Esta dissertacao tenta contribuir ao entendimento das possiveis interconexoes entre a Teoria de Informacao Quântica e Materia Condensada, um novo campo de pesquisa em amplo desenvolvimento. Mais especificamente, investigamos o papel do emaranhamento, ou correlacoes quânticas, em transicoes de fase quânticas continuas. Enquanto o papel do primeiro na Teoria de Informacao dispensa apresentacao, as ultimas sao de grande interesse por exibir um comportamento universal, o qual se origina na divergencia de um comprimento de correlacao. E esta origem mutua em correlacoes de ambos os fenomenos que cria uma expectativa de uma possivel relacao entre estes. Nosso trabalho, embasado no estudo do modelo XY unidimensional em um campo transverso, aponta evidencias de um favorecimento do emaranhamento multipartite em detrimento do bipartite na transicao, e assim da importância do primeiro no estabelecimento de correlacoes de longo alcance. Nessa tarefa, acabamos por definir uma classe de medidas de emaranhamento multipartite, generalizando o Emaranhamento Global introduzido por Meyer e Wallach em2002. Mostramos que algumas destas classes proveem informacoes adicionais a do Emaranhamento Global, alem de serem escritas de forma simples em termos de funcoes de correlacao. Tal simplicidade permite o estabelecimento de uma relacao formal entre uma dessas classes e transicoes de fase sinalizadas por divergencias na energia. Ao final estudamos o papel da quebra de simetria no emaranhamento bipartite e multipartite, evidenciando, uma vez mais, a maior importância do ultimo em relacao ao primeiro.
Em uma segunda parte, examinamos o uso de estados de produtos de matrizes na aproximacao de estados fundamentais de sistemas criticos. Estes estados podem ser vistos como o ansatz utilizado no Grupo de Renormalizacao de Matriz Densidade (DMRG), quando este e encarado como um metodo variacional. Analisando o poder de aproximacao de tais estados, agora no modelo de Ising, descobrimos que a dimensao do ansatz (ou numero de graus de liberdade renormalizados) e uma variavel relevante do grupo de renormalizacao de maneira analoga ao tamanho finito do sistema. Isto possibilita uma analise de escala em relacao a essa dimensao dos estados de produto de matrizes, com uma possivel obtencao de propriedades criticas a baixo custo computacional
Abstract
Esta dissertacao tenta contribuir ao entendimento das possiveis interconexoes entre a Teoria de Informacao Quântica e Materia Condensada, um novo campo de pesquisa em amplo desenvolvimento. Mais especificamente, investigamos o papel do emaranhamento, ou correlacoes quânticas, em transicoes de fase quânticas continuas. Enquanto o papel do primeiro na Teoria de Informacao dispensa apresentacao, as ultimas sao de grande interesse por exibir um comportamento universal, o qual se origina na divergencia de um comprimento de correlacao. E esta origem mutua em correlacoes de ambos os fenomenos que cria uma expectativa de uma possivel relacao entre estes. Nosso trabalho, embasado no estudo do modelo XY unidimensional em um campo transverso, aponta evidencias de um favorecimento do emaranhamento multipartite em detrimento do bipartite na transicao, e assim da importância do primeiro no estabelecimento de correlacoes de longo alcance. Nessa tarefa, acabamos por definir uma classe de medidas de emaranhamento multipartite, generalizando o Emaranhamento Global introduzido por Meyer e Wallach em2002. Mostramos que algumas destas classes proveem informacoes adicionais a do Emaranhamento Global, alem de serem escritas de forma simples em termos de funcoes de correlacao. Tal simplicidade permite o estabelecimento de uma relacao formal entre uma dessas classes e transicoes de fase sinalizadas por divergencias na energia. Ao final estudamos o papel da quebra de simetria no emaranhamento bipartite e multipartite, evidenciando, uma vez mais, a maior importância do ultimo em relacao ao primeiro.
Em uma segunda parte, examinamos o uso de estados de produtos de matrizes na aproximacao de estados fundamentais de sistemas criticos. Estes estados podem ser vistos como o ansatz utilizado no Grupo de Renormalizacao de Matriz Densidade (DMRG), quando este e encarado como um metodo variacional. Analisando o poder de aproximacao de tais estados, agora no modelo de Ising, descobrimos que a dimensao do ansatz (ou numero de graus de liberdade renormalizados) e uma variavel relevante do grupo de renormalizacao de maneira analoga ao tamanho finito do sistema. Isto possibilita uma analise de escala em relacao a essa dimensao dos estados de produto de matrizes, com uma possivel obtencao de propriedades criticas a baixo custo computacional
Abstract
Na primeira parte deste trabalho seguimos os estudos de Hirota e colaboradores e definimos quatro estados quase-Bell baseados em estados coerentes comprimidos da luz. Dois desses estados sao maximamente emaranhados, enquanto o emaranhamento dos outros dois depende apenas da sobreposicao entre os estados coerentes comprimidos que os compoem. A partir destes estados quase-Bell, definimos novos estados interpolados cujo emaranhamento e tambem governado por um parâmetro de interpolacao adicional e estudamos algumas das propriedades destes estados (emaranhamento e eficiencia energetica). Por fim, usamos estes estados e definimos alguns estados de Werner, com os quais analisamos de forma simples uma possivel influencia de um ambiente dissipativo parametrizado pela probabilidade de o estado de Werner estar em sua forma emaranhada ou misturada. Para esta analise usamos os conceitos de separabilidade e emaranhamento. Na segunda parte estudamos a estimativa de fase quântica usando estados gaussianos puros (estados coerentes comprimidos). Iniciamos com a estimativa da fase introduzida por um operador unitario em cujo hamiltoniano esta presente uma perturbacao linear nos operadores de criacao e aniquilacao, alem do operador de numero de fotons responsavel pela evolucao de fase (perturbacao linear unitaria). Obtemos quais sao os estados gaussianos otimos para a estimativa desta fase e analisamos a optimalidade da deteccao homodina. A seguir, consideramos o parâmetro de perturbacao como uma variavel aleatoria que obedece a uma distribuicao gaussiana de probabilidades (perturbacao linear aleatoria) e novamente obtemos os estados de sonda otimos e analisamos a optimalidade da deteccao homodina. Por fim, estudamos a estimativa de fase com perturbacao linear unitaria utilizando os estados quase-Bell interpolados definidos na primeira parte deste trabalho e verificamos que a utilizacao de emaranhamento permite uma melhor estimativa de fase para uma mesma energia disponivel
Abstract
Emaranhamento é certamente um dos fenômenos mais fascinantes observados na Natureza, e mesmo após de décadas de pesquisas na teoria de emaranhamento ainda há muito a ser descoberto e entendido. Em particular, ainda há poucos resultados detalhando e caracterizando a estrutura do emaranhamento em sistemas fortemente correlacionados em larga escala, envolvendo um número grande de subsistemas. A forma mais comum de se estudar detalhadamente a estrutura de emaranhamento em estados quânticos tem sido através da otimização de Testemunhas de Emaranhamento (Entanglement Witnesses), otimizadas utilizando-se técnicas algorítmicas como Programação Semidefinida (Semidefinite Programming) aplicada à matrizes. No entanto, esta descrição matricial torna a técnica computacionalmente inviável para sistemas em larga escala devido ao crescimento exponencial da dimensão do espaço de parâmetros a serem otimizados. Todas as técnicas se tornam inviáveis para um número relativamente pequeno de partículas (na ordem de n ~ 10^1). Por estes motivos, Redes Tensoriais (Tensor Networks) têm atraído a atenção de pesquisadores nas últimas décadas por serem formas eficientes de descrever e simular sistemas quânticos compostos de muitas partes, pois são descrições mais naturais e eficientes das correlações quânticas entre os subsistemas. No entanto, pouco tem sido feito para caracterização detalhada do emaranhamento em tais sistemas, e a literatura ainda carece de uma ponte entre os dois formalismos. Neste trabalho, propomos um primeiro pequeno passo rumo ao objetivo de adaptar o formalismo de testemunhas de emaranhamento de forma compatível com a descrição de sistemas quânticos através de redes tensoriais, tornando possível a caracterização de emaranhamento em sistemas de larga escala.
Neste trabalho investigamos a confiabilidade de métodos aproximados na detecção de transições de fase quânticas em sistemas unidimensionais descritos pelo modelo de Hubbard. Realizamos uma comparação entre o Grupo de Renormalização da Matriz Densidade (DMRG), praticamente exato mas de alto custo computacional, e a Teoria do Funcional da Densidade (DFT), de menor custo e elevada escalabilidade. Para o modelo homogêneo mostramos que a DFT apresenta maior precisão para a entropia média de emaranhamento do que para a energia do estado fundamental, que por sua vez supera a performance para o perfil de densidade, e que todos os desvios diminuem com o aumento do tamanho da cadeia. Em cadeias finitas, as discrepâncias mais relevantes surgem próximas ao semipreenchimento devido às oscilações de Friedel, enquanto sob confinamento harmônico a DFT descreve bem fases metálicas, mas falha em fases isolantes, ao passo que a média do emaranhamento evidencia de forma mais clara as transições de fase. Na sequência avaliamos medidas alternativas de emaranhamento, constatando que a entropia linear é inadequada em baixas densidades, podendo levar a diagnósticos incorretos de máximos e mínimos, enquanto a entropia típica se mostrou sensível à perda coletiva de correlações, mas tende a antecipar mínimos críticos e subestimar correlações residuais, sugerindo um papel complementar em relação à entropia média. Por fim, otimizamos os expoentes do funcional da densidade FVC para a energia do modelo de Hubbard para melhorar simultaneamente a energia e sua segunda derivada em relação à magnetização, associada à susceptibilidade magnética. Embora a otimização tenha reduzido o erro médio relativo da energia, os desvios da segunda derivada permaneceram elevados, revelando limitações estruturais do funcional e indicando a necessidade de novas formulações capazes de descrever de forma robusta a susceptibilidade magnética em sistemas unidimensionais.
Neste trabalho mostramos que uma grande variedade de modelos exatamente solúveis através do ansatz de Bethe coordenadas podem também ser resolvidos através de um ansatz do produto matricial. Estes modelos são descritos no caso unidimensional por cadeias quânticas, e por matrizes de transferência no caso de sistemas clássicos bi-dimensionais. Diferentemente do ansatz de Bethe, em que as auto-funções do modelo são escritas como uma combinação de ondas planas, no nosso ansatz do produto matricial elas são dadas por produtos de matrizes, onde as matrizes obedecem a uma álgebra associativa apropriada. Estas relações algébricas são obtidas impondo-se que as auto-funções escritas em termos do ansatz satisfaçam à equação de auto-valor do operador Hamiltoniano ou da matriz de transferência. A consistência das relações de comutatividade entre os elementos da álgebra implicam na exata integrabilidade do modelo. Além disso, o ansatz que propomos permite uma formulação simples e unificada para vários Hamiltonianos quânticos exatamente solúveis. Apresentamos nesta tese a formulação do nosso ansatz do produto matricial para uma grande família de redes quânticas, como os modelos anisotrópico de Heisenberg, Fateev-Zamolodchikov, Izergin-Korepin, Sutherland, t-J, Hubbard etc. Mais ainda, formulamos nosso ansatz para processos estocásticos de partículas com tamanhos e classes diferentes difundindo assimetricamente na rede. Por fim, com o objetivo de dar suporte a nossa conjectura de que todos os modelos exatamente solúveis através do ansatz de Bethe coordenadas, associados a Hamiltonianos quânticos unidimensionais ou matrizes de transferência bidimensionais, também podem ser resolvidos através de um ansatz do produto matricial, apresentamos a formulação do nosso ansatz para a matriz de transferência do modelo de seis-vértices com condição de contorno toroidal
Este trabalho consiste em um estudo do emaranhamento em sistemas quânticos abertos, modelados como partículas brownianas.O interesse surge da possibilidade de entender como o meio pode criar ou manter emaranhamento entre sistemas quânticos, em vez de somente ocasionar perda de coerência e energia.Primeiramente, revisamos os significados do emaranhamento em mecânica quântica e algumas formas de quantificá-lo.Em seguida, estudamos a literatura de sistemas quânticos abertos para uma partícula, em especial o movimento browniano quântico.Com isso, foi possível calcular o emaranhamento entre uma partícula quântica browniana e seu reservatório.Numa segunda etapa, estudamos o modelo de duas partículas brownianas em um banho comum.Esse modelo permite a introdução não só de uma escala de tempo característica como também uma de comprimento.Um potencial efetivo entre as partículas surge no modelo como consequência das hipóteses assumidas.Na ausência de potencial externo, é preservada a invariância translacional do sistema.Por fim, pudemos alcançar nosso principal resultado, que foi calcular a matriz densidade das duas partículas em equilíbrio térmico e, com ela, o emaranhamento entre as partículas.
Nesta dissertação, investigamos a informação mútua de Shannon para um campo escalar quântico sem massa livre em d + 1 dimensões, focando nas correlações entre duas regiões espaciais complementares. Nossa abordagem central envolveu o cálculo dessa medida de informação clássica diretamente dos elementos diagonais da matriz densidade expressa na base de configuração do campo. Essa metodologia forneceu um arcabouço para quantificar as correlações clássicas que persistem ou emergem após processos de decoerência quântica ou medição, que efetivamente diagonalizam a matriz densidade do sistema. Empregamos o formalismo funcional da representação de Schrödinger para calcular as entropias de Shannon associadas às regiões complementares, a partir das quais derivamos a informação mútua. Para lidar com as integrais funcionais, utilizamos tanto a aproximação de ponto de sela quanto o truque das réplicas. Computamos a informação mútua de Shannon para dois casos: o estado de vácuo e estados de partícula-única localizados. Para o estado de vácuo, nossos resultados reproduziram aqueles encontrados na literatura existente. Para estados localizados, descritos por soluções de pacote de ondas da equação de Schrödinger relativística, a informação mútua de Shannon pode ser expressa como a informação mútua do vácuo mais termos dependentes do perfil do pacote de ondas. Como uma aplicação do formalismo desenvolvido, calculamos a informação mútua de Rényi-2 (também conhecida como entropia de colisão) em uma dimensão espacial, considerando regiões definidas como semirretas e empregando um pacote de ondas lorentziano. Encontramos que a presença de uma excitação geralmente aumenta a informação compartilhada em comparação com o caso do vácuo. Esse excesso de informação é maximizado quando a partícula está localizada próximo à fronteira e diminui à medida que a partícula se afasta, com a taxa de decaimento dependendo da largura do pacote de ondas. No geral, nossas descobertas contribuem para a compreensão das correlações clássicas em teoria quântica de campos e oferecem uma perspectiva sobre o conteúdo de informação que é diretamente relevante para cenários envolvendo decoerência e medição. Este trabalho fornece um ponto de vista complementar aos cálculos tradicionais de entropia de emaranhamento, concentrando-se na informação clássica acessível codificada nas probabilidades de configuração do campo.