A equação de Gross-Pitaevskii é uma forma não linear da equação de Schrödinger que descreve sistemas de muitos bósons no campo médio. A não linearidade torna essa equa- ção extremamente complexa de resolver de forma analítica, sendo necessário recorrer a ferramentas numéricas. Um condensado de Bose-Einstein possui a propriedade de ser um superfluido e por- tanto apresenta várias características e fenômenos análogos aos observados em fluidos clássicos. Uma dessas características é uma excitação topológica de vórtice quântico, cuja diferença para a contraparte clássica é a quantização da carga do vórtice. Vórtices que se unem e formam uma linha de vórtices são conhecidos como filamentos de vórtice. Um filamento de vórtice que se feche em si mesmo recebe o nome de anel de vórtice. Anéis de vórtice clássicos e quânticos tem a possibilidade de executar um movimento conhecido como leapfrogging. Dados dois anéis de vórtice coaxiais que andam na mesma direção, o anel que tem um raio maior se propaga com uma velocidade maior que o de raio menor. Naturalmente, conforme os anéis se propagam, o que está na frente vai tendo seu raio aumentado e o de trás o raio reduzido, dessa forma a velocidade do que está atrás aumenta e esse ultrapassa o primeiro. Este movimento tem a tendência de ir se realizando repetidamente. O foco desse trabalho é compreender o fenômeno de leapfrogging, a princípio com uma abordagem clássica e depois com uma abordagem quântica, para depois estudar a esta- bilidade de anéis de vórtice que realizam este movimento. Para isso é necessário primeiro entender os fundamentos da condensação de Bose-Einstein e de sua abordagem em campo médio, tal como as equações clássicas que descrevem o movimento de vórtices. Também é necessário o desenvolvimento de ferramentas numéricas para abordar problemas que não possuem solução conhecida ou são impossíveis de se resolver de forma analítica.
A equação de Gross-Pitaevskii é uma forma não linear da equação de Schrödinger que descreve sistemas de muitos bósons no campo médio. A não linearidade torna essa equa- ção extremamente complexa de resolver de forma analítica, sendo necessário recorrer a ferramentas numéricas. Um condensado de Bose-Einstein possui a propriedade de ser um superfluido e por- tanto apresenta várias características e fenômenos análogos aos observados em fluidos clássicos. Uma dessas características é uma excitação topológica de vórtice quântico, cuja diferença para a contraparte clássica é a quantização da carga do vórtice. Vórtices que se unem e formam uma linha de vórtices são conhecidos como filamentos de vórtice. Um filamento de vórtice que se feche em si mesmo recebe o nome de anel de vórtice. Anéis de vórtice clássicos e quânticos tem a possibilidade de executar um movimento conhecido como leapfrogging. Dados dois anéis de vórtice coaxiais que andam na mesma direção, o anel que tem um raio maior se propaga com uma velocidade maior que o de raio menor. Naturalmente, conforme os anéis se propagam, o que está na frente vai tendo seu raio aumentado e o de trás o raio reduzido, dessa forma a velocidade do que está atrás aumenta e esse ultrapassa o primeiro. Este movimento tem a tendência de ir se realizando repetidamente. O foco desse trabalho é compreender o fenômeno de leapfrogging, a princípio com uma abordagem clássica e depois com uma abordagem quântica, para depois estudar a esta- bilidade de anéis de vórtice que realizam este movimento. Para isso é necessário primeiro entender os fundamentos da condensação de Bose-Einstein e de sua abordagem em campo médio, tal como as equações clássicas que descrevem o movimento de vórtices. Também é necessário o desenvolvimento de ferramentas numéricas para abordar problemas que não possuem solução conhecida ou são impossíveis de se resolver de forma analítica.
A extensão dos fenômenos quânticos em escala macroscópica é responsável por toda uma classe de efeitos como a supercondutividade, superfluidez, e condensação de Bose-Einstein, as quais desempenham um papel central na física ao longo do século passado. A produção dos primeiros condensados de Bose-Einstein tornou possível a realização de experimentos envolvendo fenômenos quânticos macroscópicos com um nível sem precedentes de controle dos parâmetros externos. As correntes persistentes em condensados estão intimamente relacionados com a nucleação de vórtices quantificados, que são defeitos topológicos como resposta à transferência de quanta de momento angular. Um método convencional para geração de tais defeitos consiste em confinar a nuvem atômica condensada em uma armadilha com rotação. Acontece que, para velocidades angulares acima de um valor crítico, estados de vórtice se tornam energeticamente favoráveis, induzindo assim a criação de vórtices quânticos. Realizações experimentais de condensados de átomos de metais alcalinos confinados por potenciais dependentes do tempo permitiram a observação não só de redes de vórtices, mas também de turbulência quântica. Uma vez que a turbulência quântica é caracterizada pela presença de um emaranhado de vórtices quânticos interagindo entre si, uma correta compreensão da dinâmica, formação e estabilidade de vórtices tem se mostrado de grande importância sendo objeto de muitos trabalhos teóricos. Em particular, o papel das excitações acústicas geradas pelo decaimento de vórtices de multipla carga no desenvolvimento de turbulência ainda é uma questão em aberto. Este trabalho tem como objetivo fornecer um conjunto de ferramentas que ajude a identificar a presença, como também a carga de vórtices em nuvens (não turbulentas) observadas utilizando imagens de tempo-de-voo. Temos feito um estudo detalhado de condensados contendo vórtices carga múltipla colocados no seu centro, onde a dinâmica do tempo-de-voo é apenas de nossos pontos de interesse. Devido ao controle que este sistema fornece experimentalmente, os modos coletivos tornam-se uma descrição importante, uma vez que podem ser excitadas usando métodos experimentais bem estabelecido tal como a modulação do comprimento de espalhamento de ondas-s, e que também pode ser responsável pelo decaimento do vórtice. Para tais fins, temos utilizado o método variacional (semi-analítico), e o cálculo totalmente numérico da equação de Gross-Pitaevskii. Assim, descrevemos os modos coletivos que acoplam a dinâmica do vórtice com as oscilações das componentes externas do condensado, bem como os efeitos em tempo-de-voo. O momento angular atua aumentando a energia cinética em torno do núcleo de vórtice, que implica em um aumento mais rápido da direção perpendicular a este. Esta situação desloca as freqüências de oscilações coletivas de um estado livre de vórtice, e gera modos coletivos mais ricos devido ao acoplamento. Agora, existem quatro modos possíveis, sendo dois tipos de modo monopolar e dois tipos de modos de quadrupolo. A diferença dentre tais modos é a fase de oscilação do vórtice. Quando se considera flutuações sem simetria polar, seus modos coletivos resultam no decaimento do vórtice. A fim de controlar e prevenir estes processos propusemos três mecanismos dinâmicos, tais como a modulação de comprimento de espalhamento, a modulação das frequências da armadilha harmônica e modulação da amplitude do potencial de Laguerre-Gauss. O último tem provado ser mais eficaz.
Os condensados de Bose-Einstein (CBEs) espinoriais em seu regime ideal (temperatura zero, na ausência de excitações) apresentam-se como uma importante plataforma de estudo de partículas ultrafrias com graus de liberdade internos. Em geral, dados esses graus de liberdade internos (como o spin atômico total) das partículas, propriedades simétricas e topológicas não triviais podem emergir naturalmente na estrutura do parâmetro de ordem do sistema, e são assunto de interesse na literatura. Neste trabalho de doutorado, buscamos ir além do regime ideal dos CBEs espinoriais ao descrever o sistema condensado de maneira completamente quântica (i.e., com o operador densidade) em temperaturas finitas. Nesta tese apresentamos nossas metodologias e resultados mais relevantes, incluindo um estudo formal acerca da descrição estrutural dos sistemas com CBEs espinoriais, estimando os autoestados e autoenergias do hamiltoniano do sistema a partir de uma teoria quântica para as excitações de Bogoliubov e mostrando como elas são úteis ao descrever o equilíbrio em baixas temperaturas finitas desse sistema. Em adição, supondo que o condensado evolua unitariamente, analisamos a possibilidade de escrever teoremas de flutuação para CBEs espinoriais e, consequentemente, discutir a irreversibilidade de processos nesse contexto. Mostramos que o princípio variacional que determina o parâmetro de ordem de equilíbrio pode ser interpretado como um teorema de flutuação, e, com esse fato, construímos teoremas de flutuação (na forma de desigualdade de Clausius) para sistemas condensados mais gerais no regime de campo clássico (utilizando uma chave seletora quântica de protocolos temporais). Além disso, supondo uma evolução não unitária, apresentamos um modelo original para a equação mestra de um CBE espinorial em temperaturas finitas, que pode ser aproximado em uma Eq. de Lindblad e gerar uma Eq. de Gross-Pitaevskii não unitária no regime de campo clássico do condensado. Por fim, discutimos também maneiras alternativas de construir teoremas de flutuação a partir de medições das distribuição espacial das densidades de energia ou de número de partículas em CBEs espinoriais.
O estudo dos condensados de Bose-Einstein (CBE) já se faz relevante na história por quase 100 anos. Evidentemente, muito se avançou no tratamento desse tipo de sistema desde os primeiros trabalhos de Bose e Einstein (13) — seja na teoria ou nos experimentos. Em particular, foi nas últimas duas décadas que seu tratamento teórico evolui consideravelmente e a teoria dos Condensados dilutos com spin não nulo se desenvolveu. Os chamados condensados de Bose-Einstein espinoriais (4) ganharam certo destaque na comunidade ao apresentarem características simétricas e topológicas únicas, de modo que eles são capazes de englobar, em um sistema de átomos ultrafrios, propriedades (e quasi-partículas) que são geralmente abordadas em sistemas e estruturas provenientes de outras áreas da física (como vórtices, monopolos, Skyrmions, nós etc.) nas excitações topológicas do seu parâmetro de ordem. Nesta dissertação, revisamos em detalhes o desenvolvimento da teoria dos CBEs espinoriais, destacando suas relevantes propriedades simétricas e topológicas e suas diferenças perante um condensado sem spin. Além disso, apresentamos uma teoria original em que analisamos as características dos estados excitados quânticos (i.e., estados que não formam a fase condensada) de espinores com propriedades topológicas não triviais, indo além do que é abordado na teoria de Bogoliubov (4,5) para condensados uniformes, e mostramos que, efetivamente, a estrutura desses estados é a de espinor (i.e., vetorial), a qual carrega informações acerca das características topológicas da fase condensada.
Neste trabalho estudamos as propriedades termodinâmicas da Condensação de Bose-Einstein (CBE) para um gás de bósons não-interagentes confinado em potenciais bidimensionais V(x,y) que apresentam classicamente, um caos-suave (soft chaos), isto é, um espaço de fases compartilhado por ilhas de estabilidade e mares de caos. O formalismo estatístico mais apropriado para os nossos objetivos é o descrito pelo ensemble canônico, de forma que o número de partículas N é mantido fixo em cada simulação. Nosso principal objetivo é investigar se o caos pode caracterizar algum comportamento distinto nas propriedades do Condensado de Bose-Einstein. Para comparação dos nossos resultados com a literatura, mostramos em detalhes todos os cálculos para o oscilador bidimensional e a caixa bidimensional suavizados1. No potencial harmônico a suavização implica em um amortecimento da freqüência de oscilação, enquanto que para a caixa bidimensional, a suavização implica em um aumento da área da caixa quando N é aumentado. Esse recurso é necessário, uma vez que não se define rigorosamente uma transição de fase em sistemas com dimensão menor que três. Embora a suavização pareça ser mais um recurso matemático que físico, ela descreve bem a CBE em potenciais suaves. Para estudar o efeito do caos na CBE, escolhemos dois potenciais: i) O potencial Nelson, que é um potencial parabólico que descreve essencialmente dois osciladores harmônicos x e y com um termo de acoplamento não-linear que origina caos; ii) O potencial quártico, cuja base é mais achatada parecendo-se mais com uma caixa. Simulamos também a situação em que a partícula confinada é sujeita a um campo magnético perpendicular uniforme ao longo do eixoz. Os nossos resultados mostram que estatísticas que são bilineares em relação à densidade de energia do potencial de confinamento, como a variância do número de ocupação do estado fundamental, exibem assinatura do caos subjacente.
Esta dissertacao tem como objetivo apresentar um estudo critico dos condensados atomicos de Bose-Einstein (BEC). Tomando como ponto de partida a fisica do gas livre, estudamos o efeito de potenciais fracamente confinantes. Dois casos foram estudados em detalhe: i) um gas atomico em um poco de potencial quadrado finito com poucos estados ligados; e ii) um sistema confinado em duas dimensoes por um potencial oscilador harmonico isotropico, sendo fracamente confinado na terceira dimensao. Para o primeiro exemplo, estudamos as propriedades termodinâmicas, comparândo-as com a transicao de fase do gas livre, Interacoes entre bosons sao introduzidas segundo a teoria de Bogoliubov para tratar interacoes elasticas de dois corpos. Dentro da aproximacao de campo medio, as propriedades do condensado sao descritas por uma funcao de onda macroscopica, que satisfaz a equacao de Gross-Pitaevskii (GP). Analisamos os efeitos de comprimentos de espalhamento de onda 5, atrativos e negativos, para BEC aprisionados no poco de potencial finito, onde o sistema suporta excitacoes quânticas coerentes nao-lineares. Solucoes numericas, para a equacao GP independente do tempo, foram encontradas para a funcao de onda do estado condensado a temperatura zero, bem como para as suas excitacoes elementares nao lineares. Para analisar os resultados, usamos valores realistas de parâmetros para os gases atomicos atualmente estudados experimentalmente. Para o segundo caso mencionado acima, desenvolvemos um programa destinado ao estudo de nao-linearidades mais gerais. A fisica nao e restrita so ao BEC, alguns sistemas de interesse sao modelados por familias de equacoes de Schrodinger nao-lineares, sendo a equacao GP um caso particular. Para um potencial harmonico, apesar da nao-linearidade, uma vez que uma solucao e conhecida, muitas outras solucoes podem ser construidas por uma translacao espacial do centro do pacote de onda. O metodo e testado analiticamente no limite da equacao de Schrodinger linear com um potencial de oscilador harmonico em duas dimensoes. As solucoes sao obtidas atraves de uma superposicao de solucoes estacionarias construidas por deslocamentos espaciais de uma solucao exata. O metodo pode ser estendido para o regime de nao-linearidades fracas, e tem uma aplicacao direta na geracao de estados vortice em BEC
Abstract
Neste trabalho, estudamos as consequências causadas em um condensado de Bose-Einstein de átomos de 87 Rb quando sujeito a uma excitação oscilatória externa.Para a produção do condensado utilizamos técnicas de resfriamento atômico, como o resfriamento a laser e o resfriamento evaporativo, em átomos aprisionados em uma armadilha magnética harmônica.A excitação externa é produzida através de um campo magnético quadrupolar oscilatório que é sobreposto ao campo de aprisionamento.Para uma forma fixa dessa excitação, observamos que podemos excitar modos coletivos de oscilação na amostra de condensado, em especial analisamos os modos breathing, dipolar, quadrupolar e o scissor mode.Durante o movimento dipolar do condensado na armadilha magnética, identificamos que há um escoamento contrapropagante do condensado em relação à nuvem térmica que o permeia.Esse escoamento é analisado como um movimento de dois fluidos, onde o condensado desempenha o papel de um superfluido e a nuvem térmica o de um fluido normal.Irregularidades na superfície do condensado são observadas e seus comprimentos característicos crescem na região dos pontos de retorno do movimento dipolar do condensado.Nesses pontos, a forma das irregularidades sugerem estar relacionadas com o processo de geração de vórtices na amostra superfluida.Com base nestas análises, determinamos o valor da velocidade relativa dos fluidos e qual deve ser, tipicamente, o valor da velocidade relativa crítica para que as irregularidades se tornam maiores, possibilitando a geração de vórtices.As análises apresentadas neste trabalho são dedicadas a entender os mecanismos que