistema, incluindo vórtice e sóliton. O último consiste de pacote de onda localizado, que propaga sem mudança de forma. Nesse trabalho, investigamos os novos aspectos que surgem da dinâmica de um sistema composto (condensado aprisionado contendo um sóliton). Há muitos estudos tratando cada parte separadamente: estado fundamental do BEC ou um sóliton em um BEC infinito uniforme estacionário. Estamos nos baseando nessas análises prévias, além da simulação numérica de campo médio do nosso sistema submetido a diferentes condições iniciais (BEC aprisionado no mínimo do potencial harmônico ou BEC deslocado na armadilha contendo um sóliton, além de uma deformação no potencial) para caracterizar a dinâmica desse sistema. Alguns dos nossos resultados puderam ser explicados por meio de predições analítica da chamada aproximação de Thomas-Fermi. Ao final, comparamos as simulações de campo médio (equação de Gross-Pitaevskii) com as advindas da teoria de múltiplos orbitais a fim de justificar o regime de validade da nossa teoria.