Neste trabalho investigamos a confiabilidade de métodos aproximados na detecção de transições de fase quânticas em sistemas unidimensionais descritos pelo modelo de Hubbard. Realizamos uma comparação entre o Grupo de Renormalização da Matriz Densidade (DMRG), praticamente exato mas de alto custo computacional, e a Teoria do Funcional da Densidade (DFT), de menor custo e elevada escalabilidade. Para o modelo homogêneo mostramos que a DFT apresenta maior precisão para a entropia média de emaranhamento do que para a energia do estado fundamental, que por sua vez supera a performance para o perfil de densidade, e que todos os desvios diminuem com o aumento do tamanho da cadeia. Em cadeias finitas, as discrepâncias mais relevantes surgem próximas ao semipreenchimento devido às oscilações de Friedel, enquanto sob confinamento harmônico a DFT descreve bem fases metálicas, mas falha em fases isolantes, ao passo que a média do emaranhamento evidencia de forma mais clara as transições de fase. Na sequência avaliamos medidas alternativas de emaranhamento, constatando que a entropia linear é inadequada em baixas densidades, podendo levar a diagnósticos incorretos de máximos e mínimos, enquanto a entropia típica se mostrou sensível à perda coletiva de correlações, mas tende a antecipar mínimos críticos e subestimar correlações residuais, sugerindo um papel complementar em relação à entropia média. Por fim, otimizamos os expoentes do funcional da densidade FVC para a energia do modelo de Hubbard para melhorar simultaneamente a energia e sua segunda derivada em relação à magnetização, associada à susceptibilidade magnética. Embora a otimização tenha reduzido o erro médio relativo da energia, os desvios da segunda derivada permaneceram elevados, revelando limitações estruturais do funcional e indicando a necessidade de novas formulações capazes de descrever de forma robusta a susceptibilidade magnética em sistemas unidimensionais.
Neste trabalho investigamos a confiabilidade de métodos aproximados na detecção de transições de fase quânticas em sistemas unidimensionais descritos pelo modelo de Hubbard. Realizamos uma comparação entre o Grupo de Renormalização da Matriz Densidade (DMRG), praticamente exato mas de alto custo computacional, e a Teoria do Funcional da Densidade (DFT), de menor custo e elevada escalabilidade. Para o modelo homogêneo mostramos que a DFT apresenta maior precisão para a entropia média de emaranhamento do que para a energia do estado fundamental, que por sua vez supera a performance para o perfil de densidade, e que todos os desvios diminuem com o aumento do tamanho da cadeia. Em cadeias finitas, as discrepâncias mais relevantes surgem próximas ao semipreenchimento devido às oscilações de Friedel, enquanto sob confinamento harmônico a DFT descreve bem fases metálicas, mas falha em fases isolantes, ao passo que a média do emaranhamento evidencia de forma mais clara as transições de fase. Na sequência avaliamos medidas alternativas de emaranhamento, constatando que a entropia linear é inadequada em baixas densidades, podendo levar a diagnósticos incorretos de máximos e mínimos, enquanto a entropia típica se mostrou sensível à perda coletiva de correlações, mas tende a antecipar mínimos críticos e subestimar correlações residuais, sugerindo um papel complementar em relação à entropia média. Por fim, otimizamos os expoentes do funcional da densidade FVC para a energia do modelo de Hubbard para melhorar simultaneamente a energia e sua segunda derivada em relação à magnetização, associada à susceptibilidade magnética. Embora a otimização tenha reduzido o erro médio relativo da energia, os desvios da segunda derivada permaneceram elevados, revelando limitações estruturais do funcional e indicando a necessidade de novas formulações capazes de descrever de forma robusta a susceptibilidade magnética em sistemas unidimensionais.
O emaranhamento, um dos fenômenos mais intrigantes da mecânica quântica, tornou- se uma grandeza chave que desempenha papel fundamental em vários tipos de processamento de informação quântica, por exemplo, tanto em protocolos de computador quântico e em estudos de nanoestruturas, como na detecção de transições de fase quântica e na investigação de propri- edades de transporte. Assim, é fundamental determinar medidas adequadas para quantificar o grau de emaranhamento em um determinado sistema, bem como compreender seus benefícios e limitações. Este trabalho tem como objetivo comparar duas ferramentas utilizadas para medir o grau de emaranhamento, a entropia de von Neumann e a entropia linear. Essas grandezas foram investigadas em sistemas homogêneos e em superredes unidimensionais, descritos pelo modelo de Hubbard através dos métodos de DMRG (Grupo de Renormalização da Matriz Densidade) e DFT (Teoria do Funcional da Densidade). Encontramos diferenças na sensibilidade das duas medidas de emaranhamento às transições de fase quânticas.
A aproximação da densidade local para a teoria do funcional da densidade tem, no passado, levado a resultados conflitantes para a dimerização de cadeias infinitas do trans-poliacetileno (trans-PA). Estes resultados variaram deste forte dimerização, próximo dos resultados experimentais, até fraca dimerização, ou até mesmo nenhuma dimerização. Desde que a aproximação da densidade local usualmente descreve transições de fase estruturais corretamente, esta situação insatisfatória no caso do trans-PA clama por uma investigação detalhada. Neste trabalho estudamos o problema descrevendo a molécula como um modelo de Hubbard-Peierls unidimensional. Estabelecemos uma teoria do funcional da densidade e construímos uma aproximação da densidade local para este modelo. Em acordo com os cálculos ab initio encontramos que este tipo de aproximação não descreve adequadamente a dimerização. Propomos então um Formalismo alternativo, baseado em funcionais da matriz-densidade. Neste formalismo a energia de troca-correlação é escrita como um funcional da densidade de carga (como no método tradicional) e do parâmetro de ordem para a transição. Desta maneira obtemos um tratamento aperfeiçoado para a fase dimerizada. Nossos resultados sugerem que uma descrição adequada de sistemas espacialmente correlacionados dentro da teoria do funcional da densidade requer uma nova classe de funcionais, que vai além da aproximação da densidade local por levar explicitamente em conta parâmetros de ordem espaciais de longo alcance.
Neste trabalho utilizamos sistemas modelos no desenvolvimento, implementação e análise de funcionais orbitais da densidade, focando, em particular, nas correções de autointeração de Perdew-Zunger (PZSIC) e Lundin-Eriksson (LESIC). Aplicamos as correções de auto-interação ao funcional local (LDA) do modelo de Hubbard e de poços quânticos semicondutores, ambos unidimensionais, no caso estático e dependente do tempo, respectivamente. Para o modelo de Hubbard unidimensional, comparamos a LDA, LDA+PZSIC e LDA+LESIC, identificando o desempenho para energias e densidades do estado fundamental, com e sem impurezas locais, além do gap fundamental de energia. Em adição, averiguamos o desempenho diante de cargas fracionárias, estabelecendo conexões com o erro de delocalização da LDA. Mostramos a possibilidade da correta descrição das freqüências das oscilações de Friedel no modelo de Hubbard, além de investigar como a falha da LDA em reproduzir esse aspecto pode estar relacionada com os erros de auto-interação e delocalização. Investigamos ainda as diferentes possibilidades de implementação autoconsistente de qualquer funcional orbital da densidade, analisando a relação entre funcionais aproximados e suas implementações aproximadas. Nos poços quânticos, sob o enfoque dependente do tempo, analisamos a descontinuidade do potencial de troca e correlação ao variarmos o número de partículas, em dois processos distintos: a ionização eletrônica em um poço simples e dissociação de um poço duplo assimétrico. No último caso, avaliamos os efeitos da descontinuidade no número total de partículas em cada poço, revelando os mecanismos que resgatam a neutralidade elétrica durante processos de dissociação, com a correta carga final inteira.
Sistemas unidimensionais desordenados destacam-se por apresentar fenomenos sem analogos nos casos sem desordem ou em dimensoes maiores. Fenomenos inerentes a sistemas com desordem incluem antiferromagneticas de sistemas de spins, onde o estado fundamental e formado por colecoes de singletos de pares de spins, e localizacao de Anderson, onde a funcao de onda apresenta decaimento exponencial. Nesta Tese, estudamos alguns casos onde a fisica de baixas energias e dramaticamente alterada quando o sistema e desordenado, incluindo os exemplos citados anteriormente. Alem de sistemas que apresentam as propriedades fisicas anteriores, elucidamos ainda um mecanismo generico que leva ao aumento de simetria de baixas energias em sistemas de spins desordenados, um tema nao explorado previamente. Investigamos os efeitos de desordem em cadeias de spin genericos em uma dimensao, sendo as interacoes invariantes por rotacao do sistema de coordenadas e por reversao temporal. Para tanto, consideramos todos os termos possiveis que preservam estas simetrias. Tais termos vao alem do habitual termo de Heisenberg, em cadeias de spin S>1/2. Em cadeias de spin 1, encontramos distintas antiferromagneticas onde o estado fundamental e composto de uma colecao de singletos de spins cujas posicoes sao aleatorias. Em baixas energias, a desordem efetiva nestas cresce sem limites; tais sao chamadas, portanto, de fases de desordem infinita. Mais surpreendentemente, verificamos que nas antiferromagneticas a simetria de baixas energias e aumentada, de SU(2) para SU(3). Tal verificacao e feita a partir do mapeamento de operadores de spin monopolares, dipolares e quadrupolares para geradores de representacoes de SU(3), e a posterior constatacao de que a fisica de baixas energias e invariante por rotacoes com tal grupo de geradores. Em analogia com a fisica de particulas, uma das e do tipo barionica, onde o estado fundamental e composto de singletos de colecoes de tres spins (ou quarks formando um singleto de cor, pela analogia com altas energias), enquanto outra fase e do tipo mesonica, sendo o estado fundamental uma sopa de pares de spins (ou pares quark-antiquark, pela analogia). Alem das antiferromagneticas, mapeamos o diagrama de completo da cadeia de spin 1 bilinear e biquadratica (nos operadores de spin) no regime de desordem finita, incluindo ferromagneticas e de spin alto. Nestas, o ferromagnetismo e o antiferomagnetismo competem, o que se reflete no crescimento de spin efetivos, que sao os graus de liberdade efetivos em baixas energias, ser mais lento que no caso ferromagnetico. Ao contrario das antiferromagneticas, nestas de spin alto, a desordem efetiva satura em um valor finito. Estendemos o estudo para spins S>1 atraves do uso de tensores esfericos irredutiveis, que se mostram a linguagem natural para construcao das regras de dizimacao e analise do fluxo do grupo de renormalizacao para desordem forte. Novamente, incluimos todos os termos possiveis que respeitam invariância por rotacao SU(2) e reversao temporal. Descobrimos que ha tambem simetria aumentada nas antiferromagneticas em baixas energias, agora para o grupo SU(2S+1), simetria esta herdada de um ponto no espaco de parâmetros onde o mapeamento para SU(2S+1) e exato em todas as escalas de energia. Esta e uma generalizacao da fase mesonica SU(3) de cadeias de spin 1. Nos tambem discutimos o porque da fase barionica ser muito mais restritiva e, portanto, especial da cadeia de spins 1. Outro objeto de nosso estudo foram sistemas de fermions nao-interagentes em uma dimensao. Os hoppings de longo alcance sao escolhidos tendo um desvio padrao com decaimento em funcao da distância entre sitios, em forma de lei de potencia. Para tal estudo, estendemos o metodo de Equacoes de Fluxo, pioneiramente proposto por Wegner, para sistemas desordenados. Acoplado a esta extensao do metodo, propusemos uma tecnica de grupo de renormalizacao. A combinacao do uso direto das Equacoes de Fluxo, mais o metodo de grupo de renormalizacao, permitiu o mapeamento completo do diagrama de fases, com uma fase estendida (nao-localizada) para expoentes de decaimento menores que um, e uma fase localizada para expoentes maiores que um. O carater localizado ou delocalizado de determinada fase e determinado tanto pela evolucao da distribuicao de acoplamentos, quanto pelos autovalores do Hamiltoniano, atraves da medida de sua repulsao mutua entre niveis
Ab
Esta dissertacao tenta contribuir ao entendimento das possiveis interconexoes entre a Teoria de Informacao Quântica e Materia Condensada, um novo campo de pesquisa em amplo desenvolvimento. Mais especificamente, investigamos o papel do emaranhamento, ou correlacoes quânticas, em transicoes de fase quânticas continuas. Enquanto o papel do primeiro na Teoria de Informacao dispensa apresentacao, as ultimas sao de grande interesse por exibir um comportamento universal, o qual se origina na divergencia de um comprimento de correlacao. E esta origem mutua em correlacoes de ambos os fenomenos que cria uma expectativa de uma possivel relacao entre estes. Nosso trabalho, embasado no estudo do modelo XY unidimensional em um campo transverso, aponta evidencias de um favorecimento do emaranhamento multipartite em detrimento do bipartite na transicao, e assim da importância do primeiro no estabelecimento de correlacoes de longo alcance. Nessa tarefa, acabamos por definir uma classe de medidas de emaranhamento multipartite, generalizando o Emaranhamento Global introduzido por Meyer e Wallach em2002. Mostramos que algumas destas classes proveem informacoes adicionais a do Emaranhamento Global, alem de serem escritas de forma simples em termos de funcoes de correlacao. Tal simplicidade permite o estabelecimento de uma relacao formal entre uma dessas classes e transicoes de fase sinalizadas por divergencias na energia. Ao final estudamos o papel da quebra de simetria no emaranhamento bipartite e multipartite, evidenciando, uma vez mais, a maior importância do ultimo em relacao ao primeiro.
Em uma segunda parte, examinamos o uso de estados de produtos de matrizes na aproximacao de estados fundamentais de sistemas criticos. Estes estados podem ser vistos como o ansatz utilizado no Grupo de Renormalizacao de Matriz Densidade (DMRG), quando este e encarado como um metodo variacional. Analisando o poder de aproximacao de tais estados, agora no modelo de Ising, descobrimos que a dimensao do ansatz (ou numero de graus de liberdade renormalizados) e uma variavel relevante do grupo de renormalizacao de maneira analoga ao tamanho finito do sistema. Isto possibilita uma analise de escala em relacao a essa dimensao dos estados de produto de matrizes, com uma possivel obtencao de propriedades criticas a baixo custo computacional
Abstract
A aproximação da densidade local para a teoria do funcional da densidade tem, no passado, levado a resultados conflitantes para a dimerização de cadeias infinitas do trans-poliacetileno (trans-PA). Estes resultados variaram deste forte dimerização, próximo dos resultados experimentais, até fraca dimerização, ou até mesmo nenhuma dimerização. Desde que a aproximação da densidade local usualmente descreve transições de fase estruturais corretamente, esta situação insatisfatória no caso do trans-PA clama por uma investigação detalhada. Neste trabalho estudamos o problema descrevendo a molécula como um modelo de Hubbard-Peierls unidimensional. Estabelecemos uma teoria do funcional da densidade e construímos uma aproximação da densidade local para este modelo. Em acordo com os cálculos ab initio encontramos que este tipo de aproximação não descreve adequadamente a dimerização. Propomos então um Formalismo alternativo, baseado em funcionais da matriz-densidade. Neste formalismo a energia de troca-correlação é escrita como um funcional da densidade de carga (como no método tradicional) e do parâmetro de ordem para a transição. Desta maneira obtemos um tratamento aperfeiçoado para a fase dimerizada. Nossos resultados sugerem que uma descrição adequada de sistemas espacialmente correlacionados dentro da teoria do funcional da densidade requer uma nova classe de funcionais, que vai além da aproximação da densidade local por levar explicitamente em conta parâmetros de ordem espaciais de longo alcance.